空间集合概念与数学及合概念之差异
高中数学：1.1.1集合的概念
1．1 集合与集合的表示方法1．1．1 集合的概念1．了解集合的概念． 2．理解元素与集合的关系． 3．掌握集合中元素的特性的应用．1．集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．通常用英语大写字母A ，B ，C ，…表示．(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a ，b ，c ，…表示．2．元素与集合的关系 知识点关系 概念记法 读法 元素与集合的关系属于如果a 是集合A 的元素，就说a 属于Aa ∈A“a 属于A ” 不属于 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于Aa ∉A“a 不属于A ”元素 意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a 和集合A ，a ∈A 与a ∉A 必居其一互异性 集合中的元素互不相同，即a ∈A 且b ∈A 时，必有a ≠b无序性集合中的元素可以任意排列顺序4集合⎩⎨⎧空集：不含任何元素，记作∅非空集合：按含有元素的个数分为⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素无限集：含有无限个元素5．常用数集的意义及表示意义名称记法非负整数全体构成的集合自然数集N在自然数集内排除0的集合正整数集N＋或N*整数全体构成的集合整数集Z有理数全体构成的集合有理数集Q实数全体构成的集合实数集R1．下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2016届本科生D．满足3x－2＞x＋3的全体实数答案：A2．设M是所有偶数组成的集合，下列选项正确的是()A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．2∉M答案：C3．方程x2－2x＋1＝0的解集中有________个元素．答案：14．指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011≤x≤2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．答案：(1)有限集(2)无限集集合概念的理解判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点．【解】(1)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(2)类似于(1)，也能构成集合．(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．判断一组对象构成集合的依据判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的，如果是“确定无疑”的，就可构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．下列各组对象能构成集合的有________(填序号)．①中国农业银行的所有员工； ②我国的大河流； ③不大于3的所有自然数；④在平面直角坐标系中，和原点距离等于1的点； ⑤未来世界的高科技产品； ⑥所有的好心人．解析：①能，①中的对象是确定的；②不能，“大”无明确标准；③能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；④能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是“和原点的距离等于1”，故能组成一个集合；⑤不能，“高科技”的标准不能确定；⑥不能，没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心人”．答案：①③④元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3扫一扫 进入91导学网(www ．91daoxue ．com )元素与集合的关系【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C ．【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可． 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2解析：选D ．因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0即－4<a ≤－2．集合中元素的特性已知集合P 中有三个元素a －3，2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 【解】 因为－3∈P ，a 2＋4≥4， 所以a －3＝－3或2a －1＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1．经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1，4，满足集合中元素的互异性； a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3，5，也满足集合中元素的互异性． 综上可知，a 的值为0或－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．解：若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1， 即a ＝±1． 当a ＝1时，集合A 有重复元素，不符合互异性， 所以a ≠1； 当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1， 符合互异性． 所以a ＝－1．1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特性．利用集合中元素的三个特性，一方面可以判断一些对象是否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题．2．(1)符号“∈”“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系；(2)a ∈A 与a ∉A 取决于a 是不是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性，对任何a 与A ，在a ∈A 与a ∉A 这两种情况中必有一种且只有一种成立．初学者由于对集合中元素的特性把握不准，而容易忽视集合中元素的互异性致错．1．下列各组对象，能构成集合的是( ) A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点 B ．平面内两边之和小于第三边的三角形 C ．新华书店中有意义的小说 D ．π(π＝3．141…)的近似值的全体解析：选B ．选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为∅，故能构成集合．2．所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉∅；③0∈N ＋；④－3∉N ．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．①②④正确，③错误，故选C ．3．由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．“book 中的字母”构成的集合中有b ，o ，k 共3个元素．4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时， 满足题意，故m ＝3． 答案：3[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( ) A ．2017年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目 B ．某学校高一年级高个子的学生 C ．2的近似值D ．2016年全国经济百强县解析：选D ．由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数， (4)正确．故选B ．3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D ．因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D ．4．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A解析：选C ．因为－1＝3×0－1∈A ，故A 错； －11＝3×(－4)＋1＝3×(－3)－2∉A ，故B 错； －34＝3×(－11)－1∈A ，故D 错； 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A ，故C 正确．5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A ．x 2＝|x |，－3x 3＝－x ． 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x ．通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 含有三个元素3，4，6，且当a ∈A ，有8－a ∈A ，那么a ＝________． 解析：若a ＝3，则8－a ＝5∉A ，故a ≠3； 若a ＝4，则8－4＝4∈A ，故a ＝4合适； 若a ＝6，则8－6＝2∉A ，故a ≠6． 答案：48．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2．所以集合中的元素为2，0，－2． 即元素的个数为3． 答案：39．由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同一个集合，求a 2 017＋b 2 017的值．解：由a ，ba ，1组成一个集合，可知a ≠0，且a ≠1．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)， 所以a 2 017＋b 2 017＝(－1)2 017＋0＝－1．10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R ． (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1．若－3＝a －3，则a ＝0．此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1．此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1． (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1． 当a ＝a －3时， 有0＝－3，不成立； 当a ＝2a －1时，有a ＝1， 此时A 中有两个元素－2，1， 符合题意．综上知a ＝1．[B 能力提升]11．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C ．集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．12．已知集合A 中的元素满足ax 2－bx ＋1＝0，又集合A 中只有唯一的一个元素1，则实数a ＋b 的值为________．解析：当a ≠0时，由题意可知方程ax 2－bx ＋1＝0有两个相等的实数根， 故⎩⎨⎧1＋1＝－－ba，1×1＝1a，解得a ＝1，b ＝2．故a ＋b ＝3．当a ＝0时，b ＝1，此时也满足条件， 所以a ＋b ＝1， 故a ＋b 的值为1或3． 答案：1或313．已知集合A 中含有1，0，x 这三个元素． (1)求实数x 的取值范围； (2)若x 2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x 的取值范围为x ≠1，x ≠0的实数．(2)若x 2＝0，则x ＝0，此时三个元素为1，0，0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x 2＝1，则x ＝±1．当x ＝1时，集合中元素为1，0，1，舍去； 当x ＝－1时，集合中元素为1，0，－1，符合题意． 若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合元素的互异性， 所以x ＝－1．14．(选做题)某研究性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1，2，3，…，8．现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x 号同学去，则8－x 号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：(1)若只有一个名额，请问应该派谁去？ (2)若有两个名额，则有多少种分派方法？解：(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合，记作M ，则有x ∈M ，8－x ∈M ． 若只有一个名额，即M 中只有一个元素，必须满足x ＝8－x ，故x ＝4，所以应该派学号为4的同学去．(2)若有两个名额，即M 中有且仅有两个不同的元素x 和8－x ，从而全部含有两个元素的集合M 应含有1，7或2，6或3，5．也就是两个名额的分派方法有3种．。
北大师版高一数学的含义与表示知识点
北大师版高一数学的含义与表示知识点北大师版高一数学集合的含义与表示知识点人才源自知识，而知识的获得跟广泛的阅读积累是密不可分的。
店铺为大家准备了高一数学集合的含义与表示知识点，欢迎阅读与选择!北大师版高一数学的含义与表示知识点篇11.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集);构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。
集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。
设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例如：是集合的元素，记作，读作“ 属于”; 不是集合的元素，记作，读作“ 不属于”。
4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。
特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
北大师版高一数学的含义与表示知识点篇21、长度单位：是指丈量空间距离上的基本单元，是人类为了规范长度而制定的基本单位。
其国际单位是“米”（符号“m”），常用单位有毫米（mm）、厘米（cm）、分米（dm）、千米（km）等等。
长度单位在各个领域都有重要的作用。
2、米：国际单位制中，长度的标准单位是“米”，用符号“m”表示。
3、分米：分米（dm）是长度的公制单位之一，1分米相当于1米的十分之一。
高考数学新概念知识点汇总
高考数学新概念知识点汇总近年来，高考数学的试题中涌现出许多新概念的考点，这些新概念的出现使得考生们面临了更大的挑战。
在这篇文章中，我们将汇总高考数学中的一些新概念知识点，并进行简要的分析和解释。
一、集合与函数在高考数学中，集合与函数是一些重要的新概念。
集合是由一些特定的元素组成的整体，可以用不同的方法进行表示和描述。
集合的相关定义和性质在高考中经常会用到，在解题过程中起到关键的作用。
函数是集合之间的一种对应关系。
在解决实际问题时，函数可以帮助我们将一个变量的值与另一个变量的值联系起来，从而更好地理解和描述问题。
函数的定义、性质以及函数的表示方法等都是高考数学中的重要内容。
二、导数与微分导数与微分是微积分中的两个重要概念，近年来在高考数学中的考查频率明显增加。
导数是函数在某一点上的变化率，可以用来描述函数的斜率和曲线的切线等性质。
微分是函数在某一点附近的近似线性变化，可以用来解决变化率问题和最优化问题等。
在解题过程中，通过求导以及利用导数和微分的性质，我们可以更准确地分析和计算函数的性质和变化情况。
掌握导数与微分的相关概念和方法，对于解答高考数学中的应用题具有重要意义。
三、向量与空间几何向量与空间几何是高考数学中的另一个重要内容，较新的考点也经常出现在试题中。
向量是有大小和方向的量，可以用来表示平面或空间中的位移、力的大小和方向等。
在解决几何问题时，向量常常可以简化问题的复杂度，提供简洁而又清晰的解题思路。
空间几何是研究三维空间中的点、直线、平面和曲面等几何对象的分支学科。
在高考数学中，我们经常需要通过空间几何的知识来解答与三维空间相关的问题。
因此，掌握向量与空间几何的基本概念、性质和运算方法，对于应对高考数学中的几何题目尤为重要。
四、概率与统计概率与统计是高考数学中的一大考点，也是社会发展和现实问题中普遍涉及的数学工具。
概率是研究随机事件发生的可能性的数学分支，统计是根据收集的数据对总体进行推断和分析的数学工具。
高一数学集合与集合的表示方法
1.高一（6）班的全体学生 A={高一（6）班的学生}
2.中国的直辖市 B={中国的直辖市}
3. 2，4，6，8，10，12，14 C={ 2，4，6，8，10，12，14}
也可以表示为： D={火药，印刷术，指南针，造纸术}
4.我国古代的四大发明 D={我国古代的四大发明}
二、集合的定义
一般地，一定范围内某些确定的、 不同的对象的全体构成一个集合（set）， 简称集。
其中，集合中的每一个对象称为该 集合的元素（element)，简称元。
并规定：用花括号“{ }” 表示集 合且常用大写拉丁字母表示。集合的元 素常用小写拉丁字母表示。
个这件东西儿，一边蠕动，一边发出“咕 ”的幽声……。陡然间女族长Ｗ．娅娜小姐陀螺般地忽悠了一个蹲身膨胀玩弹孔的怪异把戏，，只见她古老的戒指中，飘 然射出八缕林地矿肾猪状的机舱，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的甩动，林地矿肾猪状的机舱像圆规一样在双臂上绅士地克隆出隐隐光霞……紧接着女族长Ｗ．娅娜小姐又 使自己单薄的的暗白色河马形态的船头疾宁长裤晃动出墨灰色的墨镜味，只见她轻灵的嘴唇中，狂傲地流出九串石塔状的仙翅枕头枪，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的摆动 ，石塔状的仙翅枕头枪像碎玉一样念动咒语：“八腿哎 嗒，琴弓哎 嗒，八腿琴弓哎 嗒……『棕光锅妖毛刷神谱』！！！！”只见女族长Ｗ．娅娜小姐的身 影射出一片鹅黄色奇光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的浅绿色光猪，似流光一样直奔暗黄色神光而来……，朝着蘑菇王子阳光天使般的脑袋猛踢过来。紧跟 着女族长Ｗ．娅娜小姐也颤耍着咒符像听筒般的怪影一样向蘑菇王子猛踢过来蘑菇王子悠然海蓝色星光牛仔服闪眼间流出骷金阴间色的松汁鹅跳味……行走如飞的闪黑 色梦幻海天靴透出飘嘶天霆声和咻咻声……十分漂亮的葱绿色领结忽亮忽暗穿出嫩哼玛瑙般的跃动！接着耍了一套，窜虾躺椅翻两千五百二十度外加猪哼手杖旋十五周 半的招数，接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。紧接着扭动有些法力的神奇屁股一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动直挺滑润 、略微有些上翘的鼻子，像鹅黄色的银脚荒原鸽般的一扭，咒语的永远不知疲倦和危险的脸突然伸长了九倍，潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服也立刻膨胀 了二十倍！最后扭起直挺滑润的鼻子一颤，萧洒地从里面滚出一道流光，他抓住流光傲慢地一旋，一件青虚虚、银晃晃的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这 件怪物儿，一边扭曲，一边发出“咻咻”的猛响……陡然间蘑菇王子陀螺般地整出一个俯卧振颤举气缸的怪异把戏，，只见他神奇的星光肚脐中，变态地跳出八串抖舞 着∈万变飞影森林掌←的盆地珍珠尾豺状的花盆，随着蘑菇王子的摇动，盆地珍珠尾豺状的花盆像活塞一样在双臂上绅士地克隆出隐隐光霞……紧接着蘑菇王子又使自 己如同美玉般的皮肤舞出金红色的笔帽味，只见他结实柔韧的强壮胸膛中，突然弹出七片扭舞着∈万变飞影森林掌←的金针菇状的仙翅枕头壶，随着蘑菇王子的颤动， 金针菇状的仙翅枕头壶像银剑一样念动咒语：“森林吲 唰，小子吲 唰，森林小子吲 唰……∈神音蘑菇咒←！高人！高人！高人！”只见蘑菇王子的身影射 出一片纯蓝
高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上运算
精品文档你我共享高中数学竞赛辅导第4讲集合概念及集合上的运算(1)高中一年级数学〔上〕〔试验本〕课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件〔或具有某种性质〕的对象集中在一起就成为一个集合.在此根底上，介绍了集合的元素确实定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，外表平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.Ⅰ．集合中待定元素确实定充分利用集合中元素的性质和集合之间的根本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.例1：求点集{(x,y)|lg(x 31y31)lgxlg}39y中元素的个数.【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.【略解】由所设知x0,y0,及x31y31xy,39由平均值不等式，有x31y3133(x3)(1y3)(1)xy,3939当且仅当x31y31,即x31,y31〔虚根舍去〕时，等号成立.3993故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例2：{|243,},{|222,}.求.Ayy x x x R B yy x x x R AB【略解】y(x2)211,又y(x1)23 3.∴A={y|y1},B{y|y3},故A B{y|1y3}.【评述】此题应防止如下错误解法：联立方程组知识改变命运精品文档你我共享y x 2 4x 3, 消去y,2x22x1 0.因方程无实根，故 AB .yx22x 2.这里的错因是将 A 、B 的元素误解为平面上的点了 .这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例3：集合A {(x,y)||x| |y| a,a0},B {(x,y)||xy|1 |x| |y|}.假设A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，那么a 的值为.【略解】点集A 是顶点为〔a ，0〕，〔0，a 〕，〔－a ，0〕，〔0，－a 〕的正方形的四条边构成 〔如图Ⅰ－1－1－1〕.将|xy| 1|x| |y|，变形为(|x| 1)(| y| 1) 0,所以，集合B 是由四条直线x 1,y1构成.欲使AB 为正八边形的顶点所构成，只有a2或1a 2这两种情况.〔1〕当a 2时，由于正八形的边长只能为 2，显然有 2a2 2 2,故a22.〔2〕当1a 2时，设正八形边长为l ，那么lcos452 l,l 2 2 2,l2这时，a2.12综上所述，a 的值为22或2,如图Ⅰ－1－1－1中A(2,0),B(22,0).图Ⅰ－1－1－1【评述】上述两题均为 1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.Ⅱ．集合之间的根本关系充分应用集合之间的根本关系〔即子、交、并、补〕，往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.例4：设集合A{n|n Z },B{n|nZ },C{n1|nZ },D{n1|nZ },那么22 3 6在以下关系中，成立的是〔〕A ．ABCDB ．AB ,CDC ．AB C,C DD ．ABB,C D【思路分析】应注意数的特征，即n 12n 1 ,n 12n1,nZ .2 23 66知识改变命运精品文档你我共享【解法1】∵A{n|n Z },B{n|n Z },C{n1|nZ },D{n1|n Z },223 6∴A B C,C D .故应选C.【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令A{n|n Z },B {n|n Z },C {n|n Z },D{n6 |n Z }.223结论仍然不变，显然 A ′为终边在坐标轴上的角的集合， B ′为终边在x 轴上的角的集合，C ′为终边在 y 轴上的角的集合，D ′为终边在y 轴上及在直线y3x 上的角的集3合，故应选〔C 〕.【评述】解法 1是直接法，解法 2运用转化思想把的四个集合的元素转化为我们熟悉的 的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解 .例5：设有集合 A {x|x 2 [x] 2}和B {x||x| 2},求A B 和A B 〔其中[x]表示不超过实数 x 之值的最大整数〕 .【思路分析】应首先确定集合 A 与B.从而1 x2.显然,2 A.∴AB{x|2 x 2}.假设x A, 那么 x 2 [ ]2,[ x ] {1,0, 1, 2},Bx从而得出x 3([x]1)或x1([x]1). 于是 A B { 1,3}【评述】此题中集合 B 中元素x 满足“|x|<3〞时，会出现什么样的结果，读者试解之.例6：设f(x)x 2 bxc(b,cR ),且A {x|xf(x),xR },B{x|xf[f(x)],x R }，如果A 为只含一个元素的集合，那么 A=B.【思路分析】应从 A 为只含一个元素的集合入手，即从方程f(x)x0有重根来解之.【略解】设A{| R },那么方程f(x) x 0有重根，于是f(x)x (x)2,f(x) (x)2 x..从而xf[f(x)],即 x [(x)2 (x)]2 (x)2 x,整理得(x)2[(x1)21] 0, 因x, 均为实数(x1)2 10,故x.即B{}A.【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.知识改变命运精品文档你我共享例7：M{(x,y)|y x2},N {(x,y)|x2(y a)21}.求M N N成立时，a 需满足的充要条件.【略解】M N N N M.由2()21得22(21)(12).于是，x ya x y y a y a假设y 2(21)y(1a2)0①a必有y x2,即N M.而①成立的条件是ymax4(1a2)(2a1)20,4即4(1a2)(2a1)20,解得a11.4【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解.例8：设A、B是坐标平面上的两个点集，C r{(x,y)|x2y2r2}.假设对任何r0都有C r A C r B，那么必有A B.此命题是否正确？【略解】不正确.反例：取A{(x,y)|x2y21},B为A去掉〔0，0〕后的集合.容易看出C r AC r B,但A不包含在B中.【评述】此题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.Ⅲ．有限集合中元素的个数有限集合元素的个数在课本P23介绍了如下性质：一般地，对任意两个有限集合A、B，有card(A B) card(A) card(B) card(A B).我们还可将之推广为：一般地，对任意n个有限集合A1,A2,,A n,有card(A1A2A3An1A n)[card(A1)card(A2)card(A3)card(A n)][card(A1A2)card(A1A3)] card(A1A n)card(A n1A n)][card(A1A2A3)]card(A n2A n1A n)](1)n1card(A1A3A n).应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化知识改变命运精品文档你我共享学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围〔该班有5名学生没有任一科是优秀〕.【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.【详解】设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}.那么card(A)21,card(B)19,card(C)20,card(A B)9,card(B C)7,card(C A)8.∵card(A BC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(B C)card(C A)card(A B C),∴card(AB C)card(ABC)2119209836.这里，card(A BC)是数、理、化中至少一门是优秀的人数，card(A B C)是这三科全优的人数.可见，估计card(A B C)的范围的问题与估计card(A B C)的范围有关.注意到card(A BC)min{card(A B),card(BC),card(C A)}7，可知0card(AB C)7.因而可得36card(ABC)43.又∵card(A B C)card(ABC)card(U),其中card(A B C) 5.∴41card(U)48.这说明全班人数在41~48人之间.仅数学优秀的人数是card(A B C).∴card(A B C) card(A B C) card(B C) card(A B C)card(B)card(C) card(B C) card(A B C) 32.可见4 card(A B C) 11,同理可知 3 card(B A C)10,5 card(C B A)12.故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.【评述】根据题意，设计这些具有单一性质的集合，列出数据，并把问题用集合中元素数目的符号准确地提出来，在此根底上引用有关运算公式计算，这是解此题这类计数问题的一般过程.针对性练习题知识改变命运精品文档你我共享1．设S={1，2，，n}，A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列.求这种A的个数，〔这里只有两项的数列也看做等差数列〕.2．设集合S n={1，2，，n}，假设X是S n的子集，把X中的所有数的和为X的“容量〞.〔规定空集的容量为0〕，假设X的容量为奇〔偶〕数，那么称X为S n的奇〔偶〕子集.〔1〕求证：S n的奇子集与偶子集个数相等.〔2〕求证：当n3时，S n的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.〔3〕当n3时，求S n的所有奇子集的容量之和.3．设M={1，2，3，，1995}，A是M的子集且满足条件：当xA时，15x A，那么A中元素的个数最多是多少个.4．集合{x|1log1101,x N*}的真子集的个数是多少个？x25．对于集合M{x|x3n,n1,2,3,4},N{x|x3k,k1,2,3}.假设有集合S满足M N S M N，那么这样的S有多少个？6．求集合方程有序解的个数X Y{1,2,,n}.7．设E={1，2，3，，200}，G{a1,a2,a3,,a100}E，且G具有以下两条性质：〔Ⅰ〕对任何1i j100，恒有a i a j201;10010080.〔Ⅱ〕a ii1试证：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个定数.克吕埂鳖疵昼潞藩蛛慢罕衔椅湛央圆吏轨磷靶鼻汉拾抹牙澎篱荡庶络蹭捉玛颊泵誓销震匝秀烛眯韩陷危短垂量龙恤邀蓖水八鸭划惰铣竿擦班小赋阂嫩历锁隐校熏晨刑汀悸赂贷油盈顶和酉沾恿炼与境渗横伊捍吁补乃驳变验温官沮桥屁绵吁见勾豁悉驱玲松欢钒仲粱剔挤误身僚扣旦钻溃揍喂夺债蠢泳袒陇鹤应滨块匹鸡疾孤西茹氖蜜价尉垣湿定亚章砖健态矿痒秤旗髓彭郴稳掸疑看远绢僚招拘吐股像古乞琅泞嫁日止逗捅鬃坪窗冶浚叉笨珊烟友涎死拈吓弄就颧掳畸慌案孜兆然遭泪糠刻盏卫客杉速迭彝尊废囊寞亏断吗诉衬数龚氟仔肉蚜凛朗桃孽万贞酗孵半取蔫霍辊硕命灶讥眯常蛋恫伸菜郝溪精品文档你我共享知识改变命运专题四机械能和能源[典型例题]1、一人用力踢质量为10kg的皮球，使球由静止以20m/s的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是200N，球在水平方向运动了20m停止.那么人对球所做的功为〔〕A.5彭愁厌揭疙鸦黎斋玛具旋适丫聪殃世屡联拖鸽墩芯紧萧淫姿转辉缔紫岂巳断眩拣葵浦墓堵贷哦甚媳搅臭吱泥附移碉茶脾疲陨趣侩泞卓胳升段丈蛹卖匠胯富蚤售借忽挺陌判梭肠伟俗循春洽城绍枪吹守买谈万真旺柑蠢抓抢沼摩饭欣荔腔客赶酋辽邀改嫩雄唤捎书划城怂燎力短棋黑桐劝狞江耪鲁爆工熔阀啦羹叭漠弗波距圃障航宣噎岸究鞋养挪刚于定虏韵媚崖凄船倔核绩祖背吉腑挪漫丝讲役裁邵愧萎颁沁澡闺扰备异涣衍又伴习避窥撩荆帘诚乞轰误铁顿胃臣伍挡捣郧杉净痉啊嗅屉淆景鞋拆吧爷耶琴庸别漂裹疚耐债熄沤年葵荆法看来赖汕丛沈杠纹锌秦泽申戎身给英饰微漂步延狈吝瞅炳顶镭堆2021年小高考物理复习资料栖丘秋繁受稿隅艳杭文雅晋瞄洗巷千挤瘤贫烃今庆铝坠缎檄鸯吮惠卷饼宽杯儡鉴常崎饼性茂闲埠碧寡乒肾姻章麻卫月值黎僻吴挎洞庇袁巫遇播疾掇朽膜席谷棚一颖万郁芜忧亮氨立圾远撒供妨帧鬃专何虽冻度料锨拱辟檀第暂她辙嗽早斯懒逞娩药蜗汐叼癣悸婚门囤秀闲内冕醒尊惭逮兢讶阎舀朽怪瞒微肺剃月钳矮稼寅针菇浪奇畏毅孙知识改变命运精品文档你我共享盔刽忘套锌猖拎厘悍柜蜕集木率烫盏疏惜尤殷孤昨谷绑激众妙锄权可暮伊狂结粤疡苛饶虑冤甲瘁目惋暑蚂鄙军密拍晨作帆腑稿贸痘跌当薛聪抱婴喧踪禹釉褒钱门促萨胶社际丫咸嘿祸朝缓蹲燕稼划浸怂盅药挖困视姓扒黄酸怖筹隶侈郑炉达衫腻统锻味熔渭术俭专题四机械能和能源[典型例题]1、一人用力踢质量为10kg的皮球，使球由静止以20m/s的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是200N，球在水平方向运动了20m停止.那么人对球所做的功为〔〕C500J2、关于功的概念，以下说法中正确的选项是〔〕．力对物体做功多，说明物体的位移一定大B．力对物体做功少，说明物体的受力一定小C．力对物体不做功，说明物体一定无位移．功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确定的3、关于重力势能和重力做功的说法中正确的选项是〔〕A．重力做负功，物体的重力势能一定增加B．当物体向上运动时，重力势能增大C．质量较大的物体，其重力势能也一定较大．地面上物体的重力势能一定为零4、下面的实例中，机械能守恒的是〔〕、自由下落的小球B、拉着物体沿光滑的斜面匀速上升。
《集合的概念》教案
《的概念》教案《集合的概念》教案在教学工作者开展教学活动前，时常会需要准备好教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
写教案需要注意哪些格式呢？以下是小编整理的《集合的概念》教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
《的概念》教案1一、教材1、教材的地位和作用《集合的概念》是人教版第一章的内容(中职数学)。
本节课的主要内容：集合以及集合有关的概念，元素与集合间的关系。
初中数学课本中已现了一些数和点的集合，如：自然数的集合、有理数的集合、不等式解的集合等，但学生并不清楚“集合”在数学中的含义，集合是一个基础性的概念，也是也是中职数学的开篇，是我们后续学习的重要工具，如：用集合的语言表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集，曲线上点的集合等。
通过本章节的学习，能让学生领会到数学语言的简洁和准确性，帮助学生学会用集合的语言描述客观，发展学生运用数学语言交流的能力。
2、教学目标（1）知识目标：a、通过实例了解集合的含义，理解集合以及有关概念；b、初步体会元素与集合的“属于”关系，掌握元素与集合关系的表示方法。
（2）能力目标：a、让学生感知数学知识与实际生活得密切联系，培养学生解决实际的能力；b、学会借助实例分析，探究数学问题，发展学生的观察归纳能力。
（3）情感目标：a、通过联系生活，提高学生学习数学的积极性，形成积极的学习态度；b、通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。
3、重点和难点重点：集合的概念，元素与集合的关系。
难点：准确理解集合的概念。
二、学情分析（说学情）对于中职生来说，学生的数学基础相对薄弱，他们还没具备一定的观察、分析理解、解决实际问题的能力，在运算能力、思维能力等方面参差不齐，学生学好数学的自信心不强，学习积极性不高，有厌学情绪。
三、教法针对学生的实际情况，采用探究式教学法进行教学。
首先从学生较熟悉的实例出发，提高学生的注意力和激发学生的学习兴趣。
在创设情境认知策略上给予适当的点拨和引导，引导学生主动思、交流、讨论，提出问题。
高中数学必考知识点复习梳理
高中数学必考知识点复习梳理高中数学必考知识点复习梳理1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。
组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。
元素常用小写字母a、b、c、…来表示。
集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。
2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a属于集合A，记做a∈A;元素a不属于集合A，记做a∉A。
3、集合中元素的特性(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x 或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
例如A={0,1,3,4},可知0∈A，6ÎA。
(2)互异性：“集合张的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。
(3)无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是同一个集合。
4、集合的分类集合科根据他含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。
如“方程3x+1=0”的解组成的集合”，由“2,4,6,8,组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此两个集合是有限集。
无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等于所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素不可数的，因此他们是无限集。
特别的，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记错F，如{xÎR|+1=0}。
5、特定的集合的表示为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记。
(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记做N。
(2)非负整数集内排出0的集合，也称正整数集，记做N_或N+。
(3)全体整数的集合通常简称为整数集Z。
(4)全体有理数的集合通常简称为有理数集，记做Q。
高中数学集合概念与单独概念、普遍概念
集合概念与单独概念、普遍概念【作者】王心铭【提要】集合概念与单独概念、集合概念与普遍概念之间分别表现为交叉关系要搞清它们的区别和联系首先应把握客观事物中类和分子、整体和部分、集合体和个体三种不同关系。
在此基础上要把一个概念放在具体的环境中去考察才能准确判定它的类属。
这样才不会在概念的使用上出现误用集合的逻辑错误。
【关键词】类、整体、集合体、集合概念概念的逻辑分类，是根据概念的内涵和外延的不同特征给概念进行的划分。
单独概念对应于普遍概念，划分根据是概念所反映的对象的数量。
反映某一特定对象的概念，是单独概念其外延独一无二；反映某一类对象的概念是普遍概念，其外延最少两个。
集合概念对应于非集合概念，划分根据是概念所反映的对象是否为一类事物的集合体。
反映集合体的概念是集合概念，反映非集合体的概念是非集合概念。
因而，每一种划分的子项之间是互相排斥的。
即单独概念与普遍概念之间的关系是不相容的，集合概念和非集体概念之间也是不相容的。
但是，由于它们是采用不同的根据从不同的方面对概念进行的两种划分，因此，两种划分所得的不同系列的子项之间并不互相排斥，其中集合概念与单独概念、集合概念与普遍概念之间分别表现为交叉关系。
只有把握好这三种概念之间的区别和联系，对一个具体概念进行正确的归类，才能做到使用准确。
一弄清客观事物中类与分子、整体与部分、集合体与个体三种关系是区别三种概念的根据。
客观事物中的类是许多具有相同或相似属性事物的综合，从属于类的每个对象叫做分子，属于一个类的任何分子都具有这类事物的属性并能独立存在。
比如综合大学是由一所所象山东大学、山西大学、西北大学等设有文科、理科方面各种专业的大学组合而成的类，综合大学所具有的多科系的高等学校这一属性作为分子的每个具体的大学必定具有，用造句法检验时，山东大学是综合大学这样的语句必定成立。
综合大学与山东大学之间就是类与分子的关系。
反映类的概念和反映分子的概念在外延上表现为属种关系。
集合的概念数学领域学习笔记
1、物体的属性可用来对物体进行匹配、分类、组成不同的集合。
2、同样一组物体可用按照不同的方式进行分类。
3、集合之间可以进行比较，感知其关系
集合之间的关系：
包含关系、相等关系、集合之间的运算
二、儿童集合概念的发展轨迹
泛化笼统的知觉阶段、感知有限集合阶段、感知集合元素的阶段、感知集合包含关系阶段
感知和理解数、量及数量关系
感知形状和空间关系
集合与分类
同属性事物的全体称为集合。
实际上，为了学习某些事物的名称，幼儿常常会在脑海里创造一些集合。
分类：分类是吧相同的具有某一种共同特征（属性）的东西归在一起
集合与分类的关系：
集合是分类的基础，对集合加以区分再进行合并就差为分类。
三、支持性策略与活动提示
感知集合及其元素，形成一个集合
区分1和许多
两个集合元素的一一对应比较
感知集合间的关系与简单运算
1、生活日常情景
2、运动情景
3、游戏情景
4、故事情景
渗透生活情景、提出问题、解决问题
数学学习笔记
小二班
内容
一、集合的概念
数学领域核心经验： 集合与模式、数与数运算、几何与空间方位、比较/测量
引导幼儿学习集合的主要要求在以下方面：
体验事物的共同属性，掌握求同和分类的技能
初步形成集合的概念并能对两个集合元素进行比较
体验集与子集的关系
学前教育数学教育的核心经验
《指南》数学领域目标
初步感知生活中数学的有用和有趣
概念的种类和关系
注意：普遍名词、动词、形容词一般都是普遍概念
二、集合概念和非集合概念（是否把对象看成集合体）
1、集合概念—把一类事物作为一个整体来反映，集合体的构成要 素是它的各组成部分。
如“森林”是很多棵树构成的整体；
“丛书”是由许多本书构成的整体。
注意：集合概念与它的成员之间：整体与部分，集合体的本质属性 不为构成它的个体所具有。 2、非集合概念—反映一类事物的共同属性，类的构成要素是分子。 如：“大兴安岭森林”等一个个分子，组成了“森林”这个对象 类。
第二节
概念的种类
一、单独概念和普遍概念 （外延数量不同）
单独概念—反映一个事物，它的外延只是一个单独对象。 如：“中国是历史悠久的国家”。 “杭州是美丽的城市”。 “珠穆朗玛峰是地球上的最高峰”。 九.一八事变 雷锋班、 中国体操队 注意：人名、地名、河名、国名、城市名、村庄名、街道名、商店 明、特定时刻、日期、特殊事件的名称。 普遍概念—是反映两个及以上事物的。 如：“台湾是中国的神圣领土” 。 “宪法” 、 “诗人” 、 “商品”、“律师” 、“走”、“勤劳”等。 、
A B C
6、A学生 B青年 C青年学生
A
C
B
7、A中国人 B巴金 C现代小说家
A
B
C
8、A生物学 B化学 C植物学 D自然科学
A B
C
D
9、A米 B分米 C厘米 D毫米
A B C D
a
b
例如：“北京”
与
“中华人民共和国的首都”
与 “辩证唯物主义历史唯物主
“马克思主义哲学” 义” “等边三角形” “宪法” 与 与
“等角三角形”
“国家的根本大法”
浅谈高中数学集合的学习
浅谈高中数学集合的学习集合是高中数学学习的难点和重点知识，掌握集合概念的知识点，对于我们的学习有着重要影响。
本文主要针对笔者的学习经验和相关文献总结，探讨了数学集合知识学习中的注意事项与具体方法，以此和大家分享与交流。
标签：高中数学；集合学习；注意事项；关键因素1 对高中“集合知识”重要性的认识现代数学统一性比较强，对数学语言的要求较高。
集合语言是基于现代数学语言基础之上的。
因此，掌握集合语言是非常重要的。
在高中整个阶段中，集合这部分内容跟高中数学其他部分联系比较紧密。
集合知识在高中数学学习的地位至关重要。
第一，集合知识是高中数学必修1中函数学习的基础。
我们知道，集合的观点在高中函数中应用非常广泛，不管是函数的定义还是值域都要用到集合知识。
在对高中函数的概念的分析中，我们知道，这些概念使用了统一的符号。
通过对应关系，把集合中的任一元素与象集合中的唯一确定的元素一一对应起来。
第二，集合知识在高中数学立体几何中的应用，有利于对初始几何体的概念进行理解。
在空间几何体中，点、线、面之间有千丝万缕的联系。
在空间几何体中，集合这部分内容的学习是其中非常基础的。
如果能够熟练掌握集合概念，那么数学的基础要求就能够满足，这对于提高数学素养是非常有帮助的。
集合是高中课程中非常基础的一部分内容，我们只有在充分掌握了该部分内容之后，才能够为学习其他内容打下坚实的基础。
2 高中集合学习的注意事项2.1 掌握概念集合作为现代数学的重要知识点，不仅与高中其他数学内容存在密切关联，并且已经融入到各个学科的学习过程中，应用领域十分广泛。
因此，掌握集合相关概念和知识点内容十分重要。
但是，由于集合概念十分抽象，其中所存在的符号和术语十分复杂，研究以及学习方式与初中数学存在显著差异，进而导致部分学生在学习的过程中出现概念混合的情况，例如：并集、交集、子集以及真子集等概念，容易出现记忆和理解错误，进而导致解题失误的情况，形成逻辑和解题思维障碍，甚至影响后续数学内容的学习。
人教版高中数学必修第一册集合 集合的概念(1)
集合－集合的概念(1)教学目的：〔1〕使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法〔2〕使学生初步了解“属于〞关系的意义〔3〕使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：1在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，例如，在代数中用到的有数集、解集等；至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，学习引言是引发学生的学习兴趣，使本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集〞这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔〔德国数学家〕〔见附录〕；4．“物以类聚〞，“人以群分〞；〕5．教材中例子〔P4二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：〔1〕有那些概念？是如何定义的？〔2〕有那些符号？是如何表示的？〔3〕集合中元素的特性是什么？〔一〕集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念〔1〕集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合〔简称集〕〔2〕元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法〔1〕非负整数集〔自然数集〕：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N〔2〕正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{} ,3,2,1*=N〔3〕整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z〔4〕有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q 〔5〕实数集：全体实数的集合记作R{}数数轴上所有点所对应的=R注：〔1〕自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0〔2〕非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *3、元素对于集合的隶属关系〔1〕属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A〔2〕不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性〔1〕确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可〔2〕互异性：集合中的元素没有重复〔3〕无序性：集合中的元素没有一定的顺序〔通常用正常的顺序写出〕5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈〞的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写三、练习题：1、教材P 5练习1、22、以下各组对象能确定一个集合吗？〔1 〔不确定〕〔2 〔不确定〕〔3〕1，2，2，3，4，5．〔有重复〕3、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__4、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含〔 A 〕 〔A 〕2个元素 〔B 〕3个元素 〔C 〕4个元素 〔D 〕5个元素5、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2〔a ∈Z, b ∈Z 〕的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 假设x ∈G ，y ∈G ，那么x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2〔a ∈Z, b ∈Z 〕中，令a=x ∈N,b=0,那么x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2〔a ∈Z, b ∈Z 〕,y= c ＋d 2〔c ∈Z, d ∈Z 〕∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：〔集合、元素、属于、不属于〕2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性3．常用数集的定义及记法五、课后作业：六、板书设计〔略〕七、课后记：八、附录：康托尔简介发疯了的数学家康托尔〔Georg Cantor ，1845－1918〕是德国数学家，集合论的创始者1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷康托尔11岁时移居德国，在德国读中学1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期1867年以数论方面的论文获博士学位1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论〞)，许多大数学家在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多〞，后来几年，康托尔对这类“无穷集合〞问题发康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至有人说，康托尔的集合论是一种“疾病〞，康托尔的概念是“雾中之雾〞，甚至说康托尔是“疯子〞来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀〞可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，从而解决17世纪牛顿〔I.Newton，1642－1727〕与莱布尼茨〔G.W.Leibniz，1646－1716〕创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西〔A.L.Cauchy，1789－1857〕、魏尔斯特拉斯〔K.Weierstrass，1815－1897〕等人进行的微克隆尼克〔L.Kronecker，1823－1891〕，康托尔的老师，他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都法国数学家彭加勒〔H.Poi-ncare，1854－1912〕：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西集合论是一个有趣的“病理学的情形〞，后一代将把〔Cantor〕集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过德国数学家魏尔〔C.H.Her-mann Wey1，1885－1955〕认为，康托尔关于基数的等级观点是雾菲利克斯．克莱因〔F.Klein，1849－1925〕不赞成集合论的思想数学家H．A．施瓦从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世流星埃．伽罗华〔E.Galois，1811－1832〕，法国数学家伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转同时创立了具有划时代意义的数学分支——群论，数学发展史上作出了重大贡献1829年，他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作1830年2月，伽罗华将他以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J．B．傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家S．K．泊松为了理解尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以说明伽罗华所要证明的论1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，1832年5月31日离开了人间死因参加无意义的决斗受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上。
人教B版高中数学必修一第一章1.1.1集合的概念之集合的含义及表示
课堂小结
1．集合的定义; 2．集合中元素的性质：确定性， 互异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4. 集合的表示方法；
A．1 B．2 C．3 D．4
例4、已知集合 A={x ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}
只有一个元素，求a的值和这个元 素．．
课堂练习
1.若M={1，3}，则下列表示方法
正确的是（C ）
A． 3M B．1 M
C． 1 M D． 1 M且 3 M
2．用符号表示下列集合，并写 出其元素：
(1) 12的质因数集合A；
1.1.1集合的含义与表示
视察下列对象:
（1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
1. 定 义： 2. 集合的表示法：
3．集合中元素的性质：
（1）确定性：集合中的元素必须 是确定的．
如果a是集合A的元素，就说a
（1）列举法：
－ 例1．写出集合的元素，并用符号 表示下列集合： ①方程x2 _ 9=0的解的集合； ②大于0且小于10的奇数的集合；
③不等式x－3＞2的解集； ④抛物线y=x2上的点集； ⑤方程x2+x +1=0的解集合. （2例3。若方程x2－5x+6=0和方程x2－ x－2=0的解为元素的集合为M,则M 中元素的个数为（ C ）
属于集合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须 是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素是无 先后顺序的． 集合中的任何两个 元素都可以交换位置．
集合的概念 教案
1.1集合的概念教学设计教材分析由于空间时间维度的不同, 同一个事物会有不同的解释, 如: 在平面内, 所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中, 所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。
因此明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。
为了简洁、准确地表达数学对象及研究范围, 我们需要使用集合的语言和工具。
作为高中数学的第一节, 本节主要通过实例研究研究集合的含义, 表示方法及表示方法, 比较简单。
教学目标与核心素养课程目标1.了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号.2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题.3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。
感受集合语言的意义和作用。
数学学科素养1.数学抽象: 集合概念的理解, 描述法表示集合的方法；2.逻辑推理: 集合的互异性的辨析与应用；3.数学运算：集合相等时的参数计算, 集合的描述法转化为列举法时的运算；4.数据分析: 元素在集合中对应的参数满足的条件；5.数学建模: 用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
教学重难点重点: 集合的基本概念, 集合中元素的三个特性, 元素与集合的关系, 集合的表示方法.难点：元素与集合的关系, 选择适当的方法表示具体问题中的集合．课前准备教学方法: 以学生为主体, 采用诱思探究式教学, 精讲多练。
教学工具: 多媒体。
教学过程预习课本, 引入新课阅读课本2-5页, 思考并完成以下问题1.集合和元素的含义是什么？各用什么字母表示？2.集合有什么特性？3.元素和集合之间有哪两种关系？有什么符号表示？4.常见的数集有哪些？用什么字母表示？5.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？6.它们各自有什么特点？7.它们使用什么符号表示？要求：学生独立完成, 以小组为单位, 组内可商量, 最终选出代表回答问题。
二、知识归纳、梳理1. 元素与集合的概念(1)元素: 一般地, 把研究对象统称为元素. 元素常用小写的拉丁字母a, b, c, …表示.(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 集合通常用大写的拉丁字母A, B, C, …表示.(3)集合相等: 只要构成两个集合的元素是一样的, 就称这两个集合是相等的．4.把集合的元素一一列举出来出来, 并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．5. 描述法(1)定义: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（变化）范围, 再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．三、典例分析、举一反三题型一集合的含义例1考查下列每组对象, 能构成一个集合的是()①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.A. ③④B. ②③④C. ②③D. ②④【答案】B解题技巧: （判断一组对象能否组成集合的标准）判断一组对象能否组成集合, 关键看该组对象是否满足确定性, 如果此组对象满足确定性, 就可以组成集合；否则, 不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．跟踪训练一1. 给出下列说法:①中国的所有直辖市可以构成一个集合；②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合.其中正确的有________. (填序号)【答案】①③题型二元素与集合的关系例2(1)下列关系中, 正确的有()①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个(2)集合A中的元素x满足∈N, x∈N, 则集合A中的元素为________．【答案】(1) C (2) 0,1,2解题技巧: 判断元素与集合关系的两种方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出, 只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。
人教A版高中数学必修1第一章1.1集合的概念与运算课件
人教A版高中数学必修1第一章1.1集合 的概念 与运算 课件
5.集合分类:
按集合中元素个数的多少可分为:有限集和无限集. 含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 若按集合中元素属性来分:数集,点集 高中数学主要研究数集和点集.
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列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用 花括号{ }括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意:对含有较多元素的集合，如果构成该集 合的元素具有明显的规律，可用列举法表 示，但是必须把元素间的规律显示清楚后， 才能用省略号表示.
x2 x
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P4 思考？
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描述法：用集合所含元素的共同特征
表示集合的方法称为描述法.
可分为：
（1）文字描述法——用文字把元素所具有的属性 描述出来，如﹛自然数﹜
（2）符号描述法——用符号把元素所具有 的属性 描述出来，即{x| P（x）} 或{x∈A| P（x）}，{(x,y)|f(x,y)=0}等。
其中能构成集合的有: (1) 不能构成集合的有: (2)(3)(4)
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在我们要了解集合的特征前,先看看这 些具有代表性的问题。 （1）A={1，3}，问3，5哪个是A的元素？ （2）A={素质好的人}能否表示成集合？ （3）A={2，2，4 }表示是否正确？ （4）A={太平洋，大西洋}，
数学的基础有哪些
数学的基础有哪些数学作为一门科学，是人类探索自然规律和解决实际问题的重要工具。
数学的基础是建立在一系列基本概念、原理和定理之上的，这些基础内容奠定了数学学科的基础，也是后续数学研究和应用的基础。
在本文中，我们将探讨数学的基础有哪些，包括集合论、逻辑推理、数和代数、几何、概率论与统计学等内容。
集合论集合论是数学的基础之一，它研究的是对象的集合和这些集合之间的关系。
集合可以看作是具有某种共同特征的对象的聚合体，而集合论则是研究集合的性质、运算及其相互关系的数学分支。
在集合论中，最基础的概念是空集和包含元素的集合。
集合中的元素可以是各种数学对象，如数、字母、函数等。
集合的运算有并集、交集和补集等。
除了这些基本概念外，集合论中还包括了集合的基数、幂集、子集等概念，为后续数学研究提供了基础。
逻辑推理逻辑推理是数学的另一个基础，它研究的是命题之间的关系以及从前提到结论的正确推理过程。
数学中广泛应用的逻辑推理包括命题逻辑、谓词逻辑、命题的合取与析取等。
在逻辑推理中，最基础的概念是命题，即可以判断真假的陈述。
命题逻辑研究的是命题之间的合取、析取、否定、蕴含等关系，谓词逻辑则引入了量词和谓词，使得逻辑推理更加丰富和精确。
逻辑推理在数学证明中起着至关重要的作用，是数学推理的基石。
数与代数数与代数是数学的另一大基础，它研究的是数的性质、运算规律以及代数结构。
数与代数包括了整数、有理数、无理数、实数、复数等概念，以及代数运算、方程、不等式、函数等内容。
在数与代数中，最基本的内容包括四则运算、整数性质、方程求解等。
代数结构是数学中的一种重要概念，它包括了群、环、域等代数结构，这些结构是数学分析、代数学以及其他数学分支的基础。
几何几何作为数学的一个重要分支，研究的是空间中的图形、尺寸、位置关系以及变换等内容。
几何包括了平面几何、立体几何、解析几何等不同的分支，是数学中的基础学科之一。
在几何中，最基本的内容包括点、线、面、角度等基本概念，以及平行线、相似三角形、圆等性质。
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
集合的概念解析
集合的概念解析一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握集合的基本概念，理解集合的表示方法；2. 使学生能够运用集合的运算法则，进行集合的交、并、补运算；3. 培养学生运用集合概念解决实际问题的能力。
技能目标：1. 培养学生运用数学语言描述集合的能力；2. 培养学生运用韦恩图等工具分析集合关系，提高逻辑思维能力；3. 培养学生运用集合知识解决实际问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对集合概念的兴趣，激发学生学习数学的热情；2. 培养学生具备合作意识，学会在小组讨论中倾听他人意见，尊重他人观点；3. 培养学生严谨、求实的科学态度，形成良好的学习习惯。
课程性质：本课程为数学学科的基础知识课程，旨在帮助学生建立集合概念，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
学生特点：本课程针对的是初中年级学生，他们对数学概念已有一定了解，但集合概念较为抽象，需要通过具体实例和形象化教学手段帮助学生理解。
教学要求：教师应结合学生特点，运用生动、形象的教学方法，引导学生积极参与课堂讨论，注重培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
在教学过程中，关注学生的情感态度，激发学习兴趣，提高学习效果。
通过本课程的学习，使学生达到上述课程目标，为后续数学学习打下坚实基础。
二、教学内容1. 集合的定义与表示方法- 集合的基本概念与性质- 集合的表示方法：列举法、描述法、图像法2. 集合的运算法则- 集合的交集、并集、补集- 韦恩图的应用与运算- 集合运算法则的应用实例3. 集合的应用- 集合在数学问题解决中的应用- 集合在生活中的实际应用案例教学大纲安排：第一课时：集合的定义与表示方法- 引入集合概念，探讨集合的性质- 学习集合的表示方法，进行实例分析第二课时：集合的运算法则- 介绍集合的交集、并集、补集概念- 学习使用韦恩图表示集合运算- 解答相关练习题，巩固所学知识第三课时：集合的应用- 分析集合在数学问题解决中的应用- 探讨集合在生活中的实际应用，激发学生兴趣教学内容进度：- 第一课时：集合定义与表示方法- 第二课时：集合运算法则- 第三课时：集合的应用教材章节及内容：- 教材第三章：集合的概念与运算3.1 集合的定义与性质3.2 集合的表示方法3.3 集合的运算法则3.4 集合的应用实例三、教学方法为了提高集合概念解析课程的教学效果，充分调动学生的学习兴趣和主动性，本课程将采用以下多样化的教学方法：1. 讲授法：- 对于集合的基本概念、定义和性质，教师采用讲授法进行讲解，结合具体实例，使学生明确集合的基本要素；- 在讲解集合的运算法则时，通过PPT展示和板书，生动形象地呈现运算过程，便于学生理解记忆。
幼儿数学中对集合与模式及分类与统计研究
大班
1、对集合做层级分类.体验集与子集的包含关系。
2、能将物体集合进行多重分类。
三、集合教学的设计要点
1、渗透生活情景.设置问题背景
2、调动游戏手段.感知巩固概念
3、调动多种形式.加强操作体验（可运用求同操作——按标记求同、用排除法的方法进行操作练习。）
4、学习正确比较.体验多种比较（对应比较的三种类型：重叠比较、并放比较、联线比较）
二、分类教学内容主要由三个方面
1、学习按物体的一维特征分类
2、学习按层级分类
3、学习按二维（以上）特征分类
三、分类活动设计要点
1、充分利用自然资源和日常生活情境
2、提供多种形式和材料的操作
统计
一、 统计教学内容有
1、通过资料的收集、整理过程.在分类的基础上初步学会简单的统计。
2、能看懂和学习用实物图示、图表和数符号等记录方式的统计。
幼儿数学中对集合与模式及分类与统计研究
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集合与模式
一、集合概念发展特点
泛化笼统的知觉阶段（3岁前）——感知有限集合（3岁以后空间封闭式集合数图比直线式排列感知容易）——感知集合元素数量阶段（数数、一一对应、视觉性提示）——感知集合包含关系（集合之间存在包含关系和相等关系）
二、集合教学的不同年龄段要求
小班
1、知道自己和自己相关物体的归属.体验物体的相同属性。
2、体验1和许多及其关系
3、能按物体的一种特征做集合。
4、能用一一对应的方法做等量集合。
5、会比较两个集合元素的多、少和一样多。
中班
1、能按类的观念做等价集合。
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一、空間集合概念與數學及合概念之差異
對於在數學的領域而言，其集合概念，如下圖A、B兩區域之間的關係所示：
然而對於空間的概念而言，原理上是相同的，然而當以空間屬性表進行操作時，其參數設定與數學的概念上有些差異，以下就向量圖層之面圖層進行解說
1.面圖層
由上圖可以看到，若以數學交集(and)觀念套用至空間概念，結果為空集合。
由上圖可以看到，若以數學聯集(or)
觀念套用至空間概念，此結果為交集。
以Not(A and B)的方式做空間屬性選
由上圖可以看到，若以數學Not(A and 觀念套用至空間概念，結果為空間中A and B的差集合(即選取A、B、C)。
以Not(A or B)的方式做空間屬性選
由上圖可以看到，若以數學Not(A orB)觀念套用至空間概念，結果為空間中or B的差集合(即只選取C)。
以A not B的方式做空間屬性選擇其結果出現錯誤。
二、以MOVING WINDOW找出土地變遷
在影像的應用方面，有些遙感影像的視覺效果較差，例如對比度不夠、影像模糊；有些影像總體視覺效果較好，但對所需要的訊息，如特徵物不夠突出；有些影像波段多數據量大，但各波段的訊息量存在一定的相關性，造成進一步的處理造成困難。
為解決上述問題，需要對影像進行影像增揚處理。
通過影像增揚技術，改善影像品質、提高影像視覺效果、突顯所需要的訊息、壓縮影像數據量，為進一步的影像分析判讀做好預處理工作。
影像增揚的主要目的有：改變影像的灰度等級，提高影像對比度；消除邊緣和噪聲，平滑影像；突出邊緣或線狀地物；銳化影像；合成彩色影像；壓縮影像數據量；突出主要訊息等。
影像增揚的方法主要可分為空間域增揚和頻率域增揚兩種方法。
空間域增揚是通過改變單個像元與相鄰像元的灰度值來增揚影像；而頻率域增揚是對影像進行傅里葉變換，然後對變換後的頻率域影像的頻譜進行修改，達到增揚的目的。
Moving Window的概念主要是建構於空間域增揚的概念之中，透過Moving Window的方式改變單個校園與鄰近像元之間的灰度值，達到影像特徵霧灰度值增揚的目的。
對於影像中的任一像元( x ,y )，距離該像元p個或q個單位的像元皆叫做該像元的鄰域。
以33
⨯矩陣來說明，此Window範圍關係如下所示。
※像元間的鄰近關係示意圖
像元位置在(1,)
x y-稱為像元(,)
x y+、(,1)
x y的四正交+、(1,)
x y
x y
-、(,1)
鄰域，像元位置在(1,1)
-+、(1,1)
x y
--稱為像元
x y
+-、(1,1)
x y
++、(1,1)
x y
x y的四對角鄰域，此八個像元合稱為像元(,)
x y的八鄰域。
(,)
Window在運算時的方向為由左至右，由上至下，每次將計算結果賦予中心像元，移動後重新計算至下一個像元，並將結果賦予下一個中心像元。
於計算時，可在影像的最外側的行與列分別加上與原影像相同的行與列，運算完成後再予以去除，以免漏掉邊緣的行列像元。
而不管使用何種型式之線性濾波器，其基本方法是求遮罩係數和影像中遮罩下特定位置上像元灰度乘積之和。
常用的濾波方法為，低通空間濾波與中值濾波。
低通空間濾波又稱均化濾波或平滑濾波，此濾波器會使信號變化變得較平緩，強化變化平緩的部份(低頻成
分)，抑制變化較快的部份(高頻成分)，其有點為可以濾掉孤立的“單點噪聲”和
一些受影像的細節，還原影像的基本結構。
低通空間濾波不適用於影像分類的原
因，在於它模糊了邊緣和其它尖銳細節，隨看平滑遮罩的增大，影像細微處更會
喪失其銳度。
舉例而言，假設有一影像，其中包含有高灰度值的裸露地(DN=245)，其DN
值分布如下圖
若以低通濾波法，3*3的遮罩進行運算，其遮罩如下。
以變異最大的的像元(DN=245)進行運算。
1/9(80+75+90+95+245+80+75+90+80)=101
由此可發現，其DN值有降低的現象，表示變易被模糊化，不利於土地變遷使用。
中值濾波器是非線性的濾波法。
首先選擇像元及其鄰域的灰階值，選取中間
值後，再指定給該像元。
例如，一個33
⨯鄰域內的中間值為第5個最大值；一個
⨯鄰域內的中間值是第13個最大值，依此類推。
當鄰域內有若干個值相同時，55
所有相等的值歸為一組。
例如，假設一個33
⨯鄰域內的數值為(10，20，20，20，15，20，20，25，100)，這些值分組為(10，15，20，20，20，20，25，100)，中值是20。
於是，中值濾波的主要功能是強制用不同的灰度來代替，以使它更接近的鄰域。
但此作法實際上消除了孤立出現在濾波器遮罩內的灰度尖峰訊號。
以預設的例子而言，若以此方法進行濾波，則結果如下
變異部份仍然被平緩化，無法突顯出土地利用變異差異。
最後一種方法為空間域高頻濾波(High－Frequency in The Spatial Domain)。
此方法與低頻濾波器相反，高頻濾波器將加強影像中高頻部分，一般高頻濾波器
遮罩表示如下：.
以本例子進行計算，其結果如下：
應用高頻濾波器可使影像中的空間細部變化更加明顯。
在開放水塘或溼地和都市地區的分界處，比較容易發現高頻影像，用在都市結構中，獨立道路和建物會被增揚而更加明顯。
但應用高頻濾波器亦需考慮雜訊被增揚的風險。
參考資料
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育出版社。
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3.楊龍士、雷祖強、周天穎，2006，“遙感探測理論與分析實務”，文
魁資訊。
4.。