指数函数及其性质
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指数函数及其性质
情景 2：某种机器设备每年按 6% 的折旧率折旧，设机器的原来价值为 1，经过 x 年后，机 器的价值为原来的 y 倍，则 y 与 x 的关系为 y 0.94 x .
问题 1：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？
➢指数幂形式 ➢自变量在指数位置 ➢底数是常量
• 一、指数函数的定义
• 一般地，函数y＝___a_x__(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中
x是_自__变__量_． 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征： • (1)底数：大于零且不等于1的常数； • (2)指数：仅有自变量x； • (3)系数：ax的系数是1.
问题2：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 ax无意义
1
1
如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
例：函数 y 2 3x 是指数函数吗？
练1：下列函数是指数函数吗,为什么?
y 2x2 y 4x2 y x y 2x
2 x 0.13 0.25 0.5
1
x
8
4
2
2
- 0.5 0 0.71 1
1.4 1
0.5 1 2 3 1.4 2 4 8
0.71 0.5 0.25 0.13
y 2x
y 1 x
88
2
77
66
55
44
gx = 0.5x 33
22
11
--66
--44
--22
fx = 2x
22
44
66
• 2．指数函数的图象和性质 • 指数函数的图象和性质如下表所示：
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域 性
__(_0_，_＋__∞_) ___
源自文库
过定点 过定点_(_0_,1_)_ ，即x＝0时，y＝1
质
单调性 在R上是_增_函__数_ 在R上是减__函_数__
奇偶性
非奇非偶函数
• 练2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( ) • A．a＜0，b＜0 • B．a＜0，b＞0 • C．0＜a＜1，b＞1 • D．0＜a＜1,0＜b＜1 • [答案] C
3．y＝( 3)x的值域是( A．R C．(－∞，0)
) B．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] D 4．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数， 则k＝________，b＝________. [答案] －1 2
• 5．若指数函数y＝(a－2)x在R上是增函数，则实数a的取值范 围是________．
• [答案] (3，＋∞)
练6：比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5和1.73 （2）0.80.1和0.80.2 （3）1.70.3和0.93.1 （4）1.70.5和1
研究初等函数性质的基本方法和 步骤：1、画出函数图象
2、研究函数性质
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它
画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的
有关性质画图.
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y 1 x 2
x -3 -2 -1
情景 2：某种机器设备每年按 6% 的折旧率折旧，设机器的原来价值为 1，经过 x 年后，机 器的价值为原来的 y 倍，则 y 与 x 的关系为 y 0.94 x .
问题 1：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？
➢指数幂形式 ➢自变量在指数位置 ➢底数是常量
• 一、指数函数的定义
• 一般地，函数y＝___a_x__(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中
x是_自__变__量_． 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征： • (1)底数：大于零且不等于1的常数； • (2)指数：仅有自变量x； • (3)系数：ax的系数是1.
问题2：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 ax无意义
1
1
如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
例：函数 y 2 3x 是指数函数吗？
练1：下列函数是指数函数吗,为什么?
y 2x2 y 4x2 y x y 2x
2 x 0.13 0.25 0.5
1
x
8
4
2
2
- 0.5 0 0.71 1
1.4 1
0.5 1 2 3 1.4 2 4 8
0.71 0.5 0.25 0.13
y 2x
y 1 x
88
2
77
66
55
44
gx = 0.5x 33
22
11
--66
--44
--22
fx = 2x
22
44
66
• 2．指数函数的图象和性质 • 指数函数的图象和性质如下表所示：
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域 性
__(_0_，_＋__∞_) ___
源自文库
过定点 过定点_(_0_,1_)_ ，即x＝0时，y＝1
质
单调性 在R上是_增_函__数_ 在R上是减__函_数__
奇偶性
非奇非偶函数
• 练2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( ) • A．a＜0，b＜0 • B．a＜0，b＞0 • C．0＜a＜1，b＞1 • D．0＜a＜1,0＜b＜1 • [答案] C
3．y＝( 3)x的值域是( A．R C．(－∞，0)
) B．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] D 4．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数， 则k＝________，b＝________. [答案] －1 2
• 5．若指数函数y＝(a－2)x在R上是增函数，则实数a的取值范 围是________．
• [答案] (3，＋∞)
练6：比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5和1.73 （2）0.80.1和0.80.2 （3）1.70.3和0.93.1 （4）1.70.5和1
研究初等函数性质的基本方法和 步骤：1、画出函数图象
2、研究函数性质
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它
画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的
有关性质画图.
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y 1 x 2
x -3 -2 -1