平面向量共线定理题型总结

平面向量中“三点共线定理”妙用

对平面内任意的两个向量b a b b a

//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=

由该定理可以得到平面内三点共线定理：

三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=. 特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <

例1已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设

直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101

C ．200

D ．201

解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()

1002

a a S +=

=,故选A.

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则y

x 4

1+的最小值是

解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线

x>0,y>040,0y x

x y ∴

>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y +≥⨯=，取等号时4y x x y

=224y x ∴=2y x

∴=±0,0x y >>

2y x

∴=1x y +=12

,33

x y ∴==，符合

所以

y

x 4

1+的最小值为9

例3如图，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若2

11

AP mAB AC =+，则实数

m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 2

11

解：,,B P N 三点共线，又

228

4111111

AP mAB AC mAB AN mAB AN =+

=+⨯=+ 8

111

m ∴+

= 311m ∴=，故选C

例4如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．

解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：

1

()2

AO AB AC ∴=

+m AB AM ＝，AC nAN =又,,M O N 三点共线，

∴由平面内三点共线定理可得：122

m n

+= 2m n ∴+=

例5 如图所示：点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共

线．

设，，证明：

是定值；

证明：因为G 是OAB 的重心，211

()()323

OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+

又,,P G Q 三点共线，11

133x y

∴

+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3

G OAB P Q OA OB P G Q OA x OP =OB y OQ =y

x 1

1+

例6 如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =

,1

4

AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______

A.217

7a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 42

77a b + 解：

,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得

(1)AG x AE x AC ∴=+- ,

11

33AE AB a =

=,AC a b =+ 12(1)()(1)(1)33

x

AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-………①

又,,F G B 三点共线，

∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得 (1)AG AB AF λλ∴=+-

11

44

AF AD b =

=，， 1

(1)4

AG a b λλ∴=+-…………………………… ②

由①②两式可得：213

114x x λλ⎧

=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩673

7x λ⎧=⎪⎪∴⎨

⎪=⎪⎩

3177AG a b ∴=+ 变式1：如图所示，在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN 与CM 相交于点P ，

且a AB =，b AC =，试用a 、b

表示AP

解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得

,1AP x AB y AN x y =++= ,

P

A

B

C

M

N

AN ﹕AC=1﹕4, b

AC AN

4141==

1444

y y x

AP xAB AC xa b xa b -∴=+=+=+……①

又,,C P M 三点共线，

∴由平面内三点共线定理可得： 存在唯一的一对实数μ,λ使得

,1AP AM AC μλμλ∴=++= ∵AM ﹕AB=1﹕3 ∴a AB AM

3

131==

，， 13

3

AP a b a b μ

λ

λλ-∴=

+=

+…………………………… ② 由①②两式可得：1314

x x λλ-⎧

=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩3112

11x λ⎧=⎪⎪∴⎨

⎪=⎪⎩ 81,11x y y +=∴=

321111

AP a b ∴=+ 变式2：如图所示：直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M.又知AB ＝ m AM ，AD ＝n AN ，则m ＋n=

解：因为点O 两条对角线AC 与BD 的交点，

所以点O 为AC 的中点1

()2

AO AB AD ∴=+

AB ＝ m AM ，AD ＝n AN 1()222

m n

AO mAM nAN AM AN ∴=+=+

又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线的向量式定理可得：122

m n

+= 2m n ∴+=

定理的推广：

推广1：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P.

点O,P 位于直线AB 异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且

1x y +>.

图9