高二下学期数学期末考试试卷(理科)

高二下学期数学期末考试试卷(理科)(时间：120分钟，分值：150分)一、单选题☎每小题 分，共 分✆．平面内有两个定点☞ ☎－ ✆和☞ ☎✆，动点 满足 ☞ － ☞ ＝ ，则动点 的轨迹方程是☎✆✌⌧－⍓＝ ☎⌧♎－ ✆ ⌧－⍓＝ ☎⌧♎－ ✆⌧－⍓＝ ☎⌧♏✆ ⌧－⍓＝☎⌧♏✆．用秦九韶算法计算♐☎⌧✆⌧ ⌧ ⌧ ⌧ ⌧ ⌧当⌧时的值 需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为☎✆✌       ．下列存在性命题中，假命题是☎✆✌ ⌧ ☪，⌧ ⌧ 至少有一个⌧ ☪，⌧能被 和 整除 存在两个相交平面垂直于同一条直线 ⌧ ｛⌧是无理数｝，⌧ 是有理数页脚内容页脚内容．将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，♋、♌分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数．若点 ☎♋，♌✆落在直线⌧＋⍓＝❍☎❍为常数✆上，且使此事件的概率最大，则此时❍的值为 ☎ ✆✌    ．已知点P 在抛物线24x y =上，则当点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为☎ ✆✌ ()2,1  ()2,1- 11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭  11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．按右图所示的程序框图，若输入81a =，则输出的i ☎ ✆✌      ．若函数()[)∞+-=，在12xkx x h 在上是增函数，则实数 的取值范围是☎ ✆✌ ．空气质量指数☎✌♓❒ ✈◆♋●♓♦⍓ ✋⏹♎♏⌧，简称✌✈✋✆是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照✌✈✋大小分为六页脚内容级： ❞为优， ❞为良。

❞为轻度污染， ❞为中度污染， ❞为重度污染， ❞为严重污染。

一环保人士记录去年某地某月 天的✌✈✋的茎叶图。

利用该样本估计该地本月空气质量状况优良☎✌✈✋♎✆的天数☎这个月按 计算✆ ☎ ✆ ✌      ．向量()()2,,2,4,4,2x b a -=-=，若b a ⊥，则x 的值为☎ ✆ ✌  ．已知e 为自然对数的底数，则曲线xy xe =在点()1,e 处的切线方程为☎✆✌ 21y x =+  21y x =-  2y ex e =-  22y ex =-．已知双曲线22221x y a b -=☎0,0a b >>✆的一条渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为 ，则该双曲线的离心率为☎ ✆✌ 2 356 ．已知函数()x x x f ln 1+=在区间()032,>⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a 上存在极值，则实数♋的取值范围是☎ ✆页脚内容✌ ⎪⎭⎫⎝⎛32,21  ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32  ⎪⎭⎫⎝⎛21,31  ⎪⎭⎫⎝⎛1,31二、填空题☎每小题 分，共 分✆．已知函数，在区间上任取一个实数，则使得的概率为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为♉♉♉♉♉♉♉♉．设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为12,F F ，此双曲线上一点N 满足12NF NF ⊥，则12NF F ∆的面积♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．函数()2sin f x x x =-，对任意[]12,0,πx x ∈，恒有()()12f x f x M -≤，则M 的最小值为♉♉♉♉♉♉♉♉三、解答题．☎本小题 分✆已知命题☐：实数⌧满足⌧ ♋⌧ ♋ ＜ ，其中♋＞ ，命题❑：实数⌧满足22280{ 3100x x x x --≤+->．☎✆若♋ ，且☐ ❑为真，求实数⌧的取值范围； ☎✆若￢☐是￢❑的充分不必要条件，求实数♋的取值范围．．☎本小题 分✆某公司近年来科研费用支出x 万元与公司所获利润y 万页脚内容元之间有如表的统计数据：参考公式：用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为：ˆˆˆybx a =+， 其中： 1221ˆni i i n i i x y nx y bx nx==-⋅=-∑∑， ˆˆa y bx=-， 参考数值： 218327432535420⨯+⨯+⨯+⨯=。

☎♊✆求出,x y ；☎♋✆根据上表提供的数据可知公司所获利润y 万元与科研费用支出x 万元线性相关，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； ☎♌✆试根据☎♋✆求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为 万元时公司所获得的利润。

．☎本小题 分✆已知棱长为的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是BC页脚内容的中点，F 为11B A 的中点☎✆求证：F C DE 1⊥；☎✆求异面直线C A 1与F C 1所成角的余弦值．☎本小题 分✆已知抛物线2:2C y x =和直线:1l y kx =+， O 为坐标原点．☎✆求证： l 与C 必有两交点；☎✆设l 与C 交于,A B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．．☎本小题 分✆已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分页脚内容别为 12,F F 且离心率为2，过左焦点1F 的直线l 与C 交于,A B 两点， 2ABF ∆的周长为☎✆求椭圆C 的方程；☎✆当2ABF ∆的面积最大时，求l 的方程．☎本小题 分✆已知函数()()2ln f x ax x a R =-+∈ ☎✆讨论()f x 的单调性；☎✆若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围页脚内容年下学期期末考试试卷 高二数学☎理科✆参考答案解析：由已知动点 的轨迹是以☞ ，☞ 为焦点的双曲线的右支，且♋＝ ，♍＝ ，♌ ＝♍ －♋ ＝ ，．✌【解析】改写多项式()()()()()()3456781f x x x x x x x =++++++，则需进行 次乘法和 次加法运算，故选✌ ．【解析】∃⌧，⌧ ⌧ ； ⌧时⌧能被 和 整除；两个平面垂直于同一条直线则这两个平面必平行； 时⌧ 是有理数，所以假命题是  ．【解析】由题意易知将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，点☎♋，♌✆共有 种情况，其中当♋＋♌＝ 时，共有 种情况，即☎✆，☎✆，☎✆，☎✆，☎✆，☎✆，此时概率最大，故当❍＝ 时，事件的概率最大．选 。

．页脚内容【解析】根据抛物线的定义 到焦点的距离等于 到准线的距离，所以点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和最小，只需点P 到点()1,2Q 的距离与点到准线的距离之和最小，过点()1,2Q 作准线的垂线，交抛物线于点 ，此时距离之和最小，点 的坐标为11,4⎛⎫⎪⎝⎭．✌【解析】执行程序，可得程序框图的功能是计算  i +的值，当 ＞时，输出♓的值．由于 ⑤♓()12ii +，当♓时， 12132⨯ ＜ ， 当♓时， 13142⨯ ＞ ，满足退出循环的条件，故输出♓的值为 ． 故选：✌．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查 先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项 ．✌【解析】因为函数在(],0-∞上是增函数，所以在页脚内容(],0-∞上恒成立，所以，故选✌考点：由函数在区间上的单调性求参数范围 ．【解析】从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为  空气质量良的天数为 ∙该样本中空气质量优良的频率为 ∙从而估计该月空气质量优良的天数为．【解析】由，可得，解得，故选 考点：空间向量坐标形式的运算 ．【解析】因为x y xe =，所以‘x x y e xe =+，曲线xy xe =在点()1,e 处的切线斜率k e 12e e =+⨯=，切线方程为21y e e x -=-（），化简得2y ex e =-，故选  ．【解析】由题意得圆方程即为22(3)4x y -+=，故圆心为☎✆，半径为 双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 故圆心到渐近线的距离为22223b d a ba b==++。

页脚内容渐近线被圆截得的弦长为 ，2222212a b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，整理得2212b a =。

2222216112c a b b e a a a +===+=+=。

选 。

点睛：双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a ＝－和e=ca转化为关于♏的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． ．【解析】，令，得⌧，当，，当，，所以2x =是函数的极大值点，又因为函数在区间上存在极值，所以，解得，故选 ．考点：导数的应用，极值 ． 【解析】当时，概率页脚内容()3223303193|232S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰故答案为。

 ，．【解析】设双曲线的方程为22x y λ-= ，代入点21M （，），可得3λ= ， 双曲线的方程为223x y -= ，即22133x y -=， 设12,NF m NF n ==，则2223{24m n m n -+＝＝6mn ∴= ，12NF F ∴的面积为132mn =．即答案为．2π3.3【解析】 ()2sin f x x x =-， ()12cos f x x =-'，当03x π<<时， ()()0,f x f x '<单调递减；当3x ππ<<时，()()0,f x f x '>单调递增。

页脚内容当3x π=时， ()f x 有最大值，且()min 2sin 33333f x f ππππ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭。

又()()00,f f ππ==，()max f x π=。

由题意得()()12f x f x M -≤等价于()()max min 23333M f x f x πππ⎛⎫≥-=--=+ ⎪⎝⎭。

M 的最小值为233π+。

答案：233π+ ．☎✆()2,4；☎✆(]1,2【解析】试题分析：☎✆命题☐：实数⌧满足⌧ ♋⌧♋ ＜ ，解集✌☎♋，♋✆．命题❑：实数⌧满足22280{ 3100x x x x --≤+-> 解集 ☎， ．♋，且☐❑为真，求✌✆即可得出．☎✆￢☐：☎ ，♋✉☯♋， ✆．￢❑：☎ ， ✉☎， ✆．利用￢☐是￢❑的充分不必要条件，即可得出． 试题解析：（ ）命题☐：实数⌧满足⌧ ♋⌧♋ ＜ ，其中♋＞ ，♋＜⌧＜ ♋，解集✌☎♋， ♋✆，命题❑：实数⌧满足，解得 ＜⌧♎．解页脚内容集 ☎， ，♋，且☐❑为真，则✌✆☎， ✆✆☎， ☎， ✆， 实数⌧的取值范围是☎， ✆．分☎✆￢☐：☎ ，♋✉☯♋， ✆，￢❑：☎ ， ✉☎， ✆．若￢☐是￢❑的充分不必要条件，则，解得 ♎♋♎．又当♋时不成立 实数♋的取值范围是☎， ．分． ．☎✆， ☎✆ 5.6.4ˆ8yx =+☎✆万元 【解析】试题分析：☎✆利用平均值公式与所给参考数值求解即可；☎✆利用公式求得()122214204 3.5285.ˆ6544 3.5ni i i n i i x y nxybx n x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，将样本中心点的坐标代入回归方程，求得28ˆ 5.6 3.58ˆ.4ay bx =-=-⨯=，从而可得结果；☎✆利用第二问的回归方程进行求值，预测即可试题解析：☎✆2345182732353.5,2844x y ++++++====。