2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——6.数列
2011-高考新课标全国卷理科数学分类汇编
2011—2017年新课标全国卷理科数学【2018年】数学（2011—2017）真题分类汇编班级：姓名：砚山县第二高级中学王永富目录1、集合与常用逻辑用语 (1)2、函数及其性质 (2)3、导数及其应用 (4)4、三角函数、解三角形 (11)5、平面向量 (16)6、数列 (17)7、不等式、线性规划、推理与证明……………………………………………………208、立体几何 (22)9、解析几何 (30)10、统计、概率分布、计数原理 (40)11、复数及其运算 (55)12、程序框图 (57)13、坐标系与参数方程.................................................................................60 14、不等式选讲 (66)1．集合与常用逻辑用语一、选择题【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）A ．{|0}AB x x =<I B ．A B =R UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I 【2016，1】设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I （ ）A ．)23,3(--B ．)23,3(-C ．)23,1(D ．)3,23(【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n =【2014，1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( )A ．[-2,-1]B ．[-1,2）C ．[-1,1]D ．[1,2）【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |x ，则( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10（2017·2）设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5（2016·2）已知集合A ={1，2，3}，B ={x |(x +1)(x -2)<0，x ∈Z }，则A B =U （ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2，3}（2015·1）已知集合A ={-2，-1，0，2}，B ={x |(x -1)(x +2)<0}，则A ∩B =（ ）A ．{-1，0}B ．{0，1}C ．{-1，0，1}D ．{0，1，2}（2014·1）设集合M ={0, 1, 2}，N ={}2|320x x x -+≤，则M N I =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}（2013·1）已知集合M ={x|(x-1)2< 4, x ∈R }，N ={-1，0，1，2，3}，则M ∩ N =（ ）A.{0, 1, 2}B.{-1, 0, 1, 2}C.{-1, 0, 2, 3}D.{0, 1, 2, 3}（2012·1）已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 10（2011·10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（ ）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦a b3:10,3P πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3P πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a bA ． P 1，P 4B ．P 1，P 3C ．P 2，P 3D ．P 2，P 42．函数及其性质一、选择题【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．c c b a <B ．cc ba ab < C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 【2012，10】已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）【2011，12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2xy -=【2015，13】若函数f (x )=x ln （x ）为偶函数，则a = （2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >>（2013·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A.00,()0x f x ∃∈=RB.函数()y f x =的图像是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减A ．B ．D ．D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=（2014·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________.3．导数及其应用一、选择题【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．1ln2-B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+【2011，9】由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．（2017·11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - （2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2015·5）设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12（2015·10）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP =x. 将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．（2015·12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U（2014·8）设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3（2014·12）设函数()x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ） A ．(,6)(6,+)-∞-∞UB ．(,4)(4,+)-∞-∞UC ．(,2)(2,+)-∞-∞UD ．(,1)(4,+)-∞-∞U （2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >>（2012·12）设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ） A. 2ln 1-B. )2ln 1(2-C. 2ln 1+D. )2ln 1(2+（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=（2011·9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103B ．4C ．163D ．6（2011·12）函数11y x =-的图像与函数2sin ,(24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8（2014·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________.（2016·16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = .三、解答题【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数．【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．【2013，21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．【2012，21】已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．（1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．三、解答题（2017·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数2()2xx f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>；（Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax ag x x x -->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.14．（2015·21）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,，x 2∈[-1，1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1，求m 的取值范围．15．（2014·21）已知函数()2x x f x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到）.16．（2013·21）已知函数()ln()x f x e x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.17.（2012·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值.18．（2011·21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.6．二项式定理一、选择题（2013·5）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）A.4-B.3-C.2-D.1-（2011·8）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A ．- 40B ．- 20C ．20D ．40（2015·15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_______． （2014·13）10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.4．三角函数、解三角形一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=o o o o（ ）A ． C ．12- D ．12【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（ ）【2014，8】设，，且，则（ ）． ． ． ．【2012，9】已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，]C ．（0，]D ．（0，2]【2011，5】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=A ．B ．C ．D ． 【2011，11】设函数的最小正周期为，且，则（ ）A ．在单调递减B ．在单调递减C ．在单调递增D ．在单调递增（2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈（2016·9）若3cos()45πα-=，则sin 2α =（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-（2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC ，则AC =（ ）A ．5BC ．2D ．1二、填空题【2015，16】在平面四边形中，，，则的取值范围是 ． 【2014，16】已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 ．【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________． 【2011，16】在中，，则的最大值为 ．（2017·14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 45A =，1cos 53C =，a = 1，则b = .（2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. （2013·15）设为第二象限角，若，则_________. 三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为 （1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．【2012，17】已知，，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，．（1）求A ；（2）若，△ABC 的面积为，求，．（2017·17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．（2015·17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin BC∠∠；（Ⅱ） 若AD =1，DC =2 ，求BD 和AC 的长．（2013·17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.5．平面向量一、选择题【2015，7】设为所在平面内一点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是（ ）A ．B ．C ．D ．【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ． 【2016，13】设向量a ，b ，且abab ，则 ．【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若，则与的夹角为 ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t＝__________．【2012，13】已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ||b =r_________．（2017·12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- （2016·3）已知向量(1)(32)，，=，m =-a b ，且()⊥a +b b ，则m =（ ）A ．-8B ．-6C ．6D ．8（2014·3）设向量a ,b rr 满足|a b |+=r r |a b |-r r a b ⋅r r =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5（2015·13）设向量a ，b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ____________． （2013·13）已知正方形的边长为2，为的中点，则_______.（2012·13）已知向量a ，b 夹角为45º，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .6．数列一、选择题【2017，4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【2016，3】已知等差数列前项的和为，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【2013，7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝，c n ＋1＝，则( )．A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【2013，14】若数列{a n }的前n 项和，则{a n }的通项公式是a n ＝__________． 【2012，5】已知{}为等比数列，，，则（ ） A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 （2017·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 （2015·4）已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84（2013·3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）A.13B.13-C.19D.19-（2012·5）已知{a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a 5 a 6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. -5D. -7（2017·15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． （2015·16）设S n 是数列{a n }的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则S n =________________． （2013·16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____.（2012·16）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为 .二、填空题【2016，15】设等比数列满足，，则的最大值为 ．【2012，16】数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为__________．三、解答题【2015，17】为数列的前项和．已知＞0，2243nn n a a S +=+．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【2014，17】已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数．(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由．【2011，17】等比数列的各项均为正数，且（Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）设 求数列的前n 项和．（2016·17）（满分12分）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28. 记b n =[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[]=0，[lg99]=1. （Ⅰ）求b 1，b 11，b 101；（Ⅱ）求数列{b n }的前1 000项和.（2014·17）已知数列{a n }满足a 1 =1，a n +1 =3 a n +1. （Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明：123111…2n a a a +++<.（2011·17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++L L ，求数列1{}nb 的前n 项和.7．不等式、线性规划、推理与证明一、选择题【2014，9）】不等式组的解集记为．有下面四个命题： ：；：；：； 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-． 其中真命题是（ ）A ．2p ，3PB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，【2017，14】设x ，y 满足约束条件，则的最小值为 ．【2016，16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【2015，15】若x ,y 满足约束条件，则的最大值为 ．【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为 ．【2012，14】设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为___________．【2011，13】若变量满足约束条件则的最小值为 ．（2017·5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9（2014·9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．2（2013·9）已知0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ） A.14B.12二、填空题（2015·14）若x ，y 满足约束条件1020+220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．（2014·14）设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ，则2z x y =-的取值范围为 . （2011·13）若变量x ， y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .8．立体几何（含解析）一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 【2016，11】平面过正方体的顶点，平面， 平面 ，平面，则所成角的正弦值为A ．B ．C ．D ．【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为，则（）A．1 B．2 C．4 D．8【2015年，11题】【2014年，12题】【2013年，6题】【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）．．．6 ．4【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π【2013年，8】【2012年，7】【2011年，6】【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．15【2012，11】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）【2011，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 ． （2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π （2017·10）已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）ACD（2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π（2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A ．81B ．71C ．61D ．51 （2015·9）已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90º，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π（2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A ．1727B ．59C ．1027D ．13（2014·11）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA =90º，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A ．110B ．25CD（2013·4）已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，2016，62015，62014，6l β⊄，则（ ）A.α αβ⊥l β⊥C.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l（2013·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）（2012·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. 6B. 9C. 12D. 18（2012·11）已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） A.62B. 63C. 32D. 22 （2011·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A. B. C. D.（2016·14）α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . （3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.)（2011·15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,AB BC ==则棱锥O -ABCD 的体积为 .三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB 1C 1C 1C 1C 1C 12AB BC AD ==o 90BAD ABC ∠=∠=（1）证明：直线//CE 平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o45 ，求二面角M -AB -D 的B. C. D.余弦值（2016·19）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE =CF =54，EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D ´EF 的位置，OD '（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.（2015·19）如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16，BC =10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.（2014·18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.OBAFDH E D '11（2012·19）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，121AA BC AC ==，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .（Ⅰ）证明：DC 1⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A 1-BD -C 1的大小.（2011·18）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60°，AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD . （Ⅰ）证明：PA ⊥BD ；（Ⅱ）若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值.9．解析几何一、选择题【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【2016，10】以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【2016，5】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【2015，5】已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）C B AD C 1 A 1 B 1A ．B ．C ．D ．【2014，4】已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为． ．3 ． ．【2014，10】已知抛物线：的焦点为，准线为，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =（ ）A ．72 B ．52C ．3D ．2 【2013，4】已知双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的离心率为，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝ B ．y ＝ C ．y ＝ D ．y ＝±x 【2013，10】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ．【2012，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【2012，8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在轴上，C 与抛物线的准线交于A ，B 两点，，则C 的实轴长为（ ）A ．B ．C ．4D ．8【2011，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．3（2017·9）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B D （2016·4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2（2016·11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）A B ．32C D ．2（2015·7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10（2015·11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD （2014·10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A BC ．6332D ．94（2013·11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x =（2013·12）已知点(1,0)A -，，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2C. D.（2012·4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.21B.32 C.43 D.54 （2012·8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ）A.2B. 22C. 4D. 8（2011·7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3二、填空题【2017，15】已知双曲线C ：（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【2015，14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ． 【2011，14】在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为．过的直线L 交C 于两点，且的周长为16，那么的方程为 ．（2017·16）已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2014·6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·14）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 .三、解答题【2017，20】已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1， ），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【2016，20】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点． （Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．【2015，20】在直角坐标系中，曲线：与直线：（）交于两点．（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程；（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得当变动时，总有说明理由．【2014，20】已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点．(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．【2013，20】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【2011，20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足， ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立关于的回归方程；（III）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值是多少（ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．（2017·20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C的左焦点F .（2016·20）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .（Ⅰ）当t =4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围.（2015·20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．（2014·20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b ab +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .（2013·20）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F 的直线0x y +-=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.（2012·20）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点.（Ⅰ）若∠BFD =90º，△ABD 面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.（2011·20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0, -1)，B 点在直线y =-3上，M 点满足 //MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值 .10．统计、概率分布列、计数原理（含解析）一、选择题【2017，2】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 【2017，6】展开式中的系数为（ ）A ．15B ．20C ．30D ．35 【2016，4】某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．【2015，10】的展开式中，的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．60【2015，4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0．648B ．0．432C ．0．36D ．0．312【2014，5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）． ． ． ．【2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【2013，9】设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )。
2011-2018新课标全国卷高考数学考点汇总(理科)
离散型随机变量及其分布列
服从正态分布模型及数学期望
直线与椭圆的位置关系；探究直线斜率关系
20
解析几何与函数（轨迹、导数）
抛物线与直线位置关系(圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式等）
解析几何：轨迹方程（定义法）、韦达定理
圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．
抛物线与过焦点弦长问题
几何概型
11
三角函数（性质）
球与空间几何体(锥体及其外接球的结构特征)
函数性质：数形结合
考察导数、函数的零点，意在考察学生综合运用数学知识解题能力及运算求解能力
借助着简单组合体的三视图考察球及圆柱的表面积
异面直线及其所成的角
指数与函数结合
双曲线
与二面角有关的立体几何综合题
空间面面垂直判定与性质；二面角余弦值
空间面面垂直判定与性质；线面角正弦值
19
统计概率（分布列）
立体几何线线垂直、二面角(空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；二面角的概念和计算)
统计与概率：独立重复试验概率、分布列
考察空间中的线面关系及其二面角的求解，意在考查空间想象能力及运算求解能力
正余弦定理的综合应用，数型结合思想
简单线性规划的应用
平面图形折叠后最大体积
三角函数最值
17
等比数列（列项求和）
解斜三角形(正余弦定理应用)
解三角形：正弦定理、余弦定理
考察等差数列，意在考察学生的运算求解能力、逻辑推理能力
递推公式和等差数列的通项公式；裂项消去法求其前n项和.
解三角形
三角函数与解三角形
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——1
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——1.集合2011年至2018年的新课标全国卷理科数学试题分类汇编中，集合与简易逻辑是一个重要的考点。
下面是一些选择题的例子：1.已知集合A={x|x^2-x-2>0}，则C∪A=（）A。
{x|-1<x<2}B。
{x|-1≤x≤2}C。
{x|x2}D。
{x|x≤-1}∪{x|x≥2}2.已知集合A={(x,y)|x^2+y^2≤3，x∈Z，y∈Z}，B={[1,2]}，则A∩B的元素个数为（）A。
9B。
8C。
5D。
43.已知集合A={x|x-1≥0}，B={[1,2]}，则A∩B=（）A。
{[ ]}B。
{[1]}C。
{[1,1,2]}D。
{[2]}4.已知集合A={x|x<1}，B={x|x^3<1}，则A∩B=（）A。
{x|x<0}B。
{x|x≤0}C。
{x|x>1}D。
∅5.已知集合A={1,2,4}，B={x|(x+1)(x-2)<0，x∈Z}，则A∩B=（）A。
{1}B。
{1,2}C。
{0,1,2,3}D。
{-1,0,1,2,3}6.已知集合S={x|(x-2)(x-3)≥0}，T={x|x>0}，则S∩T=（）A。
[2,3]B。
(-∞,2]∪[3,+∞)C。
[3,+∞)D。
(0,2]∪[3,+∞)7.命题p：∃n∈N，n>2，则¬p为（）A。
∀n∈N，n>2B。
∃n∈N，n≤2C。
∀n∈N，n≤2D。
∃n∈N，n=2以上内容由XXXXXX收集整理，欢迎研究交流）2015·新课标Ⅱ，1）已知集合A={-2，-1，2}，B={x|(x-1)(x+2)<0}，求A∩B。
解：首先求出B的解析式为B={x|-2<x<1}，然后将A和B的元素进行比较，得到A∩B={-1}，因此选项A.{-1，0}为正确答案。
2014·新课标Ⅰ，1）已知集合A={x|x22x3≥0}，B={x|x-2≤x<2}，求A∩B。
2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)
18．（12 分）
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2018 年全国高考新课标 1 卷理科数学试题(解析版)(word 版可编辑修改)
如图,四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把ΔDFC 折起，使点 C 到 达点 P 的位置，且 PF⊥BF. （1）证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； （2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值。
C． AB， + Error!
D． AB，） +
解 析 ： 选 A 结 合 图 形 ， Error!=- ( +Error!)=— BA，）— =- Error!Error!—Error!
（Error!— )=Error!Error! — Error!Error!
7．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设 z= +2i，则|z｜=
1
A．0
B．
C．1
D．
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2018 年全国高考新课标 1 卷理科数学试题(解析版)(word 版可编辑修改)
2018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标 1 卷 理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
20112018高考数学数列分类汇编理
2011-2018新课标数列分类汇编一、选择题【2012新课标】5. 已知为等比数列，472a a +=，，则（ D ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-【2013新课标1】7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( C ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.【2013新课标2】3. 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( C )． A ． 13 B ． -13 C ．19 D ． -19【解析】设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝31(1)1a q q --＝a 1·q ＋10a 1，∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9.∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19. 【2015新课标2】4. 等比数列｛a n ｝满足a 1=3， =21，则( B )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84【2016新课标1】3. 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ C ） （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 【解析】解法1：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a ad -∴==- 10010(10010)89098a a d ∴=+-=+=.解法2：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得 11,1a d =-=，1001(1001)19998a a d ∴=+-=-+=【2017新课标1】4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ C ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【2017新课标1】12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习{}n a 568a a =-110a a +=数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ A ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【2017新课标2】3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ B ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．【2017新课标3】9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ A ） A ．24- B ．3-C ．3D ．8【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 【2018新课标1】4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ）A ．12-B ．10-C ．10D ．12【答案】B二、填空题【2012新课标】16. 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 1830 【解析】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 112341515141010151618302b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 【2013新课标1】14、若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋，则数列{a n }的通项公式是a n =__1(2)n --____.【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.【2013新课标2】16．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为_____-49_____．【解析】设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23d =， 所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-.令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-.令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =.当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49. 【2015新课标2】16. 设是数列的前n 项和，且，，则________．【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．【2016新课标1】15. 设等比数列 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 64 【解析】由a 1+a 3=10，a 2+a 4=5解得118,2a q ==，14118()()22n n n a --∴==， 27321(4)21211()()22nnn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==，所以当3n =或4时，12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64【2017新课标2】15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 2+1n n ． 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，则3123a a d =+=，414610S a d =+= 求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【2017新课标3】14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =___-8_____． 【解析】∵a n {}为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②，显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-， 代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．【2018新课标1】14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________． 【答案】-63三、解答题【2011新课标】等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和. 【解析】（1）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。
2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——6.函数与导数
2011年—2018年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数一、选择题【2018，5】设函数()()ax x a x x f +-+=13，若()x f 为奇函数，则曲线()x f y =在点()0,0处的切线方程为（ ）A ．x y 2-= B. x y -= C. x y 2= D.x y =【2018，9】已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．cc b a <B ．cc ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【2015，12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ． 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ． 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 【2012，10】已知函数1()f x =，则()y f x =的图像大致为（ ）【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x = B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2xy -=【2011，9】由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 【2011，12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．A ．B ．D ．【2015，13】若函数f (x )=x ln （x a =【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 三、解答题【2018，理21】已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.【2017，21】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，21】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【2015，21】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数．【2014，21】设函数1(0lnxxbef x ae xx-=+，曲线()y f x=在点（1，(1)f处的切线为(1)2y e x=-+．(Ⅰ)求,a b；（Ⅱ）证明：()1f x>．【2013，21】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2．(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．【2012，21】已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．2011年—2018年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数（解析版）一、选择题【2018，5】设函数()()ax x a x x f +-+=13，若()x f 为奇函数，则曲线()x f y =在点()0,0处的切线方程为（ ）A ．x y 2-= B. x y -= C. x y 2= D.x y =【答案】D 解析：解法1：由基本函数3x y =，()21x a y -=，ax y =的奇偶性，结合()x f 为奇函数，易知1=a .则()x x x f +=3，求导数，得()()10132='∴+='f x x f ，由点斜式得()x y x y =-=-即010.解法2： ()()ax x a x x f +-+=13为奇函数， ()()x f x f -=-∴，即()()ax x a x ax x a x ----=--+-232311，()10222==-∴a x a 得，则()x x x f +=3，求导数，得()231f x x '=+，()01f '∴=， 由点斜式得()010y x -=-，即y x =.(2018·新课标Ⅰ，理9)已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，【答案】C 解析：()()g x f x x a =++存在两个零点，()0g x ∴= 即()f x x a ++=0有两个根，()f x x a ∴=--有两个根 ，即函数()y f x =与()h x x a =--有两个交点，()h x x a =--在y 轴上的截距为a -，使a -1≤即可， 1a ∴≥-【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，故选D ．【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解析】取对数：ln 2ln3ln5x y ==．ln 33ln 22x y =>，∴23x y >，ln 2ln 5x z =，则ln55ln 22x z =<，∴25x z <∴325y x z <<，故选D ．【法二】取对数：5ln 3ln 2ln z y x ==，y x y x y x 3212ln 3ln 2ln 33ln 2323ln 2ln 32>⇒>==⇒=， z x z x z x 5212ln 5ln 2ln 55ln 2525ln 2ln 52<⇒<==⇒=，z x y 523<<∴，故选D ； 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）【解析】()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．cc b a <B ．cc ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【解析】由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确；要比较l o g a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b >⇔>，D 错误； 故选C ．【2015，12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ． 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ． 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，min [()]g x =122e --，当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D ．. 作为选择题，该题也可先找到满足0()0f x <的整数0x ，由0x 的唯一性列不等式组求解.由(0)10f a =-+<得00x =.又0x 是唯一使()0f x <的整数，所以(1)0(1)0f f -≥⎧⎨≥⎩，解得32a e ≥，又1a <，且34a =时符合题意.故选D ．. 【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【解析】设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意．当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且0x ＞0，只需2()0f a>，即24a >，2a <-．选B 【解析2】：由已知0a ≠，()f x =3231ax x -+有唯一的正零点，等价于3113a x x =- 有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，选B【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 解析：选D，由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C. ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a ，∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]． 【2012，10】已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】()y f x =的定义域为{|1x x >-且0}x ≠，排除D ；A ．B ．D ．因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]x x f x x x x x x --+==+-++-，所以当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()y f x =在（－1，0）上是减函数；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()y f x =在(0,)+∞上是增函数．排除A 、C ，故选择B ．【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln 2-Bln 2)-C ．1ln 2+Dln 2)+【解析】函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称． 问题转化为求曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d ．（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ， 因为1'2x y e =，所以根据导数的几何意义，得112te =，ln 2t =，所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-，所以1ln 2y x =+- 因此曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d 为直线 1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而d =，所以min ||2ln2)PQ d =-，故选择B ． 【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x = (B) 1y x =+ C ．21y x =-+ (D) 2xy -=解析：由图像知选B 【2011，9】由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6解析：用定积分求解432420021162)(2)|323s x dx x x x =+=-+=⎰，选C【2011，12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：图像法求解．11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥，OG =，即OG 的长度与BC 的长度或成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =2132ABC S x =⋅=△，则213ABC V S h =⋅△令()452510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，则()()280f x f =≤，则45V ，∴体积最大值为3．【2015，13】若函数f (x )=x ln （x a =解析：由函数f (x )=x ln （x ()ln(g x x =为奇函数（(0)0g ==）；由ln(ln(0x x ++-+=（()()0g x g x +-=），得ln 0a =，1a =，故填1.【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∞)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－2－2][(－22＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9. f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15] ＝(－8＋＋＝80－64＝16. 故f (x )的最大值为16.三、解答题（2018·新课标I ，理21）已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.解析：解法1：(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()222111a x ax f x x x x-+'=--+=-. 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，24a ∆=-.①若02a <≤，则240a ∆=-≤，此时()0f x '≤，()f x 在()0,+∞上单调递减.②若2a >，则240a ∆=->，方程210x ax -+=有两根12,x x ，且1212010x x a x x +=>⎧⎨=>⎩，故两根12,x x都为正数，且1,22a x ±=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<； 当x ∈⎝⎭时，()0f x '>.综上可知，当2a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当2a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎝⎭单调递增，在2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)因为12,x x 是()f x 的两个极值点，所以1212010x x a x x +=>⎧⎨=>⎩.所以要证()()111221212212121211ln ln ln 22x x a x x a x f x f x x x x a a x x x x x x -+--+-==-+<----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即证1212ln1x x x x <-①，不妨设12x x >，即证11220ln x x x x <<-，两边平方得()2222111221212212212ln 2x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+<-==+- ⎪⎝⎭， 令121x t x =>，即证21ln 2t t t <+-.令()21ln 2h t t t t=--+，则()10h =，且()22ln 11112ln t h t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令()12ln m t t t t =-+，则()()222221212110t t t m t t t t t --+-'=--==-<， 所以()m t 在()1,+∞上单调递减，()()10m t m <=，所以()0h t '<，()h t 在()1,+∞上单调递减，()()10h t h <=，即21ln 2t t t<+-恒成立，即()()12122f x f x a x x -<--恒成立.【基本解法2】①式的证明：不妨设1210x x >>>，112112111ln ln ln ln 11x x x x x x x x --=<--，即21111ln 0x x x -+<，令()()21ln 1g x x x x x =-+>，则()()22212110x g x x x x --'=--=<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=恒成立，则①得证.【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+，①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．综上，当0a ≤ 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a =-=-+．令()11ln g a a a=-+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >， 若1a >，则()min 11ln 0f a g a a=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件． 若1a =，则min 11ln 0f a a=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件． 若01a <<，则min 11ln 0f a a =-+<，注意到ln 0a ->．()22110e e ea a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭．且33ln 1ln 133ln(1)e e2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根． 又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．综上，01a <<．【法二】令()0f x =，则22x x xe x a e e+=+．再令0xt e =>，则22ln t t a t t +=+，而()f x 有两个零点，则22ln t t a t t +=+有两解，即直线y a =与曲线22ln t t y t t+=+有两个交点； 令()22ln (0)t t g t t t t +=>+，则()()()()()2222211ln 2ln t t t t t g t t t t t +--+'==++， 令()1ln h t t t =--，则()110h t t'=--<，注意到()10h =，所以()g t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，即()()max 11g t g ==；而0lim (),lim ()0t t g t g t →→+∞→-∞→，所以当()0,1t ∈时，()(),1g t ∈-∞；当()0,1t ∈时，()()0,1g t ∈， 所以，当22ln t ta t t+=+有两解时，a 的取值范围为()0,1．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【解析】：⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意； ② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减; 即：由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增即：0e -<恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞． ⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--,()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = ()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．设0m >，构造代数式： ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111m m h m e m -=++，0m >,则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.解：（Ⅰ）2()3f x x a '=+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则切点0(,0)x 满足00()0,()0f x f x '==，也就是2030x a +=且300104x ax ++=，解得012x =，34a =-，因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）当1x >时，()ln 0g x x =-<，函数()()()(min{}),h x f x g x g x ≤=没有零点； 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，min{,(1)(1)(1)}(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；当01x <<时，()ln 0g x x =->，以下讨论()y f x =在区间(0,1)上的零点的个数. 对于2()3f x x a '=+，因为2033x <<，所以令()0f x '=可得23a x =-，那么（i ）当3a ≤-或0a ≥时，()f x '没有零点（()0f x '<或()0f x '>），()y f x =在区间(0,1)上是单调函数，且15(0),(1)44f f a ==+，所以当3a ≤-时，()y f x =在区间(0,1)上有一个零点；当0a ≥时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；（ii ）当30a -<<时，()0f x '<（0x <<且()0f x '>1x <），所以x =最小值点，且14f =.显然，若0f >，即304a -<<时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；若0f =，即34a =-时，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点；若0f <，即334a-<<-时，因为15(0),(1)44f f a ==+，所以若5344a -<<-，()y f x =在区间(0,1)上有2个零点；若534a -<≤-，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点. 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有1个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有2个零点；当5344a -<<-时，()h x 有3个零点. 【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.(Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.【解析】(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，12()ln x xe f x e x x-=+，从而()1f x >等价于2ln xx x xe e ->-设函数()ln g x x x =，则()l n g x x x'=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e =-. 设函数2()xh x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值1(1)h e=-. 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……………12分【2013，理21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2]． 【2012】21．（本小题满分12分）已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【解析】（1）因为2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-，所以1'()'(1)(0)x f x f e f x -=-+，所以1(0)'(1)'(1)'(1)(0)1f f ef f f ⎧=⋅⎪⎨⎪=-+⎩，解得(0)1f =，'(1)f e =． 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+，由此得'()1x f x e x =-+． 而'()1xf x e x =-+是R 上的增函数，且'(0)0f =，因此，当(0,)x ∈+∞时，'()'(0)0f x f >=，)(x f 在(0,)+∞上是增函数； 当(,0)x ∈-∞时，'()'(0)0f x f <=，)(x f 在(,0)-∞上是减函数．综上所述，函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞．（2）由已知条件得(1)x e a x b -+≥． ①（i ）若10a +<，则对任意常数b ，当0x <，且11bx a -<+， 可得(1)x e a x b -+<，因此①式不成立． （ii ）若10a +=，则(1)0a b +=．（iii ）若10a +>，设()(1)x g x e a x =-+，则'()(1)x g x e a =-+．当(,ln(1))x a ∈-∞+，'()0g x <；当(ln(1),)x a ∈++∞，'()0g x > 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+单调递减，在(ln(1),)a ++∞单调递增． 所以b ax x x f ++≥221)(等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++． ② 因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++．设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则'()(1)(12ln(1))h a a a =+-+． 所以()h a 在12(1,1)e --单调递增，在12(1,)e -+∞单调递减， 故()h a 在121a e =-在处取得最大值，从而()2e h a ≤，即(1)2e a b +≤． 当121a e =-，122e b =时，②式成立，故b ax x x f ++≥221)(．综合得，b a )1(+的最大值为2e．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围． （21）解：（I ）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩，即1122b ab =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =. （II ）由（I ）知()ln 11x f x x x =++，所以()()()2211ln 12ln 11k x x k f x x x x x x ⎛⎫--⎛⎫ ⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭考虑函数()()()()2112ln 0k x h x x x x--=+>，则()()()22112k x xh x x -++'=（i ）设0k ≤，由()()()22211k x x h x x +--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0h x <，可得()2101h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x>- 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即()ln 1x k f x x x ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭.（ii ）设01k <<，由于当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()21120k x x -++>，故()0h x '>，而()10h =，故当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()0h x >，可得()2101h x x <-，与题设矛盾. （iii ）设1k ≥，此时()0h x '>，而()10h =，故当()1,x ∈+∞时，()0h x >，得()2101h x x <-，与题设矛盾.综合得，k 的取值范围为(],0-∞.。
2011-2018高考数学数列分类汇编(理)
2011-2018新课标数列分类汇编一、选择题【2012新课标】5. 已知{}n a 为等比数列，472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ D ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-【2013新课标1】7、设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3,则m ＝ （ C ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 【解析】有题意知m S =1()2m m aa +=0,∴1a =－m a =－（m S —1m S -）=－2， 1m a += 1m S +—m S =3，∴公差d =1m a +—m a =1,∴3=1m a +=－2m +,∴m =5，故选C 。
【2013新课标2】3。
等比数列{a n }的前n 项和为S n 。
已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝（ C )． A ． 13 B ． -13 C ．19 D ． -19【解析】设数列｛a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9,此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意,因此q ≠1.∵q ≠1时,S 3＝31(1)1a q q --＝a 1·q ＋10a 1，∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9。
∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19.【2015新课标2】4. 等比数列{a n }满足a 1=3，135a a a ++ =21,则357a a a ++= （ B ） (A ）21 （B)42 （C)63 (D)84【2016新课标1】3. 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ C ） （A ）100（B)99（C ）98（D)97 【解析】解法1:199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a ad -∴==- 10010(10010)89098a a d ∴=+-=+=。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——2.复数
2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编（逐题解析版）2．复数一、选择题(2018·新课标Ⅰ，理1)设i iiz 211++-=，则=z （ ） A. 0 B.21C. 1D. 2（2018·新课标Ⅱ，理1）1212ii+=-（ ） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+（2018·新课标Ⅲ，理2）()()12i i +-=（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +（2017·新课标Ⅰ，3）设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为（ ）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p（2017·新课标Ⅱ，1）31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -（2017·新课标Ⅲ，2）设复数z 满足()1i 2i z +=，则z =（ ）.A ．12B ．2CD ．2（2016·新课标Ⅰ，2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （ ）A ．1B ．2C ．3D ．2（2016·新课标Ⅱ，1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．（-3，1）B ．（-1，3）C ．（1，+∞）D ．（-∞，-3）（2017·新课标Ⅲ，2）若12z i =+，则41izz =- A. 1 B. 1- C. i D. i - （2015·新课标Ⅰ，1）设复数z 满足1i 1zz+=-，则||z =（ ）A ．1BCD ．2（2015·新课标Ⅱ，2）若a 为实数且(2+ai )(a -2i ) = -4i ，则a =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2（2014·新课标Ⅰ，2）32(1)(1)i i +-=（ ）A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --（2014·新课标Ⅱ，2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A ．- 5B ．5C ．- 4 + iD ．- 4 - i（2013·新课标Ⅰ，2）若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45（2013·新课标Ⅱ，2）设复数z 满足(1i)2i z -=，则z =（ ）A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -（2012·新课标Ⅰ，3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1p ：||2z =；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为1-．其中的真命题为（ ） A ．2p ，3pB ．1p ，2pC ．2p ，4pD ．3p ，4p（2012·新课标Ⅱ，3）下面是关于复数iz +-=12的四个命题中，真命题为（ ）P 1: |z |=2， P 2: z 2=2i ，P 3: z 的共轭复数为1+i ，P 4: z 的虚部为-1 . A. P 2，P 3B. P 1，P 2C. P 2，P 4D. P 3，P 4（2011·新课标Ⅰ，1）复数212ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i（2011·新课标Ⅱ，1）复数212ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i -B ．35iC ．i -D ．i2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编2．复数（逐题解析）一、选择题(2018·新课标Ⅰ，理1) 设i iiz 211++-=，则=z （ ） A. 0 B.21C. 1D. 2【答案】C 解析：()()()i i i i i i i i i i i i i i z =+-=+-+-=+-+-=++-=221212111211222，则1=z ，故选C.（2018·新课标Ⅱ，1）1212ii+=-（ ） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+【答案】C 【解析】()()()()1212123434121212555i i i i i i i i +===-+++-+--+ （2018·新课标Ⅲ，理2）()()12i i +-=（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D 解析：2(1)(2)23i i i i i +-=+-=+，选D.（2017·新课标Ⅰ，3）设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为（ ）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B 解析：1:p 设z a bi =+，则2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R ．故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；（2017·新课标Ⅱ，1）31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【答案】D 【解析】()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-．（2017·新课标Ⅲ，2）设复数z 满足()1i 2i z +=，则z =（ ）.A ．12BCD ．2【答案】C 解析 由题意，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则z 故选C. （2016·新课标Ⅰ，2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B 解析：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y=⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +==B ．（2016·新课标Ⅱ，1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（-3，1）B ．（-1，3）C ．（1，+∞）D ．（-∞，-3）【答案】A 解析：∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．（2017·新课标Ⅲ，2）若12z i =+，则41izz =-（ ） A. 1 B. 1- C. i D. i - 【答案】C 解析：易知12z i =-，故14zz -=，41ii zz ∴=-，选C （2015·新课标Ⅰ，1）设复数z 满足1i 1zz+=-，则||z =（ ）A ．1BCD ．2【答案】A 解析：由1i 1z z +=-得1i(1)z z +=-，即1i1i z -+=+，2(1i)(1i)(1i)i (1i)(1i)2z -+---===+-，||z =1，选A ．（2015·新课标Ⅱ，2）若a 为实数且(2+ai )(a -2i ) = -4i ，则a =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B 解析：由已知得4a + (a 2 -4)i = -4i ，所以4a = 0，a 2 -4 = -4，解得a = 0，故选B.（2014·新课标Ⅰ，2））32(1)(1)i i +-=（ ） A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】D 解析：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i +=---，选D. （2014·新课标Ⅱ，2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A ．- 5B ．5C ．- 4 + iD ．- 4 - i【答案】A 解析：∵12i z =+，复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴22z i =-+， ∴2212(2)(2)2145z z i i i =+-+=-=--=-. 故选A.（2013·新课标Ⅰ，2）若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45- C ．4 D ．45【答案】D 解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D.（2013·新课标Ⅱ，2）设复数z 满足(1i)2i z -=，则z =（ ）A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -【答案】A 解析：由(1-i )·z =2i ，得221=111i i i z i i i (+)=-(-)(+)＝222i-+＝－1＋i .（2012·新课标Ⅰ，3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1p ：||2z =；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为1-．其中的真命题为（ ） A ．2p ，3pB ．1p ，2pC ．2p ，4pD ．3p ，4p【答案】C 解析：因为22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，所以||z =22(1)2z i i =--=，z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，所以2p ，4p 为真命题，故选择C ．（2012·新课标Ⅱ，3）下面是关于复数iz +-=12的四个命题中，真命题为（ ）P 1: |z |=2， P 2: z 2=2i ，P 3: z 的共轭复数为1+i ，P 4: z 的虚部为-1 . A. P 2，P 3B. P 1，P 2C. P 2，P 4D. P 3，P 4【答案】C 解析：经计算2221,||(1)21z i z z i i i==--∴==---+ =，复数z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，综上可知P 2，P 4正确. 故选C （2011·新课标Ⅰ，1）复数212ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i【答案】C 解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C（2011·新课标Ⅱ，1）复数212ii+-的共轭复数是（）A．35i-B．35i C．i-D．i【答案】C解析：212ii+-=(2)(12),5i ii++=共轭复数为C.。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——13.概率、统计
2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编（逐题解析）13．排列组合、概率统计一、选择题(2018·新课标Ⅰ，理3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下列选项中不正确的是：A ．新农村建设后，种植收入减少。
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
(2018·新课标Ⅰ，理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+（2018·新课标Ⅱ，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．118（2018·新课标Ⅲ，理8）某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =（ ）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3（2017·新课标Ⅰ，2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．π8 C ．12 D ．π4（2017·新课标Ⅱ，6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 （2017·新课标Ⅲ，3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）.A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳（2016·新课标Ⅰ，4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （2016·新课标Ⅱ，5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．9（2016·新课标Ⅱ，10）从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）A．4nm B．2nmC．4mnD．2mn（2016·新课标Ⅲ，4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是（）A. 各月的平均最低气温都在0C以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20C的月份有5个（2015·新课标Ⅰ，4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312（2015·新课标Ⅱ，3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.（2014·新课标Ⅰ，5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）A.18B.38C.58D.78（2014·新课标Ⅱ，5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45（2013·新课标Ⅰ，3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样（2012·新课标Ⅰ，2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种（2011·新课标Ⅰ，4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34二、填空题(2018·新课标Ⅰ，理15)从2名女生，4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有种（用数字填写答案）.（2017·新课标Ⅱ，13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D X=．（2013·新课标Ⅱ，14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n=______.（2012·新课标Ⅰ，15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.三、解答题(2018·新课标Ⅰ，理20) 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p<<，且各件产品是否为不合格品相互独立．⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p，求()f p的最大值点p；⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？（2018·新课标Ⅱ，理18）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型①：30.413.5y t =-+：根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型②：9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．（2018·新课标Ⅲ，理18）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K kk≥．（2017·新课标Ⅰ，19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2)．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求 P (X ≥1)及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0．01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ–3σ<Z <μ+3σ)=0．9974，0．997416≈0．95920.09≈．（2017·新课标Ⅱ，18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2017·新课标Ⅲ，18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？（2016·新课标Ⅰ，19）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？（2016·新课标Ⅱ，18）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.（2016·新课标Ⅲ，18）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=≈2.646.参考公式：()()nii tt y y r --=∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-（2015·新课标Ⅰ，19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （1,2,,8i =）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =8118i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==-=--∑∑，v u αβ=-.（2015·新课标Ⅱ，18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．（2014·新课标Ⅰ，18）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.（2014·新课标Ⅱ，19）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.（2013·新课标Ⅰ，19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
高考数学真题2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—9.数列
2011年—2018年新课标全国卷文科数学分类汇编9．数列一、选择题(2015·新课标Ⅰ，文7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=()A ．172B ．192C ．10D ．12（2015·新课标Ⅱ，文5）设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （）A.5B.7C.9D.11（2015·新课标Ⅱ，文9）已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （）A.2B.1C.21 D.81（2014·新课标Ⅱ，文5）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项S n =（）A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n +D ．(1)2n n -(2013·新课标Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则()．A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n(2012·新课标Ⅰ，文12)数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830二、填空题(2015·新课标Ⅰ，文13)数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n =．（2014·新课标Ⅱ，文16）数列}{n a 满足nn a a -=+111，2a =2，则1a =_________.(2012·新课标Ⅰ，文14)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =_____．三、解答题(2018·新课标Ⅰ，文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．(2018·新课标Ⅱ，文17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．(2018·新课标Ⅲ，文17)等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）{}n a 的通项公式；⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．(2017·新课标Ⅰ，文17)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =,36S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．（2017·新课标Ⅱ，文17）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1，a 2+b 2=2.（1）若a 3+b 3=5，求{b n }的通项公式；（2）若T 3=21，求S 3.(2017·新课标Ⅲ，文17)设数列{}n a 满足()123212n a a n a n +++-= ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．(2016·新课标Ⅰ，文17)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．（2016·新课标Ⅱ，文17）等差数列{a n }中，a 3+a 4=4，a 5+a 7=6．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =[lg a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.(2016·新课标Ⅲ，文17)已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．(2014·新课标Ⅰ，文17)已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ理科数学分类汇编不等式选讲
12011年—2018年新课标全国卷Ⅰ理科数学分类汇编不等式选讲【2018，23】已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【2017，23】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【2016，23】已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.3【2014，24）】若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【2013，24】已知函数()||1|22|f x x x a ＝－＋＋，()3g x x ＝＋. (1)当2a ＝-时，求不等式()()f x g x ＜的解集； (2)设1a ＞-，且当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．【2012，24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。
（1)当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（2）若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1，2]，求a 的取值范围。
【2011，24】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值.5【2018，23】已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．【2017，23】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12x =的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，≤x ≤，，当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++=，解得x ，()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减，∴此时()()f x g x ≥解集为1⎛ ⎝⎦．当[]11x ∈-，时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥解集1⎡-⎢⎣⎦．（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立． 则只须()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，． 【2016，23】已知函数321)(--+=x x x f ．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．【解析】：⑴ 如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ,()1f x >,①1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <,1x -∴≤ ②312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x << ③32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，7【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.解析：（I ）（方法一）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<. （方法二）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点1-的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.设点x 到1-的距离为1d ，到1的距离为2d ，结合数轴可知：若x 在[1,1]-内，则有1212221d d d d +=⎧⎨->⎩解得213d <；故2(,1]3x ∈. 若x 在(1,)+∞内，则有1212221d d d d -=⎧⎨->⎩解得21d <；故(1,2)x ∈.综上可得223x <<. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩， 所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）.【2014，24）】若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ) 11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==-1 1x -1 1x故3342a b+≥=，且当a b ==∴33a b +的最小值为……5分（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a-≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【2012，24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。
2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——6.函数与导数.docx
2011 年—2018 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数一、选择题【 2018，5】设函数f x x3a 1 x ax ，若 f x 为奇函数，则曲线y f x 在点 0 ,0 处的切线方程为（）A ．y2x B. y x C. y 2x D. y x【 2018， 9】已知函数 f xx ，≤0， g x fx x a ，若 g x存在 2个零点，则 a 的取值范围e xln x ，x 0是（）A． 1 ，0B． 0，C．1，D． 1，【，】函数 f ( x) 在 (,)单调递减，且为奇函数．若 f (1)1，则满足 1 f (x 2) 1的x 的20175取值范围是（）A ．[2,2]B ．[1,1]C．[0, 4] D ．[1,3]【 2017， 11】设x, y, z为正数，且2x3y5z，则（）A ．2x<3y<5z B． 5z<2x<3y C． 3y<5 z<2x D ．3y<2x<5z【 2016， 7】函数y2x 2e x2,2] 的图像大致为（）在 [A ．B．C．D．【 2016， 8】若a b 1， 0c 1 ，则（）A ． a c b cB． ab c ba c．D．log a c log b cC a log b c b log a c【 2015，12】设函数f ( x) = e x(2 x1)ax a ,其中a 1 ，若存在唯一的整数x0，使得 f (x0 ) 0 ，则a 的取值范围是（）A ．3,1B． 3 , 3C． 3 , 3 D ．3,1 2e2e42e42e【 2014， 3】设函数 f (x) ， g (x) 的定义域都为R，且f (x)是奇函数，g( x)是偶函数，则下列结论正确的是（）A ． f ( x) g( x) 是偶函数B ．| f ( x) | g( x) 是奇函数C ． f ( x) |g (x) | 是奇函数D ． | f ( x) g( x) 是奇函数|【 2014， 11】已知函数 f ( x) = ax 3 3x 2 1，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 0 ＞ 0，则 a 的取值范围为A ．（ 2，+∞）B ．（-∞， -2）C ．（ 1， +∞）D ．（ -∞，-1）【 2013， 11】已知函数 f(x)＝x 2， x ， )2x 0 若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 (ln( x ， x 0.1)A ．(－ ∞， 0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ － 2,1]D ． [－ 2,0]【 2012， 10】已知函数 f ( x)1 ，则 yf ( x) 的图像大致为（）ln( x 1)xyyyy11O1x1O1x1O 1xO1xA ．B ．C ．D ．【 2012， 12】设点 P 在曲线 y1e x 上，点 Q 在曲线 y ln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为（）2A ． 1 ln 2B ． 2(1 ln 2)C ． 1 ln 2D ． 2(1 ln 2)【 2011， 2】下列函数中，既是偶函数又在 （ 0，+ ）单调递增的函数是（）A ． y x 3B ． y x 1C ． yx 2 1 D ． y 2 x【 2011， 9】由曲线 yx ，直线 yx 2 及 y 轴所围成的图形的面积为（）10B ． 416D ． 6A ．C ．33【 2011，12】函数 y1 的图像与函数 y 2sin x(2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于（）x 1A ．2B ． 4C ． 6D ． 8二、填空题【 2017，16】如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O ．D 、E 、F 为圆 O 上的点， △DBC ， △ECA ，△FAB 分别是以 BC ，CA ，AB为底边的等腰三角形． 沿虚线剪开后， 分别以 BC ， CA ，AB 为折痕折起 △DBC ，△ECA ，△FAB ，使得 D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积3【 2015， 13】若函数 f(x)= xln（ x+ a x2）为偶函数，则a=【 2013，16】若函数 f(x)＝ (1－ x2)( x2＋ ax＋b) 的图像关于直线x＝－ 2 对称，则 f(x)的最大值为 __________ ．三、解答题1x a ln x .【 2018，理 21 】已知函数f xx（ 1）讨论 f x 的单调性；（ 2）若f x 存在两个极值点x1， x2f x1 f x2a 2 .，证明：x2x1【 2017， 21 】已知函数f xae2 x a 2 e x x ．（1）讨论f ( x)的单调性；（ 2）若f ( x)有两个零点，求 a 的取值范围．【 2016， 21】已知函数f ( x) ( x 2)e x a(x 1) 2有两个零点．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明： x1 x2 2 ．【 2015， 21】已知函数 f ( x) x3ax1， g( x)ln x ．4（Ⅰ）当 a 为何值时， x轴为曲线y f ( x) 的切线；（Ⅱ）用 min{ m, n} 表示m,n中的最小值，设函数h( x) min{ f (x), g( x)} （ x0 ），讨论 h(x) 零点的个数．【 2014，21】设函数x be x 1f (x0 ae ln x，曲线 y f ( x) 在点（，f (1)处的切线为 y e( x 1) 2 ．Ⅰ)x1(求a, b ；（Ⅱ）证明： f (x) 1 ．【2013， 21】设函数 f(x)＝ x2＋ ax＋b， g(x)＝ e x(cx＋ d)．若曲线 y＝ f(x)和曲线 y＝g( x)都过点 P(0,2)，且在点P 处有相同的切线 y＝ 4x＋2．(1)求 a， b，c， d 的值； (2)若 x≥－ 2 时， f(x) ≤kg(x)，求 k 的取值范围．【 2012， 21】已知函数 f ( x)满足f (x) f ' (1)e x 1 f (0) x1x2．1 x22（ 1）求f (x)的解析式及单调区间；（ 2）若f (x)ax b ，求 (a1)b 的最大值．2【 2011， 21】已知函数 f ( x) a ln x b，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x 2 y 3 0 ．x 1x（Ⅰ）求 a 、b的值；（Ⅱ）如果当x 0 ，且 x1时， f ( x)ln x k，求 k 的取值范围．x 1x2011 年—2018 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数（解析版）一、选择题【 2018，5】设函数f x x3a 1 x ax ，若 f x为奇函数，则曲线y f x 在点0 ,0 处的切线方程为（）A ．y2x B. y x C. y 2x D. y x【答案】 D解析：解法 1：由基本函数y x3， y a 1 x2，y ax 的奇偶性，结合f x 为奇函数，易知 a 1 .则 f x x3x ，求导数，得f x 3 21f0 1 ，由点斜式得xy 0 1 x0即 y x .解法 2： f x x3a 1 x ax 为奇函数，f x f x ，即x3a 1 x2ax x3a 1 x2ax ， 2a 2 x20 得 a1，则 f x x3x ，求导数，得f x3x21，f0 1 ，由点斜式得 y0 1 x 0，即 y x .(2018 新·课标Ⅰ，理9)已知函数f x e x ，≤0， g xf x x a ，若g x 存在 2 个零点，则a的xln x ，x0取值范围是（）A． 1 ，0B． 0，C．1，D． 1，【答案】 C解析：g( x) f ( x)x 存a在两个零点，g ( x)0 即 f (x)x a =0有两个根，f ( x)x a 有两个根，即函数 y f ( x) 与 h(x)x a 有两个交点，h( x)x a 在y轴上的截距为 a ，使a1即可，a1【 2017，5】函数f ( x)在(,)单调递减，且为奇函数．若f (1) 1，则满足1 f (x2) 1的x的取值范围是（）A ．[2,2]B ．[ 1,1]C．[0, 4] D ．[1,3]【解析】因为 f x为奇函数，所以 f1 f 1 1 ，于是1≤ f x 2 ≤1，等价于 f 1 ≤ f x 2 ≤ f 1 ，又 f x在，单调递减，1≤x 2≤1 ，1≤ x≤ 3 ，故选 D ．【 2017， 11】设x, y, z为正数，且2x3y5z，则（）A ． 2x<3y<5zB ．5z<2x<3y C． 3y<5z<2x D ． 3y<2x<5z【解析】取对数：xln 2y ln3ln5 ．x ln 33zln 5 ，则xln55，y ln 2，∴ 2 x 3 y ，x ln 22z ln 22∴ 2 x5z ∴3 y2x 5 z ，故选D．【法二】取对数：x ln 2y ln 3zln 5，x ln 2y ln 32x 2 ln 3 ln 3212x3y ，3 y3ln 2ln 23x ln 2z ln 52x 2 ln 5ln 5212x5z ，3y 2 x5z ，故选D；5z 5 ln 2ln 25【 2016， 7】函数y2x 2e x在 [2,2] 的图像大致为（）y y112O2x2O2xA ．B．y y112O2x2O2xC． D ．【解析】 f28e282.820 ，排除 A ； f28e28 2.72 1 ，排除 B ；x 0 时， f x2x2e x，f x4x e x，当 x0,1时，f x 1 4 e0044因此 f x在 0, 1单调递减，排除C；故选 D．4【 2016， 8】若a b1， 0c 1 ，则（）A ．a c b cB ．ab c ba c C．a log b c b log a c D ．log a c log b c 【解析】由于0c1，∴函数 y x c在R上单调递增，因此a b1a c b c， A 错误；由于1c10，∴函数 yc1上单调递减，∴a b1ac 1bc 1bac c错误；x在 1,ab ，B要比较 a log b c 和 b log a c ，只需比较aln c和b ln c，只需比较ln c 和ln c，只需 bln b 和 a ln a ，ln b ln a b ln b a ln a构造函数 f x x ln x x1，则 f ' x ln x1 1 0 ， f x在 1,上单调递增，因此f a f b0 a ln a b ln b 011又由0 c 1 得 ln c0 ，a ln a bln b ，∴ ln c ln c b log a c alog b c ，C正确；a ln ab ln b要 比 较 l o gc 和log b c ， 只 需 比 较ln c和ln c而 函 数 yln x 在 1,上 单 调 递 增 ， 故aln aln b ，a b1ln a ln b 011 又由 0c 1 得 ln c 0 ，∴ln cln clog a c log b c ， D 错误；ln aln b ，ln aln b故选 C ．【 2015，12】设函数 f ( x) = e x (2 x 1) ax a ,其中 a 1 ，若存在唯一的整数x 0 ，使得 f (x 0 ) 0 ，则 a的取值范围是（）A ．3,1B ．3 , 3C ．3 , 3 D ．3,12e2e 42e 42e解析：设 g( x) = e x (2 x1) ， y ax a ，由题知存在唯一的整数 x 0 ，使得 g (x ) 在直线 y axa 的下方 .因为 g (x)e x (2 x 1) ，所以当 x1 时， g (x) ＜ 0，当 x 1 时， g (x) ＞0，所以当 x1 时，2221[ g ( x)] min = 2e 2 ，当 x0 时， g(0)1， g(1) 3e 0 ，直线 yaxa 恒过（ 1,0）斜率且 a ，故ag(0)1，且g( 1)3e 1a a ，解得3≤ ＜ 1，故选 D ． .2e a作为选择题，该题也可先找到满足f ( x 0 ) 0 的整数 x 0 ，由 x 0 的唯一性列不等式组求解.由f (0)1 a 0 得 x0 .又 x 是唯一使 f ( x)0 的整数，所以f ( 1) 0，解得 a31，，又 af (1)2e且 a3时符合题意 .故选 D ． .4【 2014， 3】设函数 f (x) ， g (x) 的定义域都为 R ，且 f (x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是（）A . f (x) g (x) 是偶函数B .| f (x) | g (x) 是奇函数C . f (x) | g (x) |是奇函数D .| f (x) g (x) |是奇函数【解析】设 F (x)f ( x) g( x) ，则 F ( x)f ( x) g( x) ，∵ f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，∴ F ( x)f ( x)g ( x) F ( x) ， F ( x) 为奇函数，选 C.【 2014， 11】已知函数 f ( x) = ax 3 3x 2 1，若 f ( x) 存在唯一的零点x 0 ，且 x 0 ＞ 0，则 a 的取值范围为A .（ 2，+∞）B .（-∞， -2）C .（ 1，+∞）D .（ -∞， -1）【解析 1】：由已知 a0 ， f ( x) 3ax 2 6x ，令 f ( x)0 ，得 x0 或 x 2 ，a 当 a0 时， x,0 , f ( x) 0; x0, 2, f (x) 0; x2 , , f ( x) 0 ；aa且 f (0) 1 0， f (x) 有小于零的零点，不符合题意．当 a0 时， x, 2 , f ( x) 0; x 2,0 , f ( x) 0; x0, , f ( x) 0aa要使 f ( x) 有唯一的零点x 0 且 x 0 ＞ 0，只需 f ( 2)0 ，即 a 24 ， a2 ．选 Ba【解析 2】：由已知 a 0 ， f ( x) =321有唯一的正零点，等价于a3111ax 3xxx 3有唯一的正零根， 令 t，则问题又等价于 at 33t 有唯一的正零根， 即 ya 与 yt 33t 有唯一x的交点且交点在在 y 轴右侧记f (t )t 3 3t ， f (t )3t 2 3 ，由 f (t)0 ， t1 ，t , 1 , f (t ) 0;t1,1 , f (t) 0; ，t 1,, f (t )0 ，要使 at 3 3t 有唯一的正零根，只需a f ( 1) 2 ，选 B【 2013， 11】已知函数 f(x)＝x 2，，2xx若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()．ln( x ，x0.1)A ．(－ ∞， 0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ － 2,1]D ． [－ 2,0]解析：选 D ，由 y ＝ |f(x)|的图象知：① 当 x ＞ 0 时， y ＝ax 只有 a ≤0 时，才能满足 |f(x)|≥ax ，可排除 B ，C.22② 当 x ≤0 时， y ＝|f(x)|＝ |－ x ＋ 2x|＝ x － 2x. 故由 |f(x)|≥ax 得 x 2－ 2x ≥ax.当 x ＝0 时，不等式为 0≥0 成立．当 x ＜0 时，不等式等价于 x － 2≤a ， ∵ x － 2＜－ 2， ∴a ≥－ 2.综上可知： a ∈ [ －2,0] ．【 2012， 10】已知函数 1，则 y f ( x) 的图像大致为（）f ( x)ln( x 1)xyyyy11O1x1O1x1O 1xO1xA ．B ．C ．D ．【解析】 y f ( x) 的定义域为 { x | x 1 且 x 0} ，排除 D ；( 1 1) x因为 f '( x)x 1 2x]2 ，[ln( x 1) x] ( x 1)[ln( x1)所以当 x ( 1,0) 时， f '(x)0 ， yf ( x) 在（－ 1， 0）上是减函数；当 x(0, ) 时， f '(x) 0 ， y f (x) 在 (0,) 上是增函数．排除 A 、 C ，故选择 B ．【 2012， 12】设点 P 在曲线 y1e x 上，点 Q 在曲线 y ln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为（）2A ． 1 ln 2B ．2(1 ln 2)C ． 1 ln 2D ．2(1 ln 2)【解析】函数 y1e x 与函数 y ln(2 x) 互为反函数，图象关于直线yx 对称．2问题转化为求曲线y1e x 上点 P 到直线 yx 的距离的最小值 d ，则 | PQ |的最小值为 2d ．2（用切线法）：设直线 yx b 与曲线 y1e x相切于点 P(t, 1e t ) ，22因为 y '1 e x ，所以根据导数的几何意义，得 1 e t 1， t ln2 ，22 所以切点 P(ln 2,1) ，从而 b 1 ln 2，所以 yx 1 ln 2因此曲线 y1e x 上点 P 到直线 yx 的距离的最小值 d 为直线2y x1 ln2 与直线 yx 的距离，从而 d1 ln 22(1 ln2) ，故选择 B ．2，所以 | PQ |min 2d【 2011， 2】下列函数中，既是偶函数又在 （ 0，+ ）单调递增的函数是（）A ． yx 3(B)y x 1C ． yx 2 1(D)y 2 x解析：由图像知选 B【 2011， 9】由曲线 yx ，直线 yx 2 及 y 轴所围成的图形的面积为（）10B ． 4C ．16D ．6A ．3342 x 23116，选 C解析：用定积分求解s ( xx 2) dx ( x 2 2x) |04323【 2011， 12】函数 y1 的图像与函数 y2sin x( 2x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于x 1A ．2B ． 4C ． 6D ． 8解析：图像法求解．yx 1 的对称中心是（ 1,0）也是 y 2sinx(2 x 4) 的中心， 2x 4 他1们的图像在x=1 的左侧有 4 个交点，则 x=1 右侧必有 4 个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5, x 6 , x 7 , x 8 ，则 x 1x 8 x 2 x 7 x 3 x 6 x 4 x 5 2 ，所以选 D二、填空题【 2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O ．D 、E 、F 为圆 O 上的点， △DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以 BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC ， CA ， AB 为折痕折起 △DBC ， △ECA ， △FAB ，使得 D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 _______．【解析】由题，连接OD ，交 BC 与点 G ，由题， ODBC ， OG3 BC ，6即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比，设 OGx ，则 BC2 3x ， DG5 x ，三棱锥的高hDG 2 OG 225 10x x 2x25 10x ，S△ABC2 3 3 x 1 3 3 x 2 ，2 则 V 1 S △ ABC h3x 225 10x = 325x 410x 5 ，3令 fx 25x410x 5， x (0, 5) ， fx100x350x4，令fx0 ，2即 x 42 x3 0 ， x 2 ，则 fx ≤ f 2 80 ，则 V ≤ 380 45 ， ∴体积最大值为 4 15cm 3 ．【 2015， 13】若函数 f(x)= xln （ x+ ax 2 ）为偶函数，则a=解析：由函数 f(x)=xln （ x+a x 2 ）为偶函数，则g( x) ln( xa x 2 ) 为奇函数（ g(0)ln a 0 ）；由 ln( xa x 2 ) ln(xa ( x) 2 ) 0 （ g( x) g( x)0 ），得 ln a 0 ，a 1 ，故填 1.【 2013，16】若函数 f(x)＝ (1－ x 2)( x 2＋ ax ＋b) 的图像关于直线 x ＝－ 2 对称，则 f(x)的最大值为 __________ ． 解 析 ： ∵ 函 数 f(x) 的 图 像 关 于 直 线 x ＝ － 2 对称 ， ∴ f(x) 满 足 f(0) ＝ f( － 4) ， f( － 1) ＝ f( － 3) ， 即b 15 16 4a b , a 8,4 3 28 93a b解得b ∴ f(x)＝－ x－ 8x － 14x ＋ 8x ＋15.,15.由 f ′(x)＝－ 4x 3－24x 2－ 28x ＋ 8＝ 0，得 x 1＝－ 2－ 5 ， x 2＝－ 2， x 3 ＝－ 2＋ 5 .易知， f(x)在 (－ ∞，－ 2－5 )上为增函数，在 (－ 2－ 5 ，－ 2)上为减函数，在 ( －2，－ 2＋ 5 )上为增函数，在 (－2＋5 ，＋ ∞)上为减函数．2＋ － －∴ f( － 2－ 5 )＝ [1－ ( － 2－ 5 )2][( － 2－5 )5 ) ＋15] ＝ ( － － 4 5 )(8 －4 5 ) ＝ 80 － 64＝8( 2816.f( －2) ＝[1－ (－ 2)2 ][( － 2)2＋ 8 ×(－ 2)＋ 15]＝－ 3(4－ 16＋ 15)＝－ 9.f( －2＋ 5 )＝[1－(－2＋5 )2][(－2＋ 5 )2＋8(－2＋5 )＋15]＝(－ 8＋4 5 )(8 ＋4 5 )＝ 80－ 64＝ 16.故f(x)的最大值为 16.三、解答题（ 2018·新课标 I ，理 21）已知函数f x 1x a ln x . x（ 1）讨论f x 的单调性；f x1f x2a 2 .（ 2）若f x存在两个极值点x1，x2，证明：x1x2解析：解法1：(1)函数f x的定义域为0,，且 f x11a x2ax1 x2x x2.当 a0 时，f x0， f x在 0,上单调递减；当 a0 时，a2 4 .①若 0a 2 ，则a240 ，此时f x0 ， f x在 0,上单调递减 .②若 a 2 ，则a240 ，方程 x2ax10 有两根x1, x2，x1x2a0a a24且，故两根 x , x 都为正数，且 x.x1x2 1 0121,22当 xa a24a a24时， f x0 ；0,22,当 x a a2 4 , a a24时， f x0 .22综上可知，当a2时， f x 在 0,上单调递减；当 a 2 时，f x在 0, aa24上单调递减，在a a2 4 , a a24单调递增，在222a a2 4 , 2 上单调递减 .(2) 因为x1, x2是fx1 x2a0 x 的两个极值点，所以1.x1x20f x 1f x 21 x 1 a ln x 11 x2 a ln x 2ln x 1x 1x 22 ax 2a 2 ，所以要证x 1 x 2x 1 x 2x 1x 2lnx1即证x 2 1 ① ，不妨设 x 1 x 2 ，即证 0 ln x1 x 1 x2 ， x 1 x 2 x 22222两边平方得lnx1x 1x 2 x 12x 1 x 2x 2x 1 x 2 2 ，x 2x 1 x 2x 2x 1令 tx 1 1 ，即证 ln 2 t t 12 .x 2t令 h tln 2t t 1 2 ，则 h 1 0 ，且 h t2ln t 1 112ln tt 1 ，ttt 2 tt22121t 2t 1t 1令 m t2ln tt ，则 m t10 ，t 2ttt 2t 2所以 m t 在 1, 上单调递减，m t m 10 ，所以 h t0 ， h t 在 1,上单调递减， h th 10 ，即 ln 2 t t 12 恒成立，tf x 1 f x 2a2 恒成立 .即x 1 x 2ln x 1ln x 1ln1【基本解法 2】 ① 式的证明：不妨设x 1 1 x 2ln x 2x 11 ，0 ，x 21x 1 x 1x 1即 ln x 12 x 11 0，令 g x ln x2 x1 x 1 ，x 1x21x 1 2则 gx10 ，所以 g x 在 1,上单调递减，x 2xx 2所以 g x g 1 0 恒成立，则 ① 得证 .【 2017， 12】已知函数 f xae 2 xa 2 e xx ．（ 1）讨论f ( x) 的单调性；（ 2）若 f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围．【解析】（ 1）由于 f xae 2 xa 2 e x x ，故 fx 2ae 2x a 2 e x1ae x 1 2e x1 ，① 当 a 0 时， a e x 1 0 ， 2e x 1 0 ．从而 fx0 恒成立．f x 在 R 上单调递减；② 当 a0 时，令 f x0 ，从而 e x 1 0 ，得 x ln a ．ax ， ln a ln a ln a ，f ′x 0f x单调减极小值单调增综上，当 a0 时， f (x) 在 R 上单调递减；当 a 0 时， f (x) 在 (, ln a) 上单调递减，在 ( ln a,) 上单调递增（ 2）由（ 1）知，当 a 0 时， f x 在 R 上单调减，故 f x 在 R 上至多一个零点，不满足条件．当 a0 时， f minfln a 1 1ln a ．令 g a1 1 ln a ．aa令 g a11 ln a a 0，则 g ' a110 ．从而 g a 在 0 ，上单调增，而 g 1 0 ．a a2a故当 0 a 1 时， g a 0 ．当 a1时 g a0 ．当 a 1 时 g a0 ，若 a 1 ，则 f min 11ga 0 ，故 f x0 恒成立，从而f x 无零点，不满足条件．ln aa若 a 1 ，则 f min 110 ，故 f x0 仅有一个实根xln a 0 ，不满足条件．ln aa若 0a 1 ，则 f min 1ln a 0 ，注意到ln a0 ． f1a a 21e 210 ．aee故 f x 在1， ln a 上有一个实根，而又ln3 ln1ln a ．且1aaf ln(31) ln 3 1ln3 1a 2 ln31eaa ea aa3 1 3 a a 2 ln313 1ln3 10 ．a aaa故 f x 在ln a ln1上有一个实根．，3a又 f x 在 ， ln a 上单调减，在 ln a ， 单调增，故 f x 在 R 上至多两个实根．又 f x 在1， ln a 及ln a ，ln3 1上均至少有一个实数根，故f x 在 R 上恰有两个实a根．综上， 0 a 1 ．【法二】令 fx0 ，则a2e xx ．再令t e x0 ，则 a2tln t ，e 2 xe xt 2 t而 f x 有两个零点，则a2t ln t有两解，即直线ya与曲线 y2t ln t有两个交点；t 2t t 2t令 g t2t ln t (t0) ，则gt2t ln t2t11t ln tt 22t22，t 2t t t令 h t1t ln t ，则h t110 ，注意到h10 ，t所以 g t 在 0,1上单调递增，在1,上单调递减，即g tmaxg1 1 ；而 lim g(t ), lim g(t )0，所以当 t0,1时， g(t),1；当 t0,1时， g(t ) 0,1，t 0t所以，当 a2t ln t有两解时， a 的取值范围为0,1．t 2t【 2016， 12】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a(x1) 2有两个零点．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明：x1x2 2 ．【解析】：⑴ 由已知得： f 'x x 1 e x2a x1x1e x2a①若 a0 ，那么f x0xx0x2， f x只有唯一的零点x 2 ，不合题意；2 e②若 a0 ，那么 e x2a e x0 ，所以当 x 1 时，f 'x0， f x 单调递增;当x 1 时，f 'x0， f x单调递减 ;即：x,111,f' x0f x↓极小值↑故 f x在 1,上至多一个零点，在,1 上至多一个零点由于 f2 a 0 ， f 1e0 ，则 f 2 f 10 ，根据零点存在性定理，f x 在1,2上有且仅有一个零点．而当 x 1 时， e x e ， x 2 1 0 ，故 f x x 2 e x222e x 1 e a x 1 e x 2 a x 1 a x 1则 f x0 的两根 t1e e24ae1 ，t2e e24ae1 ，t1t2，因为a 0，故当 x t12a2a或 x2e x 1 e 0 t2时，a x 1因此，当 x 1 且x t1时， f x0又 f1e0，根据零点存在性定理，f x 在,1 有且只有一个零点．此时， f x在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若e a 0 ，则 ln2aln e 1，2当 xln2a 时， x 1 ln 2a 10 ， e x 2a ln 2 a0 ，e2a 即 f ' x x 1 e x 2a 0 ， f x 单调递增；当 ln2ax 1 时， x 10 ，e xln 2 a2a 0 ，即 f ' x x 1 e x a20 ， f x 单2a e调递减；当 x 1 时， x 10 ， e x 2aln 2 a2a 0 ，即 f ' x0 ， f x 单调递增．e即：x ,ln 2aln 2aln 2 a ,111, f ' x + 0-0 +f x↑极大值↓极小值↑而极大值f ln2a 2a ln 2a 2a ln 2a 12a ln 2a 2 21 0故当 x ≤1 时， f x 在 x ln 2a 处取到最大值 f ln2a ，那么 f x ≤ f ln2a0 恒成立，即 fx0 无解而当 x 1 时， fx 单调递增，至多一个零点此时 f x 在 R 上至多一个零点，不合题意．④ 若 ae，那么 ln2a12当 x 1 ln 2a 时， x 1 0 ， ex2a ln2a2a 0 ，即 f ' x 0 ， f x 单调递增e 当 x 1 ln 2a 时， x 1 0 ， e x2aln 2a2a 0 ，即 f ' x0 ， fx 单调递增e又 f x 在 x 1 处有意义，故 f x 在 R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若 ae，则 ln 2 a12当 x 1 时， x 1 0 ， e x 2a e 12a e ln2a2a 0，即 f ' x 0 ， f x 单调递增当 1 xln 2a 时， x 10 ， ex2ae ln2a2a 0 ，即 f ' x0 ， fx 单调递减当 x ln 2a 时， x 1 ln2 a 1 0 ， e xln 2 a0 ，2a e2a 0 ，即 f ' xf x 单调递增即：x ,1 11,ln2aln 2a ln 2a ,f ' x + 0-+ f x↑极大值 ↓ 极小值↑故当 x ≤ ln 2a 时， f x在 x 1 处取到最大值f 1e ，那么f x ≤e 0 恒成立，即f x 0 无解当 x ln 2a 时， f x 单调递增，至多一个零点,此时 f x 在 R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当 a 0 时符合题意，即 a 的取值范围为0,．⑵ 由已知得： fx 1 f x 20 ，不难发现 x 1 1， x 21，x 1x x 2 xx 2 e x故可整理得：a 2 e 12 e2，则 g x 1 g x 2x 1 1 2x 22g x 21,x 1x 21 x2，当 x1 时， g ' x 0， g x 单调递减； 当 x 1 时， g ' x 0 ， g x 单调递增．g ' x3 e x 1设 m 0 ，构造代数式：g 1 m g 1 mm 1 1 mm 1 1 m1 m 1 mm 1 2m12e2em 2emem m 1设 h mm 1e 2m 1， m 0 ,则 h ' m 2m 2 2 e 2 m 0 ，故 h m 单调递增，有 h m h 00 ．m 1m 1因此，对于任意的 m 0 ， g 1m g 1 m ．由 g x 1g x 2 可知 x 1 、 x 2 不可能在 g x 的同一个单调区间上，不妨设x 1 x 2 ，则必有 x 1 1 x 2令 m 1 x 1 0 ，则有 g 11 x 1 g 1 1 x 1g 2 x 1 g x 1g x 2而 2 x 1 1， x 21， g x 在 1,上单调递增，因此： g 2 x 1g x 22 x 1 x 2整理得： x 1 x 2 2 ．【 2015， 12】已知函数 f ( x) x 3ax 1 ， g( x)ln x .4（Ⅰ）当 a 为何值时， x 轴为曲线 yf ( x) 的切线；（Ⅱ）用 min{ m, n} 表示 m,n 中的最小值，设函数 h( x) min{ f (x), g( x)} （ x0 ），讨论 h(x) 零点的个数 .解：（Ⅰ） f (x)3x 2 a ，若 x 轴为曲线 y f ( x) 的切线，则切点 (x 0 ,0) 满足 f ( x 0 ) 0, f ( x 0 ) 0 ，也就是 3x 0 2a 0 且 x 03 ax 0 1 0 ，解得 x 01 ，a3 ，因此，当 a 3 时，x 轴为曲线 yf (x)4244的切线；（Ⅱ）当 x 1时， g (x) ln x 0 ，函数 h(x) min{ f ( x), g ( x)}g( x) 没有零点；当 x1 时，若 a5 ，则 f (1)a50 ， h(1) min{f (1), g(1)}g (1) 0 ，故 x1 是 h( x) 的44零点；当 0x 1时， g( x)ln x 0 ，以下讨论 yf (x) 在区间 (0,1) 上的零点的个数 .对于f (x)3x 2 a ，因为 0 3x 23 ，所以令 f (x)0 可得 a3x 2 ，那么（ i ）当 a 3 或 a 0 时， f ( x) 没有零点（ f (x) 0 或 f ( x) 0 ）， y f (x) 在区间 (0,1) 上是单函数， 且 f (0)1 , f (1) a 5 ，所以当 a 3 ， yf ( x) 在区 (0,1) 上有一个零点； 当 a0 ，44y f (x) 在区 (0,1)上没有零点；（ ii ）当3a0 ， f( x)0 （ 0xa ）且 f ( x)0 （a1），所以 xa3 x33最小 点，且f (a 2a a 1)33.34然，若 f (a ) 0 ，即 3 a 0 ， y f ( x) 在区 (0,1) 上没有零点；3 4若 f (a ) 0 ，即 a3 f ( x) 在区 (0,1) 上有 1 个零点；， y34若 f (a ) 0 ，即 3 a3 ，因 f (0)1, f (1) a 5 ，所以若 5a3 ， yf (x)3444 4 4在区 (0,1)上有 2 个零点；若3 a5 ， yf ( x) 在区 (0,1) 上有 1 个零点 .4上，当 a3 5有 1 个零点；当 a3或 a5 个零点；当或 a， h( x)4 ， h( x) 有 24445 3a， h( x) 有 3 个零点 .44【 2014，21】 函数 f ( x0ae x ln x be x 1 ，曲 yf (x) 在点（ 1， f (1) 的切 ye(x 1) 2 .x (Ⅰ )求 a,b ； （Ⅱ） 明：f ( x) 1 .【解析】 (Ⅰ ) 函数 f ( x) 的定 域0,， f ( x)ae x ln x a e xb 2 e x 1 b e x 1x xx由 意可得f (1) 2, f (1) e ，故 a 1,b 2⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）由 (Ⅰ )知，f ( x) xln x2e x 1，从而 f (x) 1 等价于 x ln xx2ex xee函数 g ( x)x ln x ， g (x)x nl x，所以当 x0,1，g (x)0，当 x1 , ，g ( x)0，ee故 g (x) 在0, 1减，在 1 ,增，从而g( x) 在 0,的最小 g( 1)1 .eeee函数 h( x)xe x2 ， h ( x) e x 1 x ，所以当 x0,1 ， h ( x)0 ，当 x 1,，eh (x) 0 ，故 h( x) 在0,1 增，在 1,减，从而 h( x) g (x) 在0,1的最小 h(1).e上：当 x 0 ， g(x) h( x) ，即 f (x)1.⋯⋯⋯⋯⋯12分【 2013，理 21】函数2xf(x)＝ x ＋ ax＋ b， g(x)＝e (cx＋ d)．若曲 y＝ f(x)和曲 y＝ g(x)都点 P(0,2)，且在点 P 有相同的切y＝4x＋ 2.(1)求 a， b，c， d 的； (2)若 x≥－ 2 ， f(x) ≤kg(x)，求 k 的取范．解： (1) 由已知得 f(0) ＝ 2，g(0) ＝ 2， f ′(0)＝ 4， g′(0)＝ 4.而f′(x)＝ 2x＋ a， g′(x)＝ e x( cx＋ d＋ c)，故 b＝2， d＝ 2， a＝ 4，d＋ c＝ 4.从而 a＝ 4， b＝2， c＝ 2，d＝ 2.(2)由 (1) 知， f(x)＝ x2＋ 4x＋2， g(x)＝ 2e x(x＋ 1)．函数 F(x)＝ kg(x)－f(x)＝ 2ke x(x＋ 1)－x2－4x－ 2， F′(x)＝ 2ke x(x＋ 2)－ 2x－4＝ 2(x＋ 2)(ke x－ 1)．由可得F(0)≥0，即 k≥1.令F ′(x)＝ 0 得 x1＝－ ln k，x2＝－ 2.2①若 1≤k＜ e ，－ 2＜ x1≤0.从而当 x∈ (－ 2，x1)，F ′(x)＜ 0；当 x∈ (x1，＋∞) ，F ′(x)＞ 0.即 F( x)在 (－而F(x1)＝ 2x1＋ 2－x12－ 4x1－ 2＝－ x1( x1＋2) ≥0.故当 x≥－ 2 ， F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立．②若 k＝ e2， F′(x)＝ 2e2( x＋ 2)(e x－ e－2)．从而当 x＞－ 2 ， F′(x)＞ 0，即 F(x)在 (－ 2，＋∞) 增．而F(－ 2) ＝0，故当 x≥－ 2 ， F(x)≥0，即 f( x)≤kg(x)恒成立．③若k＞ e2， F(－ 2)＝－ 2ke－2＋ 2＝－ 2e－2(k－ e2)＜ 0.从而当 x≥－ 2 ， f( x)≤kg( x) 不可能恒成立．2上， k 的取范是[1， e ]．已知函数 f ( x) 足 f ( x) f ' (1)e x 1 f (0)x1x2．2（ 1）求f (x)的解析式及区；（ 2）若f (x) 1 x2ax b ，求 (a1)b 的最大．2【解析】（ 1）因所以f (x) f ' (1)e x 1 f (0) x1x2，所以f '(x) f '(1)e x 1 f (0) x ，2f (0)1f '(1)，解得 f (0)1， f'(1) e ．ef '(1) f '(1) f (0) 1所以 f (x) 的解析式 f ( x)e x x1x2，由此得 f '(x)e x 1 x ．2而 f '(x)e x 1x 是R上的增函数，且 f '(0) 0 ，因此，当 x(0,) ， f'(x)f'(0)0 ， f (x) 在 (0,) 上是增函数；当 x ( ,0) ， f '( x) f '(0) 0 ， f ( x) 在 ( ,0) 上是减函数．综上所述，函数 f (x) 的增区间为 (0,) ，减区间为 (,0) ．（ 2）由已知条件得 e x(a 1) x b ．①1 b ，（ i ）若 a 10 ，则对任意常数 b ，当 x0 ，且 xa1 可得 e x( a 1)x b ，因此①式不成立．（ ii ）若 a 10 ，则 ( a 1)b 0 ．（ iii ）若 a 1 0 ，设 g( x)e x (a 1)x ，则 g '(x) e x ( a 1) ．当 x( ,ln( a 1)) ， g '( x) 0 ；当 x (ln( a 1), ) ， g '( x) 0从而 g( x) 在 ( ,ln( a 1)) 单调递减，在 (ln( a 1),) 单调递增．所以 f (x)1x2ax b 等价于 ba 1( a 1)ln( a 1)．②2因此 (a 1)b (a 1)2 (a 1)2 ln( a 1) ．设 h(a)(a 1)2(a 1)2 ln(a 1)，则 h '(a) (a1)(1 2ln( a1)) ．11所以 h( a) 在 (1,e 2 1) 单调递增，在 (e 21, ) 单调递减，1ee故 h(a) 在 ae 2 1 在处取得最大值，从而h(a)，即 (a 1)b2．211e 212当 ae21 ， bf (x)x ax b ．时，②式成立，故22综合得， (a1)b 的最大值为 e．2【 2011， 21】已知函数 f ( x)a ln xb，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x 2 y3 0．x 1 xln xk，求 k 的取值范围．（Ⅰ）求 a 、 b 的值；（Ⅱ）如果当x0 ，且 x1时， f ( x)x 1 xa x 1 ln xb（ 21）解：（ I ） f xxx 1 2x 21f 1 1b1 由于直线 x2 y3 0 的斜率为，且过点 1,1 ，故 11 ，即a b 1 ，解得 a 1 ， b 1 .2f22 2（ II ）由（ I ）知 f xln x 1，所以ln x k12ln x k1x 2 1f x1 x 1 x 2xx 1 xx考虑函数 h x 2ln x k 1 x21x0，则 h xk 1 x2 1 2 x x x2k x21x12（ i）设k0 ，由 h x知，当 x 1 时， h x0 . 而 h 10 ，x 2故当 x0,1时， h x0 ，可得12hx0 ；x1当 x1,时， h x0 ，可得1h x0x21从而当 x0，且 x 1 时， f x ln x k0 ，即 f xln x k. x1x x 1x（ ii ）设0k 1 ，由于当x1,1时， k 1x212x0 ，故 h x0，而 h10，故当 x1,11k1k时， h x0 ，可得12 h x0 ，与题设矛盾 .1 x（ iii ）设k 1 ，此时h x0 ，而 h 10 ，故当 x1,时， h x0 ，得1h x 0，与题设1x2矛盾 .综合得， k 的取值范围为,0 .。
2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——6.数列
6．数列（含解析）一、选择题【2017，4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【2016，3】已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97【2013，7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【2013，14】若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________． 【2012，5】已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．－5D ．－7二、填空题【2016，15】设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则12n a a a L 的最大值为 ． 【2012，16】数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为__________． 三、解答题【2015，17】n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．【2014，17】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．【2011，17】等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．6．数列（解析版）一、选择题【2017，4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8（4）【解析】45113424a a a d a d +=+++=，61656482S a d ⨯=+=，联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d ，624d =，4d =∴，选C ；【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题，100N >，令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn-=--，n 组总共的和为()2122212n n n n --=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，→295n k ==，，则()2912954402N ⨯+=+=，故选A ；【2016，3】已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97【解析】由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ． 【2013，7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1. ∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案：B【2013，14】若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________. 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.②①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n aa -＝－2，∵a 1＝S 1＝12133a +，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.【2012，5】已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．－5D ．－7【解析】因为{n a }为等比数列，所以由已知得47475628a a a a a a +=⎧⎨==-⎩，解得4724a a =-⎧⎨=⎩或4742a a =⎧⎨=-⎩，所以1312a q =⎧⎨=-⎩或13812a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此110a a +=91(1)7a q +=-，故选择D ．二、填空题【2016，15】设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则12n a a a L 的最大值为 ． 【解析】由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()32...4121...2n n a a a -+-++-⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()211749722241122n n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．【2012，16】数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为____________．【解析】因为1(1)21n n n a a n ++-=-，所以211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，……，5857113a a -=，5958115a a +=，6059117a a -=．由211a a -=，323a a +=可得132a a +=； 由659a a -=，7611a a +=可得572a a +=；…… 由5857113a a -=，5958115a a +=可得57592a a +=； 从而1357575913575759()()()21530a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=⨯=．又211a a -=，435a a -=，659a a -=，…，5857113a a -=，6059117a a -=，所以2466013559()()a a a a a a a a ++++-++++2143656059()()()()a a a a a a a a =-+-+-++-=159117++++3011817702⨯==． 从而24660a a a a ++++135591770a a a a =+++++3017701800=+=．因此6012345960S a a a a a a =++++++13592460()()a a a a a a =+++++++3018001830=+=．三、解答题【2015，17】n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 解：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，且n a =21n +. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，则数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+.【2014，17】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=-令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2nm =，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分【2011，17】等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 解：（I ）设数列{}n a 的公比为q . 由23269a a a =得22349a a =，所以219q =. 由条件可知0q >，故13q =. 由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =.故数列{}n a 的通项公式为13n na =. （II ） 31323log log log n nb a a a =+++()()1122n n n +=-+++=-.故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 121111111122122311n n b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+.。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——3.程序框图
2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编（逐题解析）3．程序框图（2018·新课标Ⅱ，7）为计算11111123499100S=-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+（2018·新课标Ⅱ，7）（2017·新课标Ⅰ，8）（2017·新课标Ⅱ，8）2017·新课标Ⅲ，7）（2017·新课标Ⅰ，8）右面程序框图是为了求出满足321000n n->的最小偶数n）A．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2（2017·新课标Ⅱ，8）执行右面的程序框图，如果输入的1a=-，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．5（2017·新课标Ⅲ，7）.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2（2016·新课标Ⅰ，9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x，1=y，1=n，则输出yx,的值满足（）A．xy2=B．xy3=C．xy4=D．xy5=（2016·新课标Ⅰ，9）（2016··新课标Ⅱ，8）（2016·新课标Ⅲ，7）开始,x n输入00k s==，a输入s s x a=⋅+1k k=+k n>s输出结束否是nyynxx=-+=,21nyx,,输入开始结束yx,输出1+=nn?3622≥+yx是否（2016··新课标Ⅱ，8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．34（2016·新课标Ⅲ，7）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=A. 3B. 4C. 5D. 6（2015·新课标Ⅰ，9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8结束输出S1M=，3S=开始输入x，t1k=k t≤MM xk=S M S=+1k k=+是否（2015·新课标Ⅰ，9）（2015··新课标Ⅱ，8）（2014··新课标Ⅱ，7）（2015··新课标Ⅱ，8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a =（）A．0 B．2 C．4 D．14（2014·新课标Ⅰ，7）执行下图的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M=（）A.203B.165C.72D.158（2014··新课标Ⅱ，7）执行右面程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S= （）A．4 B．5 C．6 D．7（2013·新课标Ⅰ，5）执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()．A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5]（2013··新课标Ⅱ，6）执行右面的程序框图，如果输入的10N=，那么输出的S=（）A.11112310++++L B.11112!3!10!++++LC.11112311++++L D.11112!3!11!++++L（2012·新课标Ⅰ，6）如果执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ） A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和B ．2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最小的数和最大的数（2011·新课标Ⅰ，3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A ．120 B ．720 C ．1440 D ．5040（2013·新课标Ⅰ，5） （2013··新课标Ⅱ，6） （2012·新课标Ⅰ，6） （2011·新课标Ⅰ，3）否是开始 k<N输出p输入N 结束k =1, p =1 k =k+1p=p·k2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编3．程序框图（解析版）（2018·新课标Ⅱ，7）为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【答案】B 解析：从N 、T 和式结构上看，属于累和结构，奇数项的和与偶数项的和，从以上的结构与分析我们知道偶数或奇数的间隔为2，即2i i =+（2017·新课标Ⅰ，8）右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ） A ．A >1000和n =n +1 B ．A >1000和n =n +2 C ．A ≤1000和n =n +1 D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D 解析：因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A 1000>，排除A 、B ，又要求n 为偶数，且n 初始值为0，“”中n 依次加2可保证其为偶，故选D ；（2017·新课标Ⅱ，8）执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 解析：【解析】解法一：常规解法∵ 00S =，01K =，01a =-，S S a K =+⋅，a a =-，∴ 执行第一次循环：11S =-﹑11a =﹑ 12K =；执行第二次循环：21S =﹑21a =-﹑23K =；执行第三次循环：32S =-﹑31a =﹑ 34K =；执行第四次循环：42S =﹑41a =-﹑45K =；执行第五次循环：53S =-﹑51a =﹑56K =；执行第五次循环：63S =﹑61a =﹑67K =；当676K =>时，终止循环，输出63S =，故输出值为3.解法二：数列法()11nn n S S n -=+-⋅，1n K n =+，裂项相消可得()121nin i S S i =-=-⋅∑；执行第一次循环：11S =-﹑11a =﹑12K =，当6n K >时，6n =即可终止，61234564S +=-+-+=，即63S =，故输出值为3.（2017·新课标Ⅲ，7）.执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）.A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 解析： 程序运行过程如下表所示：SMt初始状态 0 1001 第1次循环结束 100 10-2 第2次循环结束9013此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值.故选D.（2016·新课标Ⅰ，9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足A ．x y 2=B ．x y 3=C ．x y 4=D ．x y 5=【答案】C 解析：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<；第二次循环：22117,2,3624x y x y ==+=<；第三次循环：223,6,362x y x y ==+>；输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ．（2016··新课标Ⅱ，8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程ny y n x x =-+=,21ny x ,,输入开始结束y x ,输出1+=n n ?3622≥+y x 是否序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ） A ．7B ．12C ．17D ．34【答案】C 解析：第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=，第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．（2016·新课标Ⅲ，7）执行右面的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B 解析：列表如下 a4 2 6 -2 4 2 6 -2 4 b6 4 6 4 6 s 0 6 10 16 20 n1234【考点】程序框图（2015·新课标Ⅰ，9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：0.01t =保持不变，初始值11,0,0.52s n m ====， 执行第1次，0.5,0.25,1s m n ===，s t >，执行循环体； 执行第2次，0.25,0.125,2s m n ===，s t >，执行循环体； 执行第3次，0.125,0.0625,3s m n ===，s t >，执行循环体；开始,x n输入00k s ==，a输入s s x a=⋅+1k k =+k n>s输出结束否是执行第4次，0.0625,0.03125,4s m n ===，s t >，执行循环体；执行第5次，0.03125,0.015625,4s m n ===，s t >，执行循环体；执行第6次，0.015625,0.0078125,5s m n ===，s t >，执行循环体；执行第7次，0.0078125,0.00390625,6s m n ===，s t <，跳出循环体，输出7n =，故选C ．. （2015··新课标Ⅱ，8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B 解析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为a =14，b =18，b =4，a =10，a =6，a =2，b =2，此时a =b =2程序结束，输出a 的值为2，故选B ．（2014·新课标Ⅰ，7）执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ）A .203 B .165 C .72 D .158【答案】D 解析：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = .（2014··新课标Ⅱ，7）执行右面程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S = （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D 解析：：输入的x ，t 均为2．判断12≤？是，1221M =⋅=，235S =+=，112k =+=；判断22≤？是，2222M =⋅=，257S =+=，213k =+=，判断32≤？否，输出7S =.（2013·新课标Ⅰ，5）执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5] 【答案】A 解析：． 若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]． 综上可知，输出的s ∈[－3,4]．（2013··新课标Ⅱ，6）执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）A .11112310++++L B .11112!3!10!++++L C .11112311++++LD .11112!3!11!++++L【答案】B 解析：：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1；当k ＝2时，12T =，1=1+2S ； 当k ＝3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k ＝4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；… … … … ； 当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯L ，111+2!3!S =++k 增加1变为11，满足k ＞N ，输出S ，故选B ．（2012·新课标Ⅰ，6实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ） A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和B ．2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 【答案】C 解析：由程序框图可知，A 表示1a ，2a ，…，B 表示1a ，2a ，…，N a 中最小的数，故选择C ．（2011·新课标Ⅰ，3）执行右面的程序框图，如果输入的那么输出的p 是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．5040【答案】B 解析：解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——4.简易逻辑、推理与证明
4．简易逻辑、推理与证明一、选择题（2017，新课标Ⅱ，7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩（2015，新课标Ⅰ，3）设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n = （2011·新课标Ⅱ，10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（ ）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦a b 3:10,3P πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3P πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a b A ． P 1，P 4B ．P 1，P 3C ．P 2，P 3D ．P 2，P 4二、填空题（2014，新课标Ⅰ，14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .4．简易逻辑、推理与证明（解析版）一、选择题（2017，新课标Ⅱ，7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【解析】D 解法一：假设法：甲看乙﹑丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙﹑丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩.（2015，新课标Ⅰ，3）设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n =【答案】C 解析：命题p 含有存在性量词（特称命题），是真命题（如3n =时），则其否定（p ⌝）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选C ．.（2011·新课标Ⅱ，10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（ ）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦a b 3:10,3P πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3P πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a b A ． P 1，P 4 B ．P 1，P 3 C ．P 2，P 3 D ．P 2，P 4【答案】A 解析：由||1+=>a b 得1cos 2θ>-2[0,)3πθ⇒∈.由||1-==>a b 得1cos 2θ<(,]3πθπ⇒∈，故选A. 二、填空题 （2014，新课标Ⅰ，14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .【答案】A 解析：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B 城市，乙说：我没去过C 城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B ，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.。
新课标(Ⅰ)数列(理)2011-2018汇编(学生版)
2011-2018新课标Ⅰ数列（理）【2011】（17）（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.【2012】（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7（16）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 【2013】7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =( ) A .3 B .4C.5D.612.设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3,n =，若11111,2b c b c a >+=，111,,22n n n nn n n n c a b a a a b c +++++===，则( ) A .{S n }为递减数列 B .{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列14.若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______.【2014】17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.【2015】（17）（本小题满分12分）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=错误！未找到引用源。
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16．数列（含解析）一、选择题【2018,4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．12【2017，4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【2016，3】已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97【2013，7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【2013，14】若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________． 【2012，5】已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．－5D ．－7二、填空题【2018,14】记n S 为数列{}n a 的前n 项和若21n n S a =+，则6S =_____________．【2016，15】设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则12n a a a L 的最大值为 ． 【2012，16】数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为__________． 三、解答题【2015，17】n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+．2 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=错误！未找到引用源。
，求数列{}n b 错误！未找到引用源。
的前n 项和．【2014，17】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．【2011，17】等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．36．数列（解析版）一、选择题【2018,4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．12【解析】4233S S S += ，d a d a 76)33(311+=+∴，又21=a 3-=∴d ，105-=∴a 。
选B 【2017，4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】45113424a a a d a d +=+++=，61656482S a d ⨯=+=，联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d ，624d =，4d =∴，选C ；【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题，100N >，令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn-=--，n 组总共的和为()2122212n n n n --=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，→295n k ==，，则()2912954402N ⨯+=+=，故选A ；【2016，3】已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）A ．100B ．99C ．98D ．97【解析】由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ． 【2013，7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．4 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1. ∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C. 【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案：B【2013，14】若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________. 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.②①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n aa -＝－2，∵a 1＝S 1＝12133a +，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.【2012，5】已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．－5D ．－7【解析】因为{n a }为等比数列，所以由已知得47475628a a a a a a +=⎧⎨==-⎩，解得4724a a =-⎧⎨=⎩或4742a a =⎧⎨=-⎩，所以1312a q =⎧⎨=-⎩或13812a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此110a a +=91(1)7a q +=-，故选择D ．二、填空题【2018,14】记n S 为数列{}n a 的前n 项和若21n n S a =+，则6S =_____________． 【解析】12+=n n a S ，1121111-=⇒+==∴a a S a1211+=∴--n n a S ，122--=∴n n n a a a ，12-=∴n n a a ，12--=∴n n a ，6321)21(166-=--⨯-=∴S 。
【2016，15】设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则12n a a a L 的最大值为 ． 【解析】由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()32...4121...2n n a a a -+-++-⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()211749722241122n n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭取5到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．【2012，16】数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为____________．【解析】因为1(1)21n n n a a n ++-=-，所以211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，……，5857113a a -=，5958115a a +=，6059117a a -=．由211a a -=，323a a +=可得132a a +=； 由659a a -=，7611a a +=可得572a a +=；…… 由5857113a a -=，5958115a a +=可得57592a a +=； 从而1357575913575759()()()21530a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=⨯=．又211a a -=，435a a -=，659a a -=，…，5857113a a -=，6059117a a -=， 所以2466013559()()a a a a a a a a ++++-++++2143656059()()()()a a a a a a a a =-+-+-++-=159117++++3011817702⨯==． 从而24660a a a a ++++135591770a a a a =+++++3017701800=+=．因此6012345960S a a a a a a =++++++13592460()()a a a a a a =+++++++3018001830=+=．三、解答题【2015，17】n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知n a ＞0，2243nn n a a S +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=错误！未找到引用源。