高等数学 上、下册3_5 曲线的凹凸性与拐点

时 ， 曲 线 是 凸 的 .
（ 4） 拐 点 是 0,1和 2 3,1 21 7.
例 5 研 究 曲 线 y 3 x 的 凹 凸 性 及 拐 点 .
解 Df ,
y 1 ，y 2
33 x2
9x3 x2
当x0时， y不存在， 它将,分成两个区间.
列表讨论：
x
,0
0
0,
y
+
-
y
拐 点 0,1
则 ,0为 曲 线 的 凹 区 间 ； 0 , 为 凸 区 间 .曲 线 的 拐 点 是 0 ,0.
当 x 0 , 时 ， y 0 ， 故 曲 线 y ln x在 0 , 上 凸 的 .
例 3 判 断 曲 线 y x 3 的 凹 凸 性 . 解y3x2，y6x
当x0时，y0，故曲线yx3在 ,0上是凸的； 当x0时，y0，故曲线yx3在 0,上是凹的. 点0,0为曲 线yx3凹凸弧的 分界点 ，称 为曲线 yx3的 拐
例 1 判 断 曲 线 y x 4 2 x 2 的 凹 凸 性 .
解 y4x34x, y1 2x24
显 然 ， 在 , 上 恒 有 y0， 故 曲 线 yx42x2在
, 上 是 凹 的
例 2 判 断 曲 线 y l n x 的 凹 凸 性 . 解 y 1 x ， y x 1 2
第五节 曲线的凸凹性与拐点
在讨论函数的图形时，只知道它的增减性是不够
的，例如，图 3-8 中，Biblioteka Baidu数 y x2与 y x ，当 x 0时都
是单调增加的，但它们曲线的弯曲方向是不同的，因此
有必要讨论曲线的凹凸性.
观察 y x2的图形，它是一条沿 y x 轴正向上升且向上弯曲的曲线， 曲线总位于切线的上方，切线斜
凸区间；
(4)若在 f x0 0的实根 x0的两侧， f x的符号相反， 则(x0, f (x0 ))是曲线 y f x的拐点.
例4判断曲线y3x44x31的凹凸性并求出拐点.
解 D f , （ 1） y 12 x 3 12 x 2 ， y 36 x 2 24 x 12 x 3 x 2 ；
点(x0, f (x0 ))一定是曲线 y f x的拐点. 判断曲线 y f x的凹凸性与求拐点的一般步骤如下： (1)求出 f x； (2)找出方程 f x0 0的实根； (3) f x0 0的实根将函数定义域分成若干区间，在每
个区间上确定 f x的符号，从而确定了曲线 y f x的凹
点.
定义 2 设函数 y f x在所考虑的区间内是连续的， 则曲线 y f x上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.
由例 3 可以看出，求曲线的拐点，实际上就是找二阶
导数 f x取正、负值的分界点.于是有以下结论： 若在 x0处 f x0 0，而在 x0的左右两侧 f x异号，则
率 y 2x是单调函数. y x 的图形，
它是一条沿 x 轴正向上升的且向下弯
曲的曲线，曲线总位于切线的下方，
切线斜率 y 1 是单调函数.
O
2x
x
图3-8
定义1 设曲线y f x在区间a,b内各点都有切
线，在切点附近如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲
线y f x在a,b内是凹的或称为凹弧，也称a,b为曲 线y f x的凹区间；如果曲线弧总位于切线的下方， 则称曲线y f x在a,b内是凸的或称为凸弧，也称 a,b为y f x的凸区间.
作 业 ： 习 题 4521 ,3,32 ,4,4
内容小结
曲线凹凸与拐点的判别
f(x)0,x I
曲线y f (x) 在I 上向上凹
+
f(x)0,x I
曲线y f (x) 在I 上向上凸
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
作业
P137 2(2), (4), 3(2), (4), 4, 5
由 定 义 知 ， 曲 线 yx2是 凹 的 ， 曲 线 y x是 凸 的 .
对 于 fx的 增 减 性 可 有 fx的 导 数 ， 即 fx来 判
定 ， 由 此 可 得 出 曲 线 凹 凸 性 的 判 别 法 .
定理 设函数f x在区间a,b上具有二阶导数， （1）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凹弧； （2）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凸弧.
（ 2） 令
y
0，得
x1
0，
x2
2 3
；
（ 3） x1 , x2 将 , 分 成 三 个 区 间 ， 列 表 讨 论 ：
x ,0
0
0
,
2 3
2 3
2 3
,
y
+
0
-
0
+
y
拐点
0,1
拐点
2 3
,
1 2
1 7
则 当x,0及 2 3,时 ， 曲 线 是 凹 的 ； 当x0,2 3