极大值与极小值

4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ax bx cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '( x) 的图像 (如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） x0 的值；（2）a,b,c的值； 略解： (1)由图像可知：x0 1
3 2
(2)
f / ( x）＝3ax 2 2bx c (a 0) f (1) a b c 5
0

1 1 9 因此,当x 时, f(x)有极小值f( ) . 2 2 4
1 3 1 例2 求函数 y x 4x 的极值。 3 3 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，y′, y的变化情况如下表：
x y′ y
(-∞，-2）
-2
0 极大值 17/3
练习：
1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为 ( D)
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
2（ 、2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间( a, b) 导函数 f ( x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有（ A ）个极小值点。
再根据解集写出单调递增区间
（4）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
（5）确定f(x)的单调区间
观察图像：函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右 近旁各点处的函数值，相比有什么特点?
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
解：
f ( x) f ( x)
1 f ( x) 2 x 1, 令f ( x) 0, 解得x .列表 2 1 1 1 (, ) ( ,) x 2 2 2

1 极小值f ( ) 2
二、判断函数极值的方法
y yf(x) f (x)<0 在极大值点附近 f (x)>0 f (x)>0 f (x)<0
O a x1 b x x2 在极小值点附近 •若极值点处的导数存在，则一定为0
•导数为0的点不一定是极值点；
已知f’ (x0)=0，
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0，右侧f ’(x)<0，则f (x0)是极大值；
x
观察与思考：极值与导数有何关系？
y
f (x3)0 f (x1)0 f ( x2 ) 0
f ( x4 ) f ( x1 )
f (x4)0
o
a
a
X1
X2
X3
X4
b
x
对于可导函数, 若x0是极值点,则 f’(x0)=0;
反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.
探究活动
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研 究方法,看极值与导数之间有什么关系?
(-2，2）
+
-
2 0
(2，+∞）
+
极小值 -5 因此，当x=-2时， y极大值=17/3 当x=2时， y极小值=－5
例3:下列函数中，x=0是极值点的函数 是(
B
)
2 B.y=x
3 A.y=－x
C.y=x2－x
D.y=1/x
分析：做这题需要按求极值的三个步 骤，一个一个求出来吗？不需要，因为 它只要判断 x=0 是否是极值点，只要看 x=0点两侧的导数是否异号就可以了。
A.1 B.2 C.3 D. 4
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
3 2 2 3、 f ( x ) x ax bx a 函数 在 x 1时有极值10，则a， C b的值为（ ） A、 a 3, b 3 或 a 4, b 11 B、 a 4, b 1 或 a 4, b 11 C、a 4, b 11 D、 以上都不对
f / (1) 3a 2b c 0 f / ( 2) 12a 4b c＝0
.
2b － 3a 3 或 c 2 3a
a 2, b 9, c 12
注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 ②
①可导函数必有极值；
。
如y x
3
②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来 说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
a2 例3:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值.
解:函数的定义域为( ,0) (0, ),
a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x 令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0，右侧f ’(x)>0， 则f (x0)是极小值；
左正右负为极大，左负右正为极小
三、函数极值的步骤
求可导函数f(x)极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
，
f (1) 10 解:由题设条件得： / f (1) 0
解之得
a 3 a 4 或 b 3 b 11
1 a b a 2 10 3 2a b 0
通过验证，都合要求，故应选择A。
注意代 入检验
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
y x f(x)
x
x0左侧
增 x0左侧 减
x0
极大值 x0
x0右侧
减 x0右侧 增
f(x) f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
o a
y
x0
b x
f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0 o a
b x0
x
f(x)
极小值
请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
注意：
（1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. y P(x1,f(x1)) y=f(x)
o
a x1
Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b
y
y=f(x)
f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数.
2、导数的应用：判断单调性、求单调区间
用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
（1）确定函数的定义域
（2）求出函数的导函数
（3）求解不等式f ′(x)>0，求得其解集，
当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) + -a 0 (-a,0) (0,a) a 0 (a,+∞) +
f’ ( x) 故当 时,f(x) 有极大值 x=a时,f(x) f(x) x=-a ↗ 极大值 -2a f(-a)=-2a; ↘ ↘当 极小值 2a 有极 ↗ 小值f(a)=2a.
3.3.2 极大值与极小值
知识回顾:
1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有
导数,如果在 这个区间内f/（x） >0,那么函数y=f(x) 在 为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）<0,那 么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. y
y=f(x) f '(x)>0
y f (x1)
f(x3)
yf(x)
f(x2) O a x1 x2
f(x4)
x3 x4
b x
一、函数的极值定义
y
y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
x0
o
x0
x
o
x
一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义， •如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； •如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即波峰波谷 处的值------不一定最大值或最小值）