《固体物理学》房晓勇主编教材课件-第五章 金属电子论基础
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固体物理 第五章 固体电子论基础1
5
5.一些金属元素的自由电子密度 一些金属元素的自由电子密度
元 素 Li Na K Cu Ag Mg Ca Zn Al In Sn Bi z 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 n/1028m-3 4.70 2.65 1.4 8.47 5.86 8.61 4.61 13.2 18.1 11.5 14.8 14.1 rs/10-10m 1.72 2.08 2.57 1.41 1.60 1.41 1.73 1.22 1.10 1.27 1.17 1.19 rs/a0 3.25 3.93 4.86 2.67 3.02 2.66 3.27 2.30 2.07 2.41 2.22 2.25
n= z
ρNA
M
ne2E j = nev = τ 2m
设电子平均自由程为l， 设电子平均自由程为 ，则 τ
2
zρNAe2E j= τ 2mM
(A m )
2
=l v
电流密度可写成
zρNAe E l j= × 2mM v
6.电导率σ 电导率
(A m )
2
j zρNAe l σ= = × 2mM v E
2
1.必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动 电子的运动不同于气体分子的运动， 电子的运动不同于气体分子的运动，不能用经典 理论来描述。 理论来描述。 2.电子的分布服从量子统计 即费米 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计, 即费米-狄拉克分布 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 3.电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的 4.电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成
5.一些金属元素的自由电子密度 一些金属元素的自由电子密度
元 素 Li Na K Cu Ag Mg Ca Zn Al In Sn Bi z 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 n/1028m-3 4.70 2.65 1.4 8.47 5.86 8.61 4.61 13.2 18.1 11.5 14.8 14.1 rs/10-10m 1.72 2.08 2.57 1.41 1.60 1.41 1.73 1.22 1.10 1.27 1.17 1.19 rs/a0 3.25 3.93 4.86 2.67 3.02 2.66 3.27 2.30 2.07 2.41 2.22 2.25
n= z
ρNA
M
ne2E j = nev = τ 2m
设电子平均自由程为l， 设电子平均自由程为 ，则 τ
2
zρNAe2E j= τ 2mM
(A m )
2
=l v
电流密度可写成
zρNAe E l j= × 2mM v
6.电导率σ 电导率
(A m )
2
j zρNAe l σ= = × 2mM v E
2
1.必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动。 必须用薛定谔方程来描述电子的运动 电子的运动不同于气体分子的运动， 电子的运动不同于气体分子的运动，不能用经典 理论来描述。 理论来描述。 2.电子的分布服从量子统计 即费米 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计, 即费米-狄拉克分布 狄拉克分布。 电子的分布服从量子统计 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 3.电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的。 电子的运动是在一个周期性势场中进行的 4.电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成。 电子的能级是由一些能带组成
《固体物理学教案》课件
《固体物理学教案》PPT课件一、教案简介本教案旨在帮助学生了解和掌握固体物理学的基本概念、原理和应用。
通过本课程的学习，学生将能够理解固体物质的结构、性质以及其宏观表现，为进一步研究相关领域打下坚实基础。
二、教学目标1. 了解固体物理学的基本概念和研究方法。
2. 掌握晶体结构、电子分布、能带结构等基本内容。
3. 理解固体物理学的宏观性质及其微观解释。
4. 熟悉固体物理学在材料科学、凝聚态物理等领域的应用。
三、教学内容1. 固体物理学概述固体物理学的基本概念固体物理学的研究方法2. 晶体结构晶体的基本概念晶体的分类与空间群晶体的生长与制备3. 电子分布与能带结构电子分布的基本理论能带结构的类型及特点能带的调控与应用4. 固体物理学的宏观性质导电性、热导性、光学性质磁性、超导性、半导体性质力学性质与缺陷化学5. 固体物理学在实际应用中的案例分析材料科学与固体物理学凝聚态物理与固体物理学纳米技术、量子计算等领域中的应用四、教学方法1. 采用PPT课件进行讲解，结合实物图片、动画等直观展示，提高学生的学习兴趣和理解能力。
2. 通过案例分析、讨论等形式，激发学生的思考和创新能力。
3. 布置适量的课后习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
五、教学评价1. 课后习题完成情况：评价学生对固体物理学基本概念和原理的掌握程度。
2. 课堂讨论参与度：评价学生在讨论中的表现，包括思考问题、表达能力等。
3. PPT课件制作与讲解：评价学生对固体物理学知识的理解和运用能力。
4. 期末考试：全面测试学生对固体物理学知识的掌握和应用能力。
六、教案设计6. 晶体的基本性质晶体粒子的排列与周期性晶体的对称性晶体的力学性质晶体的热性质7. 电子态与能带理论电子在晶体中的分布能带理论的基本概念能带的类型与特性能带结构与材料性质的关系8. 固体能谱学X射线衍射与晶体学电子显微学光学光谱学核磁共振谱学9. 磁性材料磁性的基本类型磁畴与磁化过程磁性材料的性质磁性材料的应用10. 结论与展望固体物理学的发展历程当前固体物理学的研究热点固体物理学在未来的发展趋势固体物理学对人类社会的贡献七、教学策略6. 通过实物模型和显微镜观察晶体结构，增强学生对晶体对称性和排列规律的理解。
福州大学固体物理第五章
索末菲对金属结构的描述： 索末菲对金属结构的描述：平均势场中运动 的单电子问题。 的单电子问题。即忽略电子和离子实之间的相互 作用以及电子与电子之间的相互作用， 作用以及电子与电子之间的相互作用，忽略晶格 周期场的影响， 周期场的影响，只考虑一个电子在晶格平均场和 其它电子的的平均场中的运动。 其它电子的的平均场中的运动。 将一个复杂的强关联的多体问题， 将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在 平均势场中运动的单电子问题。 平均势场中运动的单电子问题。在首先求得单电 子的能级的基础上，利用泡利不相容原理， 子的能级的基础上，利用泡利不相容原理，将N 个电子填充到这些能级中，获得N个电子的基态 个电子的基态。 个电子填充到这些能级中，获得 个电子的基态。
（4）驰豫时间近似 ）
设驰豫时间与电子位置和速度无关
假
特鲁德模型的缺陷： 特鲁德模型的缺陷：
忽略了电子与离子实之间的相互作用， 忽略了电子与离子实之间的相互作用，认 为电子气系统的总能量为电子的动能， 为电子气系统的总能量为电子的动能，势能被 忽略。因此， 忽略。因此，特鲁德模型虽然可以成功说明金 属的某些输运过程，却在处理比热和磁化率等 属的某些输运过程， 问题上遇到了不可克服的障碍。 问题上遇到了不可克服的障碍。
h 2 d 2ψ d 2ψ d 2ψ ( 2 + 2 + 2 ) + V (r )ψ (r ) = Eψ (r ) − dy dz 2me dx
将电子的势能和边界条件代入， 将电子的势能和边界条件代入，求解薛定谔方 就能得到在稳定条件下电子的能量和概率分布。 程，就能得到在稳定条件下电子的能量和概率分布。
传导电子在金属中自由运动， 传导电子在金属中自由运动，电子与电子之 间有很强的排斥力， 间有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的 吸引力。 吸引力。Sommerfeld自由电子理论认为把离子实 自由电子理论认为把离子实 的电荷抹散成一个正电荷背景(这样周期势场就不 的电荷抹散成一个正电荷背景 这样周期势场就不 存在了) 好象“凝胶”一样。这种“凝胶” 存在了 好象“凝胶”一样。这种“凝胶”的作 用纯粹是为了补偿传导电子之间的排斥作用， 用纯粹是为了补偿传导电子之间的排斥作用，以 至于使得这些传导电子不至于因为彼此之间很强 的排斥作用而从金属晶体中飞溅出去， 的排斥作用而从金属晶体中飞溅出去，这就相当 凝胶”模型。 于“凝胶”模型。
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考pdf05第五章_金属电子论基础
8.45
×1022
⎤1/ ⎦
3
=
5.2 限制在边长为 L 的正方形的 N 个电子，单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
（1）求能量 E 到 E+dE 之间的状态数； (2) 求绝对零度时的费米能量。 解：（参考中南大学 4.6，王矜奉 6.2.2，林鸿生 1.1.83，徐至中 5-2） （1）如《固体物理学》图 5-1 所示，每个状态点占据的面积为
G′(E) = 2 dZ ⋅ dk = 2 L2 k • dk dE 2π
m = L2m 2k π 2
得二维金属晶体中自由电子的状态密度为：
…………………………（4）
g(E)
=
G′(E) S
=
1 L2
L2m π2
=
m π2
………………………（5）
（2）根据《固体物理学》式 金属的电子浓度
3
∫ ∫ n =
2π i 2π = (2π )2
Lx Ly
L2
所以每个单位
k
空间面积中应含的状态数为
L2
(2π )2
，
d k 面积元中应含有的状态数为
dZ
=
L2
(2π )2
d
k
而单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
= 2k2 2m
E+dE E
可见在 k 空间中等能曲线为一圆，如图所示，在 E——E+dE 两个等能圆之间的
2
第五章 固体电子论基础
以kx、ky、kz为坐标轴建立 起来的空间称为波矢空间 (也称空间)，每一个电子本 征态可以用该空间的一个 点(称状态点)表示。
3
3 态密度
能量值在E~E+∆E之间的电子本征态数目∆Z
Z
dsdk 2
3
L3
dk k E E
L3 ds Z E 3 2 k E 态密度函数N(E) Z L3 ds N ( E ) lim 3 E 0 E 2 k E
晶体的哈密顿算符包括了如下各种能量算符：
2 2 电子的动能 T e ：T e i T i 2m i i
离子的动能 T z
电子─电子互作用能
离子─离子互作用能 电子─离子互作用能
Ve
Vz
V eZ
H T e T z V e V Z V eZ
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
单电子在复杂势场中 的运动
单电子在周期性势场 中的运动
周 期 场 近 似
小结
能带理论把晶体系统的多粒子问题简化为 在周期场中的单电子问题。晶体电子的状态就 可以用单电子在周期场中运动的状态来描述， 电子的能量及波函数从下述方程确定：
即使在绝对零度， 电子的平均动能 也不为零。
2）T≠0K，但kBT<<EF
1 1 f ( E ) 2 0 E比EF 小几个k BT E EF E比EF 高几个k BT
0 E F的电子获得k T数量级 在T≠0K时，一部分能量低于 B 0 的热能，从而跃迁到能量高于 E F 的状态中。
固体物理第五章1
不 足 之 处
既然自由电子参加输运过程，为什么对比热
的贡献这么小呢，这是经典的自由电子理论无 法解释的。
School of Materials Science and Engineering / WHUT
第五章 固体电子论基础
5.1 金属中自由电子经典理论 5.2 自由电子的量子理论
5.3 周期性势场中电子运动的模型
理 论 内 容
金属键的特征是没有方向性和饱和性，结构上为密堆积， 具有高的配位数和大的密度。
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5.1金属中自由电子经典理论
Drude--Lorenz自由电子气模型
金属中存在大量可自由运动的电子，其行为类似理想气体 （自由电子气）。导电（ 电子沿外电场的漂移引起电流 ）、 导热（ 温度场中电子气体的流动伴随能量传递 ）与电子运 动相关。
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前 提 条 件
5.1金属中自由电子经典理论
理论的内容
例如：金属Li 1s22s1 2s上的电子就为离域电子，（原子按密集 六角堆积） 金属Na 1s22s22p63s1 3s上的电子就为离域电子，（原子按密集 六角堆积） 金属中价电子的离域，就好像在金属中形成一个负电荷的 “海”或“电子云雾”，另一方面，由于价电子的离域，在金 属晶体的格点上，留下了由原子核和内层电子所构成的正离子 即离子实（离子实：失去价电子后的原子核及其它核外电子） 。金属正离子本应互相排斥，但价电子形成的电子海把它们紧 紧的结合在一起，所以可以设想金属中是金属离子分享自由的 价电子，根据这种设想可导出金属键的模型。
固体物理学第五章
剪切应力：
F' / S'
F F cos( ) F sin 2
'
S ' S / cos
因此
F / S sin cos
当角度为45 度时，剪切力最大，滑移容易在这一平面上发生。
5.4 滑移与位错
范性形变对应于晶体不同部分之间沿滑移面发生相对移动，
对于螺位错， 其滑移面 不唯一确定，而与外加切应 力有关。使螺位错滑移，外 b
加切应力则平行于位错线。
对于棱位错，位错线与滑移方向垂直 对于螺位错，位错线与滑移方向平行
几乎所有晶体中都存在位错，正是由于这些位错的 运动导致金属在很低的外加切应力的作用下就出现滑移。 因此，晶体中位错的存在是造成金属强度大大低于理论 值的最主要原因。 不含位错的金属晶须的确具有相当接近于理论值的强度。
第五章 固体的机械性质
5.1 晶体结合的基本类型
一、离子晶体
正负离子的电子壳层饱和，电子云分布基本上球对称， 满足球密堆积原则。 结合能 ~ 150 kcal/mol
典型晶体：NaCl、LiF等
二、共价晶体 共价结合的特征是具有方向性和饱和性。电子云分 布不是球对称的，不满足球密堆积原则。 共价结合的键合能力相当强，共价晶体一般硬度高， 熔点高。 结合能：~150 kcal/mol 典型晶体：金刚石、SiC等
点缺陷
空位、填隙原子、色心、替位式杂质。。。
面缺陷
小角晶界、堆垛层错
作业：
1、固体的结合类型有几种，其特点各是什么？
2、在晶体缺陷的分类中，有哪几种位错？有什么区别？
3、晶体缺陷可以分成几类，并各自举例说明。
固体物理学课件第五章
于是：
A0ei( k )c
B ei( k )c 0
C e D e ( ik )(ac) 0
( ik )(ac)
0
C e( ik )b 0
D0e( ik )b
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
23
5.1 布洛赫（Bloch）定理
同理，在x=c处，由 du 连续的条件可得： dx
由布洛赫函数可得
k r Rn
e
i
k Rn
(r )
所以，布洛赫定理可表述为：在以布拉菲格子原胞为周期 的势场中运动的电子,当平移晶格矢量Rn时，单电子态波函 数只增加相位因子exp(ik∙Rn)。
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11
5.1 布洛赫（Bloch）定理
一维周期性方势场，势阱的势能为零，势垒高度V0势阱的宽 度是c，相邻势阱之间的势垒宽度为b，周期为 a=b+c，V0足 够大，b 足够小，乘积为有限值。当电子能量 E 小于V0时， 电子有几率从一个势阱穿到另一个势阱中去。
V0
c
b
x
-a
-b 0 c a
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5.1 布洛赫（Bloch）定理
5.1 布洛赫（Bloch）定理
5.1.1 基本概念
实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于 电子与电子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着 相互作用。一个严格的固体电子理论，必须求解多粒子体 系的薛定谔方程。但求解这样复杂的多粒子体系几乎是不 可能的，必须对方程简化，为此能带理论作了一些近似和 假定，将多体问题化为单电子问题。
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考05第五章_金属电子论基础
G 黄昆教材： k 空间占有电子与不占有电子区域的分界面称为费米面。
金属电子气模型的费米面是球形。
5.4 说明为什么只有费米面附近的电子才对比热、电导和热导有贡献？ 解答：本质是，对比热、电导和热导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子，只有费米面附近的电子 才能从外界获得能量发生能态跃迁。 如对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子，能态能够发生变化的电子仅是费米面附近的电子，因为， 在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费 米面附近或以外的空状态上。只有费米面附近的电子吸收声子后能跃迁到费米面附近或以外的空状态上。 对电导，考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外电场作用下，进入较高能级， 因而才会对金属电导率有贡献。而对于能量比费米能级低得多的电子，由于它附近的能态已经被占据，没 有可以接受它设为空态，所以这些电子不可能从外场获得能量而改变其状态，因而它们并不参与导电。 热导与电导相似，
解答：在 T = 0 时，所有电子能量不超过费米能量 EF ，因此没有电子脱离金属；但是，当金属被加
热到很高温度时，将有一部分电子获得的能量大于逸出功，从而脱离金属表面形成热电子发射电流，这种 现象称为热电子效应。
5.10 产生接触电势差的原因是什么？
解答：当两块不同的金属 1 和 2 相接触，或用导线连接时，两块金属将彼此带电并产生不同的电势U1
5.5 自由电子气的许多性质与费米波矢有关，试列举或导出下列参数与费米波矢的关系： （1）绝对零度时时的费米能量； （2）电子数密度： （3）金属电子气的总能量； （4）与费米能级对应的能态密度； （5）电子比热。
解答：（1）根据《固体物理学》式
5-19，绝对零度时时的费米能量 EF0
金属电子气模型的费米面是球形。
5.4 说明为什么只有费米面附近的电子才对比热、电导和热导有贡献？ 解答：本质是，对比热、电导和热导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子，只有费米面附近的电子 才能从外界获得能量发生能态跃迁。 如对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子，能态能够发生变化的电子仅是费米面附近的电子，因为， 在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费 米面附近或以外的空状态上。只有费米面附近的电子吸收声子后能跃迁到费米面附近或以外的空状态上。 对电导，考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外电场作用下，进入较高能级， 因而才会对金属电导率有贡献。而对于能量比费米能级低得多的电子，由于它附近的能态已经被占据，没 有可以接受它设为空态，所以这些电子不可能从外场获得能量而改变其状态，因而它们并不参与导电。 热导与电导相似，
解答：在 T = 0 时，所有电子能量不超过费米能量 EF ，因此没有电子脱离金属；但是，当金属被加
热到很高温度时，将有一部分电子获得的能量大于逸出功，从而脱离金属表面形成热电子发射电流，这种 现象称为热电子效应。
5.10 产生接触电势差的原因是什么？
解答：当两块不同的金属 1 和 2 相接触，或用导线连接时，两块金属将彼此带电并产生不同的电势U1
5.5 自由电子气的许多性质与费米波矢有关，试列举或导出下列参数与费米波矢的关系： （1）绝对零度时时的费米能量； （2）电子数密度： （3）金属电子气的总能量； （4）与费米能级对应的能态密度； （5）电子比热。
解答：（1）根据《固体物理学》式
5-19，绝对零度时时的费米能量 EF0
固体物理学课件ppt
凝聚态物理学：是从微观角度出发，研究由大量粒子 （原子、分子、离子、电子）组成的凝聚态的结构、 动力学过程及其与宏观物理性质之间的联系的一门学 科。
固体： 晶体、非晶体、准晶体
凝聚态物理研 究对象：
液体：
介于液态和固态之间的凝聚相：液氦、液晶、 熔盐、液态金属、电解液
稠密气体
绪论
一、固体物理学的研究对象
主要参考书
黄昆，韩汝琦.《固体物理》,高教出版社. Charles Kittel. Introduction to solid state
physics. (中文版第8版) 方俊鑫，陆栋. 《固体物理学》（上）, 上海科
学技术出版社. 阎守胜.《固体物理基础》, 北京大学出版社.
凝聚态：由大量粒子组成，并且粒子间有 很强相互作用的系统。
研究固体结构及其组成粒子（原子、 离子、电子）之间的相互作用与运动 规律以阐明其性能与用途的学科。
固体的分类 ➢ 晶体：长程有序，呈对称性形状，固定熔点，各向
异性，平移和旋转对称性（2,3,4,6）。例如：
锗、硅 单晶
➢ 非晶体：短程有序性，无规则形状，无固定熔点。
例如：玻璃 橡胶
➢ 准晶体: 没有平移对称性，有旋转对称性（5次或 更高）
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
原胞的基本平移矢量，简称基矢。
a2 0 a1
固体物理学原胞（初基原胞）
1.原胞的分类 结晶学原胞（晶体学原胞，晶胞，单胞）
2. 布拉伐格子(空间点阵）（布拉菲格子） ➢布拉伐格子：一种数学上的抽象，是点在空间中周期性的规则排列。 ➢格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化学、物理和几
固体物理第五章
据特鲁德模型，应用经典理论很容易对金属的一些物理性质作
出解释并在某些方面获得成功。
1 电导率
没有外电场作用时，电子的运动是无规的，不形成电流．在 静电场E作用下，电子沿电场方向加速，同时又不断地和离子实 碰撞而改变运动方向。
按弛豫时间近似，电子沿电场方向获得平均速度v(漂移速度)为
v
eE
m
电流密度为
以外的状态，费米面内的一些状态便空了出来，这时电子的分 布情况与基态不同。下图中分别画出f(E,T)和N(E,T)随E的变化 曲线，阴影部分表示T = 0K 时的分布情况，当温度从0上升至T 时，区域1中的电子激发至区域2
1
g(E) CE 2
f (E,T)
1
exp[(E ) / kBT ] 1
米面是球面，其半径为kF。T＝0K时费米面内所以状态都被电
子占满，费米面外状态是空的。
金属：n～1029/m3, kF ~ 1010/m, EF ~ 10 eV
基态时自由电子气的总能量为
NE
EF
g(E)EdE
EF
CE
0
0
1
2 EdE
2 5
C
5
CEF 2
V
2
2
(
2m 2
)
3 2
2C 5
EF 32 EF
解释金属的物理性质
采用自由电子模型：
不考虑晶格周期场对电子的作用； 不考虑电子之间的相互作用；
简单地把金属中的价电子看成封闭在晶格中的自由电子气体。
在此基础上逐步发展为现代的固体电子论 ： 考虑电子受晶格周期场的作用； 也考虑电子之间的相互作用；
在研究对象上也从金属扩展至所有类型的固体，从三维固体 扩展至低维固体，从晶体扩展至非晶体。
《固体物理学》房晓勇思考题参考解答
第一章 晶体的结构习题
第一章 晶体的结构
思考题
1.1 为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？
解答：
在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距 d 较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定，
因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容
a1 a2 ϕ
a2 a1
ϕ a2
a1
（d）六角方晶格， a1 = a2 ,ϕ = 2π / 3.
（e）长方晶格， 左边为原胞，右为晶胞，
且 a1 ≠ a2 ,ϕ = π / 2.
5
第一章 晶体的结构习题
1.13 具有 4 度象轴而没有 4 度旋转对称轴的晶体，有没有对称中心？举例说明。 解答： 1.14 如晶体中存在两个相互交角为Л/4 的对称面，试问这两个对称面的交线是几度旋转对称轴？ 解答： 1.15 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大？该晶列在那些晶面内？ 解答：参考王矜奉 1.1.12 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内。若以密堆积模型，则原子密度 最的晶面就是密排面。如《固体物理学》图 1-9 所示，可知密勒指数（111）[可以 证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族，最小的晶列周期为
度，OB 的长度等于 a2 长度的 1/2，OC 的长度等于 a3 长度的 1/3，所以 A 是格点。若 ABC 的面指数为（234），
则 A、B、C 都不是格点。
[ ] 1.10 与晶列 l1l2l3 垂直的倒格面的面指数是什么？
4
第一章 晶体的结构习题
解答：王矜奉 1.1.8
( ) 正格子与倒格子互为倒格子，正格子晶面 h1 , h2 , h3 与倒格式 K h = h1b1 + h2 b2 + h3b3 垂直，则倒格晶面
第一章 晶体的结构
思考题
1.1 为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？
解答：
在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距 d 较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定，
因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容
a1 a2 ϕ
a2 a1
ϕ a2
a1
（d）六角方晶格， a1 = a2 ,ϕ = 2π / 3.
（e）长方晶格， 左边为原胞，右为晶胞，
且 a1 ≠ a2 ,ϕ = π / 2.
5
第一章 晶体的结构习题
1.13 具有 4 度象轴而没有 4 度旋转对称轴的晶体，有没有对称中心？举例说明。 解答： 1.14 如晶体中存在两个相互交角为Л/4 的对称面，试问这两个对称面的交线是几度旋转对称轴？ 解答： 1.15 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大？该晶列在那些晶面内？ 解答：参考王矜奉 1.1.12 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内。若以密堆积模型，则原子密度 最的晶面就是密排面。如《固体物理学》图 1-9 所示，可知密勒指数（111）[可以 证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族，最小的晶列周期为
度，OB 的长度等于 a2 长度的 1/2，OC 的长度等于 a3 长度的 1/3，所以 A 是格点。若 ABC 的面指数为（234），
则 A、B、C 都不是格点。
[ ] 1.10 与晶列 l1l2l3 垂直的倒格面的面指数是什么？
4
第一章 晶体的结构习题
解答：王矜奉 1.1.8
( ) 正格子与倒格子互为倒格子，正格子晶面 h1 , h2 , h3 与倒格式 K h = h1b1 + h2 b2 + h3b3 垂直，则倒格晶面
固体物理第五章 课件
3、布里渊区的特点 布里渊区的特点 （1）空间点阵相同 ） 倒格子点阵相同 布里渊区形状相同 （2）在同一倒格子点阵中，各布里渊区 ）在同一倒格子点阵中， 的形状不同， 体积”相同， 的形状不同，但“体积”相同，都 等 于倒格子元胞的体积。 于倒格子元胞的体积。
正格子） 一、二维正方格子(正格子） 正格子
禁带宽度为
Eg = 2 Vn
晶体能带结构的特点
（1）在周期性势场中，电子有带状结 构的能 ）在周期性势场中， 允带与禁带交替排列； 带，允带与禁带交替排列； (2) E 是 K 的偶函数 E(K) = E(-K)； ； （3）能量越高，允带越宽； ）能量越高，允带越宽； （4）禁带宽度为 Eg = 2 Vn ； ） （5）能量是波矢的周期函数 ）
i
ik Rn
a i k xi +k y j +kz k i k 2 i k xi +k y j +kz k
=e
a i (kx kz ) 2 i a (kx kz ) 2
ik Rn
) a (i k ) 2
=e
①②③④
∑ e
ik Rn
=e
i
a (kx +kz ) 2
+e
i
a (kx +kz ) 2
例：一维周期势场为 1 mW 2 [b 2 ( x na ) 2 ] 当na b ≤ x ≤ na + b V ( x) = 2 0 当( n 1)a b ≤ x ≤ na b 如图， 求第一， 如图，其中 a = 4b, 求第一，第二禁带宽度 。
V ( x)
o b
a
2a
3a
x
En = 2 Vn 1 Vn = ∫ V ( x) e a a/2 Eg1 = 2 V 1 1 mW2 2 2 i 2π n x =2 [b x ]e a dx ∫ 4b b 2
固体物理课件——第五章
∵
∴
在低温T下，能受激发的模式数为 每个模式对热能的贡献都是KBT（属于经典激发） 总的热能为
那么低温下热容：
从以上讲述中我们不难看到，固体物理中处 理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用 的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物 理模型处理问题，简单模型包含了复杂问题的关 键所在。因此在处理物理问题时要注意物理模型 的选取，从这个意义上来说，固体物理的发展史 也可以说是物理模型的演变史。
根据前面所得热能和热容表达式：
在低温情况下，即T« θ时，则x» 1， 积分：
xD 0 x3 dx x3 e sx dx x 0 e 1 s 1
0
x 3 e sx dx
s 1
上式中，利用了公式：
多次采用分部积分法：
则低温下的热能为：
低温下的热容：
低温下热容与温度的三次方成正比，这与实 验结果相当一致，主要原因是它的基本假设是长 声学波模型，在低温下只有频率较低的长波模式 才是受热激发的，而频率高的短波模式都已冻结， 在这些模式上布居的声子数很少，用线性色散关 系去处理问题，恰好与实验结果吻合的好，任何 晶体在低温下都可用德拜模型处理。
低温时经典理论不再适用。
§1. 点阵热容 C = dU/dT
吸热 —> 内能增 晶格振动—>可用格波描 述 谐振子 —> 声子数（反映格波的能量）。 反之，系统能量 =“所有格波：对应的能 量（声子数）之和”。(声子数 对应于格波 振幅)
任一格波对应于多个能量值(声子数)：
如何确定该格波所对应的能量值
式中，<n>只与ωs、T有关。(与K无关) ωs是标量。 相同的 ωs，可同时对应多个不同的 k。
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索末菲(A.Sommerfld)的量子自由电子理论
价电子由于受原子实的束缚较弱，而成为能在晶体内部
大
海 自由运动的自由电子。索末菲进一步假定，在自由电子的运 大
道
纳 动过程中，晶格周期场的影响可以忽略，电子间彼此无相互 道
致
百 作用。因此可将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在平 致
川 均势场中运动的单电子问题，在首先求得单电子的能级的基
远
dN
=
2
⎛ ⎜⎝
L 2π
⎞3 ⎟⎠
dk
=
V 4π
3
dk
(5 − 13)
？ 根据泡刺不和容原理，每一个波矢状态只 可以容纳两个自旋方向相反的电子。 海南大学
第
2. 能级密度分布
(1)电子能级密度定义:
lim G (E ) =
ΔZ = dZ
海
ΔE →0 ΔE dE
E + dE ky ds
(5 − 16)
第
第五章 金属电子论基础
在固体材料中，三分之二以上的固态纯元素物质属于金
属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械 海 性能．是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料 大
纳 功能的研究，可以了解金属材料的性质，同时椎动现代固体 道
百 川
理诧的发展。另一方面．对金属材料的了解，也是认识非金 属材料的基础。
道
百
每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：
致
川
2
− ∇ 2ψ (r ) = Eψ (r ) (5 − 4 )
远
2m
E---电子的能量
ψ----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
海南大学
第
ψ (r ) = Ceik⋅r (5 − 5) k
k 波矢，
λ = 2π 为电子的德布罗意波长。 k
海
∫V ψk (r) 2dr=1
E
dk
kx 大
纳 (2)计算:
道
百
波矢 川 密度
两个等能面间 的波矢状态数
两等能面间的 电子状态数
E ~ E + dE 两等能面间的波矢状态数：
能态 致 密度 远
VC
(2 π )3
× (k空间
E
~
E
+
dE两等能面间的体积
)
dZ
=
VC
( 2π )3
× 4π k 2dk
=
VC 2π2
k 2dk
(5 − 14)
0.1nm
川 远
远
ρm是元素的质量密度
rs a0
A是元素的相对原子量 NA阿伏伽德常数
n → 1022 ∼ 1023 cm−3
海
a0
=
4πε 0 me2
2
=
0.529 × 10−10 m
玻尔半径
南大学
rs a0
多数金属在2和3之间，碱金属则在3和6之间。
海南大学
2
第
海 纳 百 川
海南大学
第
5.1.2 单电子本征态
远
础上，利用泡利不相容原理，将N个电子填充到这些能级 远
中，获得N个电子的基态。
忽略电子—原子实相互作用以及电子—电子相互作 用，只考虑一个电子在晶格平均场和其它电子的平均场 中运动的模型是索末菲自由电子气理论的基础。
海南大学
第
1.模型(索末菲) (1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；
(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均
海 势能的势场中运动)；其中，每一个电子所具有的状态就是在 一定深度势讲中运动的位子所具有的能态，称为单电子的本
大
纳 征态；
道
百 (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。
致
川 2.薛定谔方程及其解
远
为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深
度是无限的。每个单电子的波函数满足
⎡ ⎢
−
⎣
2
2m
∇2
+V
V 4π2
⎛ ⎜⎝
2m
2
⎞3/2 ⎟⎠
E 1/2
(5 − 16)
远
由式（5-16）可知，自由电子气体的能 dZ
态密度随能量变化，电子的能级越大，相应 dE
的能态密度也越大。但是，自由电子气体能
态密度随能级的变化不是线性的，而是成抛
物线关系，如图5-2示。
海南大学
E
第
Example 1一维电子的状态密度
海 空间或 k空间。
大
纳
金属中自由电子波矢：
kx
=
2πnx L
,k y
=
2πn y L
,kz
=
2πnz L
道
百
川
由于沿kx轴相邻的两个点之 间的间距均为2π/L，
致 远
(1)在波矢空间每个(波矢)状 态代表点占有的体积为：
Δk
=
Δk x Δk y Δkz
=
(2π )3 Lx Ly Lz
=
8π 3 Vc
nx
( nx
=
0, ±1, ±2,⋅⋅⋅)
(1)
所以两个分立值之间的距离为2Л/L，因此单位长度允
许的状态数目为L/ 2Л 。
海南大学
4
第
而在dk范围内容纳的状态数为
dZ = L dk (2)
2π
海 根据《固体物理学）式（5-7）
纳
E = 2k2 (5 − 7)
2m
百有
川
k = 2mE (3)
⎛ dk = d ⎜⎜⎝
由周期性边界条件：
⎧ψ(x+L, y,z) =ψ(x, y,z)
⎪⎨ψ(x, y+L,z) =ψ(x, y,z) (5−10)
海 ⎪⎩ψ(x, y,z+L) =ψ(x, y,z)
大
纳 一维情况，（5-10）可以写成 ψ ( x + L) =ψ ( x)
道
百 川
又相消当除于了将边L界长的的存金在属。线三首维尾，相电接子形进成入环相，对从表而面即的有对有应限点的。尺寸，致
海南大学
第
教学要求、重点
教学要求：
掌握金属自由电子气体模型。
海 掌握电子比热的量子理论。
大
了解逸出功和接触电势差。 纳 了解电场中的自由电子、光学性质、金属电子组率、霍耳效应 道
百
和金属热导率。
致
川
教学重点：
远
费密能、热容量、接触电势差、电子与声子的相互作
用、金属电导率
教学难点：
玻耳兹曼方程、弛豫时间的统计理论、纯金属电阻率
(r
)⎤⎥ψ
⎦
(r )
=
Eψ
(r )
H = pˆ 2 + V , pˆ = −i ∇ 2m 海南大学
(5 − 3)
第
为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度 是无限的。粒子势能为
海
V ( x, y, z) = 0; 0 < x, y, z < L
大
纳
V ( x, y, z) = ∞ x, y, z ≤ 0,以及x, y, z ≥ L
海南大学
第
(2)忽略电子与电子之间的相互作用。即将金属中的自由
电子看做彼此独立运动的、完全相同的粒子。这一假定称为
独立电子近似。
海
(3) 在外场作用下，金属中自由电子将偏移平衡态进入 大
纳 非平衡态。在对平衡态的偏离较小时，可以认为系统恢复 道
百 平衡状态正比于平均碰撞频率，而平均碰撞频率为
致
川
v
=
2mE
⎞ ⎟⎟⎠
致
有关金属的第一个理论模型，是特鲁特（P.Drude）在 远
1900年提出的经典自由电子气体模型。他将在当时已经非常
成功的气体分子动理论运用于金属，以解释金属电导和热导
的行为。1928年索末菲（A.Sommerfeld）又进一步将费
米-狄拉克统计用于电子气体，发展了量子的自由电子气体
模型，从而克服了经典自由电子气体模型的不足。
设有一个长度为L的一维金属线，它共有N个导电电子，
若把这些导电电子看成是自由电子气，试求：
（1）电子的状态密度；
海 （2）绝对零度下的电子电子费米能级，以及费米能级随温 大
纳 度的变化关系；
道
百 （3）电子的平均能量；
致
川 （）电子的比热。
远
解（1）根据周期性边界条件，波矢k只能取下列分立值
k
=
2π L
⎧ e ik x L = 1
⎪⎪ ⎨
e
ik
Y
L
=
1
⎪
⎧ ⎪
k
x
⎪
=
2πnx L
;
远
⎪ ⎨
k
y
⎪
=
2πny L
;
(5 − 11)
⎪⎩e ik Z L = 1 (其中 nx , n y , nz为整数)
⎪ ⎪⎩
k
z
=
2πnz ; L
海南大学
第
5.1.3 波矢空间 态密度
1.波矢空间
以波矢 k 的三个分量 k x、k y、kz为坐标轴的空间称为波矢
致
中的状况不同.显然，即使我们做上述筒化，面对的依然是一 远
个粒子数为1011～ 1023cm-3的多体问题，与我们研究气体热
学性质时所面对的问题相似。
海南大学
1
第
第
1.自由电子气模型
1897年汤姆逊（Tompson）发现了电子
自由电子气模型：金属中的价电子同气体分子类似，形
价电子由于受原子实的束缚较弱，而成为能在晶体内部
大
海 自由运动的自由电子。索末菲进一步假定，在自由电子的运 大
道
纳 动过程中，晶格周期场的影响可以忽略，电子间彼此无相互 道
致
百 作用。因此可将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在平 致
川 均势场中运动的单电子问题，在首先求得单电子的能级的基
远
dN
=
2
⎛ ⎜⎝
L 2π
⎞3 ⎟⎠
dk
=
V 4π
3
dk
(5 − 13)
？ 根据泡刺不和容原理，每一个波矢状态只 可以容纳两个自旋方向相反的电子。 海南大学
第
2. 能级密度分布
(1)电子能级密度定义:
lim G (E ) =
ΔZ = dZ
海
ΔE →0 ΔE dE
E + dE ky ds
(5 − 16)
第
第五章 金属电子论基础
在固体材料中，三分之二以上的固态纯元素物质属于金
属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械 海 性能．是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料 大
纳 功能的研究，可以了解金属材料的性质，同时椎动现代固体 道
百 川
理诧的发展。另一方面．对金属材料的了解，也是认识非金 属材料的基础。
道
百
每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：
致
川
2
− ∇ 2ψ (r ) = Eψ (r ) (5 − 4 )
远
2m
E---电子的能量
ψ----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
海南大学
第
ψ (r ) = Ceik⋅r (5 − 5) k
k 波矢，
λ = 2π 为电子的德布罗意波长。 k
海
∫V ψk (r) 2dr=1
E
dk
kx 大
纳 (2)计算:
道
百
波矢 川 密度
两个等能面间 的波矢状态数
两等能面间的 电子状态数
E ~ E + dE 两等能面间的波矢状态数：
能态 致 密度 远
VC
(2 π )3
× (k空间
E
~
E
+
dE两等能面间的体积
)
dZ
=
VC
( 2π )3
× 4π k 2dk
=
VC 2π2
k 2dk
(5 − 14)
0.1nm
川 远
远
ρm是元素的质量密度
rs a0
A是元素的相对原子量 NA阿伏伽德常数
n → 1022 ∼ 1023 cm−3
海
a0
=
4πε 0 me2
2
=
0.529 × 10−10 m
玻尔半径
南大学
rs a0
多数金属在2和3之间，碱金属则在3和6之间。
海南大学
2
第
海 纳 百 川
海南大学
第
5.1.2 单电子本征态
远
础上，利用泡利不相容原理，将N个电子填充到这些能级 远
中，获得N个电子的基态。
忽略电子—原子实相互作用以及电子—电子相互作 用，只考虑一个电子在晶格平均场和其它电子的平均场 中运动的模型是索末菲自由电子气理论的基础。
海南大学
第
1.模型(索末菲) (1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；
(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均
海 势能的势场中运动)；其中，每一个电子所具有的状态就是在 一定深度势讲中运动的位子所具有的能态，称为单电子的本
大
纳 征态；
道
百 (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。
致
川 2.薛定谔方程及其解
远
为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深
度是无限的。每个单电子的波函数满足
⎡ ⎢
−
⎣
2
2m
∇2
+V
V 4π2
⎛ ⎜⎝
2m
2
⎞3/2 ⎟⎠
E 1/2
(5 − 16)
远
由式（5-16）可知，自由电子气体的能 dZ
态密度随能量变化，电子的能级越大，相应 dE
的能态密度也越大。但是，自由电子气体能
态密度随能级的变化不是线性的，而是成抛
物线关系，如图5-2示。
海南大学
E
第
Example 1一维电子的状态密度
海 空间或 k空间。
大
纳
金属中自由电子波矢：
kx
=
2πnx L
,k y
=
2πn y L
,kz
=
2πnz L
道
百
川
由于沿kx轴相邻的两个点之 间的间距均为2π/L，
致 远
(1)在波矢空间每个(波矢)状 态代表点占有的体积为：
Δk
=
Δk x Δk y Δkz
=
(2π )3 Lx Ly Lz
=
8π 3 Vc
nx
( nx
=
0, ±1, ±2,⋅⋅⋅)
(1)
所以两个分立值之间的距离为2Л/L，因此单位长度允
许的状态数目为L/ 2Л 。
海南大学
4
第
而在dk范围内容纳的状态数为
dZ = L dk (2)
2π
海 根据《固体物理学）式（5-7）
纳
E = 2k2 (5 − 7)
2m
百有
川
k = 2mE (3)
⎛ dk = d ⎜⎜⎝
由周期性边界条件：
⎧ψ(x+L, y,z) =ψ(x, y,z)
⎪⎨ψ(x, y+L,z) =ψ(x, y,z) (5−10)
海 ⎪⎩ψ(x, y,z+L) =ψ(x, y,z)
大
纳 一维情况，（5-10）可以写成 ψ ( x + L) =ψ ( x)
道
百 川
又相消当除于了将边L界长的的存金在属。线三首维尾，相电接子形进成入环相，对从表而面即的有对有应限点的。尺寸，致
海南大学
第
教学要求、重点
教学要求：
掌握金属自由电子气体模型。
海 掌握电子比热的量子理论。
大
了解逸出功和接触电势差。 纳 了解电场中的自由电子、光学性质、金属电子组率、霍耳效应 道
百
和金属热导率。
致
川
教学重点：
远
费密能、热容量、接触电势差、电子与声子的相互作
用、金属电导率
教学难点：
玻耳兹曼方程、弛豫时间的统计理论、纯金属电阻率
(r
)⎤⎥ψ
⎦
(r )
=
Eψ
(r )
H = pˆ 2 + V , pˆ = −i ∇ 2m 海南大学
(5 − 3)
第
为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度 是无限的。粒子势能为
海
V ( x, y, z) = 0; 0 < x, y, z < L
大
纳
V ( x, y, z) = ∞ x, y, z ≤ 0,以及x, y, z ≥ L
海南大学
第
(2)忽略电子与电子之间的相互作用。即将金属中的自由
电子看做彼此独立运动的、完全相同的粒子。这一假定称为
独立电子近似。
海
(3) 在外场作用下，金属中自由电子将偏移平衡态进入 大
纳 非平衡态。在对平衡态的偏离较小时，可以认为系统恢复 道
百 平衡状态正比于平均碰撞频率，而平均碰撞频率为
致
川
v
=
2mE
⎞ ⎟⎟⎠
致
有关金属的第一个理论模型，是特鲁特（P.Drude）在 远
1900年提出的经典自由电子气体模型。他将在当时已经非常
成功的气体分子动理论运用于金属，以解释金属电导和热导
的行为。1928年索末菲（A.Sommerfeld）又进一步将费
米-狄拉克统计用于电子气体，发展了量子的自由电子气体
模型，从而克服了经典自由电子气体模型的不足。
设有一个长度为L的一维金属线，它共有N个导电电子，
若把这些导电电子看成是自由电子气，试求：
（1）电子的状态密度；
海 （2）绝对零度下的电子电子费米能级，以及费米能级随温 大
纳 度的变化关系；
道
百 （3）电子的平均能量；
致
川 （）电子的比热。
远
解（1）根据周期性边界条件，波矢k只能取下列分立值
k
=
2π L
⎧ e ik x L = 1
⎪⎪ ⎨
e
ik
Y
L
=
1
⎪
⎧ ⎪
k
x
⎪
=
2πnx L
;
远
⎪ ⎨
k
y
⎪
=
2πny L
;
(5 − 11)
⎪⎩e ik Z L = 1 (其中 nx , n y , nz为整数)
⎪ ⎪⎩
k
z
=
2πnz ; L
海南大学
第
5.1.3 波矢空间 态密度
1.波矢空间
以波矢 k 的三个分量 k x、k y、kz为坐标轴的空间称为波矢
致
中的状况不同.显然，即使我们做上述筒化，面对的依然是一 远
个粒子数为1011～ 1023cm-3的多体问题，与我们研究气体热
学性质时所面对的问题相似。
海南大学
1
第
第
1.自由电子气模型
1897年汤姆逊（Tompson）发现了电子
自由电子气模型：金属中的价电子同气体分子类似，形