教师用书：基本初等函数、函数与方程
高中数学_函数与方程教学设计学情分析教材分析课后反思
第2讲《基本初等函数、函数与方程》教材分析《基本初等函数、函数与方程》是在学生复习了《函数的图像与性质》的基础上，学生具备了运用函数图像与性质的能力后复习的，并为《导数与函数的单调性、极值、最值问题》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。
本节课在本模块乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
学情分析学生已经复习了函数的图像与性质，而且作函数的图像已经很熟，本节课是在此基础上进一步提高学生运用函数图像的能力，充分利用数形结合思想，体会方程的工具作用。
考虑到我教的这个班是英语加强班，平时就有课前预习导学案的习惯，课堂上有分组讨论、交流合作的习惯，因此我利用目标明确、问题导学的方式，让学生自主探究，合作交流、分析、观察、归纳总结出函数的零点所考查的题型与其对应的解题方法。
并在及时反馈、问题辨析中，突出重点、突破难点。
对于例题和变式通过小组讨论、交流、学生板书、学生补充、学生总结方法和规律，近一步强化本节的重点，通过合作体验成功的喜悦。
知识技能目标1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题。
过程与方法目标（1）本节课采用高考引领、合作交流、归纳总结、教师点拨、及时反馈、例题分析、变式训练，巩固提高发挥学生学习的主动性，提高学生学习的积极性。
（2）探索函数的零点与方程的关系，体会数和形的统一，理解数形结合思想。
（3）通过观察、分析、合作探究、分组讨论、学生总结培养学生大胆创新，勇于探索、互相合作的精神，提高学生语言表达的能力、培养学生的自信心。
（4）通过学生板书、学生查错、学生总结，培养学生解题的策略与能力。
情感与态度目标（1）培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神，提高学生分析问题、解决问题的能力。
（2）体会数学中的数与形的关系。
（3）感受图像在研究函数性质中的一般性和有效性，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
基本初等函数、函数与方程及函数的应用
f(x)在 R 上有两个零点，则实数
a 的取值范围是( A．(0，1] C．(0，1)
) B．[1，＋∞) D．(－∞，1]
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专题一
函数与导数
【解析】
(1)令
x≤0， f(x)＋3x＝0，则 2 或 x － 2 x ＋ 3 x ＝ 0
2
＝－ln( 1＋a2－a)＋1＝－3＋1＝－2.
【答案】 (1)A (2)－2
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专题一
函数与导数
研究指数、对数函数的图象及性质应注意的问题 (1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与 指数、 对数函数特别是与单调性有关的问题时， 首先要看底数 a 的范围． (2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求 f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑 t＝x2－3x＋2 与函数 y ＝ln t 的单调性，易忽视 t>0 的限制条件．
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专题一
函数与导数
[典型例题] (1)(2018· 福建市第一学期高三期末考试)已知函数 f(x)＝ x2－2x，x≤0， 则函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是( 1 1＋x，x>0， A．0 C．2 B．1 D．3 )
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专题一
函数与导数
(2)(2018· 郑州市第一次质量测试)已知函数 f(x)＝
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专题一
函数与导数
【解析】
(1)因为 y＝(log1a)x 在 R 上为增函数，
2
1 所以，log1a＞1，解得 0＜a＜ .故选 A． 2 2 (2)由 f(a)＝ln( 1＋a2－a)＋1＝4，得 ln( 1＋a2－a)＝3， 1 所以 f(－a)＝ln( 1＋a ＋a)＋1＝－ln ＋1 2 1＋a ＋a
人教版数学高一-必修1教师用书 第二章 基本初等函数(I)
2.1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算第一课时根式根式[提出问题](1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是．问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个．问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n 为奇数 n aR n 为偶数±na[0，＋∞)(3)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． [化解疑难]根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为大于1的奇数时，a 的n 次方根表示为na (a ∈R )；当n 为大于1的偶数时，na (a ≥0)表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是－na ，从而⎝⎛⎭⎫±n a n ＝a .根式的性质[提出问题]问题1：⎝⎛⎭⎫323，⎝⎛⎭⎫3－23，⎝⎛⎭⎫424分别等于多少？提示：2，－2,2.问题2：3－23，323，4－24，424分别等于多少？提示：－2,2,2,2.问题3：等式a 2＝a 及(a )2＝a 恒成立吗？提示：当a ≥0时，两式恒成立；当a <0时，a 2＝－a ，(a )2无意义． [导入新知]根式的性质(1)(na )n ＝a (n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，且n >1)． (2)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 为奇数，且n >1，|a |n 为偶数，且n >1.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根． [化解疑难](n a )n 与na n 的区别(1)当n 为奇数，且a ∈R 时，有n a n ＝(na )n ＝a ； (2)当n 为偶数，且a ≥0时，有n a n ＝(na )n ＝a .根式的概念[例1] (1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．(2)若31a －3有意义，则实数a 的取值范围是________． [解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④. (2)要使31a －3有意义，则a －3≠0，即a ≠3. ∴a 的取值范围是{a |a ≠3}． [答案] (1)③④ (2){a |a ≠3} [类题通法]判断关于n 次方根的结论应关注两点(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号． [活学活用]已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102C.210D ．±102解析：选D ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． 又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.利用根式的性质化简求值[例2] 化简： (1)nx －πn(x <π，n ∈N *)；(2)4a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. [解] (1)∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时，n x －πn＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上，nx －πn＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ， n 为偶数，n ∈N *，x －π， n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0.∴4a 2－4a ＋1＝2a －12＝|2a －1|＝1－2a .[类题通法]根式化简应注意的问题(1)⎝⎛⎭⎫n a n 已暗含了n a 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的取值范围． (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性． [活学活用] 求下列各式的值： (1)8x －28；(2)3－22＋(31－2)3.解：(1)8x －28＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.(2)因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2， 所以3－22＋(31－2)3＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0.条件根式的化简[例3] (1)若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x <0，y <0(2)设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．(1)[解析] ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ， ∴xy ≤0.又∵xy ≠0，∴xy <0，故选B. [答案] B (2)[解] 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2. 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2－3<x <1，－4 1≤x ＜3.[类题通法]有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[活学活用]若n <m <0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( ) A ．2m B ．2n C ．－2mD ．－2n 解析：选C 原式＝m ＋n2－m －n2＝|m ＋n |－|m －n |，∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0， ∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－2m .5.忽略n 的范围导致式子na n a ∈R 化简出错 [典例] 化简31＋23＋41－24＝________.[解析]31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.[答案] 2 2 [易错防范] 1．本题易忽视41－24>0，而误认为41－24＝1－2而导致解题错误．2．对于根式n a n 的化简一定要注意n 为正奇数还是正偶数，因为na n ＝a (a ∈R )成立的条件是n 为正奇数，如果n 为正偶数，那么na n ＝|a |.[活学活用]当a ，b ∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．(4a －4b )4＝a －b B ．(4a ＋b )4＝a ＋b C.4a 4－4b 4＝a －b D.4a ＋b4＝a ＋b解析：选B 当且仅当a ＝b ≥0时，(4a －4b )4＝a －b ； 当且仅当a ≥0，b ≥0时，4a 4－4b 4＝a －b ； 当且仅当a ＋b ≥0时，4a ＋b4＝a ＋b .由于a ，b 符号未知，因此选项A ，C ，D 均不一定恒成立． 选项B 中，由4a ＋b 可知a ＋b ≥0，所以(4a ＋b )4＝a ＋b .故选B.[随堂即时演练]1．化简1－2x2⎝⎛⎭⎫x >12的结果是( ) A ．1－2x B ．0 C ．2x －1 D ．(1－2x )2解析：选C ∵1－2x 2＝|1－2x |，x >12， ∴1－2x <0， ∴1－2x2＝2x －1.2．下列式子中成立的是( )A ．a －a ＝－a 3B ．a －a ＝－a 3C ．a －a ＝－－a 3D ．a －a ＝a 3解析：选C 要使a －a 有意义，则a ≤0， 故a －a ＝－(－a )－a ＝－－a2－a ＝－－a 3，故选C.3．若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________. 解析：x 2－6x ＋9－|2－x |＝x －32－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1.答案：－1 4．化简(a －1)2＋1－a2＋31－a 3＝________.解析：由根式a －1有意义可得a －1≥0，即a ≥1， ∴原式＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1. 答案：a －15．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简na －bn＋na ＋bn.解：∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ； 当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b | ＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴na －bn＋na ＋bn＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数. [课时达标检测]一、选择题1.4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≠2 B ．a ≥2C ．a ≠4D ．2≤a ＜4或a ＞4解析：选D 要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，即a ≥2且a ≠4.2.3－63＋45－44＋35－43的值为( )A ．－6B ．25－2C ．2 5D ．6解析：选A3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5，35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 3．化简x ＋32－3x －33得( ) A ．6 B ．2xC ．6或－2xD ．6或2x 或－2x 解析：选C 注意开偶次方根要加绝对值，x ＋32－3x －33＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3，故选C.4.7＋43＋7－43等于( ) A ．－4 B ．2 3 C ．－2 3D ．4解析：选D7＋43＋7－43＝2＋32＋2－32＝(2＋3)＋(2－3)＝4.5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4a －b4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a 解析：选D 由图象知a (－1)2＋b ×(－1)＋0.1<0， ∴a <b ，∴4a －b4＝|a －b |＝b －a .二、填空题6．设m <0，则(－m )2＝________. 解析：∵m <0，∴－m >0，∴(－m )2＝－m . 答案：－m7．若x 2－8x ＋16＝x －4，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵x 2－8x ＋16＝x －42＝|x －4|又x 2－8x ＋16＝x －4， ∴|x －4|＝x －4，∴x ≥4. 答案：x ≥48．设f (x )＝x 2－4，若0＜a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－4 ＝a 2＋1a2－2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪a －1a ， 由于0＜a ≤1，所以a ≤1a ，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝1a －a . 答案：1a－a9．写出使下列等式成立的x 的取值范围： (1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3； (2)x －5x 2－25＝(5－x )x ＋5.解：(1)要使3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3成立， 只需x －3≠0即可， 即x ≠3. (2)x －5x 2－25＝x －52x ＋5.要使x －52x ＋5＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5. 10．化简(a －1)2＋1－a2＋7a －17.解：由题意可知a －1有意义，∴a ≥1. ∴原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1) ＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.第二课时 指数幂及运算分数指数幂的意义[提出问题]问题1：判断下列运算是否正确． (1)5a 10＝5a 25＝a 2＝a 4105(a >0)；(2)3a 12＝3a 43＝a 4＝a123(a >0)．提示：正确．问题2：能否把4a 3，3b 2，4c 5 写成下列形式： 4a 3＝a 34(a >0)； 3b 2＝b 23 (b >0)； 4c 5＝c 54 (c >0)．提示：能． [导入新知]分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： am n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)规定正m n数的负分数指数幂的意义是： am n＝1an m)＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． [化解疑难]对分数指数幂的理解(1)指数幂a m n 不可以理解为mn 个a 相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0.有理指数幂的运算性质[导入新知]有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r ·b r (a >0，b >0，r ∈Q )．[化解疑难]有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．根式与分数指数幂的互化[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x >0) B.6y 2＝y 13(y <0) C ．x34-＝41x3(x >0)D ．x13－＝－3x (x ≠0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式． ①a 2·a (a >0)； ②a a (a >0)；③⎝⎛⎭⎪⎫4b －2323- (b >0)；④y 2xx 3y 3y 6x 3(x >0，y >0)． (1)[解析] －x ＝－x 12(x >0)； 6y 2＝[(y )2] 16＝－y 13(y <0)； x34-＝(x －3)14＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0)； x13-＝⎝⎛⎭⎫1x 13＝31x(x ≠0)． [答案] C (2)[解] ①a 2·a ＝a 2·a 12＝a 2＋12＝a 52.②a a ＝a ·a 12＝a 32＝⎝⎛⎭⎫a 3212＝a 32.③原式＝⎣⎡⎦⎤()b 23-1423-＝b212343⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭＝b 19. ④法一：从外向里化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2xx 3y 3y 6x 312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 3y 6x 31212 ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3y ⎝⎛⎭⎫y 6x 3 1212 ＝⎝⎛⎭⎫y 2x 12·⎝⎛⎭⎫x 3y 14·⎝⎛⎭⎫y 6x 3112 ＝y x 12·x 34y 14·y 12x 14＝x 34·y23x 34·y 14＝y 54. 法二：从里向外化为分数指数幂．y 2x x 3y 3y 6x 3＝y 2x x 3y ⎝⎛⎭⎫y 6x 3 13＝y 2xx 3y ·y 2x＝y 2xx 2·y 12＝⎝⎛⎭⎫y 2x ·xy 1212＝y 54. [类题通法]根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a m n＝n a m 和am n-＝1am n＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[活学活用]将下列根式化为分数指数幂的形式： (1) 1a 1a(a >0)； (2)13x ·5x 22(x >0)；(3) ab 3ab 5(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1a ⎝⎛⎭⎫1a 12＝⎝⎛⎭⎫1a 32＝⎝⎛⎭⎫1a 34＝a 34-.(2)原式＝13x ·⎝⎛⎭⎫x 252＝13x ·x45＝13x95＝1⎝⎛⎭⎫x 9513＝1x35＝x35-.(3)原式＝[ab 3(ab 5) 12]12＝[a ·a12b 3(b 5) 12]12＝⎝⎛⎭⎫a 32b 11212＝a 34b 114.指数幂的运算[例2] 计算下列各式： (1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412-－0.010.5； (2)0.06413-－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] 43-＋16－0.75；(3)⎝⎛⎭⎫1412-·4ab－130.1－2a 3b－312(a >0，b >0)．[解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝412·432100·a 32·a 32－·b 32－·b 32＝425a 0b 0＝425.[类题通法]利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用]计算下列各式的值：(1)0.02713－－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－()2－10；(2)⎝⎛⎭⎫812513－－⎝⎛⎭⎫－350＋160.75＋0.2512；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＋3＋23－2－1.030×⎝⎛⎭⎫－623.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 00013－－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝52－1＋1634＋0.5＝52－1＋8＋0.5＝10.(3)原式＝42＋3＋223－2－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫32123＝16＋5＋26＋346＝21＋114 6.4.含附加条件的幂的求值问题[典例](12分)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求：(1)x12＋y12；(2)x12－y12；(3)x－y.[解题流程]求x12＋y12，x12－y12，x－y的值，应建立其与x＋y及xy的关系后求解1将x12＋y12，x12－y12平方后即可建立其与x＋y及xy的关系；,2可利用平方差公式将x－y分解成x12＋y12x12－y12求解x 12＋y122＝x ＋y ＋2xy↓x 12－y122＝x ＋y －2xy↓ (x －y ＝x 122－y122＝x 12＋y122＝x 12＋y12x 12－y12[规范解答](1)⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122＝x ＋y ＋2xy ＝18，(2分) ∴x 12＋y 12＝3 2.(4分)(2)⎝⎛⎭⎫x 12－y 122＝x ＋y －2xy ＝6，(6分)又x <y ，∴x 12－y 12＝－ 6.(8分)(3)x －y ＝⎝⎛⎭⎫x 122－⎝⎛⎭⎫y 122＝⎝⎛⎭⎫x 12＋y 12⎝⎛⎭⎫x 12-y 12 (10分)＝32×(－6)＝－3×212×212×312＝－6 3.(12分)[名师批注]由x 与x 12，y 与y 12都具有平方关系，故可先求⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122，然后求x 12＋y 12的值，解题时常因找不到此关系而使问题不能得以正确求解.易忽视条件x <y ，而得出错误答案. 此处巧妙利用了12的结论使问题得以解决.[活学活用]已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值； (1)a 2＋a －2； (2)a 12－a12-.解：(1)法一：由a ＋a －1＝5两边平方得： a 2＋2aa －1＋a －2＝25， 即：a 2＋a －2＝23；法二：a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1 ＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23； (2)∵(a 12－a 12-)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3，∴|a 12－a12-|＝ 3.∴a 12－a 12-＝±3.[随堂即时演练]1．若2<a <3，化简2－a2＋43－a 4的结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1解析：选C 由于2<a <3， 所以2－a <0,3－a >0， 所以原式＝a －2＋3－a ＝1. 2．(－2a 13b34-·(－a 12b13-)6÷(－3a 23b14-)等于( )A.23a 83b 52- B ．－23a 83C ．－23a 16b 56-D.23a 16b 52- 解析：选A 原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(a 13b 34-)·(a 3·b －2)÷(a 23b14-)＝23a 12+333－b 312_44⎛⎫⎪⎝⎭－－=23a 83b52-注意符号不能弄错．3．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y ＝________. 解析：∵10x ＝3，∴102x ＝9，∴102x －y ＝102x 10y ＝94.答案：944．化简3a a 的结果是________． 解析：3a a ＝()a a 13＝⎝⎛⎭⎫a ·a 1213＝⎝⎛⎭⎫a 3213＝a 12.答案：a 125．计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·6423－；(2)a －ba 12＋b12－a ＋b －2a 12·b 12a 12－b 12. 解：(1)原式＝(22)2＋1·23－22·(26) 23－＝222＋2·23－22·2－4＝222＋2＋3－22－4＝21＝2.(2)原式＝a 12＋b12a 12－b12a 12＋b12－a 12－b 122a 12－b12＝a 12－b 12－⎝⎛⎭⎫a 12－b 12＝0.[课时达标检测]一、选择题 1.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710解析：选D 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710.2．化简[3－52]34的结果为( ) A ．5 B. 5 C ．－ 5D ．－5解析：选B [3－52]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5. 3.⎝⎛⎭⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2解析：选D ∵a >1，b >0，∴a b >a －b ，(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴a b －a －b ＝2.5．设x ，y 是正数，且x y ＝y x ，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19 B.43 C ．1D.39解析：选B x 9x ＝(9x )x ，(x 9)x ＝(9x )x ， ∴x 9＝9x .∴x 8＝9.∴x ＝89＝43. 二、填空题6．化简a 3b 23ab 2⎝⎛⎭⎫a 14b 1243b a(a >0，b >0)的结果是________．解析：原式＝a 3·b 2·a 13·b2312a ·b 2·a －13·b13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab.答案：a b7．已知x ＝12(51n －5－1n )，n ∈N *，则(x ＋1＋x 2)n 的值为________．解析：因为1＋x 2＝14(52n ＋2＋5－2n )＝14(51n ＋5－1n )2，所以(x ＋1＋x 2)n ＝⎣⎡⎦⎤1251n－5－1n ＋1251n ＋5－1n n ＝⎝⎛⎭⎫51n n ＝5. 答案：58．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于________． 解析：∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， ∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16.答案：16 三、解答题 9．化简求值：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748； (2)⎝⎛⎭⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝⎛⎭⎫338－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43. 10．已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a 的值．解：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a＝2⎝⎛⎭⎫1＋a 14⎝⎛⎭⎫1－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a12＋41＋a ＝41－a121＋a12＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1. 2．1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质指数函数的定义[提出问题]观察下列从数集A 到数集B 的对应： ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ； ②A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝⎝⎛⎭⎫12x. 问题1：这两个对应能构成函数吗？ 提示：能．问题2：这两个函数有什么特点？ 提示：底数是常数，指数是自变量． [导入新知]指数函数的定义函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . [化解疑难]指数函数的概念中规定a >0且a ≠1的原因(1)若a ＝0，则当x >0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x ，这时对于x ＝14，x ＝12，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x ＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0，且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，a x都有意义，且a x>0.指数函数的图象与性质[提出问题]问题1：试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(12)x(x∈R)的图象．提示：问题2：两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)．问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数．[导入新知]指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过点(0,1)即x＝0时，y＝1单调性是R上的增函数是R上的减函数[化解疑难]透析指数函数的图象与性质(1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质．(2)当a>1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0<a<1时，x的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．指数函数的概念[例1] (1)①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析] (1)①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.[答案] (1)B (2)C [类题通法]判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a >0，且a ≠1. (2)a x 的系数为1.(3)y ＝a x 中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． [活学活用]下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2x －1；③y ＝⎝⎛⎭⎫π2x ；④y ＝x x； ⑤y ＝3－1x ；⑥y ＝x 13.解析：①中指数式(2)x 的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x ，指数式2x 的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③指数函数的图象问题[例2](1)x x x x a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析](1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.(2)法一：因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x ＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．法二：将原函数变形，得y－3＝a x－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．[答案](1)B(2)(3,4)[类题通法]底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当a>b>1时，①若x>0，则a x>b x>1；②若x<0，则1>b x>a x>0.当1>a>b>0时，①若x>0，则1>a x>b x>0；②若x<0，则b x>a x>1.[活学活用]若函数y ＝a x ＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则有( ) A ．a >1且b <1 B ．0<a <1且b ≤1 C ．0<a <1且b >0D ．a >1且b ≤0解析：选D 由指数函数图象的特征可知0<a <1时，函数y ＝a x ＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B 、C.又函数y ＝a x ＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y 轴的交点不在x 轴上方，所以当x ＝0时，y ＝a 0＋(b －1)≤0，即b ≤0，故选项D 正确.与指数函数有关的定义域、值域问题[例3] (1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |.[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30， 因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x ＜1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)．(2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4，所以函数y ＝21x －4的定义域为{x ∈R |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，即函数y ＝21x －4的值域为{y |y >0且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．而y＝⎝⎛⎭⎫23－|x |＝⎝⎛⎭⎫230＝1，则函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．[类题通法]指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x 型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f a x 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[活学活用]求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的定义域和值域． 解：定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．5.利用换元法求函数的值域[典例] (12分)已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数f (x )的值域． [解题流程]求函数f x 的值域，应确定函数的类型1若令t ＝a x ，则原函数可变为y ＝t 2＋2t －1，从而可利用二次函数的有关性质解决；2应明确换元后的定义域；3由于t ＝a x a >0，a ≠1，因此应分类确定t 的取值范围令t ＝a x ―→分a >1和0<a <1两种情况，讨论t 的范围―→利用二次函数的知识求值域[随堂即时演练]1．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解析：选C 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．指数函数y ＝f (x )的图象过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________. 解析：设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 又f (2)＝a 2＝4，∴f (2)·f (4)＝a 2·a 4＝4·42＝43＝64. 答案：644．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________． 解析：∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3.∴－89≤⎝⎛⎭⎫13x－1≤2.∴值域为⎣⎡⎦⎤－89，2.答案：⎣⎡⎦⎤－89，2 5．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 解：(1)因为函数图象过点(2，12)，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x ；④y ＝(12)2x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝(3－1)x 在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数D ．减函数解析：选D 由于0<3－1<1，所以函数y ＝(3－1)x 在R 上是减函数，f (－1)＝(3－1)－1＝3＋12，f (1)＝3－1，则f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数y ＝(3－1)x 不具有奇偶性． 3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |< 2 B ．|a |<1 C ．|a |>1D ．|a |> 2解析：选D 依题意得a 2－1>1，a 2>2，∴|a |> 2. 4．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )解析：选D 当x >0时，y ＝a x (0<a <1)，故去掉A 、B ，当x <0时，y ＝－a x ，与y ＝a x (0<a <1，x <0)的图象关于x 轴对称，故选D.5．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限 解析：选A ∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．二、填空题6．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥3，f x ＋1， x ＜3，则f (2)＝________.解析：f (2)＝f (3)＝23＝8. 答案：87.图中的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而a ∈{23，13，5，π}，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y 轴右侧，底大图高，在y 轴左侧，底大图低．则知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5. 答案：23 13π 58．若x 1，x 2是方程2x ＝⎝⎛⎭⎫12－1x ＋1的两个实数解，则x 1＋x 2＝________. 解析：∵2x ＝⎝⎛⎭⎫12－1x ＋1， ∴2x ＝21x －1，∴x ＝1x －1，∴x 2＋x －1＝0. ∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 三、解答题9．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间． 解：当x ≥0时， y ＝2|x |＝2x ； 当x <0时， y ＝2|x |＝2－x ＝(12)x .∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)． 10．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．解：函数y ＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)1．指数函数的定义是什么？2．指数函数的定义域和值域分别是什么？3．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)图象的位置与底数a 之间有什么关系？4．指数函数的单调性与底数之间有什么关系？利用指数函数的单调性比较大小[例1] (1)已知a ＝5－1，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．(2)比较下列各题中两个值的大小：①⎝⎛⎭⎫57－1.8，⎝⎛⎭⎫57－2.5；②⎝⎛⎭⎫23－0.5，⎝⎛⎭⎫34－0.5；③0.20.3,0.30.2. (1)[解析] 因为a ＝5－12∈(0,1)，所以函数f (x )＝a x 在R 上是减函数．由f (m )>f (n )得m <n . [答案] m <n(2)[解] ①因为0<57<1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫57x 在其定义域R 上单调递减，又－1.8>－2.5，所以⎝⎛⎭⎫57－1.8<⎝⎛⎭⎫57－2.5.②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x与y ＝⎝⎛⎭⎫34x 的图象，如图所示．当x ＝－0.5时，由图象观察可得⎝⎛⎭⎫23－0.5>⎝⎛⎭⎫34－0.5.③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y ＝0.2x 与y ＝0.3x 在定义域R 上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y ＝0.2x 的图象在函数y ＝0.3x 的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.又根据指数函数y ＝0.2x 的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. [类题通法]三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较a c 与b d 的大小，可取a d 为中间量，a c 与a d 利用函数的单调性比较大小，b d 与a d 利用函数的图象比较大小．[活学活用]比较下列各题中两个值的大小：(1)3－1.8,3－2.5；(2)7－0.5,8－0.5；(3)6－0.8,70.7.解：(1)因为3>1，所以函数y ＝3x 在定义域R 上单调递增，又－1.8>－2.5，所以3－1.8>3－2.5. (2)依据指数函数中底数a 对函数图象的影响，画出函数y ＝7x 与y ＝8x 的图象(图略)，可得7－0.5>8－0.5.(3)因为1<6<7，所以指数函数y ＝6x 与函数y ＝7x 在定义域R 上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.解简单的指数不等式[例2] (1)已知3x (2)已知0.2x <25，求实数x 的取值范围．[解] (1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x 在R 上是增函数． 由3x ≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)． (2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x 在R 上是减函数． 又25＝⎝⎛⎭⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2，则x >－2， 即x 的取值范围为(－2，＋∞)． [类题通法]解指数不等式应注意的问题(1)形如a x >a b 的不等式，借助于函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y ＝a x 的单调性求解．[活学活用] 如果a－5x>a x ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．解：①当a >1时，∵a －5x>a x ＋7，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a－5x>a x ＋7，∴－5x <x ＋7解得x >－76.综上所述，当a >1时，x ∈(－∞，－76)；当0<a <1时，x ∈(－76，＋∞).指数函数性质的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．[解] (1)∵⎩⎨⎧f 1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎨⎧f 1＝2＋2a ＋b ＝52，f2＝22＋22a ＋b ＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2. 因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以2x 1＋x 2－1>0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数． 当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)． [类题通法]解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[活学活用]已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)用单调性的定义证明：f (x )在R 上是增函数．证明：(1)f (x )的定义域是R ，对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝2－x －1·2x 2－x＋1·2x ＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)．设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1－22x 1＋1)－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1＋1>1,2x 2＋1>1，所以2x 1－2x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．6.警惕底数a 对指数函数单调性的影响[典例] 若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．[解析] 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，最小值为a ，最大值为a 2. 故a 2＝2a ，解得a ＝2. 综上，a ＝12或a ＝2.[答案] 12或2[易错防范]1．解决上题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案．2．求函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在闭区间[s ，t ]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t ]上的增函数，最小值为a s ，最大值为a t .当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t ]上的减函数，最大值为a s ，最小值为a t .[活学活用]f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________.解析：由于a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a 2＋a ＝6，解得a ＝－3(舍去)，或a ＝2，所以a ＝2.答案：2[随堂即时演练]1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x 是增函数， ∴x ＋1<0，即x <－1.2．已知三个数a ＝60.7，b ＝0.70.8，c ＝0.80.7，则三个数的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．a >c >b解析：选D a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 3．不等式2x <22－3x的解集是________．解析：由2x <22－3x得x <2－3x ，即x <12，解集为{x |x <12}．答案：{x |x <12}4．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：(1)若a >1，则f (x )在[1,2]上递增， ∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减， ∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32.答案：12或325．设函数f (x )＝e x a ＋ae x (e 为无理数，且e≈2.718 28…)是R 上的偶函数且a >0.(1)求a 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－1)＝f (1)，∴e －1a ＋a e －1＝e a ＋a e ，即1a e －a e ＝ea －a e. ∴1e ⎝⎛⎭⎫1a －a ＝e ⎝⎛⎭⎫1a －a ， ∴1a －a ＝0，∴a 2＝1. 又a >0，∴a ＝1.(2)f (x )＝e x ＋e －x ，设x 1，x 2>0，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝e x 2＋e －x 2－e x 1－e －x 1＝e x 2－e x 1＋1e x 2－1e x 1＝e x 2－e x 1＋e x 1－e x 2e x 1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎫1－1e x 1e x 2.。
第2讲 基本初等函数、函数与方程
(2)(2017课标全国Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 ( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
答案 (1)D (2)D 解析 (1)由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2, 所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞), 令u=x2-2x-8, 则其在x∈(-∞,-2)上单调递减, 在x∈(4,+∞)上单调递增. 又因为y=ln u在u∈(0,+∞)上单调递增, 所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.故选D.
的应用问题集中体现在函数零
6 指数函数与幂函数的单 点个数的判断,零点所在区间等
调性、大小比较
方面.近几年全国卷考查较少,
但也要引起重视.
总纲目录
总纲目录 栏目索引
考点一 基本初等函数的图象与性质
高考导航
考点二 函数的零点（高频考点）
考点三 函数的实际应用
考点聚焦
考点一 基本初等函数的图象与性质
(2)由2x=3y=5z,可设( 2 )2x=( 3 3 )3y=( 5 5 )5z=t, 因为x,y,z为正数,所以t>1, 因为 2 = 6 23 = 6 8 , 3 3 = 6 32 = 6 9 , 所以 2 < 3 3 ;
考点聚焦 高考导航
栏目索引
因为 2 =10 25 =10 32 , 5 5 =10 25 , 所以 2 > 5 5 ,所以 5 5 < 2 < 3 3 . 分别作出y=( 2 )x,y=( 3 3 )x,y=( 5 5 )x的图象,如图.
高三数学总复习 专题一基本初等函数函数与方程及函数应用教学案
芯衣州星海市涌泉学校赣榆县智贤中学高三数学总复习专题一第3讲根本初等函数、函数与方程及函数应用〔1〕教学案复备栏教学内容：根本初等函数、函数与方程及函数应用〔1〕教学目的：掌握根本初等函数的图象及性质。
理解函数与方程的关系，掌握函数的应用。
教学重点：二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数。
教学难点：单调性、奇偶性、周期性等综合应用．教学过程：一、知识点复习：1．必记的概念与定理指数函数、对数函数和幂函数的图象及性质(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公一一共性质．(2)幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，当α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．(3)函数零点的断定(零点存在性定理)：假设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．记住几个常用的公式与结论(1)对数式的五个运算公式loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；aN＝N；logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．提醒：logaM－logaN≠loga(M－N)，logaM＋logaN≠loga(M＋N)．(2)与二次函数有关的不等式恒成立问题①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是②ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是3．需要关注的易错易混点(1)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进展比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．(2)解函数应用题常见的错误：①不会将实际问题抽象转化为函数模型或者者转化不全面；②在求解过程中无视实际问题对变量参数的限制条件．二、根底训练：1．(教材习题改编)点M在幂函数f(x)的图象上，那么f(x)的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y＝xα，那么3＝α，得α＝－2.故y＝x－2.答案：y＝x－22．(2021·模拟)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为________．解析：要使解析式有意义，必须满足3x－1>0，解得x>0.答案：(0，＋∞)3．函数y＝|x|2－|x|－12两个零点的差的绝对值是________．解析：令|x|2－|x|－12＝0，得(|x|－4)(|x|＋3)＝0，即|x|＝4，∴两个零点的差的绝对值是|4－(－4)|＝8.答案：84．(2021·模拟)0<a<1，那么a2、2a、log2a的大小关系是________．解析：因为0<a<1，所以0<a2<1,1<2a<2，log2a<0，即2a>a2>log2a.答案：2a>a2>log2a三、例题教学：例1(1)(2021·模拟)假设函数f(x)＝假设f(a)>f(－a)，那么实数a的取值范围是________．(2)(2021·模拟)a＝5log2，b＝5log4，c＝()log30.3，那么a、b、c大小关系为________．[解析](1)法一：由题意作出y＝f(x)的图象如图．显然当a>1或者者－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)．法二：当a>0时，log2a>loga，即log2a>0，∴a>1.当a<0时，log(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，∴－1<a<0，故－1<a<0或者者a>1.(2)∵a＝5log2，b＝5log4，c＝()log30.3＝5log33，根据指数函数y＝mx且m＝5，知y是增函数．又∵log2>log33>1,0<log4<1，∴5log2>()log30.3>5log4，即a>c>b.[答案](1)(－1,0)∪(1，＋∞)(2)a>c>b[方法归纳](1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的根本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考察图象、性质及其应用，同时考察分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算才能．(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进展比较；二是采用中间值0或者者1等进展比较；三是将对数式转化为指数式，或者者将指数式转化为对数式，通过转化进展比较．变式训练：(1)(2021·高考卷改编)a＝2－，b＝log2，c＝log，那么a，b，c的大小关系为________．(2)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．解析：(1)因为0<a＝2－<1，b＝log2<0，c＝log>log＝1，所以c>a>b.(2)作出函数y＝log2(－x)及y＝x＋1的图象．其中y＝log2(－x)及y＝log2x的图象关于y轴对称，观察图象(如下列图)知，－1<x<0，即x∈(－1,0)．也可把原不等式化为后作图．答案：(1)c>a>b(2)(－1,0)例2(1)(2021·模拟)函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，那么n＝________.(2)(2021·模拟)函数f(x)＝的零点个数是________．[解析](1)∵2<a<3，∴f(x)＝logax＋x－b为定义域上的单调函数．f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.∵lg2<lga<lg3，∴<<1.又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.∵1<<，3<b<4，∴－1<3－b<0，∴loga3＋3－b>0，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝lnx和y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>0)的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点．[答案](1)2(2)3[方法归纳](1)函数零点(即方程的根)确实定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间确实定；②零点个数确实定；③两函数图象交点的横坐标或者者有几个交点确实定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的断定或者者数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．变式训练：函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，那么n＝________.解析：f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．设y1＝ax，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，由2a＝3,3b＝2，得a>1,0<b<1.当x＝－1时，y1＝＝log32<y2＝1＋b＝1＋log32，∴－1<x0<0，∴n＝－1.答案：－1稳固练习：1．(2021·模拟)函数f(x)＝，那么f(f())＝____________.解析：f()＝log3＝log33－2＝－2，f(f())＝f(－2)＝2－2＝.答案：2．(2021·模拟)假设函数y＝(loga)x为减函数，那么a的取值范围为________．解析：0<loga<1，∴a∈(，1)．答案：(，1)3.函数f(x)＝ln，假设f(－a)＝－b，那么f(a)＝________.解析：函数的定义域为(－1,1)，又在定义域内由f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，得函数为奇函数，所以f(a)＝－f(－a)＝b.答案：b4．(2021·信息卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y ＝log2x、y＝klog2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C.假设四边形ABCD为矩形，那么k的值是__________.解析：设A(t,2log2t)(t＞1)，那么B(t2，2log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2klog2t)，那么有log2t＝2klog2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝.答案：课后反思：。
第2讲 基本初等函数、函数与方程
[解析] (1)设太阳的星等为 m1，天狼星的星等为 m2，则太阳与天狼星的 亮度分别为 E1，E2，由条件 m1＝－26.7，m2＝－1.45，m2－m1＝52lgEE12，得52lgEE12 ＝－1.45＋26.7＝25.25.∴ lgEE21＝25.25×25＝10.1，
∴ EE21＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为 1010.1. (2)设该场 x(x∈N *)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平 均每天支付的总费用为 y 元． 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)，所以 x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)． 从而有 y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝3x00＋3x＋357≥417，当且仅当 3x00＝3x，即 x＝10 时，y 有最小值．故该场 10 天购买一次饲料才能使平均
B．0，12∪1，2 D．1，2
[解析] 关于 x 的方程 a＝f(x)恰有两个不同
的实根，即函数 f(x)的图象与直线 y＝a 恰有两
个不同的交点，作出函数 f(x)的图象如图所示，
由图象可得实数 a 的取值范围是0，12∪1，2，故选 B. [答案] B
数为
()
A．2
B．3
C．4
D.5
[解析] (1)因为 f′(x)＝ex＋3＞0，所以函数 f(x)在 R 上单调
递增． 易知 f12＝e21＋32－4＝e12－52， 因为 e＜245，所以 e12＜52，所以 f12＜0，但 f(1)＝e＋3－4＝
e－1＞0， 所以结合选项可知，函数 f(x)的零点所在区间为12，1，故
是单调递减函数，则 f(log25)，flog315，f(log53)的大小关系是
专题三 基本初等函数、函数与方程
专题复习《基本初等函数、函数与方程》例1、二次函数1、若定义在R 上的函数()225f x ax x =++在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是__ __；【答案】[)0,+∞； 2、若函数()()231f x mx m x =+-+对于任意x R ∈恒有()()f x f m ≤（其中m 为常数），则函数()f x 的单调递增区间为 ； 【答案】3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；3、已知函数()[]268,1,f x x x x a =-+∈，并且()f x 的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是 ；【答案】(]1,3； 4、设二次函数()221f x ax ax =++在区间[]3,2-上有最大值4，则实数a 值为 ；【答案】38或3-； 5、关于x 方程()2310mx m x +-+=的根均大于0，则实数m 的取值范围是_________。
【答案】01m ≤≤； 6、关于x 方程()22120x a x a +-+-=的一个根比1大，另一个根比1小，则有（ ）A 、11a -<<B 、2a <-或1a >C 、21a -<<D 、1a <-或2a > 【答案】C ； 7、（2014江苏）已知函数()21f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】⎛⎫ ⎪⎝⎭；8、已知关于x 的不等式240ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为 ；【答案】016a ≤<； 9、若关于x 的不等式2160x kx ++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围为 ；【答案】88k -≤≤；例2、指数与指数函数1、()52-的5次方根是________； ()42-的4次方根是________； 【答案】-2；2±； 2、15a a-+=，则22a a-+的值为 ；1122a a-+的值为 ；【答案】由15a a-+=得()2125a a -+= 22225a a-∴++= 2223a a-∴+=【答案】由题可知110,0a a ->> 11220a a -∴+> 又21112227a a a a --+=++=⎛⎫ ⎪⎝⎭，1122a a -∴+=3、已知函数()24x f x a n -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点(),2P m ，则m n += ； 【答案】3；4、函数y = ）A 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B 、1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C 、(),-∞+∞D 、(],1-∞ 【答案】A ；5、函数y = ）A 、[)0,+∞B 、[]0,3C 、[)0,3D 、()0,3 【答案】C ；6、函数2412x xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为 ； 【答案】(]0,16；7、设函数()()()x x f x x e ae x R =+∈是偶函数，则实数a 的值为 ； 【答案】1-；8、若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、()1,+∞B 、()1,8C 、()4,8D 、[)4,8 【答案】D ；例3、对数与对数函数1、求值：①13log = ； ②21log 32.51log 6.25lg2100+++= ； 【答案】①13-； ②132； 2、函数()22log 32y x =+-（0,1a a >≠且）的图象恒过定点P ，则P 点坐标为 ；【答案】()1,2； 3、函数()213log 32y x x =--的单调递增区间是（ ）A 、()3,1-B 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,+∞D 、[)1,1- 【答案】D ；4、已知函数()()log ,121,1a x x f x a x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ； 【答案】(]2,3；5、已知函数()log 2a y ax =-在区间[]0,1上是关于x 的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、()0,1B 、()1,2C 、()0,2D 、[)2,+∞ 【答案】B ；6、已知函数()()212log 23f x x ax =-+在区间(],1-∞上是增函数，求实数a 的取值范围是 ；【答案】[)1,2；7、函数()22log 43y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_______；【答案】304k ≤<；8、已知函数()()2lg 1f x x mx =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为 ； 【答案】()(),22,-∞-+∞ ；9、【2014辽宁】已知132a -=，123log b =，1132log c =则（ ）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、c a b >>D 、c b a >> 【答案】C ；10、函数()lg(f x x =是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数 【答案】A ；11、若函数()y f x =的反函数的图象经过点()1,5，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A 、()5,1 B 、()1,5 C 、()1,1 D 、()5,5 【答案】A ；例4、幂函数1、已知点⎝在幂函数()f x 的图象上,则（ ） A 、()3f x x = B 、()3f x x -= C 、()12f x x = D 、()12f x x-= 【答案】B ；2、当()0,x ∈+∞时，幂函数()()121m f x m m x-+=--为减函数，则实数m = ； 【答案】2；3、若函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且是偶函数，则实数m 的值为_______；【答案】1-；4、（2016全国III ）已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）A 、b a c <<B 、a b c <<C 、b c a <<D 、c a b << 【答案】A ；例5、函数与方程 1、函数()()1ln 3x xf x x -=-的零点个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0 【答案】A ；2、已知实数1,01a b ><<，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的一个区间是（ ）A 、()2,1--B 、()1,0-C 、()0,1D 、()1,2 【答案】B ；3、若函数()()()251f x x x =---有两个零点12,x x ，且12x x <，则（ ）A 、122,25x x <<<B 、122,5x x >>C 、122,5x x <>D 、1225,5x x <<> 【答案】C ； 4、若函数()215f x x ax =-+-（a 是常数，且a R ∈）恰有两个不同的零点，则a 的取值范围是 ； 【答案】()2,2-；5、（2012北京）函数()1212xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B ；6、已知函数()221,02,0x x f x x x x ⎧⎪->=⎨⎪⎩--≤，若函数()y f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ；【答案】()0,1；7、已知函数()()21,01,0x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、(],0-∞B 、[)0,1C 、(),1-∞D 、[)0,+∞ 【答案】C ； 8、若关于x 的方程31x k -=有一解，则实数k 的取值范围为 ； 【答案】[){}1,0+∞ ； 9、（2016山东）已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩（其中0m >），若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是 ； 【答案】()3,+∞；提示：由题2224m m m m -+<；10、若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()2log 0f x x -= 的根的个数是（ ）A 、6B 、4C 、3D 、2 【答案】B ；11、已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当01x <≤时，()12log f x x =，则方程()10f x -=在()0,6内所有根之和为（ ）A 、8B 、10C 、12D 、16 【答案】C ；12、已知函数()[]ln 23f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[][]1.61, 2.13=-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】B ； 13、已知函数()1312,132,1x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨⎪-+<⎩，则方程()21f x =的根的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】C ；提示：由题()12f x =；当1x ≥时，11122x--= 2x ∴= 当1x <时，3132x x -+=即3330x x -+= 令()333g x x x =-+ ()233g x x '∴=-令()0g x '=得1x =或1x =-()g x ∴在(),1-∞-上是增函数，在()1,1-上是减函数 又()712g -=，()112g =- ()g x ∴在区间(),1-∞上有2个零点 综上方程()21f x =的根的个数为3.14、已知函数()()12,12ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 、1,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C ；15、已知定义在(]0,2上的函数()(](]113,0,121,1,2x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩，且()()g x f x mx =-在(]0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A 、91,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B 、111,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C 、92,20,43⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D 、112,20,43⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ 【答案】A ； 16、设函数()2lg ,02,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩，若函数()()2221y f x bf x ⎡⎤=++⎣⎦有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ；【答案】3,2⎛- ⎝；【解析】令()f x t =，则2221y t bt =++ 由()f x 图象知，当()0,1t ∈时，函数()t f x =有4个交点故22210t bt ++=有两个不等实根12,t t 且()12,0,1t t ∈令()2221g x t bt =++ 则()()2480010123020122b g g b b ⎧∆=->⎪⎪=>⎪⎨=+>⎪⎪<-<⎪⎩⨯解得32b -<< 17、已知定义在R 的函数()y f x =满足1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11x -<≤时，()f x x =；若方程()log a f x x =恰好有6个根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、11,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、[)11,5,775⎡⎫⎪⎢⎣⎭C 、[)11,3,553⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 、11,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B ；18、设函数()[](),01,0x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]1.22,1.21,11-=-==，若直线()0y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A 、11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C 、11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、11,43⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A ；19、已知函数()(),11,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，()1g x kx =+，若方程()()0f x g x -=有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是 ； 【答案】(]1,11,12e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭；。
基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题
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专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
15
【解析】 (1)通解：若 0<a<1，则函数 y＝a1x是增函数，y＝logax＋12是减函数且其图象 过点12，0，结合选项可知，选项 D 可能成立；若 a>1，则 y＝a1x是减函数，而 y＝logax＋12 是增函数且其图象过点12，0，结合选项可知，没有符合的图象．故选 D. 优解：分别取 a＝12和 a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知 选 D.
答案：－2，0
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专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
22
函数的零点
[核心提炼] 1．函数的零点的定义 对于函数 f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点．
2．确定函数零点的常用方法 (1)解方程法； (2)利用零点存在性定理； (3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．
专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
27
(3)若 λ＝2，则当 x≥2 时，令 x－4<0，得 2≤x<4；当 x<2 时，令 x2－4x＋3<0，得 1<x<2. 综上可知 1<x<4，所以不等式 f(x)<0 的解集为(1，4)．令 x－4＝0，解得 x＝4；令 x2－4x ＋3＝0，解得 x＝1 或 x＝3.因为函数 f(x)恰有 2 个零点，结合函数的图象(图略)可知 1<λ≤3 或 λ>4.
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专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
18
[对点训练]
1．当 x∈R 时，函数 f(x)＝a|x|始终满足 0＜|f(x)|≤1，则函数 y＝loga1x的图象大致为(
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第8节 函数与方程
索引
3.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( B )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0，2π]，由sin x＝0， 得x＝0，π，2π. 由cos x＝1，得x＝0，2π. ∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π， 即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
索引
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 _(_x_1，__0_)_，__(_x_2_，__0_) _ ___(_x_1_，__0_)___
零点个数Biblioteka 21Δ<0
无交点 0
索引
常用结论
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的 零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
解析 (1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错误. (2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2) 错误.
索引
2.函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( C )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0， 故f(x)在(2，3)上有唯一零点，故选C.
索引
5.( 易 错 题 ) 设 函 数
高考数学 第2章 函数与基本的初等函数 第9讲 函数与方程课件
[解析] 令 f(x)＝x2＋2x－a，由题意知 f(x)在[－1,1]上有 零点．由于 f(x)的对称轴为 x＝－1，∴f(x)在[－1,1]上单调递
增，且由零点定理知ff－1≥1≤0，0， 则aa≥ ≤－ 3，1， 即 a∈[－1,3]．
• [答案] [－1,3]
• 已知函数f(x)＝3x－x2.问：方程f(x)＝0在区 间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
－2ba∈(k1，k2)或 fk1＝0 k1<－2ba<k1＋2 k2 fk2＝0， 或k1＋2 k2<－2ba<k2
• 二、用二分法求方程的近似解
• 对于在区间[a，b]上连续，且满足 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间逐步逼近零，点使区间的两个端点 一分为二 ，进而得到零点近似值的方法叫做 二分．法
取区间 [1,1.5]
an－bn 0.5
1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.328125 1.3203125
f(1.25)<0
[1.25,1.5]
0.25
f(1.375)>0
[1.25,1.375]
0.125
f(1.3125)<0
[1.3125,1.375]
0.0625
f(1.34375)>0
b)．
• 4．判断是否达到精度ξ
• 即若 |a－b|<ξ
，则得到零点的 零点值a(或b)
第二部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
因此当 0<x1<x0 时，有 f(x1)>f(x0)，又 x0 是函数 f(x)的零点， 因此 f(x0)＝0，所以 f(x1)>0，即此时 f(x1)的值恒为正值．
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3．选 C
log 1 －x，－x>0 log 1 －x，x<0， 2 f(－x)＝ ＝ 2 log2x，－x<0 log2x，x>0.
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取得最大值100元． 返回
创新预测 1．选 D
10.3 分别结合指数函数与对数函数的图像可得，a＝2 ∈
(0,1)，b＝(0.3)－2∈(1，＋∞)，c＝log 1 2＝－1，故 b>a>c.
2
2．选 A 注意到函数
1x f(x)＝5 －log3x
在(0，＋∞)上是减函数，
(2)依题意得，当 x－1>0，即 x>1 时，f(x)＝1－ln x，令 f(x)＝0 得 x＝e>1； 当 x－1＝0，即 x＝1 时，f(x)＝0－ln 1＝0；当 x－1<0，即 x<1 时，f(x)＝ 1 －1－ln x，令 f(x)＝0 得 x＝e <1.因此，函数 f(x)的零点个数为 3.
答案：9
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[热点透析高考]
例1：解析：(1)由于π>1，则y＝πx递增，因此a＝π0.3>π0＝1，
又由于π>3，因此b＝logπ3<logππ＝1，而c＝30＝1，所以a>c>b.
(2)依题意得f(x＋2)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，即 f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数， 结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图像与 函数y＝loga(x＋2)的图像，结合图像分析可知， 要使f(x)与y＝loga(x＋2)的图像有4个不同的交点，则有
基本初等函数、函数与方程以及经典例题100例
基本初等函数、函数与方程以及经典例题100例[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22(1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-ab ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下．(3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-a b是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间．(4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象． 6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a n n |,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a a a a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法． 【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法． 常用的函数图象变换有： 1．平移变换y ＝f (x ＋a )：将y ＝f (x )的图象向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移｜a ｜个单位可得． y ＝f (x )＋a ：将y ＝f (x )的图象向上(a ＞0)或向下(a ＜0)平移｜a ｜个单位可得． 2．对称变换y ＝－f (x )：作y ＝f (x )关于x 轴的对称图形可得． y ＝f (－x )：作y ＝f (x )关于y 轴的对称图形可得． 3．翻折变换y ＝｜f (x )｜：将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴的上方，其他部分不变即得．y ＝f (｜x ｜)：此偶函数的图象关于y 轴对称，且当x ≥0时图象与y ＝f (x )的图象重合． 【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y ＝f (x )的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象． 3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题． 考点一 基本初等函数的图象与性质 核心提炼1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】＝（）1.A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的．【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有：(1)通过作出函数图象变成第1类问题；(2)通过换元法转化成第1类问题；(3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)；(5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等．【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y＝f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)＝0，则a叫做这个函数的零点．函数零点的几何意义：如果a是函数y＝f(x)的零点，则点(a，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x轴的交点为(a，0)．2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步． 【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解． 考点二 函数的零点 核心提炼判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．2.已知函数f（x）＝﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用．【答案】B【分析】首先判断函数f（x）＝﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f（x）＝﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；f（1）＝1﹣0＝1＞0，f（2）＝﹣1＝﹣＜0；故函数f（x）有零点的区间是（1，2）；故选：B．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( ) A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x-'=-=， 在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e=-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误，对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<，f （2）222log 210=-+=>， 所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：则当精确度为0.1时，该方程的近似解可取为( ) A ．1.55 B ．1.62 C ．1.71 D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算 【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a 的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a =与函数()f x 至少有两个交点， 绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|xa -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题。
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第8讲 函数与方程、函数的应用教师用书 理 新
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第二章函数概念与基本初等函数I 第8讲函数与方程、函数的应用教师用书理新人教版（建议用时：40分钟）一、选择题1.(2017·赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是（)A.(0,1）B.(1,2)C.(－2，－1）D。
(－1，0）解析由于f（－1)＝－错误!<0，f（0）＝30－0＝1>0,∴f(－1)·f(0）〈0。
则f(x)在(－1,0）内有零点.答案D2。
已知函数f（x)＝错误!则函数f(x）的零点为( ）A.12，0 B.－2，0 C.错误!D。
0解析当x≤1时,由f（x）＝2x－1＝0,解得x＝0；当x>1时,由f（x)＝1＋log2x＝0，解得x＝错误!,又因为x〉1，所以此时方程无解。
综上函数f（x)的零点只有0.答案D3。
函数f(x)＝2x－错误!－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（) A.（1，3) B.（1,2） C。
(0，3） D.(0，2）解析因为函数f（x）＝2x－错误!－a在区间（1，2）上单调递增，又函数f（x)＝2x－错误!－a的一个零点在区间（1，2)内，则有f(1)·f（2)〈0,所以（－a）（4－1－a）〈0，即a(a －3)<0，所以0〈a<3。
第2讲 基本初等函数、函数与方程 (可编辑Word)
第2讲基本初等函数、函数与方程A组基础题组1.若幂函数的图象经过点,则它的单调递增区间是( )A.(0 +∞)B.[0 +∞)C.(-∞ +∞)D.(-∞ 0)2.(2017大庆二模)已知函数f(x)=-.若函数y=f(x)-4有3个零点,则实数a的值为( )A.-2B.0C.2D.43.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( )A.y=log2x B.y=2x-1C.y=x2-2D.y=-x34.若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)5.若函数f(x)=-(-)则不等式f(x)>2的解集为( )A.(-2,4)B.(-4,-2)∪(-1,2)C.(1 2)∪( +∞)D.( +∞)6.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x是函数f(x)=ln x-的零点,则g(x)=( )A.1B.2C.3D.47.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a8.设f(x)=lg-是奇函数,且在x=0处有意义,则该函数为( )A.(-∞ +∞)上的减函数B.(-∞ +∞)上的增函数C.(-1,1)上的减函数D.(-1,1)上的增函数9.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍.若该病毒占据64 MB内存(1 MB=210KB),则开机后经过的时间为( )A.45分钟B.44分钟C.46分钟D.47分钟10.(2018郑州第一次质检)已知函数f(x)=--(a∈R).若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是( )A.(0,1]B.[1 +∞)C.(0,1)D.(-∞ 1]11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0 +∞)上单调递增.若()-<f(1),则x的取值范围是( )A. B.(0,e)C. D.(e +∞)12.若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称,则称点对(M,N)是函数y=f(x)的一对“和谐点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)=-则此函数的“和谐点对”有( )A.1对B.2对C.3对D.4对13.计算:0.02 +2560.75---72 =.14.已知函数y=4a x-9-1(a>0,且a≠1)恒过定点A(m,n),则log m n= .15.A,B 两艘船分别从东西方向上相距145 km 的甲、乙两地同时开出,A 船从甲地自东向西行驶,B 船从乙地自北向南行驶,A 船的速度是40 km/h,B 船的速度是16 km/h,经过 h,A,B 两艘船之间的距离最短.16.若关于x 的方程(lg a+lg x)·(lg a+2lg x)=4的所有解都大于1,则实数a 的取值范围为 .B 组 提升题组1.函数f(x)=-|x|- +3的零点所在区间为( ) A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.“>1”是“函数f(x)=(3-2a)x 单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.设函数f(x)=log 3-a 在区间(1,2)内有零点,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,-log 32)B.(0,log 32)C.(log 32,1)D.(1,log 34)4.函数f(x)=x 2lg -的图象( ) A.关于x 轴对称B.关于原点对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称5.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.46.若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,函数f(x)=-,则f(2)+g(4)=( )A.3B.4C.5D.67.已知直线x=m(m>1)与函数f(x)=loga x(a>0,且a≠1) g(x)=logbx(b>0,且b≠1)的图象及x轴分别交于A,B,C三点.若=2,则( )A.b=a2B.a=b2C.b=a3D.a=b38.(2017山东,10,5分)已知当x∈[0 1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )A.(0 1]∪[2 +∞)B.(0 1]∪[3 +∞)C.(0,]∪[2 +∞)D.(0,]∪[3 +∞)9.(2018课标全国Ⅲ,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b10.(2018重庆酉阳一中期末)已知定义域为R的偶函数f(x)满足:∀x∈R 有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2 3]时,f(x)=-2x2+12x-18.若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0 +∞)上至少有3个零点,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.11.已知函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1)满足f(1)>1,若函数g(x)=f(x+1)-4的图象不过第二象限,则a的取值范围是.12.渔场中鱼群的最大养殖量为m,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0),则鱼群年增长量的最大值是.13.(2018广州综合测试一)已知函数f(x)=-() -g(x)=x2-2x-4.设b为实数,若存在实数a,使得f(a)+g(b)=1成立,则b的取值范围为.14.对于实数a,b,定义运算“⊗”:a⊗b=--.设f(x)=(2x-1)⊗(x-1),且关于x的方程f(x)-m=0恰有三个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是.答案全解全析A组基础题组1.D 设f(x)=xα,则2α=.所以α=-2.所以f(x)=x-2,为偶函数,单调递增区间是(-∞ 0).故选D.2.D 因为f(x)=-所以f(x)-4=---.若x≠3 则由--4=0,得x=或x=.因为函数y=f(x)-4有3个零点,所以x=3也是f(x)-4=0的根,即a-4=0,a=4.故选D.思路分析由函数的零点与方程的根的关系,列出方程求解,结合条件即可求出a的值.3.B y=log2x在(-1,0]上没有意义,故A不满足题意;y=x2-2在(-1,0)上单调递减,故C不满足题意;y=-x3在(-1,1)上单调递减,故D不满足题意.∵y=2x-1在(-1,1)上单调递增,且f(-1)<0 f(1)>0 ∴在(-1,1)内存在零点.故选B.4.C 因为f(x)在(1,2)内单调递增,且在(1,2)内有零点,所以f(1)·f(2)<0.所以(-a)·(3-a)<0.所以0<a<3.故选C.5.C 令2e x-1>2(x<2),解得1<x<2;令log3(x2-1)>2(x≥2) 解得x>.故选C.6.B 易得f(2)=ln 2-1<0, f(3)=ln 3->0,∴x0∈(2 3).∴g(x)=[x]=2.故选B.7.C ∵f(x)=2|x-m|-1为偶函数 ∴m=0.∵a=f(lo3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,函数f(x)=2|x|-1在(0 +∞)上为增函数,∴f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c.故选C.8.D 由题意,得f(0)=lg(2+a)=0.所以a=-1,则f(x)=lg--=lg-.令->0,得-1<x<1.因为y=--1=-1+--在(-1,1)上为增函数,且y=lg x为增函数,所以由复合函数单调性的规律知f(x)是(-1,1)上的增函数.故选D.9.A 因为开机时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,所以3分钟后占据22KB,2个3分钟后占据内存23KB,3个3分钟后占据内存24KB,故n 个3分钟后,所占内存是2n+1KB,则应有2n+1=64×210=216.所以n=15.所以开机后经过的时间为15×3=45(分钟).故选A.10.A 画出函数f(x)的大致图象如图所示,因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-∞ 0]和(0 +∞)上各有一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零点,需1-a≥0 即a≤1;当x>0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.综上 0<a≤1.故选A.11.C ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数 ∴f(ln x)-f=f(ln x)-f(-ln x)=f(ln x)+f(ln x)=2f(ln x).∴()-<f(1)等价于|f(ln x)|<f(1).又f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0 +∞)上单调递增 ∴-1<ln x<1,解得<x<e.12.B 作出f(x)=-的图象如图所示,f(x)的“和谐点对”数可转化为y=e x(x<0)和y=-x2-4x(x<0)的图象的交点个数.由图象知,函数f(x)有2对“和谐点对”.13.答案60.7解析原式=0.3+(44)---(36)=0.3+43--3=0.3+64-0.6-3=61-0.3=60.7.14.答案解析依题意知,当x-9=0,即x=9时,y=4-1=3,故定点为(9,3).所以m=9,n=3.故logm n=log93=.15.答案解析设经过x h,A,B两艘船之间的距离为y km.由题意,得y=(-)()=(-),易知当x=--=时,y取得最小值,即A,B两艘船之间的距离最短.16.答案解析由题意,得2(lg x)2+3(lg a)·(lg x)+(lg a)2-4=0.令lg x=t>0,则有2t2+3(lg a)·t+(lg a)2-4=0的解都是正数,设f(t)=2t2+3(lg a)·t+(lg a)2-4,则()-[()-] -()()-解得lg a<-2,所以0<a<.所以实数a的取值范围是.B组提升题组1.B 函数f(x)=-|x|-+3是单调减函数 ∵f(1)=1>0 f(2)=1-<0 ∴f(1)f(2)<0.∴函数f(x)=-|x|-+3的零点所在区间为(1,2).2.A 由>1,得0<a<1.若f(x)=(3-2a)x单调递增,则3-2a>1,解得a<1.故“>1”是“函数f(x)=(3-2a)x单调递增”的充分不必要条件.3.C 当x∈(1 2)时,∈(2 3)∴log3∈(log32 1).∴要使函数 f(x)在(1,2)内存在零点,只要a∈(log32,1)即可.故选C.4.B 因为f(x)=x2lg-,所以其定义域为(-∞ -2)∪(2 +∞).所以f(-x)=x2lg-=-x2lg-=-f(x).所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称.5.C 由题意,得g(x)=f(1-x)-1=(-)(-)--(-) --即g(x)=-(-) -.所以,当x≥1时,函数g(x)有一个零点,当x<1时,函数有两个零点.所以函数g(x)=f(1-x)-1的零点共有3个.故选C.6.D 解法一:∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)=-=2x,∴g(x)=log2x.∴f(2)+g(4)=22+log24=6.解法二:∵f(x)=-∴f(2)=4 即函数f(x)的图象经过点(2,4).∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称 ∴函数g(x)的图象经过点(4,2).∴f(2)+g(4)=4+2=6.7.C 由于=2,故=3,则点A的坐标为(m,3g(m)).又点A在函数f(x)=logax的图象上,故loga m=3logbm,即logam=logbm3,由对数运算可知b=a3.8.B ①当0<m≤1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=+m的图象,如图.易知此时两函数图象在x∈[0 1]上有且只有一个交点;②当m>1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=+m的图象,如图.要满足题意,则(m-1)2≥1+m 解得m≥3或m≤0(舍去).∴m≥3. 综上,正实数m 的取值范围为(0 1]∪[3 +∞). 9.B 本题考查不等式及对数运算.解法一:∵a=log 0.20.3>log 0.21=0,b=log 20.3<log 21=0 ∴ab<0 排除C.∵0<log 0.20.3<log 0.20.2=1,log 20.3<log 20.5=-1,即0<a<1,b<-1 ∴a+b<0 排除D. ∵= ...=. =log 20.2 ∴b - =log 20.3-log 20.2=log 2 <1 ∴b<1+⇒ab<a+b,排除A.故选B.解法二:易知0<a<1,b<-1 ∴ab<0 a+b<0. ∵ + =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4<1,即<1, ∴a+b>ab.∴ab<a+b<0.故选B.10.A ∵f(x+2)=f(x)-f(1),f(x)是偶函数 ∴f(1)=0 ∴f(x+2)=f(x) 即f(x)是周期为2的周期函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.作出函数y=f(x)与g(x)=log a (x+1)的图象如图所示,由题意知两个函数图象在(0 +∞)上至少有三个交点 ∴g(2)=log a 3>f(2)=-2,且0<a<1,解得0<a<,故选A.11.答案 (2,5]解析 ∵f(1)>1 ∴a -1>1,即a>2.∵函数g(x)=f(x+1)-4的图象不过第二象限 ∴g(0)=a 1-1-4≤0 a≤5 ∴a 的取值范围是(2,5]. 12.答案2019版《3年高考2年模拟》（二轮）专有资源11 / 11解析 由题意,空闲率为1- ∴y=kx - ,定义域为(0,m).y=kx - =- -+ .∵x∈(0 m) k>0 ∴当x= 时,y max =. 13.答案 -解析 当x<-1时,f(x)= + = - ≥- ,故- ≤f(x)<0;当x≥-1时 x+2≥1 ln(x+2)≥0 故f(x)≥0.所以函数f(x)的值域为 - ∞ .若存在实数a,使得f(a)+g(b)=1成立,则有g(b)=b 2-2b-4≤ ,即4b 2-8b-21≤0 解得- ≤b≤ .故b 的取值范围为 - .14.答案解析 由2x-1≤x -1,可得x≤0;由2x-1>x-1,可得x>0.根据题意,得f(x)= ( - ) -( - )( - )( - ) -( - )( - )即f(x)= -- 画出函数y=f(x)的图象如图所示,从图象上观察,当关于x 的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根时,函数的图象和直线y=m 有三个不同的交点,再根据函数的极大值为f = ,可得m 的取值范围是.。
基本初等函数、函数与方程及函数的应用
2<0，f(1)＝e－1>0，所以f(a)＝0时a∈(0,1)．又g(x)＝ln x＋
x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，所以g(a)<0.
由g(2)＝ln 2＋1>0，g(b)＝0得b∈(1,2)，又f(1)＝e－1>0，且
f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，所以f(b)>0.综上可知，
在零点的个数进行判断，如2013年重庆T6，天津T7，湖南T5等．
4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．
5.对函数实际应用问题的考查，题目大多以社会生活为背景，
函数的实际应用 设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、思想方法都
问题
是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等.
个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
答案：A
3．(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为
A．1
B．2
()
C．3
D．4
解析：函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝
|log0.5x|与y＝
1 2x
图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出
函数y＝|log0.5x|与y＝21x的图像，易知有2个交点． 答案：B
4．(2013·湖南高考)函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋
5的图像的交点个数为
()
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)
＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图像的下
人教版数学必修第一册综合复习：基本初等函数、函数与方程课件
B.(1,2)
C.(-2,-1)
3 −1 , > 0
作出函数f(x)= ൝ 2
的图象,如图.
− − 2 + 1, ≤ 0
关于x的方程[f(x)]2+(a-1)f(x)-a=0有7个不等的实数根,
即[f(x)+a][f(x)-1]=0有7个不等的实数根,易知f(x)=1有3
个不相等的实数根,则f(x)=-a必须有4个不相等的实数
因为x,y,z为正数,所以t>1,
因为 2 =
6
因为 2 =
10
6
23 =
5
25
所以 5 < 2 <
=
3
x
8,
10
3
3=
32,
5
6
32 =
5=
10
6
9,所以 2 <
25,所以 2 >
5
3.
3
x
5
x
分别作出y=( 2) ,y=( 3) ,y=( 5) 的图象,如图.
则3y<2x<5z.
3
3;
5,
)
[例3] (课标全国Ⅱ,14,5分)已知f(x)是奇函数, 且当x<0时, f(x)=-eax.
B.[0,+∞)
)
C.[-1,+∞)
D.[1,+∞)
, ≤ 0
[例6] (课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)= ቊ
，g(x)=f(x)+x+a.若g(x)
ln, > 0
存在2个零点,则a的取值范围是( C )
A.[-1,0)
B.[0,+∞)
第2讲 基本初等函数、函数与方程
ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x∈(0,1)时, f(x)单调 递增,x∈(1,2)时, f(x)单调递减,则A、B选项错误;t(x)的图象关于直线x=
1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C选
项正确,D选项错误.故选C. (2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴a=-f(-log25)=f(log25), 而log25>log24.1>2>20.8,且y=f(x)在R上为增函数, ∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c,故选C.
考点聚焦
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方法归纳 研究指数、对数函数图象应注意的问题 (1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对 数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.
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(2)研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.
考点聚焦
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跟踪集训
1.(2016课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则 ( A.logac<logbc C.ac<bc B.logca<logcb D.ca>cb )
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第 2讲
基本初等函数、函数与方程
考情分析
栏目索引
考情分析
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总纲目录
栏目索引
总纲目录
考点一 基本初等函数的图象与性质
高考导航
考点二
函数的零点
考点三
函数的实际应用
考点聚焦
栏目索引
考点一 基本初等函数的图象与性质
江苏高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ第11课函数与方程教师用书
第11课函数与方程[最新考纲]1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )，x ∈D 在区间(a ，b )⊆D 内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是________． 1 [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________．(填序号) ①y ＝cos x ； ②y ＝sin x ； ③y ＝ln x ； ④y ＝x 2＋1.① [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(－2，－1)；④(－1,0)． ④ [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]零点．(2)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k ＝________.(1)存在 (2)2 [(1)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图象是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．(2)∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，即k ＝2.][规律方法] 确定函数f (x )的零点所在区间的2种常用方法1．定义法：使用零点存在性定理，函数y ＝f (x )必须在区间[a ，b ]上是连续的，当f (a )·f (b )<0时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．2．图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f (x )＝g (x )－h (x )，作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点．[变式训练1] 设f (x )＝ln x ＋x －2，在下列区间中，包含函数f (x )的零点所在的区间为________．(填序号)①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．② [函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．]0.562172059】(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数为________．(1)2 (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．][0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围.【导学号：62172060】[思路点拨] 先作出函数f (x )的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件． [解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，f＜2，f＞2，如图，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10)．[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(1)(0,3) (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.(2)作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法． [易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．课时分层训练(十一) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 0，－12[由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．(2017·镇江期中)方程lg x －sin x ＝0的解的个数是________．3 [∵lg x －sin x ＝0，∴lg x ＝sin x ，分别作出函数y ＝lg x 与函数y ＝sin x 的图象可知，两个函数有3个交点．]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．1 [由f (x )＝0得，2x－1＝0或log 2x ＋1＝0，解得x ＝0或x ＝12(舍去)．]4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________. 【导学号：62172061】(－2,0) [由x 2＋x ＋a ＝0得a ＝－x 2－x .又y ＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14x ∈(0,1)，∴y ∈(－2,0)．即a ∈(－2,0)．]5．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]6．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________． (0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，0<x <2，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 【导学号：62172062】0<k <12 [函数y ＝(x －1)3在R 上单调递增；函数y ＝2x 在[2，＋∞)上单调递减，又因为x ＝2时，(x －1)3＝1且2x＝1，所以f (x )的最大值为1，对应点为(2,1)，又y ＝kx 过原点(0,0)，所以k ＝1－02－0＝12.可见0<k <12.]8．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.] 9．(2017·盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋x，ln x x，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是______________．(注：e 为自然对数的底数)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e [由题意可知y ＝f (x )与y ＝ax 有2个交点， 当a ＝14时，易知y ＝ln x 与y ＝14x 恰有两个交点，设y ＝ax 与y ＝ln x 的切点为(x 0，y 0)，易知当a ＝1x 0时为临界状态，此时切线方程y －y 0＝1x 0(x －x 0)恰过原点(0,0)． 解得x 0＝e ，即a ＝1e ，故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e .] 10．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(x ∈R )有两个零点，则k 的取值范围________. 【导学号：62172063】(－∞，0)∪(0,1) [由f (x )＝0得|x |x ＋2＝kx 2＝k |x |2(*)， 显然x ＝0是f (x )＝0的一个根，故原命题等价于当x ≠0时，(*)式1x ＋2＝k |x |有且只有一个根．分别作出y ＝1x ＋2及y ＝k |x |的图象，(实线表示k >0的情况，虚线表示k <0的情况)．(1)当k >0，且x <0时，1x ＋2＝k |x |可化为kx 2＋2kx ＋1＝0. 由Δ＝4k 2－4k ＝0得k ＝1或k ＝0(舍去)，结合图象可知，当k ∈(0,1)时合题意． (2)当k <0时，结合图象可知，方程kx 2＋2kx ＋1＝0一定有实根， 综上所述k 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．] 二、解答题11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x . ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.12．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根．因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a的取值范围是________．(0,1] [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1，由f (x )＝0得x ＝12. 所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增，故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点所构成的集合为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f (f (x ))＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12， 则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值． 解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14， 解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2， 从而函数y ＝f (f (x ))＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.] 3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．[解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－a ＋，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1， 设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋＋2t ＋1，其中t ＋1＞1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2. 4．已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围．(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．[解] (1)因为函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，所以f (x )在区间[－1,1]上是减函数．因为函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f －，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，所以－20≤q ≤12.(2)因为0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小，所以f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，所以t ＝15－172； ②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上， f (10)最大，f (8)最小，所以f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8<t <10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小，所以f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0，解得t ＝8或9，所以t ＝9.综上可知，存在常数t ＝15－172，8,9满足条件．。
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题型专题(九) 基本初等函数、函数与方程[师说考点]1．指数与对数式的8个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ， (2)(a m )n ＝a mn ，(3)(ab )m ＝a m b m .其中，a >0，b >0. (4)log a (MN )＝log a M ＋log a N ， (5)log a MN ＝log a M －log a N ，(6)log a M n ＝n log a M ， (7)a log a N ＝N ，(8)log a N ＝log b Nlog b a .其中，a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0.2．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．[典例] (1)(2016·全国丙卷)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b[解析] 选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c .综上得b <a <c .故选A.(2)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )[解析] 选D 当a >1时，函数f (x )＝x a (x ≥0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a (x ≥0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1，0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知B 错，因此选D.[类题通法]3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．[演练冲关]1．(2016·贵州模拟)函数y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0，0) B ．(0，－1) C ．(－2，0) D ．(－2，－1)解析：选C 令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C 正确．2．(2016·广州模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <a D ．c <a <b解析：选D 1＝log 33<a ＝log 37<log 39＝2，b ＝21.1>21＝2，c ＝0.83.1<0.80＝1，所以c <a <b . 3．(2016·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________．解析：∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52， ∴log a b ＝2或12.∵a ＞b ＞1，∴log a b ＜log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，a ＝4. 答案：4 2[典例](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年[解析]选B建立不等式求解．设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．[类题通法]应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[演练冲关]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选C设甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6－x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)．则总运费y ＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，∴y＝20x＋960(x∈N，0≤x≤6)．若y≤1 000，则20x＋960≤1 000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N，∴x＝0，1，2，即有3种调运方案．2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G (x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，G (x )＝51x ＋10 000x －1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是( )A ．1 150万元B ．1 000万元C ．950万元D ．900万元解析：选B ∵每件产品的售价为0.05万元，∴x 千件产品的销售额为0.05×1 000x ＝50x 万元．①当0<x <80时，年利润L (x )＝50x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且最大值为L (60)＝950万元；②当x ≥80时，L (x )＝50x －51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950<1 000，∴当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．故选B.函数的零点与其他知识的交汇1．确定函数零点的常用方法 (1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．2．有关函数的零点问题已成为近年高考命题的一个热点．而函数的零点与函数性质、不等式、方程根的交汇成为高考的命题方向．[典例] (1)(2016·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 选C 作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．[解析] 作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.[答案] (3，＋∞) [类题通法]利用函数零点求参数值(范围)的3种方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．[演练冲关]1．函数f (x )＝log 3x －x ＋2必有一个零点的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫19，13 B.⎝⎛⎭⎫13，59 C.⎝⎛⎭⎫59，79 D.⎝⎛⎭⎫79，1 解析：选A 因为f (x )＝log 3x －x ＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319－19＋2＝－2－19＋2＝－19<0，f ⎝⎛⎭⎫13＝log 313－13＋2＝－1－13＋2＝23>0，即f ⎝⎛⎭⎫19·f ⎝⎛⎭⎫13<0，所以函数f (x )＝log 3x －x ＋2在⎝⎛⎭⎫19，13上必有一个零点．2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析：选C 因为f (x )在(1，2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)<0，所以(－a )·(3－a )<0，所以0<a <3，应选C.3．(2016·郑州质检)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0<x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0，6)内的所有根之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16。