电磁学第二章例题

物理与电子工程学院

注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。

（3）在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。

A 、场强方向（表面附近的点）

由电场线与等势面垂直出发，可知导体表面附近的场强与表面垂直。而场强大小与面密度的关系，由高斯定理推出。

B 、场强大小

如图，在导体表面外紧靠导体表面取一点P ，过P 点作导体表面

的外法线方向单位矢n ˆ，则P 点场强可表示为n E E n P ˆ= （n E 为P E

在n ˆ方向的投影，n E 可正可负）。过P 点取一小圆形面元1S ∆，以1S ∆为底作一圆柱形高斯面，圆柱面的另一底2S ∆在导体内部。由高斯定理有：

11/)

0(ˆ1

1

2

1

εσφS S E s d E E s d n E s d E s d E s d E s d E s d E n S S n

S S

S S ∆=∆=⊥=⋅=

⋅=

⋅+⋅+⋅=

⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰∆∆∆∆

导体表面附近导体内侧

(导体的电荷只能分布在导体表面，若面密度为σ，则面内电荷为

为均匀的很小，视，且因σσ11S S ∆∆)

∴

⎩⎨

⎧<>=⎩⎨

⎧<<>>=

反向，，同向，，即，，n

E n E n

E E E E n n n ˆ0ˆ0ˆ0

00

00

σσεσ

σσεσ

可见：导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比，且无论场和电荷分布怎样变化，这个关系始终成立。

C 、0

εσ

=

E n ˆ中的E 是场中全部电荷贡献的合场强，并非只是高斯面内电荷S ∆σ的贡献。这一点是由高斯定理得来的。P45-46

D 、一般不谈导体表面上的点的场强。

导体内部0=E

，表面外附近0

εσ=E n ˆ；没提表面上的。 在电磁学中的点、面均为一种物理模型，有了面模型这一概念，场强在带电面上就有突变（P23小字），如果不用面模型，突变就会消失。但不用面模型，讨论问题太复杂了，所以我们只谈“表面附近”而不谈表面上。

补充例：习题2.1.1(不讲)

Rd θ

解：利用上面的结果，球面上某面元所受的力：n dS F d ˆ20

2

εσ= ，利用对称性知，带有同号电荷的球面所受的力是沿x 轴方向：

右半球所受的力：

i d d R i dS i dS F ˆsin cos 2ˆcos 2ˆcos 2230

2

0302002ϕθθθεσθεσθεσ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===右 =⎰⎰=200

2203200220ˆ4ˆsin cos 2π

πεπσθθθϕεσi R i d d R i R F ˆ40

220επσ-=左

补充例：P53 例1的前半部分。

证明：对于两个无限大带电平板导体来说：（1）相向的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相反；（2）相背的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相同。

证明：（1）由前面静电场中导体的性质知：电荷分布于表

面，0=内E

，导体表面为等势面，导体表面外一点0

εσ=E 。

S

σ2• P''

n

σ4

平板导体所带电荷分布于表面，因为无限大，所以均匀分布，设

1、2、3、4面分别带电荷面密度为4321σσσσ、、、。利用上述性质，

选取如图的高斯面，有（由高斯高理）：

S S S ES ES

ES ES ∆⋅+=+=++=0

3

2023122

1

εσσεσσφφφφ侧

∵ 0=内E

∴ 021==ES ES φφ

又 侧侧S E

⊥ ∴侧ES φ=0 即0=ES φ

故

32320σσσσ-==+

（2）在导体内任取一点P （任意的）

∵ 004321=+++⇒=E E E E E P

内

即

0ˆ2ˆ2ˆ2ˆ20

4010203=-++n n n n εσ

εσεσεσ 32σσ-= ∴41σσ=

如果P 点在导体外，如图中的P ′点，则;0

2

3ε

σεσ=='P E （由四板场强迭加得到或由静电平衡时导体表面外一点的场强得到）

如果P 点在导体外，如图中的P ''点，则0

10

4εσεσ==''P E 。

三、综合本节内容，得到两个结论：P58—59

P58： 1、封闭导体壳（不论接地与否）内部静电场不受壳外电荷的影响；接地封闭导体壳外部静电场不受壳内电荷的影响。

P58-59：2、设导体壳内电荷为Q 1，壳内表面电荷为Q 2（=－Q 1），壳外表面电荷为Q 3，壳外空间电荷为Q 4，则无论导体壳是否接地，壳内电荷Q 1和导体壳内表面上的电荷Q 2，在导体壳内表面之外任一点激发的合场强为零；壳外表面上电荷Q 3和壳外电荷Q 4，在导体壳外表面之内任一点激发的合场强为零。

例（补充）：习题2、2、3 P79

3

A B

解：根据高斯定理及电荷守恒定律可得出以下结论： （1） Q S1=Q A Q S2=-Q A Q S3=Q A +Q B

（2） B

B

A B R Q Q V 04πε+=

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=+=⎰

A A

B B R R A B A R Q R Q dr r Q V V B

A 020414πεπε （3）

B 球接地

Q S1=Q A Q S2=-Q A Q S3=0 V B =0

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

B A A A R R Q V 1140πε （4）A 球接地：接地导体球A 外还有带电导体球壳B ，所以A 球表面电荷面密度不为零。

设A 球所带电荷为A Q '，则

0114400=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-'-'+=A B A

B A B A R R Q R Q Q V πεπε （电势迭加）