平面向量共线定理题型总结

平面向量中“三点共线定理”妙用
对平面内任意的两个向量b a b b a
//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=
由该定理可以得到平面内三点共线定理：
三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=. 特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <
例1已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设
直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101
C ．200
D ．201
解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()
1002
a a S +=
=,故选A.
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则y
x 4
1+的最小值是
解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线
x>0,y>040,0y x
x y ∴
>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y +≥⨯=，取等号时4y x x y
=224y x ∴=2y x
∴=±0,0x y >>
2y x
∴=1x y +=12
,33
x y ∴==，符合
所以
y
x 4
1+的最小值为9
例3如图，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若2
11
AP mAB AC =+，则实数
m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 2
11
解：,,B P N 三点共线，又
228
4111111
AP mAB AC mAB AN mAB AN =+
=+⨯=+ 8
111
m ∴+
= 311m ∴=，故选C
例4如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．
解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：
1
()2
AO AB AC ∴=
+m AB AM ＝，AC nAN =又,,M O N 三点共线，
∴由平面内三点共线定理可得：122
m n
+= 2m n ∴+=
例5 如图所示：点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共
线．
设，，证明：
是定值；
证明：因为G 是OAB 的重心，211
()()323
OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+
又,,P G Q 三点共线，11
133x y
∴
+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3
G OAB P Q OA OB P G Q OA x OP =OB y OQ =y
x 1
1+
例6 如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =
,1
4
AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______
A.217
7a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 42
77a b + 解：
,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得
(1)AG x AE x AC ∴=+- ,
11
33AE AB a =
=,AC a b =+ 12(1)()(1)(1)33
x
AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-………①
又,,F G B 三点共线，
∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得 (1)AG AB AF λλ∴=+-
11
44
AF AD b =
=，， 1
(1)4
AG a b λλ∴=+-…………………………… ②
由①②两式可得：213
114x x λλ⎧
=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩673
7x λ⎧=⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩
3177AG a b ∴=+ 变式1：如图所示，在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN 与CM 相交于点P ，
且a AB =，b AC =，试用a 、b
表示AP
解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得
,1AP x AB y AN x y =++= ,
P
A
B
C
M
N
AN ﹕AC=1﹕4, b
AC AN
4141==
1444
y y x
AP xAB AC xa b xa b -∴=+=+=+……①
又,,C P M 三点共线，
∴由平面内三点共线定理可得： 存在唯一的一对实数μ,λ使得
,1AP AM AC μλμλ∴=++= ∵AM ﹕AB=1﹕3 ∴a AB AM
3
131==
，， 13
3
AP a b a b μ
λ
λλ-∴=
+=
+…………………………… ② 由①②两式可得：1314
x x λλ-⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩3112
11x λ⎧=⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩ 81,11x y y +=∴=
321111
AP a b ∴=+ 变式2：如图所示：直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M.又知AB ＝ m AM ，AD ＝n AN ，则m ＋n=
解：因为点O 两条对角线AC 与BD 的交点，
所以点O 为AC 的中点1
()2
AO AB AD ∴=+
AB ＝ m AM ，AD ＝n AN 1()222
m n
AO mAM nAN AM AN ∴=+=+
又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线的向量式定理可得：122
m n
+= 2m n ∴+=
定理的推广：
推广1：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P.
点O,P 位于直线AB 异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且
1x y +>.
图9
推广2： 已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P.点O,P 位于直线AB 同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +<. 例7 已知点P 为ABC 所在平面内一点，且1
3
AP AB t AC =+(t R ∈),若点P 落在ABC 的内部，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．3(0,)4 B. 13
(,)24
C. (0,1)
D. 2(0,)3
解：点P 落在ABC 的内部
∴A,P 两点在直线BC 的同一侧，
∴由推论2知：113t +< 2
3
t ∴<，所以选D
例8 如图：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是（ ） A ．)43
,41( B. )32,32(- C. )43,41(- D. )5
7,51(-
解：由题目的条件知：点O 与点P 在直线AB 的同侧，所以1x y +<，所以A,D 两选项不符合.对于选项B 、C,都有1x y +<,
但当2
3
x =-时，
①如果点P 在直线AB 上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：53
y =
②如果点P 在直线OM 上，OM ∥AB 可知：||OP AB ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得()OP t AB t OB OA tOA tOB ==-=-+，
OB
y OA x OP +=,t x t y ∴-==
A
B
O
M
图10
又因为点P 在两平行直线AB 、OM 之间，所以
25
33
y <<，故B 选不符合. 对选项C 同理可知：当14x =-时，15
44
y <<，故34y =符合，所以选C
例9 如图13,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含
边界)运动,且OP xOA yOB =+,当1
2
x =-时,y 的取值范围是 .
解：当1
2
x =-时，
①如果点P 在直线AB 上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：32
y =
②如果点P 在直线OM 上，OM ∥AB 可知：OP AB ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得()OP t AB t OB OA tOA tOB ==-=-+，
OB y OA x OP +=,t x t y ∴-==
11,22t y ∴==，又因为点P 在两平行直线AB 、OM 之间，所以13
22
y <<，所以实数y 的取值
范围是：13
(,)22。