第2章平面汇交力系与平面力偶系优秀课件
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第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
t2平面汇交力系与平面力偶系
应用场景
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
2. 解析法：
Fx 0 Fy 0
[例1] 图示杆AB长为l， AC=BC, =45°，F=10N。求：
A、B处反力。 解1: 几何法
O F
研究AB杆，画受力图，并
作力旳三角形
由正弦定理
FA sin 45
sin(180
F 90
1)
FA
A
10 FA 4 F 7.9N
F
1
C
45°
B
FNB
反作用。
28
[例] 画出每个构件旳受力图
C
C
C
OI
B
K
H
D
B
I
D
A
D
Q
B
O
IK
A
29
解：
C
OI K
H D
A Q
FC
FC'
C
FI
B
FT
D
FRD
B
FB
FR' D FOY
FOX O
I
A
Q
C
I
D
SI B
K
S B
NK
30
二、几种注意点 1. 明确画旳是受力图，而不是施力图； 2. 每一种力都要有施力者——不多画力； 3. 每解除一种约束都要画出相应旳约束反力—不错画 力，不漏画力； 4. 刚体系各刚体之间旳力要成对出现——不错画力； 5. 整体受力分析时不出现内力。
定理：平面汇交力系旳合力对平面内任一点旳矩，等于全
部各分力对同一点旳矩旳代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
第二章1平面汇交力系与平面力偶系
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？ F 3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？
解:取碾子画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
R h θ arccos 30 R
F B sin θ F F A F B cosθ P
F 1 1 .4 k N A
由合力投影定理可得：
F F 2 0 0 0 4 3 3 0 0 N 6 3 3 0 N x x
F F 0 2500 3000 N 550 N y y
则合力的大小为：
2 x 2 y 2 2
FF F 6 3 3 0 5 5 0 0 N 8 3 8 6 N
F , X 0 F , Y 0 8 0 4 5 4 R R 0 D A 4 5 PR A
各力的汇交点
(4) 解得
R A 5 P 22 . 4 kN 2
R R D A
1 10 kN 5
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反.
例4. 简易压榨机如图所示。已知P试求当连杆AB、AC与铅垂线成角时，托板给被压物 体的力。
O
tg
F Ry F Rx
F F
RY
RX
平面汇交力系平衡的必要和充分条 y 件是该力系的合力为零: F R 0
F F 0 Rx X
O
F F 0 Ry X
例2.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N， F2=5000N，F3=3000N。试求合力。
FR F23 F1 F12 F2
F4
FR
F4
F2 F4
FR
F3
理论力学第二章汇交力系与平面力偶系
FBC= 224.23 kN 代入（3）、（4）解得
tan θ = 1.631 , θ = 58.5°
FA= 303.29 kN
y
FBC
FD
C
45°
30°
x
W2
y
FA
θB
x
45°
W1 F'BC
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值
y
FBC
B 30°
x
FAB
FD 30° W
b
联立求解,得
FAB= －54.5kN , FBC= 74.5kN
反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。 即杆AB实际上受拉力。
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
例2–5 如图已知W1=100 kN， W2=250 kN。不计各
Fx F cos
Fy
Fy F cos
O 2、力在空间直角坐标轴上的投影：
F
Fx x
一次投影法：
Z
Fx F cos Fy F cos
F
O
y
FZ F cos
第二章 汇交力系与平面力偶系
x
★§2–2 空间汇交力系的合成与平衡 二次投影法：
已知力F 和某一平面（oxy)的夹
角为θ，又已知力F 在该平面
杆自重，A，B，C，D各点均为光滑铰链。试求平衡状
态下杆AB内力及与水平的夹角。
A
θB
D
W1
45° C
30°
W2 第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系与平面力偶系精品PPT课件
四块相同的均质板，各重P，长2b，叠放如图示。 在板I右端点A挂着重物B，其重2P。欲使各板都平衡， 求每块板可伸出的最大距离。
3P
P
N3
4P
P
N4
P 2P
求图示结构AB杆与AC杆所受的力，已知F力位于AD 的中点E且垂直AD。
FA FAB
A FA
FAC
45 o 45 o
F
FA
FD
450
F
B
C
D
W3
F
W2
W1
塔吊及所受荷载如图。自重P=200kN，中心 通过塔基中心。起重量W=25kN，距右轨B为 15m.平衡物重Q，距左轨A为6m，在不考虑风 荷载时， 求： （1）满载时，为了保证塔
身不至于倾覆，Q至 少应多大？ （2）空载时，Q又应该不 超过多大，才不至于 使塔身向另一侧倾覆？
如图示，一钢筋混凝土梁BC置于砖墙上，挑出1.5m， 顶端C作用一集中力P=1kN，梁自重q=1.2kN/m，取 抗倾覆安全系数κ=1.5，试求BA段的长度a。
的力矩。
抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆
的力矩。
K=抗倾覆安全系数
K MK Mq
规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数 K≥1.5
带有雨蓬的钢筋混凝土门顶过梁，尺寸如图示，梁 和板的长度均为4m。设在此梁上的砖砌至3m高时， 便欲将雨篷下的木支撑拆除。试验算此时雨蓬会不 会绕A点倾覆。已知钢筋混凝土容重为25kN／m3 ， 砖砌体容重为19kN/m3 ，验算时应考虑雨蓬最外边 缘B上作用有施工荷载F=1kN。
3 如果力F通过矩心O，则mo(F)=0，此时力对物体
的作用效应为移动。
4 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
第2章平面汇交力系与平面力偶系
FBA
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
FR FRx 2 FRy 2
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
平面汇交力系与平面力偶理论(精品资料)PPT
一、力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
第2章 平面汇交力系与平面力偶理论
且在同一平面内，由平面力偶系的合成理论．其合力偶矩为
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
2- 6
合力的大小：R Rx2 Ry2
X2 Y2
方向：
tg
Ry Rx
∴ tg1 Ry tg1 Y
Rx
X
作用点： 为该力法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即： R 0 Rx2 Ry2 0
FC M / a
M C
FC
D
A
a
D
B
FB
FD
取T形杆ADC为研究对象
FX 0 FA cos 45 FC 0
FA 2M / a
C
M
B
a
a
C
FC
A
FA
2-34
[例4] 起重机用绕过滑轮B的钢绳吊起重为G＝20KN的重物， 试求杆AB、BC所受的力。
解：取B点为研究对象，受力分析
2-21
2. 力偶可搬家；
F1
d1
F1
F1
F1
d1
3. 力偶的表示方法。 F1
d1
=
F1
F1
d1
F1
d1
F1
F1
F1
F1
d1
=m
2-22
四、力偶系的合成和平衡 平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
一、力偶 d
定义：作用于同一个物体上大小 相等，方向相反且作用线不重合 的两个力。
力偶的两个力F'、F所在的平面称为力偶作用面。 力偶的两个力F 、F作用线之间的距离d称为力偶臂。 作用效果：使刚体产生纯转动。
合力的大小：R Rx2 Ry2
X2 Y2
方向：
tg
Ry Rx
∴ tg1 Ry tg1 Y
Rx
X
作用点： 为该力法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即： R 0 Rx2 Ry2 0
FC M / a
M C
FC
D
A
a
D
B
FB
FD
取T形杆ADC为研究对象
FX 0 FA cos 45 FC 0
FA 2M / a
C
M
B
a
a
C
FC
A
FA
2-34
[例4] 起重机用绕过滑轮B的钢绳吊起重为G＝20KN的重物， 试求杆AB、BC所受的力。
解：取B点为研究对象，受力分析
2-21
2. 力偶可搬家；
F1
d1
F1
F1
F1
d1
3. 力偶的表示方法。 F1
d1
=
F1
F1
d1
F1
d1
F1
F1
F1
F1
d1
=m
2-22
四、力偶系的合成和平衡 平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
一、力偶 d
定义：作用于同一个物体上大小 相等，方向相反且作用线不重合 的两个力。
力偶的两个力F'、F所在的平面称为力偶作用面。 力偶的两个力F 、F作用线之间的距离d称为力偶臂。 作用效果：使刚体产生纯转动。
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
建筑力学第2章平面汇交力系和平面力偶系
图 2.14
25
小结
本章主要研究了两种特殊力系———平面汇交 力系、平面力偶系的合成与平衡问题。 （1）平面汇交力系
1）平面汇交力系的合成 ①几何法：用力的多边形法则求合力。特点是形象 、直观，但不精确。主要用在定性分 析上。 ②代数法：用合力投影定理求合力。这是一种精确 方法，也是常用的方法。
26
7
图 2.2
8
（2）力在平面直角坐标系中的投影 如果把力 F 依次在其作用面内的两个正交轴 x 、y上投影（图 2.3），则有
9
（3）合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于各个分力在同一轴上 的投影的代数和。这就是合力投影定理。
10
图 2.3
图 2.4
11
（4）平面汇交力系合成的代数法假设有一平 面汇交力系作用在刚体上的 O 点，现要求其合力 。为此，首先建立一个合适的平面直角坐标系，为 了简化计算，应让尽量多的力位于坐标轴上。然后 再把每个力进行投影；并利用式（2.4）求出合力 FR在这两个轴上的投影。于是，合力的大小和方 向可由下式确定：
20
图 2.9
图 2.10
21
图 2.11
图 2.12
22
图 2.13
23
2.3.2 平面力偶系的平衡 与平面汇交力系的平衡条件类似，平面力偶系 的平衡条件是：平面力偶系平衡的充分必要 条件是组成力偶系的各力偶的力偶矩的代数和为零 。即
24
2.3.3 平面力偶系平衡方程的应用 求解物体在平面力偶系作用下的平衡问题时， 一定要注意：力偶只能由力偶去平衡。
2
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 我们知道，若平面汇交力系是由两个力组成， 则可用力的平行四边形法则去求它们的合力。若平 面汇交力系是由两个以上的力组成时，只要先求出 任意两个力的合力，再求出这个合力和另一个力的 合力，这样继续下去，最后得出的就是这许多力的 合力。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
1
引 言
力系 平面力系
空间力系
平面力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系 ③平面一般力系/平面任意力系
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 平面平行力系： 各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系是其中的一种特殊情况。 平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内但既不 汇交于一点 也 不相互平行的力系。
2
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个力的合成
力的平行四边形法
力的三角形法
3
2. 多个力的合成 F1+F2 =R12; F1+F2 +F3 =R12 +F3 =R123;
F1
F2 F1 o F4 R12 R R123
F1+F2 +F3 +F4 =R123 +F4 =R
即
n
mi 0
i 1
26
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
m 1 m 2 m 3 m 4 15 N m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m 2 m 3 m 4 4 ( 15 ) 60 N m
m 2 F2 d 2
合力矩
M R A d ( P1 P2' ) d P1 d P2' d m 1 m 2
25
结论:
M m1 m 2 m n m i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
1
引 言
力系 平面力系
空间力系
平面力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系 ③平面一般力系/平面任意力系
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 平面平行力系： 各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系是其中的一种特殊情况。 平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内但既不 汇交于一点 也 不相互平行的力系。
2
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个力的合成
力的平行四边形法
力的三角形法
3
2. 多个力的合成 F1+F2 =R12; F1+F2 +F3 =R12 +F3 =R123;
F1
F2 F1 o F4 R12 R R123
F1+F2 +F3 +F4 =R123 +F4 =R
即
n
mi 0
i 1
26
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
m 1 m 2 m 3 m 4 15 N m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m 2 m 3 m 4 4 ( 15 ) 60 N m
m 2 F2 d 2
合力矩
M R A d ( P1 P2' ) d P1 d P2' d m 1 m 2
25
结论:
M m1 m 2 m n m i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
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F R F 1 F 2 F n F R i x F Rjy F R ( X 1 i Y 1 j ) ( X 2 i Y 2 j ) ( X n i Y n j )
( X 1 X 2 X n ) i ( Y 1 Y 2 Y n ) j
比较上式：
n
F Rx X 1X2 Xn Xi X
1）三个共点力的合成
设 {F1,F2,F3}为作用在A点的力系
F 3 F2
A
F1
F F3
R FR12
F2
F1
FR12 F1 F2 FR FR12 F3
FR F 3
F2
F1
FR F1 F2 F3
2）多个共点力的合成 设 {F1,F2, Fn}为作用在A点的汇交力系
则该力系的合力为 {F R }{F 1,F 2, F n}
n i 1
FRyY1Y2 Yn Yi Y
i1
三. 平面汇交力系的平衡
FR 0
FRx 0
FRy 0
X0 Y0
平衡方程由两个方程组成，可解两个未知量
四. 解题步骤
1）取研究对象，画受力图； 2）建立坐标系，列方程 ； 3）解未知量； 4）重复以上步骤。
例2-3 已知 AC=CB ，杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，试 用解析法求铰链 A 的约束反力和杆 DC 所受的力。
Fmi nPsin10 kN
FB
P
Fmin
F
FB
P
FA
F
例2-2 支架的横梁 AB 与斜杆 DC 彼此以铰链 C 相连 接，并各以铰链 A、D 连接于铅直墙上。已知 AC=CB ； 杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，求铰链 A 的约束反力和 杆 DC 所受的力。
E
B
FA
A
C
P
A
B
C
D
FC
P
解： 取梁为研究对象。 注意：这里所设力 FA 的方向与
画受力图。
实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 y
建立图示直角坐标系。
由平面汇交力系的平衡条件列方程 A
X 0 , FAco sF Cco 4s 050 Y 0 , F A sin F csi4n 05 P0
解：①分别取AC部分,BC部分 为 分离体
②分画受力图 Fc C
B FB
P A
P A
FA
C
B
a
a
C FC '
③应用几何法求解 力 P, F A , F C ' 构成封闭力多边形
FA
F
' C
45 0
P
FA F'C
P 2
FC F'C
P 2
几何法解题步骤：
①取分离体
②画受力图，做力多边形
③ 按比例测量，或应用几何关系计算
FA
F
由： FBsin F
FA FBcos P
解得： FA=11.34 kN , FB=10 kN
F
O
BP
FB
A
FA
（2）碾子能越过障碍物的力学条件 是FA=0，作出此时封闭的力三角形。
由几何关系可得
FP ta n1.5 15 kN
FB
P 23.09
cos
kN
（3）当拉力与FB垂直时，拉动 碾子的力最小。由几何关系可得
B
A
C
P
A D
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
FA
C
FC
E B
P
根据平面汇交力系平衡的几何条 件，可作出封闭的力三角形
FA
P 450 FC
E
FA
A
B
C
FC
Q
按比例尺量得或由几何关系经计算可得
FC 28.3 kN FA22.4kN
注： 若作出其它形式的力三角形， 可以解出同样的结果。
FC
P
FA
例 已知：三铰刚架受力如图 求：A,B两处的反力
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
O
B
P
A
F
O
B
P
A
FB
FA
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN
5 kN
b.也可由几何关系计算
cos R h 0.866偶系
平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点 的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面 汇交力系。
F1
Fn
F2
说明： 根据力的可传性，作用于刚体的平面汇
交力系一定可以转化成平面共点力系， 所以二者的研究方法相同。以下不再区 分，统称为平面汇交力系。
二、工程中的平面汇交力系问题举例：
三、三力平衡汇交定理
定理： 若刚体在三 个力的作用下保持平 FC 衡，其中两个力汇交
FA A O
于一点，那么第三个
力的作用线也必通过 FBC
FB
汇交点。
O
FAy
FA
Q
A
FAx C
B
Q
FC
四、本章的研究内容
分别用几何法和解析法研究平面汇交力系的 合成与平衡
§2-1 几何法（矢量法）
一、 平面汇交力系的合成—力的多边形法则
E
FA
45 0
B
C
FC
xP
其中：cos 2 sin 1
2）几何平衡条件：力的多边形自行封闭
Fn
FR
F3
F2
F1
Fn
F3
F2
F1
例2-1 压路碾子，自重P=20 kN，半径R=0.6m，障碍物高
h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力F。试求：
（1）当水平拉力F=5 kN时，碾子对地面及障碍物的压力；
（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；
（3）力F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。
FR F1 F2 Fn Fi
Fn
FR F 3
F2
F1
力
多 合力为力多边形的
边 封闭边
形
说明：力系的合成与力序无关
矢量方程为： F R F 1 F 2 F nF i
合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为 该力系的合力。
二、 平面汇交力系的平衡 平衡条件
1）从方程上说： FR 0
几何法的优缺点
（1）各力之间的关系很清楚、直观，便于定性地处理问题。
（2）不便于精确地处理有较多力或各力间几何关系较复杂 的力系平衡问题。一般对于由二力或三力组成的力系的平 衡问题，且当几何关系简单时才应用。
§2-2 解析法
解析法是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系 的合成和平衡条件
一. 力的解析表示法
X ,Y是力F在两个坐标轴上 的投影(代数量)
力Fx ，Fy 是力F沿着两个坐标轴 方向的两个分力(矢量)
设x、y轴上单位矢量为i 和 j
投影与分力 Fy Y j
间的关系 Fx Xi
Y
y
Fy
F
Fx
j
Oi
x
x
y
Y
Fy
Fx
O X
仿射坐标系中分力 与投影间并没有上
F 述的特殊关系。
x
二. 平面汇交力系的合成
( X 1 X 2 X n ) i ( Y 1 Y 2 Y n ) j
比较上式：
n
F Rx X 1X2 Xn Xi X
1）三个共点力的合成
设 {F1,F2,F3}为作用在A点的力系
F 3 F2
A
F1
F F3
R FR12
F2
F1
FR12 F1 F2 FR FR12 F3
FR F 3
F2
F1
FR F1 F2 F3
2）多个共点力的合成 设 {F1,F2, Fn}为作用在A点的汇交力系
则该力系的合力为 {F R }{F 1,F 2, F n}
n i 1
FRyY1Y2 Yn Yi Y
i1
三. 平面汇交力系的平衡
FR 0
FRx 0
FRy 0
X0 Y0
平衡方程由两个方程组成，可解两个未知量
四. 解题步骤
1）取研究对象，画受力图； 2）建立坐标系，列方程 ； 3）解未知量； 4）重复以上步骤。
例2-3 已知 AC=CB ，杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，试 用解析法求铰链 A 的约束反力和杆 DC 所受的力。
Fmi nPsin10 kN
FB
P
Fmin
F
FB
P
FA
F
例2-2 支架的横梁 AB 与斜杆 DC 彼此以铰链 C 相连 接，并各以铰链 A、D 连接于铅直墙上。已知 AC=CB ； 杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，求铰链 A 的约束反力和 杆 DC 所受的力。
E
B
FA
A
C
P
A
B
C
D
FC
P
解： 取梁为研究对象。 注意：这里所设力 FA 的方向与
画受力图。
实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 y
建立图示直角坐标系。
由平面汇交力系的平衡条件列方程 A
X 0 , FAco sF Cco 4s 050 Y 0 , F A sin F csi4n 05 P0
解：①分别取AC部分,BC部分 为 分离体
②分画受力图 Fc C
B FB
P A
P A
FA
C
B
a
a
C FC '
③应用几何法求解 力 P, F A , F C ' 构成封闭力多边形
FA
F
' C
45 0
P
FA F'C
P 2
FC F'C
P 2
几何法解题步骤：
①取分离体
②画受力图，做力多边形
③ 按比例测量，或应用几何关系计算
FA
F
由： FBsin F
FA FBcos P
解得： FA=11.34 kN , FB=10 kN
F
O
BP
FB
A
FA
（2）碾子能越过障碍物的力学条件 是FA=0，作出此时封闭的力三角形。
由几何关系可得
FP ta n1.5 15 kN
FB
P 23.09
cos
kN
（3）当拉力与FB垂直时，拉动 碾子的力最小。由几何关系可得
B
A
C
P
A D
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
FA
C
FC
E B
P
根据平面汇交力系平衡的几何条 件，可作出封闭的力三角形
FA
P 450 FC
E
FA
A
B
C
FC
Q
按比例尺量得或由几何关系经计算可得
FC 28.3 kN FA22.4kN
注： 若作出其它形式的力三角形， 可以解出同样的结果。
FC
P
FA
例 已知：三铰刚架受力如图 求：A,B两处的反力
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
O
B
P
A
F
O
B
P
A
FB
FA
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN
5 kN
b.也可由几何关系计算
cos R h 0.866偶系
平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点 的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面 汇交力系。
F1
Fn
F2
说明： 根据力的可传性，作用于刚体的平面汇
交力系一定可以转化成平面共点力系， 所以二者的研究方法相同。以下不再区 分，统称为平面汇交力系。
二、工程中的平面汇交力系问题举例：
三、三力平衡汇交定理
定理： 若刚体在三 个力的作用下保持平 FC 衡，其中两个力汇交
FA A O
于一点，那么第三个
力的作用线也必通过 FBC
FB
汇交点。
O
FAy
FA
Q
A
FAx C
B
Q
FC
四、本章的研究内容
分别用几何法和解析法研究平面汇交力系的 合成与平衡
§2-1 几何法（矢量法）
一、 平面汇交力系的合成—力的多边形法则
E
FA
45 0
B
C
FC
xP
其中：cos 2 sin 1
2）几何平衡条件：力的多边形自行封闭
Fn
FR
F3
F2
F1
Fn
F3
F2
F1
例2-1 压路碾子，自重P=20 kN，半径R=0.6m，障碍物高
h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力F。试求：
（1）当水平拉力F=5 kN时，碾子对地面及障碍物的压力；
（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；
（3）力F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。
FR F1 F2 Fn Fi
Fn
FR F 3
F2
F1
力
多 合力为力多边形的
边 封闭边
形
说明：力系的合成与力序无关
矢量方程为： F R F 1 F 2 F nF i
合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为 该力系的合力。
二、 平面汇交力系的平衡 平衡条件
1）从方程上说： FR 0
几何法的优缺点
（1）各力之间的关系很清楚、直观，便于定性地处理问题。
（2）不便于精确地处理有较多力或各力间几何关系较复杂 的力系平衡问题。一般对于由二力或三力组成的力系的平 衡问题，且当几何关系简单时才应用。
§2-2 解析法
解析法是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系 的合成和平衡条件
一. 力的解析表示法
X ,Y是力F在两个坐标轴上 的投影(代数量)
力Fx ，Fy 是力F沿着两个坐标轴 方向的两个分力(矢量)
设x、y轴上单位矢量为i 和 j
投影与分力 Fy Y j
间的关系 Fx Xi
Y
y
Fy
F
Fx
j
Oi
x
x
y
Y
Fy
Fx
O X
仿射坐标系中分力 与投影间并没有上
F 述的特殊关系。
x
二. 平面汇交力系的合成