北京大学高等数学考题期末考试题考试试题复习_A卷

a(1 a)[ f (1) f (2 )] 0
1 [0, a],2 [a,1], f (1) f (2 )
六、计算题
L z2 ( x y z 1) (x2 y2 1)
345
Lx
3
2 x
0,
Ly
4
2 y
0,
约束条件
x y z 1 345
x2 y2 1
Lz
2z 5
x y
df
[exy (dx
yx
dy) sin x exy cos x dx](x (x y)2
y) exy sin x(dx dy)
[(xy
y2
1) sin (x
x (x y)2
y) cos x]exy
dx
[( x 2
xy 1) sin (x y)2
x]e xy
dy
考点：全微分的计算
期末试题A卷
一、判断题 正确
考点：无穷大与无穷小的概念
一、判断题
错误。连续是可积的充分条件，但不是必要条件。 若函数存在可去间断点，函数不连续但是可积。
考点：函数可积的概念
错误。不存在。
a
xdx xdx xdx lim
a
xdx lim
A2 xdx
a
A1 A1
A2 a
x2 a
(sec6 x 2sec4 x sec2 x)d (sec x)
1 sec7 x 2 sec5 x 1 sec3 x C
7
5
3
考点：熟练掌握基本函数的导函数
1
1 x2
x
x dx=
( x3/ 4
x5/4 )dx
4
7
x4
1
4x 4
C
7
z x
y2
f1'
2xyf2'
2 z x2
y4
xk
lim
x0
sin x kx k 1
ex
lim
x0
1 kx k 1
1
考点：洛必达法则
三、填空题
z ez
xy, 对x求偏导 (1+ez )z x
y
z x
y 1+e
z
z ez
xy, 对y求偏导 (1+ez )z y
x
z y
x 1+ez
(1+ez )z y, 对y求偏导 ez z z (1+ez ) 2 z 1
D
1
dy
y x2e y2 dx
e1 y2
y3 dy
0
0
0
3
e1 y2 y2 dy2 1ex x dx
0
6
06
(ex x 1 1exdx) 1 (1 2)
6 60
6e
原式= lim 1 ( 1 1 1 ... 1 )
n n 12 1 2 12 2 2 12 3 2
f ''
11
4xy3
f ''
12
2
yf
' 2
4x2 y2
f '' 22
2 z xy
2 yf1'
2
xf
' 2
2xy3
f ''
11
2x3 yf2''2
5x2 y2
f ''
12
z y
2xyf1'
x2
f2'
2 z y2
2xf1'
4x2 y2
f ''
11
x4
f
'' 22
4x3
yf1'2'
x2e y2 dxdy
xn
n
1 n3
, zn
n
1 n2
, yn
n
1 n
满足题目条件
但是 lim n
zn
= lim n n
1 n2
不存在
xn
1 n3
, zn
1 n2
,
yn
1 n
满足题目条件
但是 lim n
zn
=
lim
n
1 n2
=0
D
（A）分子x2 sin 1 求导后为2xsin sin 1 cos 1 ,极限不存在
x
x
12 n 2
n
n
n
n
11 0 1 x2
dx
arctan
x
|10
4
考点：定积分概念
五、证明题
a
1
0 f (x)dx a0 f (x)dx
a
a
1
0 f (x)dx a(0 f (x)dx a f (x)dx)
a
1
(1 a)0 f (x)dx aa f (x)dx
a(1 a) f (1) a(1 a) f (2 ), (积分中值定理)
x2 A2
lim
lim
2 A1
2 A2
A1
a
不收敛 不收敛
考点：广义积分的定义 教材P165
错误。可微偏导数存在，偏导数存在不一定可微。
考点：可微与偏导的关系 教材P184-185
错误。先求导再积分，等于原函数与任意常数之和。 考点：不定积分的概念
二、选择题
B 考点：不定积分的概念
C
x
（B）lim1 sin bx不一定为0，原式不一定为不定式 x1
（C）分子极限为无穷，分母极限不存在
考点：洛必达法则
D
x f (2t)dt 1
x f (2t)d (2t) 1
x
df (2t)
a
2a
2a
1 2
f
(2t)
|ax
1[ 2
f
(2x)
f
(2a)]
B
cos x ex
lim
x0
ln(1 x2 )dx x ln(1 x2 ) 2
x 2x 1 x2
dx
x ln(1 x2 ) 2x 2 arctan x C
考点：分部积分
x2exdx x2dex x2ex 2xexdx
x2ex 2xex 2ex C
考点：分部积分
tan5 x sec3 xdx (sec2 x 1)2 sec2 xd (sec x)
x
y x
xy
ez
x 1+ez
y 1+ez
(1+ez ) 2 z xy
1
2 z xy
1 1 ez
xyez (1 ez )3
考点：隐函数求导
f (x) (ex )' ex , x2 f (ln x)dx x2 (1)dx xdx 1 x2 c
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
2
对f x, y exy sin x 求全微分
y' (x) 1 (x2 )2 (x2 )' 2x 1 x4 y' (3) 2 3 1 34 6 82
1 (
0
x
x2 )dx
(2 3
3
x2
1 3
x3 )
|10
1 2
四、计算题
ln 2
xdx
x ln2
x
2x
1 x
ln
xdx
x ln2 x 2x ln x 2x C
考点：分部积分
0.