实验5：随机时间序列预测(1)

实验5：随机时间序列预测

5.1实验目的

1、 了解ARMA 预测模型的基本概念，基本原理及建模过程；

2、 掌握平稳时间序列的检验方法，白噪声序列是检验方法，模型检验的方法；

3、 掌握ARMA 模型的具体类型、扩展类型ARIMA 、模型算法、模型检验、模型优化及模型预测；

4、 掌握利用Eviews 软件实现ARMA 模型的整个建模及各种检验流程，掌握运用Eviews 软件和推

导相结合的AR 模型、MA 模型、ARMA 模型、ARIMA 模型的点预测和区间预测。

5.2实验原理

Box-Jenkins 提出的ARMA 模型是从时间序列自相关的角度揭示时间序列的发展规律，它的思想源于事件的发展具有一定的惯性，而这种惯性用统计语言描述就是序列值之间存在一定的相关关系，而且这种相关关系具有一定的统计规律，我们所要做的就是通过分析相关关系找出这种规律，并用适当的模型来拟合这种规律，进而利用这种拟合模型来预测将来的走势。 5.2．1 样本自相关函数

如果样本观察值为12,,,n y y y ，我们可以给出延迟k 阶的自相关函数估计值，即样本自相关函

数：

1

2

1

()()

ˆ()n k

t

t k t k n

t

t y

y y y y

y ρ

-+==--=-∑∑ 其中，1

n

t

t y y n

==∑

。

自相关函数说明了样本数据不同时期之间的相关程度。其取值范围在-1到+1之间，ˆk ρ越接近1，说明时间序列的自相关程度越高。反之如果ˆk ρ越接近于0，则说明时间序列的自相关程度越低。

5.2．2、样本偏自相关函数

在时间序列中，偏自相关函数是给定了121,,,t t t k y y y ---+的条件下，t y 与滞后期k 时间序列的

条件相关。它用来度量当其他滞后1,2,3,,1k -期时间序列的作用已知的条件下，单纯的t y 与t k y -的

相关程度。设样本观察值为12,,,n y y y ，可以给出样本偏自相关函数：

其中：

5.2.3平稳时间序列概念

设时间序列{}t y 取自某一随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称过程

,1,1,ˆˆˆk j k j kk k k j

φφφφ---=-

是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间的变化而变化，则我们称过程是非平稳的。一般的，关于平稳随机过程有两种定义方法。 （一）宽平稳序列 1、定义

如果{}t Y 满足如下三个条件： (1) 任取t ∈T ，有2t EY <∞

(2) 任取t ∈T ，t EY μ=, μ为常数；

(3) 任取t,s,k ∈T,且k+s-t ∈T,有(t,s)=(k,k+s-t)γγ； 则称{}t Y 为宽平稳序列。宽平稳也称为弱平稳或二阶平稳。 2、性质 (1) 常数均值 (2) 常数方差

(3) 自协方差和自相关系数只与时间的平移长度有关，而与时间的起止点无关 （二）严平稳序列

严平稳定义比较严谨，它要求时间序列所有的统计性质都不会随着时间的变化而发生变化，在研究经济的实际问题中，我们遇见的时间序列多为宽平稳，因此如果不加特殊注明，所说的平稳序列指的都是宽平稳时间序列。 5.2.4 白噪声序列

如果时间序列{}t Y 满足如下条件： （1）任取t ∈T ，t EY μ=, μ为常数； （2）,t s T ∀∈2(,)0

t s

t s t s

σγ==

≠,

则称{}t Y 为白噪声序列，也称纯随机序列。通过定义我们知道，白噪声序列也具有常数均值，常数方差，自协方差和自相关系数为零，当然与时间的起止点无关，所以白噪声序列是一种特殊的宽平稳时间序列，

5.2.5 平稳时间序列(ARMA)模型的形式

ARMA 模型是20世纪70年代由Box-Jenkins 系统提出的时域分析方法，它的建模思想源于事物发展具有的一定的惯性，而这种惯性体现其时间序列上前后具有一定的关联性，ARMA 模型从时间序列{}t y 出发，依据其自身变化规律，利用外推机制提取时间序列前后关联性，以达到预测的目

的，ARMA 模型从识别、估计、诊断及预测建立了一套完整、正规的建模体系，并且具有牢固的理论基础。ARMA 最基本的模型有以下三种形式：

（一）自回归模型AR(p)

如果时间序列{}t y 能表示成其自身滞后1期、滞后2期、直到滞后p 期线性回归模型的形式， 即1122t t t p t p t y y y y φφφε---=++

++，

其随机扰动项{}t ε是独立同分布飞随机变量序列，并且对于任意的t ，()0t E ε=，2()t Var εσ=，

()0,t s E s t εε=≠，则称时间序列{}t y 服从p 阶自回归模型，记为AR(p)。1,

,p φφ称为自回归系数。

（二）移动平均模型MA(q)

如果时间序列{}t y 能表示成随机扰动项的当期和其滞后期q 加权平均形式，即

11t t t q t q y εθεθε--=++

+

其随机扰动项{}t ε是独立同分布飞随机变量序列，并且对于任意的t ，

()0t E ε=，2()t Var εσ=，()0,t s E s t εε=≠，则称时间序列{}t y 服从q 阶自回归模型，记为MA(q)。1,

,q θθ称为移动平均系

数。

（三）ARMA(p,q)模型

如果时间序列{}t y 满足：112211t t t p t p t t q t q y y y y φφφεθεθε-----=++

++++

+

其中：{}t ε是独立同分布飞随机变量序列，并且对于任意的t ，()0t E ε=，2()t Var εσ=，

()0,t s E s t εε=≠，则称时间序列{}t y 服从(p,q)阶自回归移动平均模型，记为ARMA(p,q)。1,

,p

φφ称为自回归系数，1,,q θθ称为移动平均系数。

对于ARMA(p,q)模型，当0q =时，模型记为AR(p)；当0p =时，模型记为MA(q)。 5.2.6 ARMA(p,q )模型分析框架及流程： 5.2.7 平稳性检验方法

利用ARMA 模型来拟合时间序列，必须先对序列的平稳性进行检验，只有当序列平稳了，才可以使用ARMA 模型。序列的平稳性检验并不是件很容易的事，从直观到精确的检验方法有两种；一是图检验法，二是单位根检验法，其中图检验法又细分为时序图检验和自相关函数图检验。

（一）图检验 1、时序图检验

此检验方法来源于宽平稳时间序列的定义，以横轴表示时间，纵轴表示序列取值，如果序列