高等数学 上、下册3_5 曲线的凹凸性与拐点
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2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线、函数作图
定义
设有曲线段 y = f ( x ) ， x ∈ ( a , b ) ，
若函数 f 在 (a , b) 上为凸函数（凹函数） 即对于其上任 上为凸函数（凹函数） ，即 ， 上方(或 何两点 A, B ， 弦 AB 总位于所夹曲线弧 AB 的 上方 或 向下凸(或向上凸)。 下方 )，则称曲线段 y = f ( x ) 在 (a , b) 内向下凸 或向上凸 。 ，
y
y = f ( x)
A
o a x1
D B
C
x
x2 b x
y
A
D y = f ( x) B
C
x2 b x
5
向下凸
o a x1 x 向上凸
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图 函数的凹凸与曲线的凸向、
定理 6
内可导， 设函数 f 在区间 I 内可导，且导函数 f ′( x )
的拐点， （3）若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点， 且 f ′′( x ) 连续， 反之未必。 在 点 x0 连续，则 f ′′( x0 ) = 0 ，反之未必。
例如： 例如： f ( x ) = x 4 ， f ′′( x ) = 12 x 2 ，有 f ′′(0) = 0 ，但 （0，0）不是拐点。 不是拐点。
14
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图 函数的凹凸与曲线的凸向、
3、斜渐近线 、
f ( x) lim 若 = a, x→∞ x ( 或 x → +∞ )
( 或 x → −∞ )
x→∞ ( 或 x → +∞ ) ( 或 x → −∞ )
lim [ f ( x ) − ax ] = b ,
微积分课件3-5曲线的凹凸性与拐点
注1:拐点处的切线必在拐点 处穿过曲线. 注2、拐点是用坐标（x0 , f ( x0 ))来表示的， 不同于Biblioteka 值点的表示.2 拐点的必要条件
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内
2
2
即证
[
f ( x1 )
f
(
x1
2
x2
)] [
f
( x2 )
f
( x1
2
x2 )]
0
1
(
x1 ,
x1
2
x2
),
f ( x1 )
f ( x1 2
x2 )
f (1 )( x1
x1 x2 ) 2
f (1 )
x1 x2 2
2
(
x1
2
x2
,
x2
),
f (x2)
f ( x1 x2 ) 2
f (2 )( x2
x1 x2 ) 2
f (2 )
x2 2
x1
两式相加为：
[
f
(x1)
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内
2
2
即证
[
f ( x1 )
f
(
x1
2
x2
)] [
f
( x2 )
f
( x1
2
x2 )]
0
1
(
x1 ,
x1
2
x2
),
f ( x1 )
f ( x1 2
x2 )
f (1 )( x1
x1 x2 ) 2
f (1 )
x1 x2 2
2
(
x1
2
x2
,
x2
),
f (x2)
f ( x1 x2 ) 2
f (2 )( x2
x1 x2 ) 2
f (2 )
x2 2
x1
两式相加为：
[
f
(x1)
3-5 凹凸性 拐点.渐近线
0
0
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
y 0
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结束
例1. 判断曲线
解: 函数的定义域为
的凹凸性.
1 y , x 1 y 2 x
所以在函数的定义域 由定理1知 曲线
1 内，y 2 0 x
是凸的.
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2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
y x 2 为曲线的斜渐近线 . 无水平渐近线 .
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y 0是曲线的水平渐近线
1 x lim +ln(1+e ) = x 0 x
x 0是曲线的垂直渐近线
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结束
1 例3 求曲线y=f(x)= +ln(1+e x )的渐近线 x f ( x) 1 ln(1+e x ) lim 2 + 考虑斜渐近线. lim x x x x x
第五节
第三章
曲线的凹凸性,拐点与渐近线
一、曲线的凹凸性 二、曲线的拐点 三、渐近线
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结束
1、曲线凹凸性的概念
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是凹的; (2) 若恒有
B
则称
则称
A 图形是凸的 .
yy
oo
x1 x x1 x x1x1 2 2x2x2 x x 2 2
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
曲线的凹凸性与拐点
证 只证明在a,b 内 f x 单调增加的情形．
对a,b内任意不同的两点 x1, x2 ，x1
x2 ，记 x0
x1
2
x2
，则由拉格
朗日定理，存在1,2 ( a x1 1 x0 2 x2 b )，使得
f (x1)
f (x0 )
f (1)(x1
x0 )
f
(x0 )
1 2
(
x2
x1) f (1) ，
4.5.2 拐点
定义4.5.2 设函数 y f x在a,b上连续，如果在a,b 内存
在一点 x0 和充分小的正数 ，在点 x0 的两侧邻域 x0, , x0 与
x0, x0, 内，曲线 y f x的凹凸性相反，就称点 x0, f x0 为
曲线 y f x的一个拐点．
注1：拐点实际上是凹弧与凸弧的分界点．
得
f (x1) 2
f (x2 )
f
( x0
)
，即
f
(
x1
2
x2
)
f
x1
2
f
x2 ．
由定义4.5.1知，曲线 y f x在a,b上为凹的．
本定理几何意义：若曲线 y f x在各点处的切线斜率单调增加
（单调减少），则曲线是凹（凸）的．
17-6
如果 f x 二阶可导，则当 f x 0 时， f x 单调增加； 当 f x 0时， f x 单调减少，因此可得下列定理．
4.5 曲线的凹凸性与拐点
4.5.1 曲线的凹凸性 4.5.2 拐点
17-1
前面讨论了函数的单调性和极值．从几何上讲，单调性 反映的是曲线的升降，极值反映的曲线的“峰值”或“谷底”．
3.5函数的凹凸性、曲线的拐点及渐近线
o
x
图形上弧段总是位于任
意切线的上方……凹弧
y
y f (x)
方，则称曲线弧AB是向上凹的或
称凹弧（向上凸的，或称凸弧）， o
x
记为“∪”(“∩”)。
图形上弧段总是位于任 意切线的下方……凸弧
分析：
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
例8
描绘函数
y
4
x 1
x2
2的图形
解：1）定义域为 ，0 0，
2)
y
4x
x3
2
,
由y 0,得x 2
y
8x 3，
x4
由y 0得x
3;
3）列表确定函数及曲线的特性
3）列表确定函数及曲线的特性
x ,3 3 3,2 2 2,0
y
0
y
0
y f x
拐点 3， 26
9
极小值 3
1
有垂直渐近线
x =-1,x =1
3.曲线的斜渐近线
若 lim f x a, lim f x ax b ，则直线
x x
x
y = ax +b 是曲线 y = f (x)的斜渐近线.
例7
求曲线
y
x3 x2 2x 3
的斜渐近线.
x3
解：因为 lim f x lim x2 2x 3 1, 所以a 1
改变弯曲方向的点——拐点;
凹凸性的判定.
2.应用
拐点的求法.
1.水平渐近线
二、曲线的渐近线
曲线的凹凸与拐点概述课件
几何意义
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
3_5曲线的凹凸性,拐点
曲线凹凸的判定
y
y = f (x)
A
B
y
y = f (x)
B
A
o
a
f ′(x) 递增
b
x
o
a
f ′(x) 递减
y′′ > 0
b x y′′ < 0
定理1 定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内具有二阶导 数 , 若在 (a , b ) 内
(1) f ′′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是上凹的 ;
上凹区间为 ( −∞ ,0], [ 2 , +∞ ), 上凸区间为 [0, 2 ]. 3 3
(0,0), ( 2 , 11 )为拐点。 为拐点。 3 27
函数图形的描绘 1 曲线的渐近线 定义3 定义3 当曲线 y = f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离趋向
( x → −∞ )
2( x − 2)( x + 3) 的渐近线. 例7 求 f ( x ) = x −1 解 D : ( −∞ ,1) ∪ (1,+∞ ). ∵ lim f ( x ) = − ∞ , lim f ( x ) = + ∞ ,
∴ x = 1 是曲线的铅直渐近线 . f ( x) 2( x − 2)( x + 3) 又 ∵ lim = lim = 2, x →∞ x →∞ x x ( x − 1) 2( x − 2)( x + 3) lim [ − 2 x] x →∞ ( x − 1)
x →+∞ x →−∞
如果 lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b (b 为常数 ), 那么
一,曲线的凹凸性与拐点
本题也可以下表给出解答：
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 2 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
2x y 1 x2 ,
y
2(1 x2) (1 x2)2
曲线 y = 3x – x3 无水平渐近线和垂直渐近线. 综合上述结论，即可描出所给函数的图形.
3
y -1 O
y = 3x – x3
3
1
x
例 6 描绘函数 y e x2的图形. 解 该函数的定义域为 (- , ). 该函数为偶函数， 因此,只要作出它在 (0, ) 内的图形， 即可根据其对称性得到它的全部图形．
O
x
2
2.函数图形的描绘
描绘函数的图形， 其一般步骤是： (1) 确定函数的定义域， 并讨论其对称性和周 期性；
(2) 讨论函数的单调性，极值点和极值； (3) 讨论函数图形的凹凸区间和拐点； (4) 讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线； (5) 根据需要补充函数图形上若干点(如与坐标 轴的交点等等)；
以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性.
定义 1 设函数 y = f (x) 在某区间 I 内可导， ① 如果 f (x) 在 I 内是递增的，则称曲线 y = f (x) 在 区间 I 内是凹的，I 区间称为凹区间； ② 如果 f (x) 在 I 内是递减的， 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 内 是凸的，I 区间称为凸区间 .
定理 3 若 f (x0) = 0，且在 x0 两侧 f (x) 变号， 则点 (x0 , f ( x0 ) ) 是曲线 y = f (x) 的拐点.
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 2 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
2x y 1 x2 ,
y
2(1 x2) (1 x2)2
曲线 y = 3x – x3 无水平渐近线和垂直渐近线. 综合上述结论，即可描出所给函数的图形.
3
y -1 O
y = 3x – x3
3
1
x
例 6 描绘函数 y e x2的图形. 解 该函数的定义域为 (- , ). 该函数为偶函数， 因此,只要作出它在 (0, ) 内的图形， 即可根据其对称性得到它的全部图形．
O
x
2
2.函数图形的描绘
描绘函数的图形， 其一般步骤是： (1) 确定函数的定义域， 并讨论其对称性和周 期性；
(2) 讨论函数的单调性，极值点和极值； (3) 讨论函数图形的凹凸区间和拐点； (4) 讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线； (5) 根据需要补充函数图形上若干点(如与坐标 轴的交点等等)；
以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性.
定义 1 设函数 y = f (x) 在某区间 I 内可导， ① 如果 f (x) 在 I 内是递增的，则称曲线 y = f (x) 在 区间 I 内是凹的，I 区间称为凹区间； ② 如果 f (x) 在 I 内是递减的， 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 内 是凸的，I 区间称为凸区间 .
定理 3 若 f (x0) = 0，且在 x0 两侧 f (x) 变号， 则点 (x0 , f ( x0 ) ) 是曲线 y = f (x) 的拐点.
曲线的凸凹性与拐点课件
凸函数的性 质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$， 都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐 点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求 解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况， 是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系， 判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并 找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变 化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性 质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。
大学数学_3_5 曲线的凹凸性与拐点
定义 1 设曲线 y f x 在区间 a, b 内各点都有切 线，在切点附近如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲 线 y f x 在 a, b 内是凹的或称为凹弧， 也称 a, b 为曲 线 y f x 的凹区间；如果曲线弧总位于切线的下方， 则称曲线 y f x 在 a, b 内是凸的或称为凸弧，也称 a, b 为 y f x 的凸区间. 由定义知，曲线 y x 2 是凹的，曲线 y x 是凸的. 对于 f x 的增减性可有 f x 的导数， 即 f x 来判 定，由此可得出曲线凹凸性的判别法. 定理 设函数 f x 在区间 a, b 上具有二阶导数， （ 1 ）如果在 a, b 上 f x 0 ，则曲线 y f x 在 a, b 上为凹弧； （ 2 ）如果在 a, b 上 f x 0 ，则曲线 y f x 在 a, b 上为凸弧.
例 1 判断曲线 y x 4 2 x 2 的凹凸性. 解 y 4 x3 4 x, y 12 x 2 4 显 然 ， 在 , 上 恒 有 y 0 ， 故 曲 线 y x 4 2 x 2 在 , 上是凹的 例 2 判断曲线 y ln x 的凹凸性. 1 1 y y 解 ， x x2 当 x 0, 时， y 0 ，故曲线 y ln x 在 0, 上凸的. 例 3 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x 2 ， y 6 x 当 x 0 时， y 0 ，故曲线 y x3 在 ,0 上是凸的； 当 x 0 时， y 0 ，故曲线 y x3 在 0, 上是凹的. 点 0,0 为曲线 y x3 凹凸弧的分界点，称为曲线 y x3 的拐 点.
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由 定 义 知 ， 曲 线 yx2是 凹 的 ， 曲 线 y x是 凸 的 .
对 于 fx的 增 减 性 可 有 fx的 导 数 ， 即 fx来 判
定 ， 由 此 可 得 出 曲 线 凹 凸 性 的 判 别 法 .
定理 设函数f x在区间a,b上具有二阶导数， （1）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凹弧； （2）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凸弧.
当 x 0 , 时 ， y 0 ， 故 曲 线 y ln x在 0 , 上 凸 的 .
例 3 判 断 曲 线 y x 3 的 凹 凸 性 . 解y3x2，y6x
当x0时，y0，故曲线yx3在 ,0上是凸的； 当x0时，y0，故曲线yx3在 0,上是凹的. 点0,0为曲 线yx3凹凸弧的 分界点 ，称 为曲线 yx3的 拐
点.
定义 2 设函数 y f x在所考虑的区间内是连续的， 则曲线 y f x上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.
由例 3 可以看出，求曲线的拐点，实际上就是找二阶
导数 f x取正、负值的分界点.于是有以下结论： 若在 x0处 f x0 0，而在 x0的左右两侧 f x异号，则
第五节 曲线的凸凹性与拐点
在讨论函数的图形时，只知道它的增减性是不够
的，例如，图 3-8 中，函数 y x2与 y x ，当 x 0时都
是单调增加的，但它们曲线的弯曲方向是不同的，因此
有必要讨论曲线的凹凸性.
观察 y x2的图形，它是一条沿 y x 轴正向上升且向上弯曲的曲线， 曲线总位于切线的上方，切线斜
点(x0, f (x0 ))一定是曲线 y f x的拐点. 判断曲线 y f x的凹凸性与求拐点的一般步骤如下： (1)求出 f x； (2)找出方程 f x0 0的实根； (3) f x0 0的实根将函数定义域分成若干区间，在每
个区间上确定 f x的符号，从而确定了曲线 y f x的凹
作 业 ： 习 题 4521 ,3,32 ,4,4
内容小结
曲线凹凸与拐点的判别
f(x)0,x I
曲线y f (x) 在I 上向上凹
+
f(x)0,x I
曲线y f (x) 在I 上向上凸
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
作业
P137 2(2), (4), 3(2), (4), 4, 5
例 1 判 断 曲 线 y x 4 2 x 2 的 凹 凸 性 .
解 y4x34x, y1 2x24
显 然 ， 在 , 上 恒 有 y0， 故 曲 线 yx42x2在
, 上 是 凹 的
例 2 判 断 曲 线 y l n x 的 凹 凸 性 . 解 y 1 x ， y x 1 2
率 y 2x是单调函数. y x 的图形，
它是一条沿 x 轴正向上升的且向下弯
曲的曲线，曲线总位于切线的下方，
切线斜率 y 1 是单调函数.
O
2x
x
图3-8
定义1 设曲线y f x在区间a,b内各点都有切
线，在切点附近如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲
线y f x在a,b内是凹的或称为凹弧，也称a,b为曲 线y f x的凹区间；如果曲线弧总位于切线的下方， 则称曲线y f x在a,b内是凸的或称为凸弧，也称 a,b为y f x的凸区间.
凸区间；
(4)若在 f x0 0的实根 x0的两侧， f x的符号相反， 则(x0, f (x0 ))是曲线 y f x的拐点.
例4判断曲线y3x44x31的凹凸性并求出拐点.
解 D f , （ 1） y 12 x 3 12 x 2 ， y 36 x 2 24 x 12 x 3 x 2 ；
时 ， 曲 线 是 凸 的 .
（ 4） 拐 点 是 0,1和 2 3,1 21 7.
例 5 研 究 曲 线 y 3 x 的 凹 凸 性 及 拐 点 .
解 Df ,
y 1 ，y 2
33 x2
9x3 x2
当x0时， y不存在， 它将,分成两个区间.
列表讨论：
x
,0
0
0,
y
+
Hale Waihona Puke -y拐 点 0,1
则 ,0为 曲 线 的 凹 区 间 ； 0 , 为 凸 区 间 .曲 线 的 拐 点 是 0 ,0.
（ 2） 令
y
0，得
x1
0，
x2
2 3
；
（ 3） x1 , x2 将 , 分 成 三 个 区 间 ， 列 表 讨 论 ：
x ,0
0
0
,
2 3
2 3
2 3
,
y
+
0
-
0
+
y
拐点
0,1
拐点
2 3
,
1 2
1 7
则 当x,0及 2 3,时 ， 曲 线 是 凹 的 ； 当x0,2 3
对 于 fx的 增 减 性 可 有 fx的 导 数 ， 即 fx来 判
定 ， 由 此 可 得 出 曲 线 凹 凸 性 的 判 别 法 .
定理 设函数f x在区间a,b上具有二阶导数， （1）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凹弧； （2）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凸弧.
当 x 0 , 时 ， y 0 ， 故 曲 线 y ln x在 0 , 上 凸 的 .
例 3 判 断 曲 线 y x 3 的 凹 凸 性 . 解y3x2，y6x
当x0时，y0，故曲线yx3在 ,0上是凸的； 当x0时，y0，故曲线yx3在 0,上是凹的. 点0,0为曲 线yx3凹凸弧的 分界点 ，称 为曲线 yx3的 拐
点.
定义 2 设函数 y f x在所考虑的区间内是连续的， 则曲线 y f x上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.
由例 3 可以看出，求曲线的拐点，实际上就是找二阶
导数 f x取正、负值的分界点.于是有以下结论： 若在 x0处 f x0 0，而在 x0的左右两侧 f x异号，则
第五节 曲线的凸凹性与拐点
在讨论函数的图形时，只知道它的增减性是不够
的，例如，图 3-8 中，函数 y x2与 y x ，当 x 0时都
是单调增加的，但它们曲线的弯曲方向是不同的，因此
有必要讨论曲线的凹凸性.
观察 y x2的图形，它是一条沿 y x 轴正向上升且向上弯曲的曲线， 曲线总位于切线的上方，切线斜
点(x0, f (x0 ))一定是曲线 y f x的拐点. 判断曲线 y f x的凹凸性与求拐点的一般步骤如下： (1)求出 f x； (2)找出方程 f x0 0的实根； (3) f x0 0的实根将函数定义域分成若干区间，在每
个区间上确定 f x的符号，从而确定了曲线 y f x的凹
作 业 ： 习 题 4521 ,3,32 ,4,4
内容小结
曲线凹凸与拐点的判别
f(x)0,x I
曲线y f (x) 在I 上向上凹
+
f(x)0,x I
曲线y f (x) 在I 上向上凸
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
作业
P137 2(2), (4), 3(2), (4), 4, 5
例 1 判 断 曲 线 y x 4 2 x 2 的 凹 凸 性 .
解 y4x34x, y1 2x24
显 然 ， 在 , 上 恒 有 y0， 故 曲 线 yx42x2在
, 上 是 凹 的
例 2 判 断 曲 线 y l n x 的 凹 凸 性 . 解 y 1 x ， y x 1 2
率 y 2x是单调函数. y x 的图形，
它是一条沿 x 轴正向上升的且向下弯
曲的曲线，曲线总位于切线的下方，
切线斜率 y 1 是单调函数.
O
2x
x
图3-8
定义1 设曲线y f x在区间a,b内各点都有切
线，在切点附近如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲
线y f x在a,b内是凹的或称为凹弧，也称a,b为曲 线y f x的凹区间；如果曲线弧总位于切线的下方， 则称曲线y f x在a,b内是凸的或称为凸弧，也称 a,b为y f x的凸区间.
凸区间；
(4)若在 f x0 0的实根 x0的两侧， f x的符号相反， 则(x0, f (x0 ))是曲线 y f x的拐点.
例4判断曲线y3x44x31的凹凸性并求出拐点.
解 D f , （ 1） y 12 x 3 12 x 2 ， y 36 x 2 24 x 12 x 3 x 2 ；
时 ， 曲 线 是 凸 的 .
（ 4） 拐 点 是 0,1和 2 3,1 21 7.
例 5 研 究 曲 线 y 3 x 的 凹 凸 性 及 拐 点 .
解 Df ,
y 1 ，y 2
33 x2
9x3 x2
当x0时， y不存在， 它将,分成两个区间.
列表讨论：
x
,0
0
0,
y
+
Hale Waihona Puke -y拐 点 0,1
则 ,0为 曲 线 的 凹 区 间 ； 0 , 为 凸 区 间 .曲 线 的 拐 点 是 0 ,0.
（ 2） 令
y
0，得
x1
0，
x2
2 3
；
（ 3） x1 , x2 将 , 分 成 三 个 区 间 ， 列 表 讨 论 ：
x ,0
0
0
,
2 3
2 3
2 3
,
y
+
0
-
0
+
y
拐点
0,1
拐点
2 3
,
1 2
1 7
则 当x,0及 2 3,时 ， 曲 线 是 凹 的 ； 当x0,2 3