【初一数学】整式的除法(基础)知识讲解

整式的除法（基础）知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1. 会进行单项式除以单项式的计算．

2. 会进行多项式除以单项式的计算．

【要点梳理】

要点一、单项式除以单项式法则

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在

被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.

（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂

的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.

要点二、多项式除以单项式法则

多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++

要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来

解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.

（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注

意符号的变化.

【典型例题】

类型一、单项式除以单项式

1、计算：

（1）342222(4)(2)x y x y ÷；

（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭

； （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；

（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．

【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．

【答案与解析】

解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=．

（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭

21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦ 21432

n xy z -=-． （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-

222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-

2()()x y x y x y =-÷-=-．

（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++

2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+

3()33a b a b =+=+．

【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数．

举一反三：

【变式】计算：

（1）3153a b ab ÷； （2）532253x y z x y -÷；

（3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】

解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==．

（2）532252323553(53)()()3

x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-．

（3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．

2、（2015春•泾阳县校级月考）金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为

4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒）

【答案与解析】 解：t=秒，

答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．

【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握．

类型二、多项式除以单项式

3、计算（1）2

54311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭ ； （2）()()32271833x x x x -+÷-.

【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算．

【答案与解析】 解：（1）2

54311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭ 5432

5242323211224111124424

482x x x x x x x x x x x x x

⎛⎫=++÷ ⎪⎝

⎭=÷+÷+÷=++ （2）()()32271833x x x x -+÷-

()()()

32227318333961x x x x x x x x =÷--÷-+÷-=-+-

【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．

4、计算：

（1）324(67)x y x y xy -÷； （2）42(342)(2)x x x x -+-÷-；

（3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-；

（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭

． 【答案与解析】

解：（1）32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-．

（2）42(342)(2)x x x x -+-÷-

42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-

33212

x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷- 222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-

2321x x =-+-

（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭

22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

22321533

ab a b =-++． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）