指数函数经典例题(标准答案)

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指数函数经典例题（问题详解）[整理]

我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21x 10x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象和性质。

)10(≠>a a 且a>10<a<1图象与の大小关系是_____．()x f b ()x f c 分析：先求の值再比较大小，要注意の取值是否在同一单调区间b c 且x x b c 且内．解：∵，(1)(1)f x f x +=- ∴函数の对称轴是．()f x 1x = 故，又，∴．2b =(0)3f =3c = ∴函数在上递减，在上递增．()f x (]1-且∞[)1+且∞ 若，则，∴；0x ≥321x x≥≥(3)(2)x x f f ≥ 若，则，∴．0x <321x x <<(3)(2)x x f f > 综上可得，即．(3)(2)x x f f ≥()()x x f c f b ≥ 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2　已知，则x の取值范围是___________．2321(25)(25)x x a a a a -++>++ 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值范围．解：∵，2225(1)441a a a ++=++>≥ ∴函数在上是增函数，2(25)x y a a =++()-+且∞∞ ∴，解得．∴x の取值范围是．31x x >-14x >14⎛⎫+ ⎪⎝⎭且∞ 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3　求函数の定义域和值域．216x y -=- 解：由题意可得，即，2160x --≥261x -≤ ∴，故． ∴函数の定义域是．20x -≤2x ≤()f x (]2-且∞ 令，则，26x t -=1y t =- 又∵，∴． ∴，即．2x ≤20x -≤2061x -<≤01t <≤ ∴，即．011t -<≤01y <≤ ∴函数の值域是．[)01且评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响．　4．最值问题例4　函数在区间上有最大值14，则a の值221(01)x x y a a a a =+->≠且[11]-且是_______．分析：令可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后の取x t a =t 值范围．解：令，则，函数可化为，其对称轴为x t a =0t >221x x y a a =+-2(1)2y t =+-．1t =- ∴当时，∵，1a >[]11x ∈-且 ∴，即．1xa a a ≤≤1t a a≤≤ ∴当时，．t a =2max (1)214y a =+-= 解得或（舍去）；3a =5a =- 当时，∵，01a <<[]11x ∈-且 ∴，即，1xa a a ≤≤1a t a≤≤ ∴ 时，，1t a =2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 解得或（舍去），∴a の值是3或．13a =15a =-13 评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等．　5．解指数方程例5　解方程．223380x x +--= 解：原方程可化为，令，上述方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=3(0)x t t =>，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程の298090t t --=9t =19t =-39x =2x =解是．2x = 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6　为了得到函数の图象，可以把函数の图象（）．935x y =⨯+3x y = A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象の平移规律935x y =⨯+235x t +=+进行判断．解：∵，∴把函数の图象向左平移2个单位长度，293535x x y +=⨯+=+3x y =再向上平移5个单位长度，可得到函数の图象，故选（C ）．935x y =⨯+ 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数の大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a 与b ；（5）若，且，比较a 与b ．解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．（2）由，故．又，故．从而．（3）由，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数 ,和与1の大小关系是( 分析:首先可以根据指数函数单调性,在轴右侧令 ,由小到大依次为 ,故应选 .、设，求函数の最大值和最小值．分析：注意到，设，利用闭区间上二次函数の值域の求法，可求得函数の最值．解：设，由知，，函数成为，轴，故函数最小值为，因端点较对称轴远，故函数の最大值为已知函数（且（1）求）若，求の取值范围．），当即时，有最小值为），解得当时，；当时，2若函数是奇函数，求．解：为奇函数，即，则，11即x=0时，y max=2已知，求函数解：由得，即，解之得于是，即，故所求函数の值域为在〔1，+∞）上是减函数。

指数函数的性质及常考题型(含解析)

故选：A.
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =

指数函数练习题及答案

指数函数练习题及答案指数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解指数函数的概念和运算规则，并提供相应的答案。

1. 求解指数方程：2^x = 16解：将16写成2的幂次形式，即16 = 2^4，所以原方程可以写成2^x = 2^4。

根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到x = 4。

2. 简化指数表达式：(2^3)^4解：根据指数函数的性质，指数的乘法规则，可以将指数表达式简化为2^(3*4)，即2^12。

3. 求解指数方程：3^(2x+1) = 9解：将9写成3的幂次形式，即9 = 3^2，所以原方程可以写成3^(2x+1) =3^2。

根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到2x+1 = 2。

解方程得到x = 1/2。

4. 求解指数方程：e^x = 10解：将10写成自然对数的底数e的幂次形式，即10 = e^ln(10)，所以原方程可以写成e^x = e^ln(10)。

根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到x = ln(10)。

5. 求解指数方程：10^(2x-1) = 100解：将100写成10的幂次形式，即100 = 10^2，所以原方程可以写成10^(2x-1) = 10^2。

根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到2x-1 = 2。

解方程得到x = 3/2。

通过以上的练习题，我们可以看到指数函数在解方程中的应用。

指数函数的特点是底数不同，函数的性质也会有所不同。

在实际问题中，指数函数可以用来描述物质的衰减、增长和变化等现象，具有很强的实用性。

除了以上的练习题，我们还可以通过绘制指数函数的图像来更好地理解其特点。

以y = 2^x为例，我们可以绘制出其图像，发现随着x的增大，y的值呈指数级增长，这是因为指数函数的增长率是逐渐加大的。

总结起来，指数函数是高中数学中的重要内容，通过练习题和图像的分析，我们可以更好地理解指数函数的概念和运算规则。

指数函数习题(经典含答案及详细解析)

指数函数习题一、选择题1．概念运算⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ，那么函数x x f 21)(⊗=的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 知足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，那么f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，那么k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的概念域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的概念域是B ，假设A ⊆B ，那么正数a 的取值范围( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 55．已知函数⎩⎨⎧>≤--=-77)3)(3()(6x a x x a x f x ，假设数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，那么实数a 的取值范围是( )A ．[94，3) B ．(94，3) C ．(2,3)D ．(1,3) 6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14)∪[4，＋∞) 二、填空题7．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，那么a 的值是________． 8．假设曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 的取值范围是________．9．(2020·滨州模拟)概念：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的概念域为[a ，b ]，值域为[1,2]，那么区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y ＝2342x x ---+的概念域、值域和单调区间．11．(2020·银川模拟)假设函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的概念域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)假设函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a ≤b b a >b 得f (x )＝1⊗2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≤0，1 x >0.答案：A2. 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2.又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，那么3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )．若x <0，那么3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x )．∴f (3x )≥f (2x )．答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，因此有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案：C4. 解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x >1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，那么u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，因此函数u (x )在(1,2)上单调递增，那么u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3.答案：B5. 解析：数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，那么函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a >13－a >0a 8－6>3－a ×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2，当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1，综上，12≤a <1或1<a ≤2. 答案：C7. 解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32. 答案：12或328. 解析：别离作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判定参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如下图，由图象可得：若是|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 应知足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]9. 解析：如图知足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数成心义，那么只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1.∴函数的概念域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，那么t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254， ∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，现在x ＝－32，t min ＝0，现在x ＝－4或x ＝1. ∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52. ∴函数y ＝2341()2x x --+[28，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知，当－4≤x ≤－32时，t 是增函数，当－32≤x ≤1时，t 是减函数．依照复合函数的单调性知：y ＝1()2在[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数． ∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]． 11. 解：令a x ＝t ，∴t >0，那么y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．②假设0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝(1a＋1)2－2＝14. ∴a ＝13或－15(舍去)．综上可得a ＝3或13. 12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，因此实数λ的取值范围是λ≤2.法二：(1)同法一．(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x ＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，因此实数λ的取值范围是λ≤2.。

指数函数典型例题详细解析

.指数函数·例题解析第一课时【例 1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：1(2)y ＝ 2 x 2(3)y ＝ 3 3x 1(1)y ＝ 32 x 1解(1) 定义域为 {x|x ∈ R 且 x≠ 2} ．值域 {y|y ＞0 且 y≠ 1} ．(2)由 2x+2－ 1≥ 0，得定义域 {x|x ≥－ 2}，值域为 {|y|y ≥0} ．(3)由 3－ 3x-1≥ 0，得定义域是 {x|x≤ 2}，∵ 0≤ 3－ 3x －1＜3，∴值域是 0≤ y＜3．1.指数函数 Y=ax （ a>0 且 a≠ 1）的定义域是 R，值域是（ 0， +∞）2.求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如 a0,(a ≠ 0)3. 求函数的值域 : ①利用函数 Y=ax 单调性②函数的有界性 (x2 ≥0;ax>0) ③换元法 . 如 :y=4x+6 × 2x-8(1 ≤ x ≤ 2) 先换元 , 再利用二次函数图象与性质( 注意新元的范围)【例 2】（基础题）指数函数 y＝a x， y＝ b x， y＝ c x， y＝ d x的图像如图 2． 6－ 2 所示，则 a、 b、 c、 d、1 之间的大小关系是[ ] A． a＜ b＜ 1＜ c＜dB． a＜ b＜ 1＜ d＜cC． b ＜a＜ 1＜ d＜cD． c＜ d＜ 1＜ a＜b..解选 (c) ，在 x 轴上任取一点(x ， 0) ，则得 b＜ a＜ 1＜d＜ c．【例 3】（基础题）比较大小：(1) 2、3 2、54、8 8、916的大小关系是：．143(2)0.6 5 2( )2(3)4.5 4.1 ________3.7 3.6..1 1234 解 (1)∵ 2 22 ，3 2 23，5 4 25 ，88 28，9 16 2 9，函数＝x ，2＞，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，y 2 1又1＜3＜2＜4＜1，∴32＜88＜5＜9＜．3 8 5 9 24 16 24 1解(2) ∵ 0.6 5＞1，1＞( 3) 2 ，24 1∴0.6 5＞(3) 2．2解(3) 借助数4.5 3.6打桥，利用指数函数的单调性， 4.5 4.1＞ 4.5 3.6，作函数 y ＝ 4.5x，y ＝3.7 x的图像如图 2．6－ 3，取 x＝ 3.6 ，得 4.5 3.6＞3.7 3.61 2∴4.5 4.1＞ 3.7 3.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例 2 中的 (1) ．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的 (2) ．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与 4.5 4.1同底与 3.7 3.6同指数的特点，即为4.5 3.6 ( 或 3.7 4.1 ) ，如例 2 中的 (3) ．例题 4（中档题）..【例 4】比较大小 n 1a n与 n an 1(a ＞ 0且a ≠1，n ＞1)．n 1 a n 1a n( n 1)解a n 1 n1当 0＜a ＜1，∵ n ＞1，＞0，n( n 1)1∴an( n 1) ＜1，∴ n 1 a n ＜ n a n 11＞ 0，当a ＞1时，∵ n ＞1，n( n1)1∴an( n 1) ＞1， n 1 a n ＞ n a n 1【例 5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法(1)y ＝ ( 1 ) x 1 (2)y ＝ 2 x－ 2，2(3)y ＝2|x-1|(4)y ＝|1 －3x|解 (1)y ＝ ( 1) x 1的图像 (如图 2． 6－ 4) ，过点 (0， 1) 及 (－ 1， 1) ．2 21 x 的图像向左平移1个单位得到的．是把函数 y ＝ ( ) 2 解 (2)y ＝ 2x－ 2 的图像 ( 如图 2． 6－ 5) 是把函数 y ＝ 2x的图像向下平移 2 个单位得到的．..解 (3) 利用翻折变换，先作 y＝ 2|x|的图像，再把y＝ 2|x|的图像向右平移1个单位，就得 y＝ 2|x-1|的图像 ( 如图 2． 6－6) ．解(4) 作函数 y＝3x的图像关于 x 轴的对称图像得 y＝－ 3x的图像，再把 y＝－ 3x 的图像向上平移 1 个单位，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到． ( 如图 2． 6－7)例6（中档题）：用函数单调性定义证明：当 a＞1 时， y = a x是增函数 ...【解析】设 x ， x ∈R且 x ＜ x，并令 x2 = x 1 + h (h ＞0，h ∈R) ，很独特的方 1 2 1 2式则有 a x2 a x 1 a x 1 h a x1 a x1 (a h1) ， ∵a ＞ 1， h ＞ 0，∴a x0, a h1， 1 ∴ ax2 a x 1 0 ，即故 y = a x(a ＞ 1) 为 R 上的增函数，同理可证 0＜ a ＜ 1 时， y = a x a x 1a x2 是 R 上的减函数 .例题 7 中档题）指数函数与二次函数的复合函数 (由内到外分析）二次函数为内层函数，指数函数为外层函数【例 6】求函数 y ＝ ( 3 ) x2－ 5x ＋ 6的单调区间及值域．42 3 u 2 －5x解令 u ＝x － 5x ＋ 6，则 y ＝ ( )是关于 u 的减函数，而 u ＝x4＋ 6在 x ∈ ( ∞， 5] 上是减函数，在 x ∈ [ 5， ∞ ) 上是增函数．∴函数22y ＝ ( 3 ) x2 － 5x ＋ 6的单调增区间是 ( ∞， 5] ，单调减区间是 [ 5， ∞)．422..2－ 5x ＋ 6 ＝ ( x 5 2 1 1 又∵ u ＝ x ) 4 ≥，2 43 ) u ，在 u ∈ [ 1 ∞ ) 上是减函数，函数 y ＝ (， 44所以函数 y 3 ) x 2－ 5x ＋6的值域是 4108＝ ( (0 ，]．43变式 1 求函数 y=（ 1 ） x22 x的单调区间，并证明之 .2解法一（在解答题）：在 R 上任取 x1、 x2，且 x1＜ x2，则y2 ( 1 ) x 2 2 2 x 2）（ x2－x1 ）（ x2+x1－ 2）【（ 1）为底数，红色部分为指数】= 2 =（ 1，y 1( 1 ) x 122 x 1222∵x1 ＜x2，∴ x2－ x1＞ 0.当 x1、x 2∈（－∞， 1］时， x1+x2－ 2＜ 0. 这时（ x2－ x1）（ x2+x1－ 2）＜ 0，则 y2＞ y 11.∴y2 ＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增 .当 x1、x 2∈［ 1，+∞）时， x1+x2－ 2＞ 0，这时（ x2－ x1）（ x2+x1－ 2）＞0，即 y2＜ y 11.调性）∴ y2＜ y1 ，函数在［ 1，+∞上单调递减.综上，函数 y 在（－∞， 1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减 .合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题 ...解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：设： u x 22xu1则： y2 对任意的 1 x 1 x 2 ，有u 1 u 2 ，1u是减函数又∵ y2x 22 x ∴ y 1 y 2 1 在 [1, ) 是减函数∴ y 2对任意的 x 1 x 2 1，有 u u 2 1 1 u又∵ y 是减函数21 x 22 x ∴ y 1y 2 ∴ y在 [1,) 是增函数 2在该问题中先确定内层函数（ u x 2 2x 1）和外层函数（ y2根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性 .u）的单调情况，再变式 2 已知 a 0 且 a 1，讨论 f (x) a x 23 x 2的单调性 .【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，指数 x 23x 2 (x 3 )217 ，当 x ≥ 3 时是减函数， x ≤ 3 时是增函数，2 4 2 2 而 f (x) 的单调性又 1 两种范围有关，应分类讨【解析】设 u x23x 2(x 3 )217 ，2 4..则当 x ≥3时， u 是减函数，当 x ≤3时， u 是增函数，2 2又当 a 1 时， y a u是增函数，当 0 a 1 时，y a u是减函数，所以当 a 1时，原函数 f(x) ax23 x 2 在[ 3 ,) 上是减函数，在( ,3]上是2 2增函数 .当 0 a 1 时，原函数 f( x) a x23x 2 在[ 3 ,) 上是增函数，在 ( , 3] 上是减2 2函数 .【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.第二课时例题 8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数换元法先换元 , 再利用二次函数图象与性质( 注意新元 u 的范围 )1 ) x 1【例 7】求函数 y＝ ( ( ) x＋1(x≥ 0)的单调区间及它的最大值．2 2 2 2 4 2∴＜≤，又∵＝1x 是∈，＋∞上的减函数，函数y＝ 1 )20 u 1 u ( ) x [ 0 ) ( u2 2 ..3在 ∈， 1 上为减函数，在 [ 1 ， 1) 上是增函数．但由 0 ＜ 1 ) x ≤ 14u (0 2 ] 2 ( 2≥，由11 11 2得 ≤ x ≤ ，得 ≤ ≤ ，∴函数y ＝ x x＋单调增x 1 2 ( ) 10 x 1 ( ) ( ) 124 2 区间是，＋∞ )，单调减区间 [0 ，1] [1 当 x ＝ 0 时，函数 y 有最大值为 1．内层指数函数 u=(1/2)x 为减，当 u 在（ 0，1/2 】时，此时外层二次 f （u) 为减函数，即 x 在【1，正无穷大），，则复合函数为增（画草图分析法）点评：（1）指数函数的有界性（值域）： x2≥0;ax>0（ 2）上述证明过程中，在两次求 x 的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。

(完整版)指数和指数函数练习题及答案

指数和指数函数一、选择题1．（36a 9）4（63a 9）4等于（）（C）a 4（A）a 16（B）a b 8（D）a -b 22.若a>1,b<0,且a +a =22,则a -a 的值等于（）-b b （A）6（B）±2（C）-2（D）22x 3．函数f（x）=(a -1)在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）（A）a >1（B）a <2（C）a<2（D）1<a <4.下列函数式中，满足f(x+1)=(A)21f(x)的是( )211x -x(x+1) (B)x+ (C)2(D)224x 25.下列f(x)=(1+a )⋅a -x 是（）（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇且偶函数1a 1b116．已知a>b,ab ≠0下列不等式（1）a >b ,(2)2>2,(3)<,(4)a 3>b 3,(5)()<()33a b22a b 11中恒成立的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2x -17．函数y=x 是（）2+1（A）奇函数（B）偶函数（C）既奇又偶函数（D）非奇非偶函数8．函数y=1的值域是（）x 2-1（A）（-∞,1）（B）（-∞,0）⋃（0，+∞）（C）（-1，+∞）（D）（-∞，-1）⋃（0，+∞）+9．下列函数中，值域为R 的是（）（A）y=512-x（B）y=(1x 11-xx)（C）y=()-1（D）y=1-223e x -e -x10.函数y=的反函数是（）2（A）奇函数且在R 上是减函数（B）偶函数且在R 上是减函数++（C）奇函数且在R 上是增函数（D）偶函数且在R 上是增函数11．下列关系中正确的是（）++111111（A）（）3<（）3<（）3（B）（）3<（）3<（）3252225111111（C）（）3<（）3<（）3（D）（）3<（）3<（）352252221222122112212．若函数y=3+2的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（）（A）（2，5）（B）（1，3）（C）（5，2）（D）（3，1）x -113．函数f(x)=3+5,则f (x)的定义域是（）（A）（０，＋∞）（B）（５，＋∞）（C）（６，＋∞）（D）（－∞，＋∞）x 14.若方程a -x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）（0，1）（C）（0，+∞）（D）φ15．已知函数f(x)=a +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（）x x x x (A)f(x)=2+5 (B)f(x)=5+3 (C)f(x)=3+4 (D)f(x)=4+316.已知三个实数a,b=a ,c=a a x x-1a a ,其中0.9<a<1,则这三个数之间的大小关系是（）（A）a<c<b （B）a<b<c （C）b<a<c （D）c<a<bx 17．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a +b 的图像必定不经过（）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限二、填空题1．若a <ax 322,则a 的取值范围是。

(完整)指数函数基础练习及答案

指数函数练习1. 函数（1）x y 4=；（2） 4x y =; (3） x y 4-=； (4) x y )4(-=; （5) x y π=； (6） 24x y =；(7） x x y =; （8） 1()1(>-=a a y x , 且a 1≠）中,是指数函数的是2. 函数33(0,1)x y a a a-=+>≠恒过的定点是 3. 若1()21xf x a =+-是奇函数，则a = 【答案】【解析】12(),()()2112xx x f x a a f x f x --=+=+-=--- 21121()21122112122x x x x x xa a a a ⇒+=-+⇒=-==----故 4. 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么( ）A 、 01<<aB 、 -<<10aC 、 a =-1D 、 a <-15. 函数213-=x y 的定义域为6. 若函数()1222-=--aax xx f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 . []0,1-7. 设0x >,且1x x a b <<（0a >，0b >)，则a 与b 的大小关系是（ B ）A 1b a <<B 1a b <<C 1b a <<D 1a b <<8. 如图，指出函数①y=a x ；②y=b x ;③y=c x ；④y=d x的图象，则a,b,c,d 的大小关系是BA a 〈b 〈1〈c 〈dB b<a 〈1〈d<cC 1〈a<b 〈c 〈dD a 〈b<1〈d<c9. 下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且,与函数y a x =-()1的图象只能是( C ）y y y yO x O x O x O xAB C D111110. 函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为( A )。

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3，即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.7、下列计算中结果正确的是（） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误；对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误；故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ．多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)，则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数，由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确；对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点，则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ，因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2，则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．（2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果．（1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下：设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。

指数函数练习题及答案

指数函数练习题及答案指数函数是高中数学中的重要内容之一，也是数学建模和应用题中常见的数学模型。

掌握指数函数的性质和解题方法，对于学生来说是非常重要的。

本文将介绍几道常见的指数函数练习题，并给出详细的解答过程。

一、求解指数函数的定义域和值域1. 已知函数 f(x) = 2^x，求函数的定义域和值域。

解答：对于指数函数 f(x) = 2^x，由于指数函数的底数必须大于0且不等于1，所以定义域为全体实数。

而指数函数的值域为正实数集。

二、求解指数函数的图像和性质2. 已知函数 f(x) = 3^x，求函数的图像和性质。

解答：对于指数函数 f(x) = 3^x，我们可以通过绘制函数的图像来观察其性质。

首先，我们选取几个不同的 x 值，计算对应的 y 值，然后将这些点连成一条曲线。

根据计算结果，我们可以看出指数函数 f(x) = 3^x 是递增函数，并且随着 x 的增大，函数值也随之增大。

三、求解指数函数的基本性质3. 求函数 f(x) = 4^x 的对称轴和最小值。

解答：对于指数函数 f(x) = 4^x，我们可以通过求导数来求解其对称轴和最小值。

首先，我们求函数的导数 f'(x) = ln(4) * 4^x。

然后，令导数等于0，解得 x = 0。

所以对称轴为 x = 0。

接下来，我们求解函数在 x = 0 处的函数值，即 f(0) =4^0 = 1。

所以最小值为 1。

四、求解指数函数的变形题4. 已知函数 f(x) = 2^(x+1) - 3，求函数的图像和性质。

解答：对于指数函数 f(x) = 2^(x+1) - 3，我们可以通过绘制函数的图像来观察其性质。

首先，我们选取几个不同的 x 值，计算对应的 y 值，然后将这些点连成一条曲线。

根据计算结果，我们可以看出指数函数 f(x) = 2^(x+1) - 3 是递增函数，并且随着x 的增大，函数值也随之增大。

此外，由于函数中有减法操作，所以整个函数的图像会在 y 轴下方平移 3 个单位。

指数函数习题（经典含答案及详细解析）

2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且A ．f (b x )≤f (c x) B ．f (b x )≥f (c x) lg(a x －2x－5 ≥5 [9，(9，1，，1[1，[1，，1)上的最大值比最小值大，则234x x ---+11．(2011·银川模拟)若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．的取值范围．指数函数答案指数函数答案1.1.解析：由解析：由a ⊗b ＝îïíïìa a ≤bba >b得f (x )＝1⊗2x＝îïíïì2xx，1x答案：答案：A A 2. 2. 解析：∵解析：∵f (1(1＋＋x )＝f (1(1－－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)(0)＝＝3，∴c ＝3.3.∴∴f (x )在(－∞，－∞，1)1)1)上递减，在上递减，在上递减，在(1(1(1，＋∞)上递增．，＋∞)上递增．，＋∞)上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x)．若x <0<0，则，则3x<2x<1<1，∴，∴f (3x)>f (2x)． ∴f (3x )≥f (2x )．答案：答案：A A3.3.解析：由于函数解析：由于函数y ＝|2x－1|1|在在(－∞，－∞，0)0)0)内单调递减，在内单调递减，在内单调递减，在(0(0(0，＋∞)内单调递增，而函数在，＋∞)内单调递增，而函数在区间区间((k －1，k ＋1)1)内不单调，所以有内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－，解得－1<1<k <1. 答案：答案：C C4. 4. 解析：由题意得：解析：由题意得：A ＝(1,2)(1,2)，，a x －2x >1且a >2>2，由，由A ⊆B 知a x －2x>1在(1,2)(1,2)上恒成立，即上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)(1,2)上恒成立，令上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0ln2>0，所以函数，所以函数u (x )在(1,2)(1,2)上单调递增，则上单调递增，则u (x )>u (1)(1)＝＝a －3，即a ≥3.≥3. 答案：答案：B B5. 5. 解析：数列解析：数列解析：数列{{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，为增函数，注意a 8－6>(3>(3－－a )×7－)×7－33，所以îïíïìa >13－a >0a8－6－a －3，解得2<a <3.答案：答案：C C6. 6. 解析：解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2，≤2，当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1<1，，综上，12≤a <1或1<a ≤2.≤2.答案：答案：C C7. 7. 解析：当解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2][1,2]上单调递增，故上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝ax 在[1,2][1,2]上单调递减，故上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.答案：12或328. 8. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线曲线||y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果的图象如图所示，由图象可得：如果||y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]1,1]．．答案：答案：[[－1,1]9. 9. 解析：如图满足条件的区间解析：如图满足条件的区间解析：如图满足条件的区间[[a ，b ]，当a ＝－＝－11，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－＝－11，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：答案：1 110. 10. 解：要使函数有意义，则只需－解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1.≤1. ∴函数的定义域为∴函数的定义域为{{x |－4≤x ≤1}．≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2－3x ＋4＝－＝－((x ＋32)2＋254，∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，此时x ＝－32，t min ＝0，此时x ＝－＝－44或x ＝1.∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52.∴函数y ＝2341()2x x ---+的值域为的值域为[[28，1]1]．．＋)＋(≤－时，≤234()2x x ---+在，－32]－32，－32，，－32][1a，，1a ]＝1a，即(1a＋＝13或－15(或13.。

(完整版)指数函数经典习题大全

指数函数习题新泰一中闫辉一、选择题1．以下函数中指数函数的个数是( ).①②③④A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2．假设，，那么函数的图象必然在〔〕A．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限3．，当其值域为时，的取值范围是〔〕A． B ．C．D．4．假设，，以下不等式成立的是〔〕A． B ． C ． D ．5．且，，那么是〔〕A．奇函数 B ．偶函数C．非奇非偶函数 D ．奇偶性与有关6．函数〔〕的图象是〔〕7．函数与的图象大体是().8．当时，函数与的图象只可能是〔〕9．在以以下图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是〔〕10．计算机本钱不断降低 , 假设每隔 3 年计算机价格降低 , 现在价格为 8100 元的计算机 , 那么 9 年后的价格为 ( ).A．2400 元 B．900 元C．300 元D．3600 元二、填空题1．比较大小：〔1〕；〔2〕______ 1 ；〔3〕______2．假设，那么的取值范围为 _________．3．求函数的单调减区间为__________．4．的反函数的定义域是__________．5．函数的值域是__________．6．的定义域为, 那么的定义域为 __________.7．当时,, 那么的取值范围是 __________. 8．时，的图象过定点 ________ ．9．假设, 那么函数的图象必然不在第 _____象限 .10．函数的图象过点, 又其反函数的图象过点 (2,0),那么函数的剖析式为 ____________.11．函数的最小值为 ____________.12．函数的单调递加区间是 ____________.13．关于的方程有两个实数解 , 那么实数的取值范围是 _________.14．假设函数〔且〕在区间上的最大值是14，那么等于_________．三、解答题1．按从小到大排列以下各数：，，，，，，，2．设有两个函数与，要使〔 1〕；〔 2〕，求、的取值范围．3．, 试比较的大小.4．假设函数是奇函数，求的值．5．，求函数的值域．6．解方程：〔1〕；〔2〕．7．函数〔且〕〔1〕求的最小值；〔2〕假设，求的取值范围．8．试比较与的大小,并加以证明.9．某工厂从年到年某种产品的本钱共下降了19%，假设每年下降的百分率相等，求每年下降的百分率10．某工厂今年 1 月、 2 月、 3 月生产某产品分别为 1 万件、 1.2 件、 1.3 万件，为了估测今后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可以采纳二次函数或函数〔其中、、为常数〕，四月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明原由．11．设，求出的值．12．解方程．参照答案：一、1．B 2．A 3．D4．B5．A 6．B 7．D8．A 9．A 10．A二、 1．〔 1〕〔2〕〔3〕2．3．4．〔0，1〕5．6．7 ．8．恒过点〔 1，3〕 9 ．四 10 ．11．12．13．14．或三、 1．解：除以外，将其余的数分为三类：〔1〕负数：〔2〕小于 1 的正数：，，〔3〕大于 1 的正数：，，在〔 2〕中，；在〔 3〕中，；综上可知说明：对几个数比较大小的详尽方法是：〔1〕与 0 比，与 1 比，将所有数分成三类：，，，〔2〕在各样中两两比2．解：〔 1〕要使由条件是，解之得〔2〕要使，必定分两种情况：当时，只要，解之得；当时，只要，解之得或说明：假设是与比较大小，平时要分和两种情况考虑．3．4．解：为奇函数，，即，那么，5．解：由得，即，解之得，于是，即，故所求函数的值域为6．解：〔 1〕两边同除可得，令，有，解之得或，即或，于是或〔2〕原方程化为，即，由求根公式可获取，故7．解：〔 1〕，当即时，有最小值为〔2〕，解得当时，；当时，．8．当时,>,当时,>.9．解：设每年下降的百分率为，由题意可得，，，故每年下降的百分率为 10%10．解：设模拟的二次函数为，由条件，，，可得，解得又由及条件可得，解得下面比较，与的差，比的误差较小，从而作为模拟函数较好11．解：故12．解：令，那么原方程化为解得或，即或〔舍去〕，习题二1.求不等式 a2 x 7a4x1( a 0 ，且 a1) 中 x 的取值范围．x2.. 指数函数y b的图象以以下图，求二次函数 y ax2bx 的极点的横坐标的取值范围．ay1o x3. 函数f ( x)a x〔a0 ，且 a 1〕关于任意的实数x ，y都有〔〕Ａ． f (xy) f ( x) f ( y)Ｂ． f (xy ) f ( x) f ( y)Ｃ． f ( x y) f (x) f ( y)Ｄ． f (x y) f (x) f ( y)4. 假设(1)x(1) x，那么 x 满足〔〕23Ａ． x 0Ｂ． x0 Ｃ． x≤ 0Ｄ． x ≥ 0 5. (1) (a a 1) 23，求 a3 a 3；(2) a2 x 2 1，求 a3x aa x a 3xx；(3) x31 a ，求 a22ax 3x 6的值．6.函数 f (x) a x〔a0 ，a1〕在2，2 上函数值总小于 2，求实数 a 的取值范围．7 函数 f ( x)a x a x〔 a0， a1〕，且 f (1)3，那么 f(0) f (1) f (2)的值是．8. 假设关于x的方程22x2x ga a10 有实根，试求 a 的取值范围．9.当 a0 且 a 1 时，函数 f ( x)a x2 3 必过定点．10.设 y1a3x1， y2a2x其中 a0 ，且 a 1 ．确定x为何值时，有：〔１〕 y1y2；〔２〕 y1y2．11 当a0时，函数 y ax b 和 y b ax的图象是〔〕y y１１x xO OＡＢy y１１O xOxＣＤ12.函数 y f x的图象与 y2x的图象关于 x 轴对称，那么f x 的表达式为．13.假设函数 Fx12gf x x0是偶函数，且f x 不恒等于 0，那么f x 为〔〕2x1Ａ．奇函数Ｂ．偶函数Ｃ．可能是奇函数，也可能是偶函数Ｄ．非奇非偶函数14. 函数 f x 2x1，g x 1 x2，构造函数 F x 定义以下：当 f x ≥ g x 时， F x f x ；当f xg x 时， F xg x ，那么 F x 〔〕Ａ．有最大值 1，无最小值Ｂ．有最小值 0，无最大值Ｃ．有最小值 1，无最大值Ｄ．无最小值，也无最大值15. 当 x 0 时，函数 f xa 2x1，那么实数 a 的取值范围是1 的值总大于．16. 函数f x 满足对任意实数x 1x 2 有 f x 1f x 2 且 f x 1 x 2f x 1 gf x 2 假设写出一个满足这些条件的函数那么这个函数可以写为．习题三一、选择题〔每题4 分，共计 40 分〕1．以下各式中成立的一项为哪一项〔〕A ． ( n) 713n 7 m 7 B ．3933 C ．4 x 3 y 3( x y) 4 D ．12( 3)4 33m211 11 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3) (1a 6b 6 ) 的结果3A ． 9aB ．aC ． 6aD ． 9a 2 3．设指数函数f ( x) a x ( a 0, a1) ，那么以低等式中不正确的是．．．A ． f ( x +y )= f(x ) · f ( y )B ． f 〔 xy 〕 f ( x)f ( y)C ． f ( nx)[ f ( x)] n (nQ )D ． [ f (xy)] n[ f ( x)] n ·[f ( y)] n5)01 4．函数 y(x( x 2)2〔〕〔〕( n N )〔〕A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}5．假设指数函数ya x 在 [ －1,1] 上的最大值与最小值的差是 1，那么底数 a 等于〔〕A ．5 1 B ．5 1 C ．5 1 D ．1522226．方程 a |x| x 2 (0a 1) 的解的个数为〔〕A. 0 个个C. 2个D. 0个或 1个7．函数 f (x) 2|x|的值域是〔〕A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R2 x1, x 08．函数 f (x)1，满足 f ( x)1的 x 的取值范围〔〕x 2 , x 0A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x 2}D． { x | x 1或 x1}9． f (x)e x e x〔〕，那么以下正确的选项是2A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数 D．偶函数，在 R 上为减函数10．函数 y( 1) x 2 x 2得单调递加区间是〔〕2C ．[ 1,2]D ． [ 1,1]A ．( , 1]B ．[2,)22二、填空题〔每题 4 分，共计 28 分〕11． a2 ,b 2 ，那么实数 a 、b 的大小关系为．12：不用计算器计算272 100.12927233 037=___________．481x 2813．不等式3 2 x 的解集是 __________________________ ．314． n2, 1,0,1,2,3 ，假设 ( 1)n( 1)n，那么 n ___________ ．251 x 2ax2 x a 215．不等式1恒成立，那么 a 的取值范围是．2216．定义运算：aa (a b)2 x的值域为 _________________b(a，那么函数 f x 2xb b)17. 以以下图的是某池塘中的浮萍延长的面积( m 2 ) 与时间 t ( 月 ) 的关系 : y a t , 有以下表达 :① 这个指数函数的底数是 2；y/m 2 ② 第 5 个月时 , 浮萍的面积就会高出30m 2 ；8③ 浮萍从 4m 2 延长到 12m 2需要经过1.5 个月；④ 浮萍每个月增加的面积都相等；⑤ 假设浮萍延长到2m 2、 3m 2 、 6m 24所经过的时间分别为 t 1 、 t 2 、 t 3 ，那么t 1t 2t 3 .21其中正确的选项是．0 1 2 3t/ 月三、解答题：〔 10+10+12=32 分〕18． aa 17 ，求以下各式的值:3 31122〔 1〕a1 a1 ；〔 2〕 a 2a 2 ；〔 3〕 a 2 a 2 ( a 1) .a2a 219. 函数y a 2 x2a x1(a1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值.20. 〔 1〕 f ( x)2m 是奇函数，求常数 m 的值；3x1〔 2〕画出函数 y | 3x 1 | 的图象，并利用图象答复：k 为何值时，方程 | 3x 1| k 无解？有一解？有两解？参照答案一、选择题〔 4*10=40 分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案BADDCCADAC二、填空题〔 4*7=28 分〕11. a b ；； 13. { x | x 4或 x2} ； 14.－1或 215.(-2, 2)； 16.(0,1]17.①②⑤三、解答题：〔 10+10+12=32 分〕111118．解 : 〔1〕原式 (a2)3(a 2 )3( a2a 2 )(a a 11)a a18 。

指数函数习题及答案完整版

指数函数习题及答案Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】指数函数习题一、选择题1．定义运算ab＝，则函数f(x)＝12x的图象大致为( )2．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是( )A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同3．函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( ) A．(－1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1,1) D．(0,2)4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的定义域是A，函数g(x)＝lg(－1)的定义域是B，若AB，则正数a的取值范围( )A．a>3 B．a≥3C．a> D．a≥5．已知函数f(x)＝若数列{a n}满足a n＝f(n)(n∈N*)，且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是( )A．[，3) B．(，3)C．(2,3) D．(1,3)6．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－a x，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a 的取值范围是( )A．(0，]∪[2，＋∞)B．[，1)∪(1,4]C．[，1)∪(1,2]D．(0，)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．8．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y＝211．(2011·银川模拟)若函数y＝a2x＋2a x－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．12．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由ab＝得f(x)＝12x＝答案：A2.解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )．若x <0，则3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1. 答案：C4.解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由AB 知a x －2x >1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递增，则u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3. 答案：B5.解析：数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，所以，解得2<a <3. 答案：C6.解析：f (x )<x 2－a x <x 2－<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－的图象，当a >1时，必有a －1≥，即1<a ≤2，当0<a <1时，必有a ≥，即≤a <1，综上，≤a <1或1<a ≤2. 答案：C7.解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝，得a ＝.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝，得a ＝.故a ＝或. 答案：或8.解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]9.解析：如图满足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110.解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1.∴函数的定义域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋)2＋，∴当－4≤x ≤1时，t max ＝，此时x ＝－，t min ＝0，此时x ＝－4或x ＝1. ∴0≤t ≤.∴0≤≤.∴函数y ＝2341()2x x --+[，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋)2＋(－4≤x ≤1)可知，当－4≤x ≤－时，t 是增函数，当－≤x ≤1时，t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝1()2[－4，－]上是减函数，在[－，1]上是增函数．∴函数的单调增区间是[－，1]，单调减区间是[－4，－]．11.解：令a x ＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)． ②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x∈[a ，]，故当t ＝，即x ＝－1时， y max ＝(＋1)2－2＝14. ∴a ＝或－(舍去)．综上可得a ＝3或.12.解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝183a ＝2a ＝log 32. (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二：(1)同法一．(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x ＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.。

指数函数经典例题(答案)

指数函数1．指数函数的定义：函数y a x（a 0且a 1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：xx 在同一坐标系中分别作出函数y=2x，y= 1，y=10 x，y= 1的图象.我们观察y=2x，y= 1，y=10x，y= 1图象特征，就可以得到 2 10y a x（a 0且a 1）的图象和性质。

2 10指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例 1 已知函数f（x） x2 bx c满足f（1 x） f （1 x），且f（0） 3，则f（b x）与f ( c ) 的大小关系是___ ．分析：先求b，c的值再比较大小，要注意b x，c x的取值是否在同一单调区间内．解：∵ f (1 x) f (1 x) ，∴函数 f (x) 的对称轴是x 1．故b 2，又f(0) 3，∴ c 3．∴函数f(x)在∞，1 上递减，在1，∞ 上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴ f(3x)≥f(2x)；若x 0，则3x 2x 1，∴ f(3x) f(2x)．综上可得f(3x)≥f(2x)，即f(c x)≥f(b x)．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例 2 已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x，则x 的取值范围是_________________ ．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵ a2 2a 5 (a 1)2 4≥ 4 1 ，∴函数y (a2 2a 5)x在( ∞，∞) 上是增函数，∴3x 1 x，解得x 1．∴x的取值范围是1，∞ ．44 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例 3 求函数y 1 6x 2的定义域和值域．解：由题意可得 1 6x 2≥0，即6x 2≤1，∴x 2≤0，故x≤2．∴函数 f (x)的定义域是∞，2 ．令t 6x 2，则y 1 t ，又∵x≤2，∴x 2≤0．∴0 6x 2≤1，即0 t≤1．∴ 0 ≤ 1 t 1 ，即0 ≤y 1 ．∴函数的值域是0，1 ．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例 4 函数y a2x 2a x 1（a 0且a 1）在区间[ 1，1] 上有最大值14，则a 的值是．分析：令t a x可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令t a x，则t 0 ，函数y a2x 2a x 1可化为y （t 1）2 2 ，其对称轴为t 1 ．∴当 a 1 时，∵ x 1，1 ，∴ 1≤a x≤a，即1≤t≤a．aa∴当t a 时，y max （a 1）2 2 14．解得 a 3 或 a 5 （舍去）；当0 a 1时，∵ x 1，1 ，∴ a≤a x≤1，即a≤t≤1，aa211∴ t 时，y max 1 2 14 ，aa解得a 1或a 1（舍去），∴ a 的值是3或1．3 5 3 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例 5 解方程3x 2 32 x 80 ．解：原方程可化为9 （3x）2 80 3x 9 0，令t 3x（t 0），上述方程可化为9t2 80t 9 0，解得t 9或t 1（舍去），∴ 3x 9，∴ x 2 ，经检验原方程的9解是x 2 ．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例 6 为了得到函数y 9 3x 5 的图象，可以把函数y 3x的图象（）．A．向左平移9 个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移 5 个单位长度行判断．5 的图象，故选（ C ）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：1）若，比较与； 2）若，比较与； 3）若，比较与； 4）若，且，比较 a 与 b ； 5）若，且，比较 a 与 b ．D ．向右平移 2 个单位长度，再向下平移分析：注意先将函数 y 9 3x 5转化为 t5 个单位长度x25 ，再利用图象的平移规律进解：∵ y 9 3x 5 3x 2 5 ，∴把函数 y3x的图象向左平移 2 个单位长度，3x再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y 9解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，2）由，故．又，故（3）而，因，故．又．从而，故．从（4）应有．因若，则．又，故．又因，故．从而，这与已知，这样矛盾．（5）应有．因若，则．又因，且，故矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．．又，故．从而，这与已知，这样有2，曲线分别是指数函数, 和的图象,则与1 的大小关系是( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3，求下列函数的定义域与值域1(1)y＝2 x 3; (2)y＝4x+2x+1+1.1解：(1)∵x-3≠ 0，∴ y＝2 x 3的定义域为{ x｜x∈R且x≠3}.又∵ 1≠0，x31∴2x 3≠1，1∴y＝2 x 3的值域为{ y｜y>0 且y≠1} .(2)y＝4x+2x+1+1 的定义域为R.∵ 2x>0,∴ y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.∴y＝4x+2x+1+1 的值域为{ y｜y>1}. 4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2 3x·+1-9x 的最大值和最小值1解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以t 9 ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，3f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

(完整版)指数函数及其性质习题(含答案)

指数函数及其性质习题（含答案）一、单选题的图象可能是( ) 1．在同一坐标系内，函数y=x a(a≠0)和y=ax+1aA．B．C．D．−1，若f(a)=1，则f(−a)=（）2．已知函数f(x)=(e x+e−x)ln1−x1+xA．1B．−1C．3D．−33．已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x ＋b的图象大致是( )A．B．.C．D．4．已知a=log40.7，b=log23，c=0.20.6，则a,b,c的大小关系是( )A．c<b<a B．a<c<b C．b<a<c D．a<b<c5．函数y=a x+1−3（a>0，且a≠1）的图象一定经过的点是( )A．(0，−2)B．(−1,−3)C．(0，−3)D．(−1,−2)6．在同一坐标系中，函数y=2−x与y=−log2x的图象都正确的是（）A．B．C．D ．7．设a =20.5,b =0.52,c =log 20.5，则a,b,c 的大小关系为A ． c >a >bB ． c >b >aC ． a >b >cD ． b >a >c8．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，）A ．B ．C ．D ．9．若a ，b ，c 满足2a =3，b =log 25，3c =2，则（）A ． c <a <bB ． b <c <aC ． a <b <cD ． c <b <a二、填空题10．已知： 12a a -+=，则22a a -+=__________．11．函数()2x f x =在[]1,3-上的最小值是__________． 12．函数y=a x+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.13．求值：2log 323−log 3427−31+log 32=__________．14．函数f(x)=(12)−x2+2x+1的单调减区间为________． 15，.16．计算：． 17．若函数()()23x f x a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________18．已知函数()x f x a b =+ ()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．三、解答题19．（1）计算：(−3)−(1−0.5−2)÷(338)13；（2）已知a =log 32,3b =5用a,b 表示log 3√30．20．(1)(2)已知15a a-+=,求22a a -+和.21．计算：（1）)213013210.027163217---⎛⎫--+-+⋅ ⎪⎝⎭. （222．化简求值 (1) (827)23+(0.008)−23×225(2) 12523+(12)−2−(127)−13+10012+lg3+14lg9−lg √3lg81−lg2723．已知定义在R 上的函数f(x)=b−2x2x +a 是奇函数．⑴求a ， b 的值，并判断函数f(x)在定义域中的单调性（不用证明）；⑵若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．24．若函数f(x)=a x −1(a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值.25．（本小题满分10分）已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)是偶函数．（1）求实数k 的值;（2）设g(x)=log 4(a ⋅2x +a),若f(x)= g(x)有且只有一个实数解,求实数a 的取值范围．26．计算：(1) (−338)−23+0.002−12−10(√5−2)−1+(√2−√3)0； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg 22＋lg 16＋lg 0.06. 27．已知f(x)=4x−1−2x +5,x ∈[−2,2]．（1）求f(x)的值域．（2）若f(x)>3m 2+am +2对任意a ∈[−1,1]和x ∈[−2,2]都成立，求m 的取值范围．28．计算下列各式的值;(1)(2)参考答案1．B【解析】【分析】分两种情况讨论，利用函数的单调性，筛选排除即可得结果【详解】若a>0,y=x a在(0,+∞)递增，排除A,B选项，y=ax+1a递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即a>0时，不合题意；若a<0，y=x a在(0,+∞)递减，可排除C,D选项，由y=ax+1a递减可排除A，故选B.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→0+,x→0−,x→+∞,x→−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2．D【解析】分析：先化简f(a)=1得到(e a+e−a）ln1+a1−a=−2，再求f(−a)的值.详解：由题得(e a+e−a）ln1−a1+a −1=1,∴(e a+e−a）ln1−a1+a=2,∴−(e a+e−a）ln1+a1−a=2,∴(e a+e−a）ln1+a1−a=−2.所以f(−a)=(e−a+e a）ln1+a1−a−1=−2−1=−3.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.3．D【解析】【分析】根据二次函数的图象得到−1<b<0,a>1,继而得到g(x)=a x+b的图象经过一二三象限，问题得以解决.【详解】因为a,b 是二次函数的零点，由二次函数f (x )=(x −a )(x −b )（其中a >b ）的图象可知−1<b <0,a >1，所以g (x )=a x +b 的图象经过一二三象限，只有选项D 符合题意，故选D.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象4．B【解析】【分析】利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。

指数函数及其性质(含解析、答案)

A 基础练习2.1.2指数函数（1时） 1．下列函数是指数函数的是( ) A ．y ＝－2xB ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝2－x D ．y ＝1x【解析】 y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x，符合指数函数的定义，故选C.【答案】 C 2．函数y ＝(a －2)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．a>0且a ≠1B ．a>3C ．a<3D ．2<a<3【解析】由指数函数单调性知，底数大于1时为增函数，∴a －2>1，∴a>3，故选B. 【答案】 B 3．已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【解析】 ∵a ＝5－12∈(0,1)，故a m >a n ⇒m<n. 【答案】 m<n4．已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值．【解析】设指数函数f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，由题意得a 2＝4，∴a ＝2，∴f(x)＝2x ， ∴f(－3)＝2－3＝18.B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)【解析】由于函数y ＝a x 经过定点(0,1)，所以函数y ＝a x－2经过定点(2,1)，于是函数y ＝a x －2＋1经过定点(2,2)．【答案】 D2．f(x)＝⎝⎛⎭⎫12|x|，x ∈R ，那么f(x)是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数【解析】因为函数f(x)= |x|= 图象如右图．由图象可知答案显然是D. 【答案】 D3．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝21x B ．y ＝2x －1C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫122－x【解析】在A 中，∵1x ≠0，∴21x≠1，即y ＝21x的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．在B 中，2x －1≥0，∴y ＝2x －1的值域为[0，＋∞)．在C中，∵2x >0，∴2x ＋1>1.∴y ＝2x ＋1的值域为(1，＋∞)．在D 中，∵2－x ∈R ，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x>0. ∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x 的值域为(0，＋∞)．故选D.【答案】 D 4．方程4x －1＝116的解为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．1 【解析】 ∵4x －1＝116＝4－2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1.故选C. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．【解析】由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.【答案】 (0,1)6．函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【解析】函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在区间[－1,2]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫132≤⎝⎛⎭⎫13x ≤⎝⎛⎭⎫13－1，即19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3，于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89≤f(x)≤2.【答案】 [－89，2]三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f(x)＝a x －2(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，19，其中a>0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域．【解析】 (1)函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，19，所以a 4－2＝19＝⎝⎛⎭⎫132，∴a ＝13，(2)f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x －2(x ≥0)，由x ≥0，得x －2≥－2， ∴0<⎝⎛⎭⎫13x －2≤⎝⎛⎭⎫13－2＝9，∴函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域为(0,9]． 8．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x|； (4)y ＝－2x .【解析】如图所示．y=2x-1的图象是由y=2x 的图象向右平移1个单位得到；y=2x+1的图象是由y=2x 的图象向上平移1个单位得到；y=2|x|的图象是由y=2x 的y 轴右边的图象和其关于y 轴对称的图象组成的；y=-2x 的图象与y=2x 的图象关于x 轴对称．9．(10分)函数f(x)＝a x (a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．【解析】 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减， ∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，所求a 的值为12或32.2.1.2指数函数（2时） A 基础练习1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0} 【解析】因为N ＝{x|2－1<2x ＋1<22，x ∈Z }，又函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴N ＝{x|－1<x ＋1<2，x ∈Z } ＝{x|－2<x<1，x ∈Z }＝{－1,0}． ∴M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．故选B.【答案】 B2．设14<⎝⎛⎭⎫14b <⎝⎛⎭⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a【解析】由已知及函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x是R 上的减函数，得0<a<b<1.由y ＝a x (0<a<1)的单调性及a<b ，得a b <a a .由0<a<b<1知0<a b <1.∵⎝⎛⎭⎫a b a <⎝⎛⎭⎫a b 0＝1.∴a a <b a.故选C. 也可采用特殊值法，如取a ＝13，b ＝12.【答案】 C3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【解析】解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12.【答案】 124．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．【解析】对u ＝－x 2＋ax －1＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24－1，增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a 2，∴y 的增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a2，由题意知3≤a2，∴a ≥6. ∴a 的取值范围是a ≥6. B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2. 【答案】 D2．若⎝⎛⎭⎫142a ＋1<⎝⎛⎭⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.()1，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a>12.故选A.【答案】 A3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)【解析】因为f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，因为函数f(x)＝3x －1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.【答案】 B4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)【解析】根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a>01－2a<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<12a>0，即a ∈(0，12)．故选A.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.【解析】依题意，对一切x ∈R ，都有f(x)＝f(－x)，∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ， ∴(a －1a )(e x －1e x )＝0.∴a －1a ＝0，即a 2＝1.又a>0，∴a ＝1. 【答案】 16．下列空格中填“>、<或＝”． (1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.【解析】 (1)考察指数函数y ＝1.5x . 因为1.5>1，所以y ＝1.5x 在R 上是单调增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数y ＝0.5x .因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 在R 上是单调减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【答案】 <，<三、解答题(每小题10分，共20分) 7．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<⎝⎛⎭⎫1a 1－2x(a>0且a ≠1)．【解析】原不等式可以化为a 2x －1>a 12，因为函数y ＝a x (a>0且a ≠1)当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数，所以当a>1时，由2x －1>12，解得x>34；当0<a<1时，由2x －1<12，解得x<34.综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.8．已知a>0且a ≠1，讨论f(x)＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．【解析】设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋174，则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a>1时，y ＝a u 是增函数，当0<a<1时，y ＝a u 是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是增函数．当0<a<1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是增函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是减函数．9．(10分)已知函数f(x)＝3x ＋3－x . (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．【解析】 (1)f(－x)＝3－x ＋3－(－x)＝3－x＋3x ＝f(x)且x ∈R ，∴函数f(x)＝3x ＋3－x是偶函数．(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．现证明如下：设0≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋3－x 1－3x 2－2－x 2＝3x 1－3x 2＋13x 1－13x 2＝3x 1－3x 2＋3x 2－3x 13x 13x 2＝(3x 2－3x 1)·1－3x 1＋x 23x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴3x 2>3x 1，3x 1＋x 2>1， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数在[0，＋∞)上单调递增，即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。

指数函数经典例题(标准答案)

指数函数1．指数函数的定义： y a x（a 0且a 1）的图象和性质。

a>1 0<a<1图象111性质（1）定义域： R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（ 0，1），即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函（4）在 R 上是减函指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例 1 已知函数 f (x) x 2 bx c 满足 f (1 x) f (1 x)，且 f(0) 3 ，则 f(b x)与函数 y a x（a 0且a 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R我们观察 y= 2x ， y= 2 ， y=10x， y= 10 图象特征，就可以得到f(c ) 的大小关系是．分析：先求b，c的值再比较大小，要注意b x，c x的取值是否在同一单调区间内．解：∵ f (1 x) f (1 x) ，∴函数 f (x) 的对称轴是x 1 ．故b 2，又f(0) 3，∴ c 3．∴函数f(x)在∞，1 上递减，在1，∞ 上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴ f(3x)≥f(2x)；若x 0，则3x 2x 1，∴ f(3x) f(2x)．综上可得f(3x)≥ f(2x)，即f(c x)≥ f(b x)．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例 2 已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x，则x 的取值范围是_____ ．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵ a2 2a 5 (a 1)2 4≥ 4 1 ，∴函数y (a2 2a 5)x在( ∞，∞) 上是增函数，∴3x 1 x，解得x 1．∴x的取值范围是1，∞ ．44 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例 3 求函数y 1 6x 2的定义域和值域．解：由题意可得 1 6x 2≥0，即6x 2≤1，∴x 2≤0，故x≤2．∴函数 f (x)的定义域是∞，2 ．令t 6x 2，则y 1 t ，又∵ x≤2 ，∴ x 2≤ 0．∴ 0 6x 2≤1，即0 t≤1．∴ 0 ≤ 1 t 1 ，即0 ≤ y 1 ．∴函数的值域是0，1 ．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题例 4 函数 y a 2x 2a x 1（a 0且a 1）在区间 [ 1，1] 上有最大值 14，则a 的值是．分析：令 t a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t 的取值范围．解：令 t a x，则 t 0，函数 y a 2x 2a x 1可化为 y （t 1）22 ，其对称轴为 t 1 ．∴当a1 时，∵x 1，1 ，∴1≤ a x ≤ a ，即 1≤t ≤ a ． aa∴当t a 时， y max2(a 1)2214 ．解得a 3 或a 5 （舍去）当 0 a 1 时，∵ x 1，1 ，∴a ≤ a x≤ 1，即 a ≤ t ≤ 1， aa1 12∴ t 时， y max 1 2 14 ，aa解得a 1或a 1 （舍去），∴ a 的值是 3或1．3 5 3 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程例 5 解方程 3x 2 32 x80 ．解：原方程可化为 9 （3x ）2 80 3x 9 0 ，令 t 3x（t 0），上述方程可化为9t 2 80t 9 0，解得 t 9或t 1 （舍去），∴ 3x 9，∴ x 2 ，经检验原方程的 9解是 x 2 ．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例 6 为了得到函数 y 9 3x 5的图象，可以把函数 y 3x 的图象（）．A ．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B ．向右平移 9个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C ．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D ．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度分析：注意先将函数 y 9 3x5转化为t 3x 25 ，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵ y 9 3x5 3x 25 ，∴把函数 y 3x的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y 9 3x5的图象，故选（ C ）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：1）若，比较与2） 3） 4若，比较与；若，比较与；若，且，若，且，故解：（1）由，此时函数比较 a 与 b ；，比较 a 与 b ．为减函数．由，．又，故（3）由，因，故．又而．2）由，故．从而，故．从（4）应有．因若，则．又．又因，故．从而，（5）应有．因若，则．又，故这与已知，故这样矛，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数, 和的图象, 则与1 的大小关系是( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性, 确定, 在轴右侧令, 由小到大依次为, 故应选.小结: 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目由数到形的转化,第(2) 题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值3，求下列函数的定义域与值域1(1)y ＝2 x 3; (2)y ＝4x+2x+1+1.5、设，求函数的最大值和最小值．分析：注意到，设，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．解：设，由知，，函数成为，，对称轴，因端点较距对称．6．（9 分）已知函数 y a 2x 2a x1（a 1）在区间［－1,1］上的最大值是 14，求 a 的值.1．解： y a 2x 2a x 1（a 1），换元为 y t 22t 1（ t a ），对称轴为 t 1. a 当a 1，t a ，即 x=1 时取最大值，略解得 a=3 （a= －5舍去）7．已知函数（且（1）求的最小值；（2）若求的取值范围．．解：（ 1）时，有最小值为（ 2），解得当时，；当时，．28（10分）（1）已知 f （x ） x 2m 是奇函数，求常数 m 的值；3x12）画出函数 y |3x1|的图象，并利用图象回答： k 为何值时，方程 |3Ｘk 无解？有一解？有两解？，则原来的函数成为，故函数最小值为轴远，故函数的最大值为）解：（1）常数 m=1（2）当k<0时，直线y=k 与函数 y |3x1|的图象无交点 ,即方程无解;当k=0或k 1时, 直线y=k 与函数 y |3 1| 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y |3x 1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解。

指数函数(经典题、易错题)

指数函数（经典题、易错题）指数函数（经典题、易错题）一．选择题（共22小题）1．若函数，且0≤x≤1，则有（）A．f（x）≥1B．C．D．2．函数y=（）x2+2x﹣1的值域是（）A．（﹣∞，4）B．（0，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）3．函数的值域为（）A．（0，1]B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）4．函数y=4x+2x+1+5，x∈[1，2]的最大值为（）A．20B．25C．29D．315．函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1，2]，则函数的值域为（）A．[2，8]B．[0，8]C．[1，8]D．[﹣1，8]6．函数的值域是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（0，1]D．[1，+∞）7．（2011?山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．1D．8．设a、b、c、d都是大于零且不等于1的实数，y=ax、y=bx、y=cx、y=dx在同一坐标系中的图象如图（1）所示，则a、b、c、d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞dB．a＞b＞d＞cC．a＞d＞c＞bD．a＞c＞b＞d9．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）A．a＜b＜c＜dB．a＜b＜d＜cC．b＜a＜d＜cD．b＜a＜c＜d10．（2012?四川）函数y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．11．把函数y=2x﹣2+3的图象按向量平移，得到函数y=2x+1﹣1的图象，则向量=（）A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）12．函数y=3x﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．13．函数f（x）=4x+5×2x﹣1+1的值域是（）A．（0，1）B．[1，+∞）C．（1，+∞）D．[0，1]14．已知a=，b=，c=，则下列关系中正确的是（）A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜a＜c15．若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1的图象一定过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（1，0）D．（0，﹣1）16．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．a2＞b2B．（）a＜（）bC．lg（a﹣b）＞0D．＞117．函数的单调增区间为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0]18．函数y=ax﹣1+1（0＜a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（1，2）D．19．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=3﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a20．（2005?山东）下列大小关系正确的是（）A．0.43＜30.4＜log40.3B．0.43＜log40.3＜30.4C．log40.3＜0.43＜30.4D．log40.3＜30.4＜0.4321．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a22．比较a，b，c的大小，其中a=0.22，b=20.2，c=log0.22（）A．B．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c二．填空题（共2小题）23．函数的单调递增区间是_________ ．24．（2005?上海）方程4x+2x﹣2=0的解是_________ ．指数函数（经典题、易错题）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．若函数，且0≤x≤1，则有（）A．f（x）≥1B．C．D．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931专题：计算题．分析：结合指数函数数在[0，1]上的单调性可求．解答：解：∵0≤x≤1且函数单调递减∴故选D点评：本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础试题．2．函数y=（）x2+2x﹣1的值域是（）A．（﹣∞，4）B．（0，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931专题：计算题．分析：本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可．解答：解：由题意令t=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2≥﹣2∴y=≤=4∴0＜y≤4故选C点评：本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质．3．函数的值域为（）A．（0，1]B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931专题：计算题．分析：画出f（x）的图象，由f（x）图象f（x）可得的值域．解答：解：函数的图象如图：由f（x）的图象可得：f（x）的值域为（0，+∞）．故选B．点评：本题考查指数函数的值域，用到了指数函数的图象．4．函数y=4x+2x+1+5，x∈[1，2]的最大值为（）A．20B．25C．29D．31考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的最值及其几何意义．1091931专题：计算题．分析：由x∈[1，2]，知2≤2x≤4，把y=4x+2x+1+5转化为y=（2x+1）2+4，当2x=4时，ymax=（4+1）2+4=29．解答：解：∵x∈[1，2]，∴2≤2x≤4，∴y=4x+2x+1+5=（2x）2+2×2x+5=（2x+1）2+4，当2x=4时，ymax=（4+1）2+4=29．故选C．点评：本题考查指数函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．5．函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1，2]，则函数的值域为（）A．[2，8]B．[0，8]C．[1，8]D．[﹣1，8]考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931专题：计算题．分析：设t=|x|可得出t∈[0，2]，根据指数函数的单调性求出值域即可．解答：解：设t=|x|∵函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1，2]，∴t∈[0，2]∴y=3t﹣1∴y=3t﹣1在t∈[0，2]的值域为[0，8]故选B．点评：本题考查了指数函数的定义域和值域，求出函数y=3t﹣1的定义域是解题的关键，属于基础题．6．函数的值域是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（0，1]D．[1，+∞）考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931专题：计算题．分析：本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可．解答：解：由题意令t=x2≥0∴y=≤=1∴0＜y≤1故选C点评：本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质．7．（2011?山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．1D．考点：指数函数的图像与性质．1091931专题：计算题．分析：先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答．解答：解：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2．∴=．故选D．点评：对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现．在解答这些知识点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题往往都可以迎刃而解．8．设a、b、c、d都是大于零且不等于1的实数，y=ax、y=bx、y=cx、y=dx在同一坐标系中的图象如图（1）所示，则a、b、c、d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞dB．a＞b＞d＞cC．a＞d＞c＞bD．a＞c＞b＞d考点：指数函数的图像与性质．1091931专题：综合题．分析：通过作直线x=1与图象交于四点，利用这几个点的位置关系，从而确定a，b，c，d的大小关系．解答：解：∵a1=a，∴作直线x=1与图象分别交于A，B，C，D点，则它们纵坐标分别为：a，b，c，d由图a＞b＞c＞d故选A．点评：本题考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的思想方法，是个基础题．9．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）A．a＜b＜c＜dB．a＜b＜d＜cC．b＜a＜d＜cD．b＜a＜c＜d考点：指数函数的图像与性质．1091931专题：数形结合．分析：要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx 交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．解答：解：作辅助直线x=1，当x=1时，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的函数值正好是底数a、b、c、d直线x=1与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c故选：C．点评：本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．10．（2012?四川）函数y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．1091931专题：计算题．分析：a＞1时，函数y=ax﹣a在R上是增函数，且图象过点（1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=ax﹣a在R上是减函数，且图象过点（1，0），故排除D，由此得出结论．解答：解：函数y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移a个单位得到的．当a＞1时，函数y=ax﹣a在R上是增函数，且图象过点（1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=ax﹣a在R上是减函数，且图象过点（1，0），故排除D，故选C．点评：本题主要考查指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．把函数y=2x﹣2+3的图象按向量平移，得到函数y=2x+1﹣1的图象，则向量=（）A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）考点：指数函数的图像变换．1091931专题：计算题．分析：我们可以用待定系数法解答本题，先设出平移向量的坐标，根据函数图象的平移法则，我们可以求出平移后函数的解析式，根据已知我们可构造出一个关于h，k的二元一次方程组，解方程组即可求出平移向量的坐标．解答：解：设平移向量=（h，k）则函数y=2x﹣2+3的图象平移后得到的函数解析式为：y=2x﹣h﹣2+3+k即x﹣h﹣2=x+1且3+k=﹣1解得h=﹣3，k=﹣4故向量=（﹣3，﹣4）故选A点评：本题考查的知识点是函数图象的平移变换，其中根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于h，k的二元一次方程组，是解答本题的关键．12．函数y=3x﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．1091931专题：作图题．分析：可利用排除法解此选择题，由特殊点（0，0）在函数图象上可排除A、B；由特殊性质函数的值域为（﹣1，+∞），排除C，即可得正确选项解答：解：由函数y=3x﹣1的图象过（0，0）点，排除A、B，由函数y=3x﹣1的值域为（﹣1，+∞），排除C故选 D点评：本题考查了指数函数的图象变换，排除法解选择题13．函数f（x）=4x+5×2x﹣1+1的值域是（）A．（0，1）B．[1，+∞）C．（1，+∞）D．[0，1]考点：指数函数的单调性与特殊点．1091931专题：计算题．分析：令2x=t，t＞0，则函数f（x）=t2+t+1，利利用二次函数的性质求出值域．解答：解：令2x=t，t＞0，则函数f（x）=t2+t+1=﹣＞﹣=1，且由二次函数的性质知，函数f（x）=﹣无最大值，故值域为（1，+∞）．故选 C．点评：本题考查指数函数的单调性和值域，二次函数的值域的求法，体现了换元的思想．14．已知a=，b=，c=，则下列关系中正确的是（）A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜a＜c考点：指数函数的单调性与特殊点．1091931专题：常规题型．分析：利用幂的运算性质将a化简；由于三个数同底；研究指数函数的单调性，判断出三个数的大小．解答：解：∵∵是同底数的幂考查指数函数是减函数故选D点评：本题考查指数函数的单调性取决于底数的范围、考查利用指数函数的单调性比较幂的大小．15．若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1的图象一定过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（1，0）D．（0，﹣1）考点：指数函数的单调性与特殊点．1091931专题：计算题．分析：令令x﹣1=0求出x的值，代入解析式求出定点的坐标．解答：解：令x﹣1=0得，x=1，代入数y=ax﹣1=1，∴函数y=ax﹣1的图象一定过点（1，1），故选B．点评：本题考查了指数函数的图象过定点（0，1）的应用，令指数为零求解即可，是基础题．16．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．a2＞b2B．（）a＜（）bC．lg（a﹣b）＞0D．＞1考点：指数函数的单调性与特殊点．1091931专题：计算题．分析：不妨设 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项进行检验可得 A、C、D 都不正确，只有B正确，从而得到结论．解答：解：令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项进行检验可得 A、C、D 都不正确，只有B正确，故选B．点评：本题考查不等式的性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．17．函数的单调增区间为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0]考点：指数函数的单调性与特殊点．1091931专题：计算题．分析：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性，根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数．解答：解：外层函数是，内层函数是y=x2+2x由题意可得外层函数是减函数∵根据复合函数同增异减的性质∴只要找到y=x2+2x的减区间即可∵y=x2+2x的对称轴是x=﹣1∴它的减区间为（﹣∞，﹣1）∴函数的增区间为（﹣∞，﹣1）．点评：复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性（1）如果两个都是增的，那么函数就是增函数（2）一个是减一个是增，那就是减函数（3）两个都是减，那就是增函数．18．函数y=ax﹣1+1（0＜a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（1，2）D．（0，2）考点：指数函数的单调性与特殊点．1091931专题：计算题．分析：由a0=1，可得当x=1时，函数y=ax﹣1+1=a0+1=2，从得到函数y=ax﹣1+1（0＜a≠1）的图象必经过的定点坐标．解答：解：由a0=1，可得当x=1时，函数y=ax﹣1+1=a0+1=2，故函数y=ax﹣1+1（0＜a≠1）的图象必经过点（1，2），故选C．点评：本题主要考查指数函数的单调性及特殊点，属于基础题．19．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=3﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a考点：指数函数单调性的应用．1091931专题：计算题．分析：先取中间量1，利用指数函数的图象性质，判断c最小，排除C、D；再将a、b两数变形比较，即可得正确选项解答：解：利用指数函数的图象性质知a＞1，b＞1，而c＜1，故c最小，排除C、D∵a=＜31=3，b==53=125∴b＞a故选B点评：本题主要考查了幂的大小的比较，利用指数函数图象和幂的运算性质比较大小的技巧20．（2005?山东）下列大小关系正确的是（）A．0.43＜30.4＜log40.3B．0.43＜log40.3＜30.4C．log40.3＜0.43＜30.4D．log40.3＜30.4＜0.43考点：指数函数单调性的应用．1091931专题：常规题型．分析：结合函数y=0.4x，y=3x，y=log4x的单调性判断各函数值与0和1的大小，从而比较大小．解答：解：∵0＜0.43＜0.40=1，30.4＞30=1，log40.3＜log0.41=0∴log40.3＜0.43＜30.4故选C点评：本题是指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．21．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a考点：指数函数单调性的应用．1091931专题：证明题．分析：先利用指数函数y=为R上的单调减函数，比较a、b的大小，排除A、B，再利用幂函数y=x3在R上为增函数，比较b、c的大小，即可得正确选项解答：解：考察函数y=为R上的单调减函数，∴，即a＜b，排除A、B；∵b3=，c3==，∴b3＞c3，考察幂函数y=x3在R上为增函数，∴b＞c，排除D；故选 C点评：本题主要考查了指数函数、幂函数的图象和性质，利用函数的单调性比较大小的方法和技巧，属基础题22．比较a，b，c的大小，其中a=0.22，b=20.2，c=log0.22（）A．b＞c＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c考点：指数函数单调性的应用；不等式比较大小．1091931专题：计算题．分析：将log0.22看作函数y=log0.2x当x=2时所对应的函数值小于零，将a=0.22看作函数y=0.2x 当x=2时所对应的函数值小于1，将b=20.2看作函数y=2x当x=0.2时所对应的函数值大于1．解答：解：根据对数函数的性质可知c=log0.22＜0根据指数函数的性质可知0＜0.22＜1，20.2＞1∴b＞a＞c故选D点评：本题主要考查在数的比较中，我们要注意函数思想的应用．二．填空题（共2小题）23．函数的单调递增区间是（﹣1，+∞）．考点：指数函数综合题．1091931专题：计算题．分析：令t=x2+2x﹣3，则y=3t，本题即求函数t=x2+2x﹣3的增区间，由二次函数的性质可得函数t=x2+2x﹣3的增区间为（﹣1，+∞）．解答：解：函数=，令t=x2+2x﹣3，则y=3t．故本题即求函数t=x2+2x﹣3的增区间．由二次函数的性质可得函数t=x2+2x﹣3的增区间为（﹣1，+∞），故答案为（﹣1，+∞）．点评：本题主要考查指数型复合函数的单调性的应用，二次函数的性质，属于中档题．24．（2005?上海）方程4x+2x﹣2=0的解是0 ．考点：指数函数综合题．1091931专题：计算题；转化思想．分析：先换元，转化成一元二次方程求解，进而求出x的值．解答：解：令t=2x，则t＞0，∴t2+t﹣2=0，解得t=1或t=﹣2（舍）即2x=1；即x=0；故答案为0．点评：考查了指数运算，对于不是同底的指数问题，首先换成同一底数，体现了换元的思想，在换元中注意新变量的取值范围．属容易题．。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0，所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增，所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)，故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．4、函数y =2x −2−x （）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数，故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（） A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a．故选：B ．8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ，则（） A ．任意a ∈R ，函数f (x )的值域为R B ．任意a ∈R ，函数f (x )都有零点C ．任意a ∈R ，存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D ．当a ∈(−∞,−4]时，任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案：BD分析：画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)对于选项A，由图像可知，当a<x1时，f(x)的值域不为R，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数f(x)都有零点，故B正确对于选项C，当x>0时g(−|x|)=g(−x)，g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D，若x1<a，x2<a，因为y=−(x+1)2为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a，x2>a因为y=e x−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1，x2不在同一区间时，因为a∈(−∞,−4]，所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方，所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选：BD10、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案.如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .故选：AB11、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.0.2依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，×0.5万册，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元，0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，0.2故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是：2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34，所以答案是：a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R；②值域为(−∞,1)；③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案：f(x)=1−12x（答案不唯一）分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R；12x>0，f(x)=1−12x<1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是：f(x)=1−12x（答案不唯一）.解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。

超详细指数函数习题及答案(经典)

指数函数习题一、选择题a ≤ba>bab ，则函数 f(x)＝ 1? 2x的图象大致为 ()1．定义运算 a? b ＝2－bx ＋ c 满足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)且 f(0) ＝ 3，则 f(b xx2．函数 f(x)＝x )与 f(c )的大小关系是 ()x x) ≤f (c ) A ． f(b xxB ． f (b ) ≥f ( c )C ． f(b )>f( c )D ．大小关系随 xxx 的不同而不同x－ 1|在区间 (k － 1， k ＋ 1)内不单调，则 B ． (－∞，1) D ．(0,2)k 的取值范围是 ( )3．函数 y ＝|2 A ． (－ 1，＋ ∞ ) C ． (－ 1,1)x－2x－1)的定义域是 B ，若 4．设函数 f(x)＝ ln[( x － 1)(2－ x)] 的定义域是 A ，函数 g(x)＝ lg( a A? B ，则正数 A ． a>3 a 的取值范围 ( ) B ． a ≥3 D ． a ≥ 5 C ． a> 5－ a x － 3， x ≤7， *若数列 a n ＝ f(n)(n ∈ N { a n } 满足 5．已知函数 f( x)＝) ，且 { a n } 是递增x － 6， x>7.a数列，则实数 a 的取值范围是 ( )99 ， 3) B ． ( ， 3)4 D ． (1,3)A ． [ 4C ． (2,3)x ∈ (－ 1,1)时，均有 f(x)<1，则实数 a 的取值范围是 ( 2 a ≠1，f (x)＝ x 2－ a x，当 )6．已知 a>0 且 1] ∪[2 ，＋∞ ) 1 ， 1) ∪(1,4] A ． (0， 2 B ． [41 1， 1)∪ (1,2] D ．(0，C ． [ 24)∪ [4 ，＋ ∞) 二、填空题ax，则 a 的值是． 7．函数 y ＝a (a>0，且 a ≠1在) [1,2] 上的最大值比最小值大2x＋1 与直线 y ＝ b 没有公共点，则 b 的取值范围是． 8．若曲线 |y|＝2 |x|的定义域为 9． (2011 滨·州模拟 )定义：区间 [x 1，x 2]( x 1<x 2)的长度为 x 2－x 1.已知函数 [ a ， y ＝ 2 b]，值域为 [1,2] ，则区间 [a ， b] 的长度的最大值与最小值的差为．三、解答题 x23 x 42的定义域、值域和单调区间．10．求函数 y ＝2 x ＋2a x－ 1(a>0 且 a ≠1x ∈ [－ 1,1] 上的最大值为 14，求 a11． (2011 银·川模拟 )若函数 y ＝a 的值．x ， f (a ＋ 2)＝ 18， g(x)＝ λ·3ax －4x的定义域为 [0,1] ． 12．已知函数 f(x)＝ 3 (1) 求 a 的值；(2) 若函数 g(x)在区间 [0,1] 上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案 xa b a ≤ba >bx x，2 1x1. 解析：由 a ?b ＝得 f ( x ) ＝ 1?2 ＝答案： A解析：∵ f (1 ＋ x ) ＝ f (1 －x ) ，∴ f ( x ) 的对称轴为直线 x ＝ 1，由此得 b ＝ 2. 2. 又若若f (0) ＝ 3，∴ c ＝ 3. ∴ f ( x ) 在( －∞， 1) 上递减，在 (1 ，＋∞ ) 上递增． xxxxx ≥0，则 3 ≥2≥1，∴ x <0，则 3 <2 <1，∴ f (3 f (3 ) ≥f (2 ) ．)> f (2 ) ． x x x xx x∴f (3 ) ≥ f (2 ) ．答案： A3. 解析：由于函数 xy ＝ |2 －1| 在 ( －∞， 0) 内单调递减，在 (0 ，＋∞ ) 内单调递增，而函数在区间 ( k － 1， k ＋ 1) 内不单调，所以有答案： Ck －1<0<k ＋ 1，解得－ 1<k <1. xxxx解析：由题意得： A ＝(1,2) ，a － 2 >1 且 a >2，由 A ? B 知 a － 2 >1 在 (1,2) 上恒成立，即4. x x x x x xa －2 － 1>0 在 (1,2) 上恒成立，令 u ( x ) ＝a － 2 － 1，则 u ′(x ) ＝ a ln a － 2 ln2>0 ，所以函数u ( x ) 在 (1,2) 上单调递增，则答案： Bu ( x )> u (1) ＝ a － 3，即 a ≥3. *5. 解析：数列 { a n } 满足 a n ＝ f ( n )( n ∈N ) ，则函数 f ( n ) 为增函数， a >18－63－a >0 注意 a >(3 － a ) ×7－ 3，所以，解得 2<a <3.8－ 6a－ a ×7－3 答案： C1 2 1 21 12 x 2 x x 2 6. 解析： f ( x )< － a < － <a ，考查函数 y ＝ a 与 y ＝x －的图象，? x ? x 2 21－ 1当 a >1 时，必有 a ≥ 2，即 1<a ≤2，1 1当 0<a <1 时，必有 a ≥ ，即 ≤a <1，2 21综上， ≤ a <1 或 1<a ≤2.2 答案： Ca3 x2x7. 解析：当 a >1 时， y ＝ a 在 [1,2] 上单调递增，故 a － a ＝ 2 ，得 a ＝ 2. 当 0<a <1 时， y ＝ aa 1 1 3 2在[1,2] 上单调递减，故 a － a ＝，得 a ＝ . 故 a ＝或 .2 2 2 21 3答案：或2 28. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．xx曲线 | y | ＝ 2 ＋1 没有公共点，则答案： [ － 1,1]与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果 | y | ＝ 2 ＋ 1 与直线 y ＝ bb 应满足的条件是 b ∈ [ － 1,1] ． 9. 解析：如图满足条件的区间[ a ， b ] ，当 a ＝－ 1， b ＝0 或 a ＝0， b ＝ 1 时区间长度最小，最小值为答案： 11，当 a ＝－ 1，b ＝ 1 时区间长度最大，最大值为 2，故其差为 1.2210. 解：要使函数有意义，则只需－－3x ＋4≥0，即＋3x －4≤0，解得－ 4≤ x ≤1. x x ∴函数的定义域为 { x | －4≤ x ≤1} ．3 25 222 令 t ＝－ x － 3x ＋ 4，则 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋，2 425 4 ，此时 3x ＝－ 2∴当－ 4≤ x ≤ 1 时， t max ＝，t min ＝ 0，此时 x ＝－ 4 或 x ＝ 1. 25 5 2∴0≤ t ≤ . ∴0≤ － x － 3x ＋4≤ .4 2122x 2 3 x 4∴函数 y ＝ ( 的值域为 [ ，1] ．)83 2522 由 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋ ( －4≤ x ≤1) 可知，2 43当－ 4≤ x ≤－时， t 是增函数，2 3 当－ ≤ x ≤1 时， t 是减函数．2 根据复合函数的单调性知：1 23 23x 2 3 x 4y ＝ ( 在 [ － 4，－ ] 上是减函数，在 [ －，1] 上是增函数．)2 3 3 ∴函数的单调增区间是 [ －，1] ，单调减区间是 2 [ －4，－ ] ． 2x2211. 解：令 a ＝ t ，∴ t >0，则 y ＝t ＋ 2t － 1＝ ( t ＋ 1) －2，其对称轴为在[ － 1，＋∞ ) 上是增函数．t ＝－ 1. 该二次函数 1 x2①若 a >1，∵ x ∈ [ － 1,1] ，∴ t ＝ a ∈ [ ，a ] ，故当 t ＝a ，即 x ＝ 1 时， y max ＝a ＋ 2a － 1＝14，a解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ．②若 0<a <1，∵ x ∈ [ － 1,1] ，1 1 x∴t ＝ a ∈ [ a ，a ] ，故当 t ＝ a，即 x ＝－ 1 时，ymax＝ ( a＋ 1) － 2＝ 14. 1 21 1∴a ＝或－ ( 舍去 ) ．3 5 1 综上可得 a ＝ 3 或 .3a ＋2a12. 解：法一： (1) 由已知得 3 ＝ 18? 3 ＝ 2? a ＝ log 32.(2) 此时 g ( x ) ＝ λ ·2－4 ，设 0≤ x 1<x 2≤1，xx因为所以由于 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，g ( x 1) － g ( x 2) ＝ (2 x 1－ 2x 2)( λ － 2x 2－ 2x 1)>0 恒成立，即 2x 2＋2x 1>2 ＋ 2 ＝ 2， λ <2x 2＋2x 1 恒成立．0 0所以实数 λ 的取值范围是法二： (1) 同法一．λ≤2. xx(2) 此时 g ( x ) ＝ λ ·2－4 ，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数， xxx 2x所以有 g ′(x ) ＝ λ ln2 ·2－ln4 ·4＝ ln2[ －2·(2) ＋ λ ·2] ≤0成立．x2设 2 ＝ u ∈ [1,2] ，上式成立等价于－ 2u ＋ λu ≤0恒成立．因为 u ∈ [1,2] ，只需 λ ≤2u 恒成立，所以实数 λ 的取值范围是 λ≤2.。

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指数函数1．指数函数的定义：函数)1(≠>=aaay x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101的图象.我们观察y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101图象特征，就可以得到)1(≠>=aaay x且的图象和性质。

a>1 0<a<1图象00性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1已知函数2()f x x bx c=-+满足(1)(1)f x f x+=-，且(0)3f=，则()xf b与()x f c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内．解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增．若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=．解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤，∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程的解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =⨯+的图象，故选（C ）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a 与b ；（5）若，且，比较a 与b ．解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．（2）由，故．又，故．从而．（3）由，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值3，求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.4，已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

5、设，求函数的最大值和最小值．分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．解：设，由知，，函数成为，，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为．6．（9分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.．解： )1(122>-+=a a a y x x ，换元为)1(122a t at t y <<-+=，对称轴为1-=t .当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略解得 a =3 (a = －5舍去)7．已知函数（且）（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围．．解：（1），当即时，有最小值为（2），解得当时，；当时，．8（10分）（1）已知m x f x+-=132)(是奇函数，求常数m 的值；（2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？解：（1）常数m =1（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象无交点,即方程无解;当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数|13|-=xy 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当0<k <1时, 直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。

9．若函数是奇函数，求的值．．解：为奇函数，，即，则，10. 已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值解：由已知得（3x ）2-10·3x +9≤0 得（3x -9）（3x-1）≤0 ∴1≤3x ≤9 故0≤x ≤2而y=(41)x-1-4·(21)x +2= 4·（21）2x -4·（21）x +2令t=（21）x （141≤≤t ）则y=f （t ）=4t 2-4t+2=4（t-21）2+1当t=21即x=1时，y min =1当t=1即x=0时，y max =2 11．已知，求函数的值域．解：由得，即，解之得，于是，即，故所求函数的值域为12. (9分)求函数2222++-=x x y 的定义域，值域和单调区间定义域为R 值域（0，8〕。

（3）在（-∞， 1〕上是增函数在〔1，+∞）上是减函数。

13 求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫⎝⎛x x 的单调区间.分析这是复合函数求单调区间的问题可设y ＝u ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31为减函数∴u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u ＝x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减，当x ∈(-∞，23)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［23，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.14 ，已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.解：(1)易得f(x)的定义域为｛x ｜x ∈R ｝.设y ＝11+-x x a a ,解得a x ＝-11-+y y ①∵a x >0当且仅当-11-+y y >0时，方程①有解.解-11-+y y >0得-1<y<1. ∴f(x)的值域为｛y ｜-1＜y ＜1}.(2)∵f(-x)＝11+---x x a a ＝x xa a +-11＝-f(x)且定义域为R ，∴f(x)是奇函数.(3)f(x)＝12)1(+-+x x a a ＝1-12+x a .1°当a>1时，∵a x +1为增函数，且a x +1>0.∴12+x a 为减函数，从而f(x)＝1-12+x a ＝11+-x x a a 为增函数.2°当0<a<1时，类似地可得f(x)＝11+-x x a a 为减函数.15、已知函数f （x ）=a －122+x （a ∈R ），（1）求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数．（2）若f （x ）为奇函数时，求a 的值。