一元二次方程压轴题[含答案解析]
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一元二次方程
1．（模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．
2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值围，使|α|＋|β|≤6成立．
3．（）已知x 1，x 2是一元二次方程(
a －6)x
2
＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使( x 1＋1)(
x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．
4．（模拟）已知关于x 的方程x
2
－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．
（1）求证：x 1≤1≤x 2
（2）若点A （1，2），B （
1
2
，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问
是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝
5
4
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（模拟）已知方程组
⎩⎨⎧y
2
＝4x y ＝2x ＋b
有两个实数解
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1
和
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 2
y ＝y 2
，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．
（1）求b 的取值围； （2）否存在实数b ，使得
1
x 1
＋
1
x 2
＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．
6．（某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值围．
7．（某校自主招生）已知实数x 、y 满足
⎩⎨
⎧x ＋y ＝3a －1
x
2＋y
2＝4a
2
－2a ＋2
，求x y 的取值围．
8．（某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a
2(1－x
2
)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，
求证：
－1＜x 1＜0＜x 2＜1．
（答案）
1．（模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2
∴22＋2p＋q＋1＝0，整理得：q＝－2p－5
（2）∵△＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4
无论p取任何实数，都有(p＋4)2≥0
∴无论p取任何实数，都有(p＋4)2＋4＞0，∴△＞0
∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点
（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，
都为直线x＝－p
2
，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物
线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1
∴四边形FEMN是平行四边形
由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p
2
|＝2，即|－
p
2
|＝2
∴p＝±4
2．（某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值围，使|α|＋|β|≤6成立．
解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21
∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根
∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2
∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36
∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36
当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立
∴－1≤m≤1 ①
当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36
解得－15
2
≤m≤
15
2
∴－15
2
≤m＜－1或1＜m≤
15
2
②
综合①、②得：－15
2
≤m≤
15
2
3．（）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2
成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说
明理由；
（2）求使(
x 1＋1)(
x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．
解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(
a －6)x
2
＋2ax ＋a ＝0的两个实数根
∴⎩⎨⎧a －6≠04a 2－4a (
a －6)≥0 即
⎩
⎪⎨⎪⎧a ≠6a ≥0
假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(
x 1＋x 2)－x 1x 2＝0
∴4＋
－2a
a －6
－
a
a －6
＝0，得a ＝24
∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6
∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立 （2）∵(
x 1＋1)(
x 2＋1)＝(
x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝
－2a
a －6
＋
a
a －6
＋1＝－
a
a －6
∴要使(
x 1＋1)(
x 2＋1)为负整数，则只需a 为7，8，9，12
4．（模拟）已知关于x 的方程x
2
－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．
（1）求证：x 1≤1≤x 2
（2）若点A （1，2），B （
1
2
，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问
是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝
5
4
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，x 1x 2＝a ∴a ＝x 1x 2，b ＝x 1＋x 2－x 1x 2－1 ∵b ≥0，∴x 1＋x 2－x 1x 2－1≥0 ∴1－x 1－x 2＋x 1x 2≤0 ∴(1－x 1)(1－x 2)≤0
又∵x 1≤x 2，∴1－x 1≥0，1－x 2≤0 即x 1≤1，x 2≥1 ∴x 1≤1≤x 2
（2）∵x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，a ＋b ＝
5 4 ，∴x 1＋x 2＝ 9
4
①当点P （x 1，x 2）在BC 边上运动时 则
1
2
≤x 1≤1，x 2＝1 ∴x 1＝
9 4 －x 2＝ 9 4 －1＝
5
4
＞1
故在BC 边上不存在满足条件的点P ②当点P （x 1，x 2）在AC 边上运动时 则x 1＝1，1≤x 2≤2
取x 2＝
5 4 ，则x 1＋x 2＝ 9 4 ，即a ＋b ＝ 5
4
故在AC 边上存在满足条件的点P （1，
5
4
）
③当点P （x 1，x 2）在AB 边上运动时
O x
y
1
1
2
C
A
B