成都四川省成都市中和中学九年级上册期末精选试卷检测题

成都四川省成都市中和中学九年级上册期末精选试卷检测题

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．

【解析】

【分析】

（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.

【详解】

解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，

()2

517.2x +=，

解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），

答：这两年藏书的年均增长率是20%；

（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2

⨯+⨯=， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.

2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．

【答案】（1）k ＞

34；（2 【解析】

【分析】

（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解

不等式即可； （2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22m n +，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，

∴k ＞34

； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，

设方程的两个根为m ，n ，

∴m ＋n ＝5，mn ＝5，

∴矩形的对角线长为：()2

22215m n m n mn +=

+-=. 【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

3．问题提出：

（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．

问题探究

（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积

问题解决

（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．

【答案】（1）4；（2）

203

；（3）存在，最小值为16216 【解析】

【分析】 （1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；

（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据

S △ABE =1AE BH 2

即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=

1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】

（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，

∵S △ABC =

1BC AM=82 ∴82AM==44

⨯ 即BC 边上的高为4；

（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，

∵AD BC ∥，90D ∠=︒

∴∠BCD=∠D=90°=∠F

∴四边形BCDF 为矩形，

又∵BC=CD=4

∴四边形BCDF 为正方形，

∴DF=BF=BC=4，

又∵AD ∥BC

∴∠FAB=∠CBA

又∵∠EAB=∠CBA

∴∠FAB=∠EAB

∵BF ⊥AF ，

BH ⊥AE

∴BH=BF=4，

在Rt △BCE 和Rt △BHE 中，

∵BE=BE ，BH=BC=4

∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ）

∴EH=CE=2

同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ）

∴AF=AH

设AD=a ，则AF=AH=4-a

在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a

由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()2

2226+=-a a 解得8=3a ∴AE=6-a=

103 S △ABE =111020AE BH=4=2233

⨯⨯ （3）存在，

如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，

同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，

设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a

在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m

整理得8=4

+m a m ∴AE=AH+HE=2816444

+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ，

则y=()222161116AE BH=42244

++=++m m m m ∴()()

24216+=+y m m