第30讲三角形的内心与外心-中考数学考点系统复习(讲解册)课件(共16张PPT)
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圆心
中垂线的交点
内角的平分线的交点
三角形的外心到三角形的三个 三角形的内心到三角形的三
性质
顶点的距离⑤相等
条边的距离⑥ 相等
外接圆
内切圆
∠BOC=2∠A,∠OBC= 角度关系
⑦ ∠OCB
∠BOC=90°+12∠A
判断 方法
从三角形中任意选两条边,分 从三角形中任意选两个角,
别作它们的中垂线,其交点即 分别作它们的角平分线,其
【自主解答】
解:(1)连接OC. ∵射线CP与△ABC的外接圆相切, ∴∠OCP=90°. ∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°.
∴射线CP旋转度数是120°.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)∵∠BCA=90°, ∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆. 当CP过△ABC外心时(即过O点),∠BCE=60°. ∴∠BOE=120°,即E处的读数为120. 当CP过△ABC的内心时(如图1),∠BCE=45°,∠EOB=90°, ∴E处的读数为90.
为三角形的外心
交点即为三角形的内心
作法
外接圆
内切圆
【温馨提示】 锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外 心在斜边中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.
1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,则点O是△ABC的(B ) A.三条高线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条内角平分线的交点
(3)证明:在图2中, ∵∠PCA=2×7.5°=15°,∠BCE=∠ACB-∠PCA=75°,∠ECA= ∠EBA=15°,∠EBC=∠EBA+∠ABC=75°, ∴∠BCE=∠EBC. ∴BE=EC.
数学
第一轮 中考考点系统复习(讲解册)
第六单元 圆 第30讲 三角形的内心与外心
考点解读
三角形与圆 1.确定圆的条件:过一点可以作①无数个圆;过两点的圆有②无数 个,其圆心在③这两点连线的中垂线 上;④不在同一直线上的 三个点可以 确定一个圆.
2.三角形的外接圆与内切圆 外接圆
内切圆
图形
圆心是三角形的外心,三条边 圆心是三角形的内心,三个
2.(2018·河北模拟)如图,每个小三角形都是正三角形,则△ABC的
外心是(B )
A.D点
B.E点
C.F点
D.G点
3.如图为5×5的网格图,点A,B,C,D,O均在格点上,则点O是 (B)
A.△ACD的外心 B.△ABC的外心 C.△ACD的内心 D.△ABC的内心
4.如图,点F是△ABC的内心,∠A=50°,则∠BFC=( B ) A.100° B.115° C.130° D.135°
【方法指导】 (1)在图1中,∠BOC=2∠A;
(2)在图2中,∠BOC=90°+12∠A;
(3)直角三角形的外接圆半径与内切圆半径的求法:如图3,Rt△ABC
的外接圆半径O1A=
c 2
;Rt△ABC的内切圆半径O2D=
a+b-c 2
或O2D=
ab a+b+c.
重难点选讲
重难点 三角形的内心与外心 (2019·河北模拟)如图是一块含30°(即∠CAB=30°)角的三角板
和一个量角器拼在一起,三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合, 其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0),现有射线CP绕着 点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止.在旋 转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于点E.
(1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时,求射线CP旋转度数是多少? (2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多 少? (3)当旋转7.5秒时,连接BE,求证:BE=CE.