数值分析实验题
数值分析实验题目及解答
内容包括：实验题目1：算法的数值稳定性实验实验题目2：LU分解实验实验题目3：三次样条插值外推样条实验实验题目4：第二类Fredholm 积分方程实验实验题目5：M级显式R_K法实验题目：算法的数值稳定性实验实验内容：计算积分()10()d 1515nx I n x a x==+⎰ (n=1,2,…,20) 易得到下面递推公式()()11I n aI n n=--+并有估计式()()()()11111I n a n a n <<+++计算方法：算法一:采用下面递推公式计算:()()11I n aI n n =--+()1,2,,20n = 取初值()1160ln ln 15a I a +==算法二: 采用下面递推公式计算:()()111I n I n a n ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦()20,19,,1n =结果分析：（分析哪个好哪个不好，原因是什么） 我觉得算法二比较好, 原因一:根据式()()()()11111I n a n a n <<+++得知,I(n)不可能小于零,而算法一的计算结果有部分结果小于零。
原因二:对算法一记初始误差ε0=/I 0-I(0)/>0;则εn =/I n -I(n)/=a/I n-1-I(n-1)/=a n*ε0由此可知,当n=20时, ε20把ε0放大了a 20倍，其结果造成严重的。
而对于算法二^^11n n a εε-=,…, ^^01n n aεε=,尽管有初始误差^20ε,但随着计算的进程,这个误差的影响不断减小。
附：源程序：（把源程序附上） 算法一程序: >> format long>> a=15;I=log(16/15); for n=1:20 nI=-a*I+1/n end算法二程序: >> format long>> a=15;I=31/10080; >> for n=20:-1:1 n II=1/a*(-I+1/n); End。
数值分析题库答案(含详细解题步骤)
第 1 页/共 22 页1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才干使面积误差不超过1cm 22. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m,1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限.3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？4.设x的相对误差界为δ，求n x的相对误差界.5.设有3个近似数a=2.31，b=1.93，c=2.24，它们都有3位有效数字，试计算p=a+bc的误差界和相对误差界，并问p的计算结果能有几位有效数字？第 3 页/共 22 页6. 已知333487.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并预计截断误差.7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并预计误差.8. 已知16243sin ,sin πππ===请用抛物插值求sin50的值,并预计误差9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x第 5 页/共 22 页10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式.11. 设x x f =)(，并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ，试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并研究其误差12. 设],[)(b a x f 在上有四阶延续导数，试求满意条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及)()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式.13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的三次埃尔米特插值多项式()P x ,使它满意11()()(0,1,2),()(),i i P x f x i P x f x ''===并写出余项第 7 页/共 22 页表达式.14. 设],1,0[,23)(2∈++=x x x x f 试求)(x f 在]1,0[上关于,,1{,1)(x span x =Φ=ρ}2x 的最佳平方逼近多项式15.已知实验数据如下：用最小二乘法求形如y=a+bx2的拟合曲线，并计算均方误差.16.已知数据表如下第 9 页/共 22 页x i 1 2 3 4 5 y iωi4 4.56 8 8.5 2 1 3 1 1试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合17. .1)(},1{span ,1]41[)(的最佳平方逼近多项式中的关于上的在在求==Φ=x x x x f ρ18. 决定求积公式⎰++≈10110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A , 使其代数精度尽量高，并指出所决定的求积公式的代数精度.19. 用复化辛普森公式计算积分⎰=10dx e I x , 问区间[0,1]应分多少等分才干使截断误差不超过?10215-⨯第 11 页/共 22 页20. 利用下表中给出的数据，分离用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算定积分dx x I ln 21⎰=的近似值（要求结果保留到小数点后六位）21. 用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分⎰=6.28.1)(dx x f I ,函数)(x f 在某些节点上的值如下图：（本题共14分）22. 决定公式⎰+≈101100)()()(x f A x f A dx x f x 的系数1010,,,x x A A ,使其具有最高代数精度23. 决定求积公式⎰++≈1110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A ,使其代数精度尽量高，并指出所决定的求积公式的代数精度第 13 页/共 22 页24.用LU 分解法求解以下方程组 (10分)123123142521831520x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭25.用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8892121514131615141321x x x26. 用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛542631531321321x x x27. 设方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=220122101A ，Tb ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32,31,21, 已知它有解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛-=0,31,21，若右端有小扰动61021-∞⨯=bδ，试预计由此引起的解的相对误差.第 15 页/共 22 页28. 设方程组b Ax =，其中212 1.0001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11.0001b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,当右端向量b 有误差00.0001δ⎛⎫= ⎪⎝⎭b 时，试预计由此引起的解的相对误差(用∞范数计算)29. 给定b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a a a a a a A 证实：(1) 当121<<-a 时，A 对称正定，从而GS 法收敛. (2) 惟独当2121<<-a 时，J 法收敛.30. 对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=+1242043 16343232121x x x x x x x ，列出求解此方程组的Jacobi 迭代格式，并判断是否收敛。
数值分析实验题
数值分析实验报告第一题实验题1.21、实验内容实验1.2 体会稳定性在选择算法中的地位，误差扩张的算法不稳定，而误差衰竭的算法是,E n=1−nE n−1,n=2，3…和算法算法E.1.7（即稳定的。
分别采用E.1.6（即E.1.4）E1=1e,n=N−1，N−2…，3，2两种算法。
E.1.5）E n−1=1−E nn2、源程序%function t_charpt1%数值试验1.2:误差传播与算法稳定性%输入:递推公式选择与递推步数%输出：各步递推值及误差结果，以及递推值和误差与递推步数的关系图clear;clc;promps = {'请选择递推关系式，若选(1.4),请输人1,否则输入2:'};result = inputdlg(promps,'charpt 1_2',1,{'1'});Nb = str2num(char(result));if((Nb~= 1)&(Nb~= 2))errordlg('请选择递推关系式，若选(1.4),请输人1,否则输人2!');return;endresult = inputdlg({'请输人递推步数n:'},'charpt 1_2',1,{ '10'});steps = str2num(char(result));if(steps<1)errordlg('递推步数错误!');return;endresult = inputdlg({'请输入计算中所采用的有效数字位数：'},'charpt 1_2',1,{'5'});Sd = str2num(char(result));format long %设置显示精度result=zeros(1,steps) ; %存储计算结果err=result; %存储计算的绝对误差func=result; %存储用库函数quadl计算出的积分的近似值%用库函数quadl计算积分的近似值for n= 1:stepsfun=@(x) x.^n.* exp(x-1);func(n) = quadl(fun,0,1);endif(Nb==1)%用算法(1.4)计算digits(Sd); %控制有效数字位数result(1) = subs(vpa(1/exp(1)));for n=2:1:stepsresult(n)=subs(vpa(1-n * result(n-1)));enderr=abs(result-func);elseif(Nb==2)%用算法(1.5)计算digits(Sd); %控制有效数字位数result(steps)=0;for n=steps:-1:2result(n-1) = subs(vpa((1-result(n))/n));enderr=abs(result-func);endclf;%清除当前图像窗口disp('递推值：');disp(sprintf('%e ', result));disp('误差：');disp(sprintf(' %e ' ,err));plot([1:steps],result,'-','LineWidth',2);set(gca,'linewidth',0.5,'fontsize',16);grid onhold on;plot([1:steps],err,'r--','LineWidth',2);xlabel('steps n','FontSize',18);ylabel('En-and ERR n--','FontSize',18);legend('En','err(n)');title(['Algorithm (1.', num2str(Nb+3),') Significant Digits ', num2str(Sd)],'FontSize',18);% text(2,err(2),'\uparrow err(n)');% text(4,result(4),'\downarrow En');3、实验结果（1）算法E1.6，有效数字5位递推值：3.678800e-01 2.642400e-01 2.072800e-01 1.708800e-01 1.456000e-01 1.264000e-01 1.152000e-01 7.840000e-02 2.944000e-01 -1.944000e+00误差：5.588280e-07 1.117662e-06 3.352927e-06 1.341222e-056.705713e-05 4.023702e-04 2.816427e-03 2.253226e-02 2.027877e-01 2.02（2）算法E1.6，有效数字6位递推值：3.678790e-01 2.642420e-01 2.072740e-01 1.709040e-01 1.454800e-01 1.271200e-01 1.101600e-01 1.187200e-01 -6.848000e-02 1.684800e+00误差：4.411720e-07 8.823378e-07 2.647073e-06 1.058778e-055.294287e-05 3.176298e-04 2.223573e-03 1.778774e-02 1.600923e-01 1.60（3）算法E1.6，有效数字7位递推值：3.678794e-01 2.642412e-01 2.072764e-01 1.708944e-01 1.455280e-01 1.268320e-01 1.121760e-01 1.025920e-01 7.667200e-02 2.332800e-01误差：4.117197e-08 8.233779e-08 2.470726e-07 9.877761e-07 4.942873e-06 2.962984e-05 2.075730e-04 1.659738e-03 1.494029e-02 1.49（4）算法E1.7，有效数字5位递推值：3.678800e-01 2.642400e-01 2.072800e-01 1.708900e-01 1.455300e-01 1.267900e-01 1.125000e-01 1.000000e-01 1.000000e-01 0.000000e+00误差：5.588280e-07 1.117662e-06 3.352927e-06 3.412224e-06 2.942873e-06 1.237016e-05 1.164270e-04 9.322618e-04 8.387707e-03 8.38（5）算法E1.7，有效数字6位递推值：3.678800e-01 2.642410e-01 2.072770e-01 1.708930e-01 1.455360e-01 1.267860e-01 1.125000e-01 1.000000e-01 1.000000e-01 0.000000e+00误差：5.588280e-07 1.176622e-07 3.529274e-07 4.122239e-07 3.057127e-06 1.637016e-05 1.164270e-04 9.322618e-04 8.387707e-03 8.38（6）算法E1.7，有效数字7位递推值：3.678795e-01 2.642411e-01 2.072768e-01 1.708929e-01 1.455357e-01 1.267857e-01 1.125000e-01 1.000000e-01 1.000000e-01 0.000000e+00误差：5.882803e-08 1.766221e-08 1.529274e-07 5.122239e-07 2.757127e-06 1.667016e-05 1.164270e-04 9.322618e-04 8.387707e-03 8.384、结果分析采用算法E1.7（即算法E1.5）能得到更精确的结果，当然，有效数字越多，结果越准确。
数值分析上机题目
数值分析上机题目4(总21页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实验一实验项目：共轭梯度法求解对称正定的线性方程组 实验内容：用共轭梯度法求解下面方程组(1) 123421003131020141100155x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 迭代20次或满足()(1)1110k k x x --∞-<时停止计算。
编制程序：储存m 文件function [x,k]=CGmethod(A,b)n=length(A);x=2*ones(n,1);r=b-A*x;rho=r'*r; k=0;while rho>10^(-11) & k<1000 k=k+1; if k==1 p=r; elsebeta=rho/rho1; p=r+beta*p; end w=A*p;alpha=rho/(p'*w); x=x+alpha*p; r=r-alpha*w; rho1=rho;rho=r'*r; end运行程序： clear,clcA=[2 -1 0 0;-1 3 -1 0;0 -1 4 -1;0 0 -1 5]; b=[3 -2 1 5]'; [x,k]=CGmethod(A,b)运行结果： x =(2) Ax b =,A 是1000阶的Hilbert 矩阵或如下的三对角矩阵， A[i,i]=4，A[i,i-1]=A[i-1,i]=-1，i=2,3,..,n b[1]=3, b[n]=3, b[i]=2，i=2,3,…,n-1迭代10000次或满足()()710k k r b Ax -=-≤时停止计算。
编制程序：储存m 文件function [x,k]=CGmethod_1(A,b) n=length(A);x(1:n,1)=0;r=b-A*x;r1=r; k=0;while norm(r1,1)>10^(-7)&k<10^4 k=k+1; if k==1 p=r; elsebeta=(r1'*r1)/(r'*r);p=r1+beta*p; end r=r1; w=A*p;alpha=(r'*r)/(p'*w); x=x+alpha*p; r1=r-alpha*w; end运行程序： clear,clc n=1000; A=hilb(n); b=sum(A')';[x,k]=CGmethod(A,b)实验二1、 实验目的：用复化Simpson 方法、自适应复化梯形方法和Romberg 方法求数值积分。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
数值分析实验题
分别先运行所给的例题程序，记录结果。
然后对给定的方程进行求解。
用二分法求出方程018824=+-x x 的所有实根。
分别用牛顿法求方程0134=+-x x
在区间[0.3， 0.4]内的实根，精确到小
数后第五位。
求非线性方程实根的二分法
一、 功能
用二分法搜索0)(=x f 在[a,b]区间内的所有根。
二、方法说明
三、函数语句
四、 形参说明
a ——双精度实型变量。
求根区间的左端点。
b ——双精度实型变量。
求根区间的右端点。
h——双精度实型变量。
搜索求根时采用的步长。
Eps——双精度实型变量。
控制精度要求，
x——双精度实型一维数组，长度为m；返回在区间[a,b]内的实根，其实根个数由函数值返回。
m——整型变量。
在区间[a,b]内实根个数的预估值。
五、函数程序（文件名ddhrt.c）
六、例子
用牛顿迭代法求方程0
x
f在[a,b]区间内的一个实根
(
)
三、函数语句
四、形参说明
x——双精度实型变量指针。
在此指针指向的单元中存放迭代初值；返回时存放迭代终值。
eps——双精度实型变量，控制精度要求。
js——整型变量。
最大迭代次数。
五、函数程序(文件名：dnewt.c)
六、例。
数值分析实验题和程序
一、实验3.1编制以函数{}n kk x=危机的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表3.11中的数据作3次取权数1i w ≡，求拟合曲线3*kk k a xφ==∑中的参数{}k a 、平方误差2σ，并作离散数据{},i i x y 的拟合曲线*()y x φ=的图形。
程序代码： x0=-1:0.5:2;y0=[-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552]; n=3;alph=polyfit(x0,y0,n) %参数{a k } y=polyval(alph,x0);r=(y0-y)*(y0-y)' %平方误差2σ=r y=polyval(alph,x); x=-1:0.01:2; y=plot(x,y,'k--'); xlabel('x');ylabel('y0 * and polyfit.y--'); hold on;plot(x0,y0,'*');title('离散数据的3项拟合') gridon;实验结果：拟合函数*()y x φ=的图形：拟合曲线3*kkka xφ==∑中的参数{}k a中3210,,,a a a a依次为alph中的四个数值。
alph =1.9991 -2.9977 -0.0000 0.5491平方误差2σ=r。
r =2.1762e-005实验分析：最小二乘曲线拟合是在离散情形下的最佳平方逼近，拟合的曲线很光滑，而且所有的7个数值点均在曲线上，拟合效果很好；拟合的平方误差很小，为10-5量级。
二、实验3.2编制正交化多项式最小二乘拟合程序，并用于求解上题中的3次多项式最小二乘拟合问题，作拟合曲线的图形，计算平方误差，并与上题结果进行比较。
程序代码：x=-1:0.5:2;y=[-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552];n=3;result=inputdlg({'请输入权向量w:'},'charpt-3',1,{'[1 1 1 1 1 1 1]'});w=str2num(char(result));m=length(x)-1;s1=0;s2=ones(1,m+1);v2=sum(w);d(1)=y*w';c(1)=d(1)/v2;for k=1:nxs=x.*s2.^2*w';a(k)=xs/v2;if(k==1)b(k)=0;elseb(k)=v2/v1;ends3=(x-a(k)).*s2-b(k)*s1;v3=s3.^2*w';d(k+1)=y.*s3*w';c(k+1)=d(k+1)/v3;s1=s2;s2=s3;v1=v2;v2=v3;endr=y.*y*w'-c*d'alph=zeros(1,n+1)T=zeros(n+1,n+2);T(:,2)=ones(n+1,1);T(2,3)=-a(1);if(n>=2)for k=3:n+1for i=3:k+1T(k,i)=T(k-1,i)-a(k-1)*T(k-1,i-1)-b(k-1)*T(k-2,i-2);endendendfor i=1:n+1for k=i:n+1alph(n+2-i)=alph(n+2-i)+c(k)*T(k,k+2-i);endendxmin=min(x);xmax=max(x);dx=(xmax-xmin)/(25*m);t=(xmin-dx):dx:(xmax+dx);s=alph(1);for k=2:n+1s=s.*t+alph(k);endplot(x,y,'x',t,s,'-');xlabel('x');ylabel('y');grid on;disp(alph);disp(r);实验结果：拟合曲线图形：参数{}k a 中3210,,,a a a a 依次为alph 中的四个数值：1.9991 -2.9977 -0.0000 0.5491 平方误差2σ=r ：2.1762e-005实验分析：比较实验3.1和3.2的结果发现：对于同一个数据表，两种方法的拟合参数、误差均是相等的，表示这两种方法的拟合效果是一样的。
数值分析实验题(华科)汇总
数值剖析实验作业专业：姓名：学号：实验 2.1 多项式插值的振荡现象[问题提出 ]：考虑在一个固定的区间上用插值迫近一个函数，明显Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，我们自然关怀插值多项的次数增添时，Ln(x) 能否也更为凑近迫近的函数，Runge 给出的例子是极有名并富裕启迪性的，设区间[-1,1] 上函数f (x)11 25 x2[实验内容 ]：考虑区间 [-1 ， 1]的一个等距离区分，分点为x i 1 2i, i 0,1,2,..., n n则拉格朗日插值多项式为n 1L n ( x) i 0 1 25x2 li (x)i此中， l i (x) ，i=0,1,2,,n 是 n 次 Lagrange 插值函数。
[实验要求 ]：（ 1）选择不停增大的分点数量 n=2 ，3，画出原函数 f(x) 及插值多项式函数 Ln(x) 在 [-1， 1]上的图像，比较并剖析实验结果。
（ 2）选择其余的函数，比如定义在区间[-5， 5]上的函数，h( x)x, g( x) arctan x 1 x4重复上述的实验看其结果怎样。
解：以下的f(x) 、h(x) 、 g(x) 的为插值点用“* ”表示，朗格朗日拟合曲线用连续曲线表示。
经过三个函数的拉格朗日拟合能够看到，跟着插值点的增添，产生Rung 现象。
（1） f(x)多项式求值的振荡现象n=2 多项式求值的振荡现象n=31 10.9 f(x)0.9f(x) lagrange(x) lagrange(x)0.8 0.80.7 0.70.6 0.6 y 0.5 y 0.50.4 0.40.3 0.30.2 0.20.1 0.10.40.60.81 00.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4 -0.200.2 -1-0.8 -0.6-0.4-0.200.2 x x1 多项式求值的振荡现象n=41.2多项式求值的振荡现象n=5f(x) f(x)0.8 lagrange(x)1lagrange(x)0.6 0.80.4 0.6 y y0.2 0.40 0.2-0.2 0-0.4-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.2-0.8 -0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1 -1x x1.2 多项式求值的振荡现象n=61多项式求值的振荡现象n=7f(x)0.9f(x)1lagrange(x) lagrange(x)0.80.80.70.60.6y y 0.50.40.40.2 0.30.20.1-0.2-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0-0.8 -0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1 -1x x1 多项式求值的振荡现象n=81多项式求值的振荡现象n=90.8 f(x) f(x) lagrange(x)0.8lagrange(x)0.60.40.60.20.4 y 0 y -0.20.2-0.4 0 -0.6-0.8-0.2-1-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.4-0.8 -0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1 -1x x1.6 多项式求值的振荡现象n=101多项式求值的振荡现象n=111.4 f(x)0.9f(x) lagrange(x) lagrange(x)1.2 0.81 0.70.8 0.6 y 0.6 y 0.50.4 0.40.2 0.30 0.2-0.2 0.1-0.4-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0-0.8 -0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1 -1x x(2) h(x)0.6 多项式求值的振荡现象n=20.6多项式求值的振荡现象n=3h(x) h(x)0.4 lagrange(x)0.4lagrange(x)0.2 0.20 0 y y -0.2 -0.2-0.4 -0.4 -0.6 -0.6-0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x0.6 多项式求值的振荡现象n=40.8多项式求值的振荡现象n=5h(x) h(x)0.4 lagrange(x) 0.6 lagrange(x)0.20.40.2y y 0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6 -0.6-0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x0.6 多项式求值的振荡现象n=61.5多项式求值的振荡现象n=7h(x) h(x)0.4 lagrange(x) lagrange(x)10.20.5y y 0 -0.2-0.4-0.5 -0.6-1-0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x0.6 多项式求值的振荡现象n=83多项式求值的振荡现象n=9h(x) h(x)0.4 lagrange(x) lagrange(x)20.21 0y y 0 -0.2-0.4-1 -0.6-2-0.8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x1 50.8 h(x)4h(x) lagrange(x) lagrange(x)0.6 3 0.4 2 0.2 1 y0 y 0 -0.2 -1 -0.4 -2 -0.6 -3 -0.8 -4-12345 -52345-5-4-3-2-101 -5-4-3-2-101x x(3) g(x)多项式求值的振荡现象n=2 多项式求值的振荡现象n=31.5 2g(x) g(x) 1lagrange(x) 1.5 lagrange(x)10.50.5y0 y0-0.5-0.5-1-1-1.5-1.52345 -22345-5-4-3-2-101 -5-4-3-2-101 x x1.5 多项式求值的振荡现象n=41.5多项式求值的振荡现象n=5g(x) g(x)lagrange(x) lagrange(x)1 10.5 0.5 y 0 y 0 -0.5 -0.5 -1 -1-1.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x1.5 多项式求值的振荡现象n=62多项式求值的振荡现象n=7g(x) g(x)1lagrange(x) 1.5 lagrange(x)10.50.5y 0 y 0-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -2-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -5x x2 1.5g(x) g(x)1.5 lagrange(x)1lagrange(x) 10.50.5y0 y0-0.5-0.5-1-1.5-1-22345 -1.52345-5-4-3-2-101 -5-4-3-2-101x x多项式求值的振荡现象n=10 多项式求值的振荡现象n=11 1.5 2.5g(x)2 g(x)lagrange(x) lagrange(x) 11.50.510.5y0 y0-0.5-0.5-1-1-1.5-2-1.52345 -2.52345-5-4-3-2-101 -5-4-3-2-101 x x实验 3.1 最小二乘法拟合编制以函数 { x k} n k 0为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。
数值分析习题(含标准答案)
]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
数值分析上机实验题参考
数值分析论文数值积分 一、问题提出选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法，计算I = dx x ⎰-4102sin 4 ()5343916.1≈II =dx x x ⎰1sin ()9460831.0,1)0(≈=I fI = dx xe x⎰+1024 I =()dx x x ⎰++1211ln 二、要求编制数值积分算法的程序；分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；分别取不同步长()/ a b h -=n ，试比较计算结果（如n = 10, 20等）； ﹡给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长﹡。
三、目的和意义深刻认识数值积分法的意义； 明确数值积分精度与步长的关系；根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题引言一、数值求积的基本思想实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法。
如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系。
依据人们熟悉的微积分基本原理，对于积分I=⎰a b f(x)dx,只要找到被积函数f(x)和原函数F(x),便有下列牛顿-莱布尼茨公式：I=⎰a b f(x)dx=F(b)-F(a).但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如x xsin，2xe-等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式计算。
另外，当f(x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题。
二、数值积分代数精度数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确成立，就提出了所谓代数精度的概念。
如果某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但对m+1次多项式就不能准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。
三、复合求积公式为了提高精度，通常可以把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间用低阶求积公式，即复化求积法，比如复化梯形公式与复化辛普森公式。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析练习题附答案
目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。
数值分析实验题目
实验一：函数插值与数据拟合1.1实验目的（1）由函数()f x 的1n +个节点处函数值得出n 次Lagrange 插值函数； （2）由函数()f x 的1n +个节点处函数值得出n 次Newton 插值函数；（3）由函数()f x 的个1n +节点处函数值得出Hermite 插值函数或分段三次Hermite 函数； （4）由未知函数的离散数据(),1,2,,i f x i n = 得出最小二乘拟合函数。
1.2 实验原理（1）00,()()nnj n k k j j kk jx x L x y x x ==≠-=⋅-∑∏（2）00100120101011()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x -=+-+--++---（3）222100,0,0,1[12()]()n n nn i i n k k k kk i i k i i k i i k k i k i k i x x x x H y x x y x x x x x x x x +==≠=≠=≠⎧⎫⎛⎫⎛⎫--⎪⎪'=⋅--+⋅-⎨⎬ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑∏∏（4）()()()()()()()()()()()()0001000101111101001122,,,,,,,,,,,,n n n n n n n n n na y a y a y S a a a a φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++1.3实验内容1.3,===用Lagrange23,===用Newton3. 给定函数21(),551f x x x=-≤≤+，取插值节点5,0,1,2,,10k x k k =-+= ，求分段三次Hermite 插值函数，并在一个坐标系中画出两函数的图形。
数值分析实验题集锦
实验一题目： 多项式最小二乘法1.数学原理：对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为∑==mj j j x a x y 0)()(ϕ特别的，取)(x j ϕ为多项式j j x x =)(ϕ (j=0, 1,…，m )则根据最小二乘法原理，可以构造泛函∑∑==-=n i mj i j j i m x a f a a a H 110))((),,,(ϕ令0=∂∂ka H(k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10 ，因此可得到数据的最小二乘解∑=≈mj j j x a x f 0)()(ϕ2.程序设计：本实验采用Matlab 的M 文件编写。
其中多项式函数j j x =ϕ写成function 的方式，如下function y=fai(x,j) y=1;for i=1:jy=x.*y;end写成如上形式即可，下面给出主程序。
多项式最小二乘法源程序clear%%%给定测量数据点(s,f)s=[3 4 5 6 7 8 9];f=[2.01 2.98 3.50 5.02 5.47 6.02 7.05];%%%计算给定的数据点的数目n=length(f);%%%给定需要拟合的数据的最高次多项式的次数m=10;%%%程序主体for k=0:m;g=zeros(1,m+1);for j=0:m;t=0;for i=1:n;%计算内积(fai(si),fai(si))t=t+fai(s(i),j)*fai(s(i),k);endg(j+1)=t;endA(k+1,:)=g;%法方程的系数矩阵t=0;for i=1:n;%计算内积(f(si),fai(si))t=t+f(i)*fai(s(i),k);endb(k+1,1)=t;enda=A\b%求出多项式系数x=[s(1):0.01:s(n)]';y=0; for i=0:m;y=y+a(i+1)*fai(x,i); endplot(x,y)%作出拟合成的多项式的曲线 grid on hold onplot(s,f,'rx') %在上图中标记给定的点3.结果分析和讨论：例 用最小二乘法处理下面的实验数据.并作出)(x f 的近似分布图。
数值分析实验
取步长h=0.05,计算结果见表
1.05
0.99887
0.99885
1.35
0.96311
0.96304
1.10
0.99577
0.99574
1.40
0.95470
0.95462
1.15
0.99114
0.99109
1.45
0.94598
0.94591
1.20
由式 得：
由此得矩阵形式的线性方程组为：
= =
求解此方程组得：
将 代人表达式
得（曲线见图2）：
3.已知实验数据如下：
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如 的经验公式，并计算均方误差。
解根据所给数据，在坐标纸上标出，见图3。
从图中看到各点分布在一条抛物线附近，该抛物线为 ，这里
0.022684
取步长h=0.01,计算结果见表
0.00
0.000000
0.333333
0.06
0.020236
0.020196
0.01
0.202357
0.202277
0.07
0.014994
0.014966
0.02
0.123124
0.123026
0.08
0.012525
0.012505
0.03
0.075366
0.075277
0.09
0.011817
0.011803
0.04
0.046784
0.046712
0.10
0.012256
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。
答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。
数值分析典型例题与习题
10/20
例 4.设a 为正实数，试建立求1/a 的牛顿迭代公 式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考 虑迭代公式的收敛。
解:建立方程 f ( x) 1 a 0
x
利用牛顿迭代法，得
xn+1 = xn(2 – a xn)，( n = 0，1，2 ……)
整理，得 1 – a xn+1 = (1 – a xn)2
(n = 0, 1, 2 , ·····)
3. 弦截法迭代格式:
xn1 xn
( xn xn1 ) f ( xn ) f ( xn1 )
f (xn )
3/20
设
lim
n
xn
x*
, 若存在 a>0 , r>0 使得
lim
n
| |
xn1 x* | xn x* |r
Bn Dn Dn2
yn1
yn
An Dn
C
2 n
BnCn Dn2
17/20
牛顿迭代法的收敛域问题:
用牛顿迭代法求解复数方程 z3 – 1 = 0，该方程在复 平面上三个根分别是
z1 = 1
13 z2 2 2 i
13 z3 2 2 i
选择中心位于坐标原点，边长
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Ex10 在计算机上对调和级数逐项求和计算
n 1
Sn k1 k
当 n 很大时，Sn 将不随n 的增加而增加。试
分析原因。
Ex11 确定下列方程的全部隔根区间
(1) x sin x = 1；(2) sin x – e -x =0；
(3) x = tan x； (4) x2 – e-x =0
数值分析练习题
数值分析练习题一、数值逼近1.1 利用泰勒公式求函数f(x) = e^x在x=0处的二阶近似表达式。
1.2 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上，用插值法求三次多项式插值函数。
1.3 设已知点(0, 1)，(1, 2)，(2, 5)，(3, 10)，求通过这四个点的拉格朗日插值多项式。
x: 0, 1, 2, 3, 4y: 1, 3, 7, 11, 171.5 对于函数f(x) = e^(x^2)，在区间[1, 1]上，求最佳平方逼近多项式。
二、数值积分与数值微分2.1 利用梯形公式计算定积分I = ∫(0, 1) e^x dx。
2.2 给定函数f(x) = x^3 3x，使用辛普森公式计算定积分I =∫(0, 2) f(x) dx。
2.3 对函数f(x) = 1/(1+x^2)，在区间[5, 5]上，使用高斯勒让德求积公式计算定积分。
2.4 利用数值微分公式求函数f(x) = sin(x)在x=π/4处的导数。
2.5 给定数据点(x, y)，其中x = 0, 1, 2, 3, 4, y = 1, 3, 7, 11, 17，求y在x=2处的导数。
三、常微分方程数值解法3.1 用欧拉法求解初值问题y' = x + y，y(0) = 1，步长h=0.1，计算y(0.5)的近似值。
3.2 对于初值问题y' = y + x^2，y(0) = 1，使用改进的欧拉法（梯形法）求解y(1)。
3.3 利用龙格库塔方法求解初值问题y' = 2xy，y(0) = 1，计算y(0.5)的近似值。
3.4 给定边值问题y'' + 4y = 0，y(0) = 0，y(π) = 1，使用有限差分法求解。
四、线性方程组数值解法4.1 利用高斯消元法求解线性方程组：3x + 4y z = 72x 3y + 5z = 8x + 2y + 3z = 35x + 2y z = 102x 6y + 3z = 4x + 0.5y + 4z = 74.3 给定矩阵A，使用共轭梯度法求解线性方程组Ax = b，其中：A = [[4, 1, 0], [1, 4, 1], [0, 1, 4]]b = [12, 9, 3]A = [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]]b = [1, 0, 1]五、非线性方程数值解法5.1 使用二分法求解方程f(x) = x^3 2x 5 = 0在区间[2, 3]内的根。
数值分析期末实验试题及答案
A =
1 0 0 2
0 1 0 4
0 0 1 3
Jacobi输出结果：
N x1 x2 x3 err
2, 1.656250, 3.875000, 3.175000, 1.250000
3, 1.925000, 3.850000, 2.887500, 0.287500
4, 1.990625, 3.948437, 3.000000, 0.112500
Gauss-Seidel迭代法:
N x1 x2 x3 err
2, 1.875000, 3.937500, 2.962500, 0.437500
3, 1.993750, 3.992188, 2.999063, 0.118750
4, 1.998281, 3.999023, 2.999508, 0.006836
SOR迭代法
N x1 x2 x3 err
2, 1.721568, 3.608925, 2.679907, 0.233925
3, 1.824455, 3.629131, 2.727301, 0.102888
4, 1.812174, 3.627893, 2.720033, 0.012281
5, 1.814371, 3.628155, 2.721265, 0.002197
end
function[y,n]=sor(A,b,x0,ep,w)
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
B=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U);
f=w*(D-w*L)\b;
y=B*x0+f;
n=1;
whileabs(norm(y-x0,inf))>=ep
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编制以函数 为基的多项式最小拟合程序，并对表3.11中的数据作3次多项式最小二乘拟合.
表3.11
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-4.447
-0.452
0.551
0.048
-0.447
0.549
4.552
取权数 ，求拟合曲线 中的参数 、平方误差 ，并作离散数据 的拟合函数 的图形.
h（x）结果如下
g（x）结果如下
结果分析：适当提高插值多项式的次数，可以提高逼近的精度，但次数太高反而会产生不良效果。主要是次数越高，计算工作量大，积累的误差也大；在整个区间上做高次多项式，但局部插值节点处的值有微笑偏差时，可能会影响整个区间上函数值的很大变化，使计算很不稳定。从上图可以看出，高次插值不准确。
解：matlab程序代码
实验结果：
实验4.1
实验目的：复化积分公式计算定积分.
实验题目：数值计算下列各Байду номын сангаас右端积分的近似值.
（1） （2）
（3） （4）
实验要求：
（1）若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss_Legendre I型公式做计算，要求绝对误差限为 ，分别利用它们的余项对每步算法做出步长的事先估计.
实验2.1多项式插值的振荡现象
问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然Lagrange插值中的使用节点越多，插值多项式的次数就越高.我们自然就关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数.Runge给出的一个例子就是极著名并富有启发性的.设区间[-1,1]上的函数
.
实验内容：考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为
（2）分别用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss_Legendre I型公式作计算.
（3）将计算结果与精确解作比较，并比较各种算法的计算量.
解：
Matlab程序代码
实验结果：
(1)复化梯形公式
(2)复化Simpson公式
(3)复化Gauss_Legendre I型公式
结果分析：对于使用同样节点数目，复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss_Legendre I型公式精确度依次提高，计算量也提高。
则拉格朗日插值多项式为
.
其中， 是n次Lagrange插值基函数.
实验要求：
（1）选择不断增大的分点数目 ，画出原函数 及插值多项式 在[-1,1]上的图像，并比较分析实验结果.
（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5,5]上的函数
重复上面的实验看结果如何.
解：matlab程序代码
实验结果：
f（x）结果如下