第30讲三角形的内心与外心-中考数学考点系统复习(讲解册)课件(共16张PPT)
人教版数学九年级上册..切线长定理、三角形的内切圆、内心 PPT精品课件
B
想一想：切线和切线长是什么关系？
比一比
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是切线上圆外一点和切点线段的长， 可以度量。
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
探索发现
1、从⊙O外的一点P引两条切线PA，PB，
BD、CE的长。
解：设AE=x
(cm),3则cmAF=x
5cm
(cm)
4cm
CD=CE=AC﹣AE=13﹣x
A
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x ∵ BD+CD=BC
x
x F9
9﹣x
E
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13
O
B
解得 x = 4
因此 AE=4 cm
13﹣x
9﹣x
D14
BD=5 cm
13﹣x
24.2.2直线与圆的位置关系（3）
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的 外端 且
垂直于 这条半径的直线
是圆的切线.
.O
数学的符号语言：
l
∵OA是半径，OA⊥l于A.
A
∴l是⊙ O 的切线.
复习 2、切线的判定定理
圆的切线 垂直于 经过 切点的半径。
数学的符号语言： ∵L是⊙ O 的切线 切点为A ∴OA⊥l
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
知识点三 三角形的内切圆
从前面的知识我们可知：从圆外一点可以引圆的
两条切线。假如在其中一条切线上找一点，再向引
圆的切线，你发现了什么？ A
人教版数学九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心精品课件PPT
PA = PB
∠OPA=∠OPB
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
三：运用新知，解决问题;
已知⊙O切线PA、PB，A、B
为切点，AP=8cm, ∠BPA=600
E B
(1)则BP=
, ∠BPO= 。 C O
（2）你能求⊙O的半径吗？
五：课堂反思，师生小结
1.通过本节课的学习你学会了
哪些知识？ 2.掌握了哪些方法？ 3.还有哪些疑惑？
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
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一：情境引入，激发兴趣
在一张三边分别是9cm，13cm，14cm的三角形纸 片上裁下一个圆形，使所裁得的圆尽可能大。请看动 画演示：其中哪一个圆是最符合要求的？
怎样画这个圆呢？
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
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▪
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
▪
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
板书设计
切线长定理
定义：切线长
第30讲三角形的内心与外心- 2020中考(河北专版)数学考点系统复习(讲解册)课件(共16张PPT)
为三角形的外心
交点即为三角形的内心
作法
外接圆
内切圆
【温馨提示】 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外 心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的(B ) A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点
数学
第一轮 河北中考考点系统复习(讲解册)
第六单元 圆 第30讲 三角形的内心与外心
考点解读
三角形与圆 1．确定圆的条件：过一点可以作①无数个圆；过两点的圆有②无数 个，其圆心在③这两点连线的中垂线 上；④不在同一直线上的 三个点可以 确定一个圆．
2．三角形的外接圆与内切圆 外接圆
内切圆
图形
圆心是三角形的外心，三条边 圆心是三角形的内心，三个
2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的
外心是(B )
A．D点
B．E点
C．F点
D．G点
3．如图为5×5的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是 (B)
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
4．如图，点F是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BFC＝( B ) A．100° B．115° C．130° D．135°
(3)证明：在图2中， ∵∠PCA＝2×7.5°＝15°，∠BCE＝∠ACB－∠PCA＝75°，∠ECA＝ ∠EBA＝15°，∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝75°， ∴∠BCE＝∠EBC. ∴BE＝EC.
【自主解答】
解：(1)连接OC. ∵射线CP与△ABC的外接圆相切， ∴∠OCP＝90°. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°.
三角形的内心与外心
（4）与三角形外心有关的角度问题：
①外心在三角形的内部
三角形为锐角三角形
三个角都小于90°；
②外心在三角Leabharlann 的边上三角形为直角三角形有一个角为90°；
③外心在三角形的外部
三角形为钝角三角形
有一个角大于90°.
随堂练习
1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（ B ） A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条内角平分线的交点
中考专题复习
三角形的内心与外心
中考要求
理解三角形的内心和外心.
1.三角形的内心 （1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆； （2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形三个内角平分线的交 点；
解题技巧
（3）见到三角形的内心就想以下两点： ①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.
这个圆叫作三角形的外接圆； （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形 三条边的垂直平分线 的 交点；
解题技巧
（3）见到三角形的外心就想以下两点： ①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边. 如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC， 必有AD=CD，BE=CE. ②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等. 如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC， 必有PA=PB=PC.
2. 如图，方格纸中，点A、B、C、D、O均为格点，点O是（ D ） A. △ABC的内心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ACD的外心
3. 点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠BIC=145°，则∠BOC的度数
为（ D ）
(名师整理)最新数学中考专题复习《三角形的内心与外心》考点精讲精练
第六单元 圆 第30讲 三角形的内心与外心
考点解读
三角形与圆 1．确定圆的条件：过一点可以作①无数 个圆；过两点的圆有②无数 个，其圆心在③这两点连线的中垂线 上；④ 不在同一直线上的 三个点可以 确定一个圆．
2．三角形的外接圆与内切圆 外接圆
内切圆
图形
圆心是三角形的外心，三条边 圆心是三角形的内心，三个
(3)证明：在图2中， ∵∠PCA＝2×7.5°＝15°，∠BCE＝∠ACB－∠PCA＝75°，∠ECA＝ ∠EBA＝15°，∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝75°， ∴∠BCE＝∠EBC. ∴BE＝EC.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
在数学的天地里，重要的不是我们知 道什么，而是我们如何知道什么
-------毕达哥拉斯
【自主解答】
解：(1)连接OC. ∵射线CP与△ABC的外接圆相切， ∴∠OCP＝90°. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴射线CP旋转度数是120°.
(2)∵∠BCA＝90°， ∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆． 当CP过△ABC外心时(即过O点)，∠BCE＝60°. ∴∠BOE＝120°，即E处的读数为120. 当CP过△ABC的内心时(如图1)，∠BCE＝45°，∠EOB＝90°， ∴E处的读数为90.
圆心
中垂线的交点
内角的平分线的交点
三角形的外心到三角形的三个 三角形的内心到三角形的三
性质
顶点的距离⑤相等
条边的距离⑥ 相等
外接圆
内切圆
Hale Waihona Puke ∠BOC＝2∠A，∠OBC＝ 角度关系
⑦ ∠OCB
∠BOC＝90°＋12∠A
三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)
三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ． 证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 ．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝ ．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为 ．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为 ．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ． 三条中线的交点B ． 三条高线交点C ． 三个内角平分线交点D ． 三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为 ，重心到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ，垂心到三边的距离之比为 ．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的 ．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝ ．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝ ．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。
高考复习三角形的四心重心内心外心垂心PPT课件
OE
C
OD与OE共线且2|OD || OE |, SCOE 2SCOD ,
SAOC
2SCOE
2
2 3
SCDE
2
2 3
1 4
SABC
1 3
SABC
第22页/共25页
思考: 如图，设点O在 ABC 内部，且有OA 2OB 3OC 0,
则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比为_____3______．
例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
另证: 连结EF,则EF为ABC的中位线,EF//BC, 且EF:BC=1:2,由平行线分线段成比例
得 FG:GC=1:2,同样可得 EG:GB=1:2, DG:GA=1:2. A
F E
G
B
D
C
第13页/共25页
重心
四、内心
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
| AB | cos B | AC | cosC
则P的轨迹一定通过△ABC的 _______
解: ∵ BC ( AB AC ) BC AB BC AC
| AB | cos B | AC | cosC | AB | cos B | AC | cosC
| BC | | AB | cos( B) | BC | | AC | cosC | BC | | BC | 0
垂心
同理可得O在CB边的高线上.
5. P是△ABC所在平面上一点，若
PA PB PB PC PC PA, 则P是△ABC的（ D ）
A．外心 B．内心 第C8．页/重共2心5页 D．垂心
三、重心
三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
中考重点三角形的外心与内心
中考重点三角形的外心与内心中考重点：三角形的外心与内心三角形是中考数学中的重点考点之一，三角形的特殊点外心与内心更是需要我们熟练掌握的知识。
本文将详细介绍三角形的外心与内心的定义、性质，以及相应的计算方法。
一、外心的定义与性质1. 外心的定义外心是指三角形三条边的垂直平分线的交点，记作O。
2. 外心的性质（1）外心到三角形三个顶点的距离相等。
（2）外心到三角形的每条边上的点的距离相等。
（3）外心是三角形内角的平分线的垂直平分线。
（4）外心到三角形三个顶点的连线上的点，构成的三角形是等边三角形。
（5）三角形的外接圆的半径等于外心到三个顶点的距离。
二、内心的定义与性质1. 内心的定义内心是指三角形三边的角平分线的交点，记作I。
2. 内心的性质（1）内心到三角形三个顶点的距离相等。
（2）内心到三角形的每条边的距离相等，等于三角形的内切圆的半径。
（3）内心是三角形外接圆的垂直平分线的交点。
（4）内心到三角形三个顶点的连线上的点，构成的三角形是等腰直角三角形。
（5）三角形的内切圆的半径等于三角形三边的和的一半除以半周长。
三、计算外心与内心的方法1. 外心的计算方法（1）已知三角形的三个顶点坐标，可以使用坐标几何的方法计算外心的坐标。
（2）利用外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，可以通过求解方程组来计算外心的坐标。
2. 内心的计算方法（1）已知三角形的三个顶点坐标，可以使用坐标几何的方法计算内心的坐标。
（2）利用内心的性质：内心到三条边的距离相等，可以通过求解方程组来计算内心的坐标。
四、外心与内心的应用1. 判断三角形的类型通过计算三角形的外心与内心，可以判断三角形的类型，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
2. 计算三角形的性质外心与内心与三角形的边长、角度之间有着密切的关系，在计算三角形的性质时，外心与内心的坐标和距离等信息经常被用到。
3. 解决几何问题通过利用外心与内心的性质和计算方法，可以解决许多几何问题，如构造等腰三角形、证明几何题目等。
三角形的“四心”课件-2025届高三数学一轮复习
同理,由 ⋅ = + ⋅ ⇒ = − + , ②
联立①②以及 = = 即可解得
+ = = ×
故答案为
−
.
−
=
−
（2） OA
2
+ BC
2
= OB
（3）若动点P满足AP = λ
2
+ CA
2
AB
AB cos B
2
2
= OC + AB ；
+
AC
AC cos C
λ ∈ 0, +∞ ，则动点P经过三角形的垂心.
或OP = OA + λ
AB
AB cos B
+
AC
AC cos C
,
3.设P是△ ABC的内心，则有以下结论:
（1） AB PC + BC PA + CA PB = （或aPA + bPB + cPC = ），其中a,b,c分别
是△ ABC的三边BC，AC，AB的长；
（2）若动点P满足AP = λ
AB
AB
+
AC
AC
或OP = OA + λ
AB
AB
+
AC
AC
,λ ∈ 0, +∞ ，则动
点P经过三角形的内心.
故选B.
题型四 垂心问题
例4（1） 已知△ ABC的外接圆的圆心是M，若PA + PB + PC = 2PM，则P是△ ABC
的( D )
A.内心
从三角形的“心”说起 课件(原创直播课件)
角形等知识，请同学们多留意。 有兴趣的同学可以自己课后证明。
垂心：三角形三条高线的交点
说明： 它的性质比较多、复杂，有兴
趣的同学可以自己证明或查阅。
三角形四“心”
内心 外心 重心 垂心
三条角平分线的交点 三条垂直平分线的交点 三条中线的交点 三条高的交点
交点到三边距离相等 交点到三顶点距离相等
郴州市十八中 曹展途
我们学过三角形哪些“心”呢？
内心 外心 重心 垂心
三条角平分线的交点 三条垂直平分线的交点 三条中线的交点 三条高的交点
内心 重心
外心 垂心
问题1：为什么三条线（角平分线、垂直 平分线、中线、高）会交于一点呢？
问题2：这四”心“分别有什么性质呢？
证明思路： 1、两条线相交于一点。 2、连接这个交点与第三点（顶点或中点） 3、证明第三条线是同类型的线
已知：在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的 中线，且相交于点O，连接AO，延长线交BC与点F.
求证：AF是BC上的中线.
提示： 1、我们学过中线有什么性质？
面积法
证明： ∵ BD是AC上的中线，CE 是AB上的中线
∴ S1= S2 ， S2 + S3 +S4 = S1 + S5 +S6 （中线性质） ∴ S3= S4 ， S1 + S2 +S3= S4 + S5 +S6
证明： 作OG⊥AC、 OH⊥AB、 OM⊥BC
∵ ∠ABC、∠ACB的平分线分
别是BD、CE
∴ OH=OM，OM=OG（角平分线的性质）
∴ OH=OG（等量代换）
∴点O在∠BAC的平分线上（角平分线的判定）
人教版数学九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心精品课件PPT1
与三角形各边都相切的圆叫 做三角形的内切圆.
三角形的内切圆的圆心叫做
A
这个三角形的内心.
三角形的内心是三角形三条内
I
角平分线的交点.这个三角形 ●
叫做这个圆的外切三角形.
B
C
人教版数学九年级 上册24.2.2切线长定理、三角形的内 切圆、 内心课 件
人教版数学九年级 上册24.2.2切线长定理、三角形的内 切圆、 内心课 件
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3、在生命的每一个阶段，阿甘的心中 只有一 个目标 在指引 着他， 他也只 为此而 踏实地 、不懈 地、坚 定地奋 斗，直 到这一 目标的 完成， 又或是 新的目 标的出 现。
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4、让学生有个整体感知的过程。虽然 这节课 只教学 做好事 的部分 ，但是 在研读 之前我 让学生 找出风 娃娃做 的事情 ，进行 板书， 区分好 事和坏 事，这 样让学 生能了 解课文 大概的 资料。
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1、在困境中时刻把握好的机遇的才能 。我在 想，假 如这个 打算是 我往履 行那结 果必定 失败， 由于我 在作决 策以前 会把患 上失的 因素斟 酌患上 太多。
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2、人物作为支撑影片的基本骨架，在 影片中 发挥着 不可替 代的作 用，也 是影片 的灵魂 ，阿甘 是影片 中的主 人公， 是支撑 起整个 故事的 重要人 物，也 是给人 最大启 示的人 物。
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点。
B
思考：由切线长定
O。 C
P
理可以得出哪些结
论？
A
(1)写出图中所有的垂直关系； (2)写出图中所有的全等三角形； (3)写出图中所有的等腰三角形．
人教版数学九年级 上册24.2.2切线长定理、三角形的内 切圆、 内心课 件
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为三角形的外心
交点即为三角形的内心
作法
外接圆
内切圆
【温馨提示】 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外 心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的(B ) A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点
(3)证明：在图2中， ∵∠PCA＝2×7.5°＝15°，∠BCE＝∠ACB－∠PCA＝75°，∠ECA＝ ∠EBA＝15°，∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝75°， ∴∠BCE＝∠EBC. ∴BE＝EC.
圆心
中垂线的交点
内角的平分线的交点
三角形的外心到三角形的三个 三角形的内心到三角形的三
性质顶点的距ຫໍສະໝຸດ ⑤相等条边的距离⑥ 相等外接圆
内切圆
∠BOC＝2∠A，∠OBC＝ 角度关系
⑦ ∠OCB
∠BOC＝90°＋12∠A
判断 方法
从三角形中任意选两条边，分 从三角形中任意选两个角，
别作它们的中垂线，其交点即 分别作它们的角平分线，其
【自主解答】
解：(1)连接OC. ∵射线CP与△ABC的外接圆相切， ∴∠OCP＝90°. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴射线CP旋转度数是120°.
(2)∵∠BCA＝90°， ∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆． 当CP过△ABC外心时(即过O点)，∠BCE＝60°. ∴∠BOE＝120°，即E处的读数为120. 当CP过△ABC的内心时(如图1)，∠BCE＝45°，∠EOB＝90°， ∴E处的读数为90.
和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合， 其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0)，现有射线CP绕着 点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止．在旋 转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于点E.
(1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少？ (2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多 少？ (3)当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE＝CE.
【方法指导】 (1)在图1中，∠BOC＝2∠A；
(2)在图2中，∠BOC＝90°＋12∠A；
(3)直角三角形的外接圆半径与内切圆半径的求法：如图3，Rt△ABC
的外接圆半径O1A＝
c 2
；Rt△ABC的内切圆半径O2D＝
a＋b－c 2
或O2D＝
ab a＋b＋c.
重难点选讲
重难点 三角形的内心与外心 (2019·河北模拟)如图是一块含30°(即∠CAB＝30°)角的三角板
数学
第一轮 中考考点系统复习(讲解册)
第六单元 圆 第30讲 三角形的内心与外心
考点解读
三角形与圆 1．确定圆的条件：过一点可以作①无数个圆；过两点的圆有②无数 个，其圆心在③这两点连线的中垂线 上；④不在同一直线上的 三个点可以 确定一个圆．
2．三角形的外接圆与内切圆 外接圆
内切圆
图形
圆心是三角形的外心，三条边 圆心是三角形的内心，三个
2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的
外心是(B )
A．D点
B．E点
C．F点
D．G点
3．如图为5×5的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是 (B)
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
4．如图，点F是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BFC＝( B ) A．100° B．115° C．130° D．135°