相似三角形复习3——旋转型
旋转型相似三角形应用的分析方法
旋转型相似三角形应用的分析方法∠BAD=∠CAE，∠ACB=∠AED=> △ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE=> AB•AE=AC•AD在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段时，就要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形，也就是将成比例的四条线段的端点两两连结得到相似三角形，且可以得到两对旋转型相似三角形。
由于由同一点发出的四条线段，总有顺序关系，而1、4和2、3组成的三角形是不相似的，所以必定是两种可能：即1、2和3、4组成相似三角形；1、3和2、4组成相似三角形，也就相应地得到这两对同时出现的旋转型相似三角形。
在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段会出现一种特殊情况，就是其中的两条相乘线段重叠在角平分线上时，仍然要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法也仍然是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形。
例1，已知：⊙O与⊙O'相交于A、B，⊙O的弦AC交⊙O'于D，⊙O'的弦AE交⊙O于F，连结BC、BD、BE、BF．求证：BC•BE=BD•BF分析1：本题要证明的结论BC•BE=BD•BF是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点B发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可应用旋转型相似三角形进行证明，根据由B发出的四条成比例线段BC、BD、BF、BE两两组成相似三角形的方法，如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，问题也就成为应证△BCD 和△BFE相似，由条件A、C、B、F四点共圆，且A、F、E成一直线，所以∠BCD=∠BFE，根据同样的道理，由A、D、B、E四点共圆， A、D、C成一直线，又可得∠BDC=∠BEF，所以△BCD和△BFE相似就可以证明，分析就可以完成。
初三数学中考复习专题课件：探旋转相似型的解法
04
旋转相似型的易错点与 难点解析
识别旋转相似型的常见误区
01
02
03
误区一
将非相似图形误认为是相 似图形。
误区二
在旋转过程中，忽视角度 变化导致图形不相似。
误区三
混淆相似与全等图形的性 质。
利用旋转性质证明相似的难点解析
难点一
理解旋转的性质，特别是 旋转中心、角度和方向。
难点二
掌握如何利用旋转性质来 证明两个三角形相似。
难点三
理解旋转过程中，哪些性 质会发生变化，哪些保持 不变。
利用相似性质求解问题的常见错误
通过练习和掌握旋转相似型的解法，可以培养学生的几何直觉和空间思维能力。
02
旋转相似型的解题方法
识别旋转相似型
总结词
识别旋转相似型是解决这类问题的第一步，需要观察图形是否可以通过旋转而 相互重合。
详细描述
在解决旋转相似型问题时，首先需要观察图形，判断是否存在通过旋转某个图 形而使其与另一个图形重合的可能性。这通常涉及到对图形形状、角度和边的 长度等特征的识别。
利用旋转性质证明相似
总结词
利用旋转性质来证明两个三角形相似是解决这类问题的关键 步骤。
详细描述
在确认了可以通过旋转使两个图形重合后，需要利用旋转的 性质来证明这两个三角形相似。这通常涉及到找到两个三角 形之间的对应角或对应边成比例，从而证明它们相似。
利用相似性质求解问题
总结词
利用相似三角形的性质来求解问题是最终的目标。
中考复习专题1：相似三角形中的旋转问题配有辅导训练资料含试题解析与参考答案教师版
中考专题：相似三角形与旋转1. 已知，如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，连DE ，且3AC BCDC EC==，2tan 2B =； （1）如图2，将△CDE 绕C 点旋转，连AD 、BE 交于H ，求证：AD ⊥BE ；（2）如图3，当△CDE 绕C 点旋转过程中，当5CH =时，求2A H ﹣BH 的值；（3）若CD ＝1，当△CDE 绕C 点旋转过程中，直接写出AH 的最大值是 ．2. 在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α（0°＜α＜180°）．点P 是平面内不与A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，CP ．点M 是AB 的中点，点N 是AD 的中点．（1）如图1，当α＝60°时，PCMN的值是 ，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是 ．（2）如图2，当α＝120°时，请写出的PCMN 值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）如图3，当α＝90°时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时MN PD的值．3. 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，线段AC 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CD ，连接BD ．（1）如图1，若AB ＝BC ，求证：BD 平分∠ABC ；（2）如图2，若AB ＝2BC ，①求ACBD 的值；②连接AD ，当S △ABC ＝23时，直接写出四边形ABCD 的面积为 ．4. （1）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AP 、BP 分别平分∠CAB 、∠CBA ，过点P作DE ∥AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ．①求证：点P 是线段DE 的中点； ②求证：BP 2＝BE •BA ．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，BP 平分∠ABC ，过点P 作DE ∥AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若点P 为线段DE 的中点，求AD 的长度．5.在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E，F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．（1）如图1，若∠ABC＝45°，n＝1，求证：DE＝DF；（2）如图2，求DEDF的值（含n的式子表示）：（3）如图3，连接EF，若tan∠B＝1，EF∥BC，且58EFBC=，直接写出n的值为．6.已知：在▱ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，且∠ECF＝∠B＝α（0°＜α＜90°）（1）如图1，若CF⊥AD，求证：CE CB CF CD=；（2）如图2，若α＝60°，∠AEF＝∠ECB，求证：四边形ABCD是菱形；（3）如图3，若α＝45°，AC⊥EF，EH⊥BC于点H，34CEAD=，直接写出AECH的值．中考专题：相似（一）1. 已知，如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，连DE ，且3AC BCDC EC==，2tan 2B =； （1）如图2，将△CDE 绕C 点旋转，连AD 、BE 交于H ，求证：AD ⊥BE ；（2）如图3，当△CDE 绕C 点旋转过程中，当5CH =时，求2A H ﹣BH 的值； （3）若CD ＝1，当△CDE 绕C 点旋转过程中，直接写出AH 的最大值是 ．【解答】（1）证明：如图2中，设BE 交AC 于O ．∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACD ＝∠ECB ， AC BCDC EC =，∴AC CDBC CE =，∴△ACD ∽△BCE ， ∴∠DAC ＝∠EBC ，∵∠AOH ＝∠BOC ，∴∠AHO ＝∠BCO ＝90°，∴AD ⊥BE ． （2）解：如图2中，在HB 上取一点T ，使得HT ＝AH ，连接AT ．在Rt △AHT 中，2tan AH ATH HT ∠==， 2tan ABC ∠=，∴∠ATH ＝∠ABC ， ∵∠ATH +∠HAT ＝90°，∠ABC +∠CAB ＝90°，∴∠HAT ＝∠CAB ，∴∠CAH ＝∠BAT ，∴△AHT ∽△ACB ，∴AT AH AB AC =，∴AH AC AT AB =，∴△CAH ∽△BAT ，∴CH AHBT AT=，2HT AH =，设AH m =，则2HT m =，3AT m ， ∴53m =15BT ∴ （3）解：如图3中，在Rt △AHB 中，∵AH ＝AB •sin ∠ABH ，∴当∠ABH 最大时，AH 的值最大，此时CE ⊥BE ， ∵∠DCE ＝∠CEH ＝∠EHD ＝90°， ∴此时四边形ECDH 是矩形，∴DH ＝EC ，∠ADC ＝∠CDH ＝90°， 由题意CD ＝1，，2EC 3AC =， 2DH CE ∴==在Rt ACD ∆中，22312AD AC CD =-=-= 2222AH AD DH ∴=+= 的最大值为2. 在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α（0°＜α＜180°）．点P 是平面内不与A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，CP ．点M 是AB 的中点，点N 是AD 的中点．（1）如图1，当α＝60°时，PCMN的值是 ，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是 ．（2）如图2，当α＝120°时，请写出的PCMN 值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）如图3，当α＝90°时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时MN PD的值．【解答】（1）如图1中，连接PC ，BD ，延长BD 交PC 于K ，交AC 于G ． ∵CA ＝CB ，∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB ＝∠PAD ＝60°，AC ＝AB ，∴∠PAC ＝∠DAB ，∵AP ＝AD ，∴△PAC ≌△DAB （SAS ），∴PC ＝BD ，∠ACP ＝∠ABD ， ∵AN ＝ND ，AM ＝BM ，∴BD ＝2MN ，∴PCMN＝21．∵∠CGK ＝∠BGA ，∠GCK ＝∠GBA ，∴∠CKG ＝∠BAG ＝60°，∴BK 与PC 的较小的夹角为60°， ∵MN ∥BK ，∴MN 与PC 较小的夹角为60°． （2）如图设MN 交AC 于F ，延长MN 交PC 于E ．∵CA ＝CB ，PA ＝PD ，∠APD ＝∠ACB ＝120°，∴△PAD ∽△CAB ，∴ABADAC AP =，∵AM ＝MB ，AN ＝ND ，∴AMANAC AP =，∴△ACP ∽△AMN ，∴∠ACP ＝∠AMN ，PCMN ＝23=AC AM∵∠CFE ＝∠AFM ，∴∠FEC ＝∠FAM ＝30°． （3）设MN ＝a ，∵PCMN＝22=AC AM ，∴PC ＝2a ，∵ME 是△ABC 的中位线，∠ACB ＝90°，∴ME 是线段BC 的中垂线， ∴PB ＝PC ＝2a ，∵MN 是△ADB 的中位线，∴DB ＝2MN ＝2a ，如图3﹣1中，当点P 在线段BD 上时，PD ＝DB ﹣PB ＝（2﹣2）a ，∴MN PD＝2﹣2．如图3﹣2中，PD ＝DB +PB ＝（2+2）a ，∴MN PD＝2+2．3. 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，线段AC 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CD ，连接BD ．（1）如图1，若AB ＝BC ，求证：BD 平分∠ABC ；（2）如图2，若AB ＝2BC ，①求ACBD 的值；②连接AD ，当S △ABC ＝23时，直接写出四边形ABCD 的面积为 ．【解答】（1）证明：连接AD ，由题意知，∠ACD ＝60°，CA ＝CD ，∴△ACD 是等边三角形，∴CD ＝AD ，又∵AB ＝CB ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD （SSS ），∴∠CBD ＝∠ABD ，∴BD 平分∠ABC ； （2）解：①连接AD ，作等边三角形ACD 的外接圆⊙O ， ∵∠ADC ＝60°，∠ABC ＝120°，∴∠ADC +∠ABC ＝180°，∴点B 在⊙O 上，∵AD ＝CD ，∴⁔AB =⁔CD ，∴∠CBD ＝∠CAD ＝60°， 在BD 上截取BM ，使BM ＝BC ，则△BCM 为等边三角形，∴∠CMB ＝60°，∴∠CMD ＝120°＝∠CBA ，又∵CB ＝CM ，∠BAC ＝∠BDC ，∴△CBA ≌△CMD （AAS ），∴MD ＝AB ，设BC ＝BM ＝1，则AB ＝MD ＝2，∴BD ＝3，过点C 作CN ⊥BD 于N ， 在Rt △BCN 中，∠CBN ＝60°，∴∠BCN ＝30°， ∴BN ＝21BC ＝21，CN ＝23BC ＝23，∴ND ＝BD ﹣BN ＝25， 在Rt △CND 中，CD ＝722=+DN CD ，∴AC ＝7，∴773=ACBD ;②如图3，分别过点B ，D 作AC 的垂线，垂足分别为H ，Q ， 设CB ＝1，AB ＝2，CH ＝x ，则由①知，AC ＝7，AH ＝7﹣x ， 在Rt △BCH 与Rt △BAH 中，BC 2﹣CH 2＝AB 2﹣AH 2，即1﹣x 2＝22﹣（7﹣x ）2，解得，x ＝772，∴BH ＝721,在Rt △ADQ 中，DQ ＝23AD ＝23×7＝221，∴72=DQ BH∵AC 为△ABC 与△ACD 的公共底，∴72==∆∆DQ BH S SACDABC ，∵S △ABC ＝23，∴S △ACD ＝437，∴S 四边形ABCD ＝23+437＝439，4. （1）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AP 、BP 分别平分∠CAB 、∠CBA ，过点P 作DE ∥AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ．①求证：点P 是线段DE 的中点； ②求证：BP 2＝BE •BA ．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，BP 平分∠ABC ，过点P 作DE ∥AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若点P 为线段DE 的中点，求AD 的长度．【解答】（1）①证明：∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠CBP ，∵DE ∥AB ，∴∠ABP ＝∠EPB ，∴∠CBP ＝∠EPB ，∴BE ＝PE ， 同理可证：DP ＝DA ，∵DE ∥AB ，∴CE CDCB CA=， ∵CA ＝CB ，∴CE ＝CD ，∴BE ＝AD ，∴PE ＝PD ，∴点P 是DE 的中点． ②证明：由①得∠ABP ＝∠EBP ＝∠EPB ＝21∠CBA ， ∵AP 平分∠CAB ，∴∠P AB ＝21∠CAB ， ∵CA ＝CB ，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴∠ABP ＝∠EBP ＝∠EPB ＝∠P AB ，∴△ABP ∽△PBE ，∴BP BEBA BP=，∴BP 2＝BA •BE ． （2）过点P 作FG ∥AC 交BC 于F ，交AB 于G ．在Rt △ACB 中，222213125AC AB BC =-=-=，∵FG ∥AC ，∴∠PFE ＝∠C ＝90°，∵PD ∥AG ，∴四边形AGPD 是平行四边形，∴PG ＝AD ， ∵PE ＝PD ，PF ∥CD ，∴EF ＝FC ，∴PF ＝21CD ，由（1）可知BE ＝EP ，设AD ＝PG ＝x ，则CD ＝5﹣x ，PF ＝21（5﹣x ），∵DE ∥AB ，∴CD CE CA CB =，∴512CD CA CE CB ==， 125CE CD ∴=，12(5)5x =-，则6(5)5EF x =-，1212120(5)55BE EP x x ∴==-=，在Rt EFP ∆中，6(5)125sin sin sin 1213(5)5x EF EPF EDC BAC EP x -∠===∠=∠=-，解得6537x =，6537AD ∴=．5.在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E，F两点，∠EDF ＝2∠ABC，BD＝nCD．（1）如图1，若∠ABC＝45°，n＝1，求证：DE＝DF；（2）如图2，求DEDF的值（含n的式子表示）：（3）如图3，连接EF，若tan∠B＝1，EF∥BC，且58EFBC=，直接写出n的值为．【解答】（1）证明：如图1中，连接AD．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵BD＝nCD，n＝1，∴BD＝CD，∴AD⊥BC，∠DAC＝∠DAB＝45°，AD＝DB＝DC，∵∠EDF＝2∠ABC＝90°，∴∠BDA＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠B＝∠DAF，BD＝AD，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF．（2）解：在射线B上取一点T，使得DB＝DT．∵DB＝DT，∴∠B＝∠T，∴∠TDC＝∠B+∠T＝2∠B，∵∠EDF＝2∠B，∴∠EDF＝∠TDC，∴∠EDT＝∠DFC，∵∠BAC+2∠B＝180°，∴∠BAC+∠DEF＝180°，∴∠TED+∠AFD＝180°，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∴∠TED＝∠DFC，∴△TED∽△FDC，∴DE DT DBn DF DC CD===．（3）如图3中，作ET⊥BC于E，FH⊥BC于H．∵EF∥BC，ET∥FH，∴四边形EFHT是平行四边形，∵∠ETH＝90°，∴四边形EFHT是矩形，∴ET＝FH，EF＝TH，∵EF：BC＝5：8，设EF＝5k，BC＝8k，则TH＝5k，∵tan B＝1，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠ETB＝∠FHC＝90°，∴ET＝BT＝FH＝CH＝1.5k，设DT＝x，则DH＝5K﹣x，∵∠EDF＝2∠B＝90°，∠ETD＝∠FHD＝90°，∴∠EDT+∠FDH＝90°，∠TED+∠EDT＝90°，∴∠TED＝∠FDH，∴△ETD∽△DHF，∴ET DTDH FH=，∴1.55 1.5k xk x k=-，∴x2﹣5kx+2.25k2，解得x＝0.5k或4.5k，∴BD＝2k或6k，∴BD：DC＝2k：6k＝1：3或BD：DC＝6k：2k＝3：1．∴n＝3或．6. 已知：在▱ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，AD 边上，且∠ECF ＝∠B ＝α（0°＜α＜90°）（1）如图1，若CF ⊥AD ，求证：CE CBCF CD=； （2）如图2，若α＝60°，∠AEF ＝∠ECB ，求证：四边形ABCD 是菱形；（3）如图3，若α＝45°，AC ⊥EF ，EH ⊥BC 于点H ，34CE AD =，直接写出AECH 的值． 【解答】（1）证明：如图1中，∵在▱ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠ECF ＝∠B ＝α，∴∠D ＝∠ECF ＝α，∵CF ⊥AD ，∴∠D +∠DCF ＝90°，∴∠ECF +∠DCF ＝90°，∴EC ⊥CD ， ∵AB ∥CD ，∴CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝∠CFD ＝90°，∴∠BCE ∽△DCF ，∴CE CBCF CD=； （2）证明：如图2中，连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝120°，∵∠ECF ＝60°，∴∠EAF +∠ECF ＝180°，∴A ，E ，C ，F 四点共圆，∴∠AEF ＝∠ACF ， ∵∠AEF ＝∠BCE ，∴∠ACF ＝∠BCE ，∴∠ACB ＝∠ECF ＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形；（3）解：∵∠ECF ＝∠B ＝45°，∵34CE AD =，∴设CE ＝3m ，BC ＝AD ＝4m ， 过C 作CI ⊥BC 交BA 的延长线于I ，交AD 于K ，交EF 于J ，延长HE 交DA 的延长线于L ， 则CI ＝BC ＝4m ，作JM ⊥LH 于M ，交BI 于R ，连接AJ ，∵∠ECF ＝∠B ＝45°，∴∠EAF ＝135°，∴C ，E ，A ，F 四点共圆，∴∠CEF ＝∠F AC ， ∵AC ⊥EF ，∴∠EJC ＝∠CAF ，∴∠CEJ ＝∠EJC ，∴CE ＝CJ ，∴AC 垂直平分EJ ，∴AE ＝AJ ， 设BH ＝EH ＝n ，CH ＝4m ﹣n ，在Rt △CHE 中，EH 2+CH 2＝CE 2， ∴n 2+（4m ﹣n ）2＝（3m ）2，解得42n ±=，（取42n -=时，结论一样）， 424KL CH m n -∴==-=，42223ME MH HE CJ EH m +-=-=-=-=，2LE LA =，2222KJ LM ME -===，422AK LK AL -=-=-， 2222224222(()22AE AJ AK JK --∴==+=+， 解得：3(21)32AE -=-，∴3(21)3322742AE CH --==-。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。
3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。
相似基本型旋转型
B
C
1、由图形自编问题：等边三角形 一边中点重合，旋转一定角度， 从图中你能得到哪些结论？
C
E B A
F D
G
2、如图，在△ABC中，∠ACB=900，CH⊥AB 于点H，△ACD和△BCE均为等边三角形. 求证： △DAH∽△ECH
E D C
A
H
B
畅谈我的收获！
A
1 2
E
C B D
本课小结:
A
1 2
E
C B D
1、“旋转型”相似三角形图形识别
如图，∠1=∠2， ∠B=∠D 则△ABC∽ △ADE
A
1 2
E
C B D
2、“旋转型”相似三角形的特 A 征
①由一点发出四条线段对应成比例 AB AC AD AE
1 2
E
②两对相似三角形
C D
B △ABC∽ △ADE 和 △ABD∽ △ACE
1、“旋转型”相似三角形的识别 2、“旋转型”相似三角形的特征 ①成一点发出四条线段对应成比例 ②两对相似三角形同时出现 ③ BD AB AD
CE AC AE
A
1 2
E
C B D
3、“旋转型”相似三角形的变式图形
A
1 2
A
A
1 2
1 2
B E
C B
E C D
E B D
C B D
E
D
A
C③Leabharlann BD AB AD CE AC AE
3、“旋转型”相似三角形的变式图 形
A
1 2
A
A
1 2
1 2
C B
E C D
E B D
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
相似三角形几种基本模型
相似三角形几种基本模型经典模型“平行旋转型”图形梳理：AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’F'CBBCAEF 旋转到AE‘F’ABCAEF 旋转到AE‘F’特殊情况：B 、'E 、'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAB CEFE'F'AEF 旋转到AE‘F’C ，'E ，'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBA相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型常见的有如下两种，D E ∥BC ，则△ADE ∽△ABCBC② 相交线型常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABCC如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△ABCBC③ 旋转型已知∠BAD=∠CAE ，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，下图为常见的基本图形．C④ 母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ABCD E12AAB BCC DDEE12412B(3)DB(2)D（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用：（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）当AD AEAC或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．BEACD12BBC(D)。
相似三角形中的旋转问题
相似三角形中的旋转问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在数学中，我们经常会遇到相似三角形。
其中一个常见的问题是旋转问题，即给定一个相似三角形，我们如何通过旋转来得到另一个相似三角形。
让我们回顾一下相似三角形的定义。
两个三角形是相似的，如果它们的对应角相等，并且对应边的比例相等。
在相似三角形中，每对角是相等的，而对应边的比例可以用来描述它们之间的关系。
在这种情况下，我们可以发现通过旋转可以得到另一个相似三角形。
在旋转问题中，我们关注的是如何通过旋转一个三角形来得到另一个相似的三角形。
在数学中，旋转是一个常见的变换方式，我们可以通过将一个图形绕着一个点进行旋转来改变它的位置和方向。
在三角形的情况下，我们可以通过旋转来改变三角形的位置，但是并不改变其形状和大小。
举个例子，假设我们有两个相似三角形ABC和DEF，其中对应角分别为∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F。
我们可以通过旋转三角形ABC 来得到另一个相似的三角形DEF。
具体的步骤是首先选择一个固定的旋转中心，然后将三角形ABC绕着这个中心旋转一个角度，得到新的三角形ABC'。
由于三角形ABC和DEF是相似的，它们的对应边的比例相等，因此通过旋转我们可以得到相似的三角形DEF。
在实际问题中，旋转问题可以帮助我们更好地理解相似三角形之间的关系。
通过旋转，我们可以找到相似三角形之间的对应关系，进而解决一些实际问题。
在建筑工程中，我们可能需要通过旋转来调整建筑物的位置和朝向，而在图形设计中，我们也可以通过旋转来创造出不同的视觉效果。
相似三角形中的旋转问题是数学中一个重要且有趣的问题。
通过旋转，我们可以更深入地理解相似三角形之间的关系，并且应用到实际问题中。
希望通过这篇文章，能够帮助大家更好地理解相似三角形的旋转问题，同时也能够启发更多关于数学和几何的思考。
愿大家在学习数学的过程中能够充满乐趣！第二篇示例：相似三角形中的旋转问题是几何学中一个重要的概念，它涉及到了旋转对于包含在一对相似三角形之间的变换。
旋转中的相似三角形
是相等的，即$frac{S_{triangle ABC}}{S_{triangle A'B'C'}} =
left(frac{a}{a'}right)^2$。
旋转中的相似三角形的判定方法
判定方法一
如果两个三角形对应的内 角相等，则它们是旋转中 的相似三角形。
判定方法二
如果两个三角形对应的边 长之间的比例相等，则它 们是旋转中的相似三角形。
03
旋转中的相似三角形
旋转中的相似三角形的定义
01
旋转中的相似三角形是指在平面 内，通过旋转一个三角形得到另 一个三角形，这两个三角形称为 旋转中的相似三角形。
02
旋转的角度和方向决定了两个相 似三角形的形状和大小，但它们 的对应角相等，对应边成比例。
旋转中的相似三角形的性质
01
对应角相等
旋转中的相似三角形对应的内角相等，即$angle A = angle A'$、
相似三角形的性质
相似三角形具有相同的角 和相似的边，对应边的比 值相等。
相似三角形的判定方法
角角判定
如果两个三角形有两个对应的角 相等，则这两个三角形相似。
边边判定
如果两个三角形有三组对应的边 成比例，则这两个三角形相似。
角边判定
如果一个三角形的一组对应的角 和一个对应的边与另一个三角形 的一组对应的角和一边分别相等，
证明定理
利用旋转中的相似三角形，可以证明 一些几何定理，如勾股定理、射影定 理等，从而深入理解几何图形的性质 和关系。
在解决实际问题中的应用
建筑ห้องสมุดไป่ตู้计
在建筑设计中，可以利用旋转中的相似三角形来设计建筑的外观 和结构，以满足建筑的功能和审美需求。
相似三角形的对称轴与旋转中心
相似三角形的对称轴与旋转中心相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在研究相似三角形的性质时，对称轴和旋转中心是两个重要的概念。
本文将讨论相似三角形的对称轴与旋转中心的定义和性质，并探讨它们在几何问题中的应用。
一、对称轴的定义和性质对称轴是指能将一个图形分成两个相互对称的部分的轴线。
对于相似三角形而言，其对称轴是指能将它们对称分割成两个相似的部分的直线。
具体来说，设有相似三角形ABC和A'B'C'，如果存在一条直线l，满足通过A、A'，且B与C关于l对称，则我们称直线l为相似三角形ABC和A'B'C'的对称轴。
对称轴具有以下性质：1. 对称轴是垂直于AB和A'B'的中垂线。
证明：由于B、C关于对称轴l对称，则AB与A'B'垂直于对称轴l，因此对称轴l是垂直于AB和A'B'的中垂线。
2. 对称轴将相似三角形的顶点A和A'映射到相似三角形自身的顶点。
证明：由于A、A'都位于对称轴l上，因此对称轴l将顶点A和A'映射到相似三角形自身的顶点。
二、旋转中心的定义和性质旋转中心是指能够使一个图形绕某个点旋转一定角度后重合的点。
对于相似三角形而言，其旋转中心是指能使它们绕同一个点旋转自身的点。
具体来说，设有相似三角形ABC和A'B'C'，如果存在一个点O，满足绕点O旋转使得三角形ABC和A'B'C'重合，则我们称点O为相似三角形ABC和A'B'C'的旋转中心。
旋转中心具有以下性质：1. 旋转中心将相似三角形的顶点A映射到相似三角形自身的顶点。
证明：由于A是绕旋转中心O旋转到A'的，所以旋转中心O将顶点A映射到相似三角形自身的顶点。
2. 旋转中心到相似三角形的顶点的距离是相等的。
证明：由于旋转中心O将相似三角形自身的顶点映射到另一个相似三角形自身的顶点，所以旋转中心到相似三角形的顶点的距离是相等的。
相似三角形折叠旋转
与折叠
法二：
确定性分析+三线合一
与折叠
法三：
垂直处理 一线三等角
旋转
性质
1.每一点绕旋转中心都沿相同方向转了相同角度 2.任意一对对应点与旋转中心的连线所成角都是旋转角，
对应点到旋转中心距离相等 3.全等（边+角） 4.旋转中心是对应点连线的中垂线的交点
旋转：点+线段+图形
本质：共顶点线段旋转
折叠“大一统”
旋转
定义 将一个图形绕一点按某个方向旋转一个角度，这样的运动叫做
图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转的的角度叫做旋转角
三要素 旋转中心（绕哪转）
旋转方向（向哪转） 旋转角度（转多少）
与旋转
旋转性质+相似
与旋转
旋转相似一拖二
与旋转
变化中的规律+变化中的不变性质
与旋转
与旋转
旋转相似 一转成双
梧桐摇曳丹桂香 仲秋时节话教研
相似三角形与折叠、旋转
折叠+相似 旋转+相似
折叠“一 二 一” 一个本质+二项归类+一种思想
一个本质 轴对称 二项归类 求角度或长度 一种思性
与折叠
折叠性质+相似性质
与折叠
折叠性质+方程思想
与折叠
与折叠
法一：
对称点连线被折痕垂直平分
旋转
旋转
旋转相似一转成双
△ADE∽△ABC，把△ADE绕点A旋转， 出现新的△ABD和△ACE有什么关系？
由一对相似三角形得两对相似三角形
旋转相似一转成双
旋转相似一转成双
目有千万而纲为一 枝叶繁多而本为一
相似三角形复习—旋转型相似
AD BA BD CE BC BE
例实题中解微析课
例1.已知：如图，∠1= ∠2 , ∠3= ∠4, 求证：∠ABD= ∠ACE.
证明：∵ ∠1= ∠2 , ∴ ∠DAE= ∠BAC ∵ ∠3= ∠4, ∴ △ ADE∽△ ABC
∴ AD AE ∴ AD AB
AB AC
AE AC
∵∠1= ∠2
实中微课
练习 4.如图 31-15，将一副三角尺(在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝60°； 在 Rt△EDF 中，∠EDF＝90°，∠E＝ 45°)如图摆放，D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P，DF 经过点 C，将△EDF 绕 点 D 顺 时 针 旋 转 α(0°＜ α ＜ 60°) 至 △E′DF′，DE′交 AC 于点 M，DF′交 BC 于点 N，求PCMN的值．答案： 22源自提示：连接AF,ACD
C
由旋转相似△ ADC∽ △ AGF, G
易证伴随相似△ ADG∽ △ ACF,
可得： DG AD 2
CF AC 2
F
A
B
E
实中微课
练习2：如图,已知抛物线
经过点
A（-1，0）、 B(3,0)和C(0,-3),线段BC与抛物线的对称
轴相交于点P. M、N分别是线段OC和x轴上的动点,运
BC BE
追问：已知△ABD∽△CBE，
C 连结ED与AC，你能证明 △ABC∽△DBE吗？
AB BD BC BE
∠ABC=∠DBE
模实型中提微炼课
A
A
D
l
B2
D
l
B2
C
C
E
△ABD∽△CBE
旋转相似
旋转三角形的解题技巧
旋转三角形的解题技巧旋转三角形是一种常见的几何题型，它需要我们通过旋转三角形来寻找解题的突破口。
下面将介绍一些旋转三角形的解题技巧。
1. 利用对称性对称性是旋转三角形解题中常用的技巧。
当我们旋转一个三角形时，可以发现它与原来的三角形具有某种对称性。
例如，当我们将一个等边三角形绕其中心点旋转120度时，可以发现它与原来的等边三角形完全相同。
因此，在解决一些关于等边、等腰、直角等特殊三角形问题时，可以尝试利用对称性进行推导。
2. 利用相似性相似性也是旋转三角形解题中常用的技巧。
当我们旋转一个三角形时，可以发现它与原来的三角形具有某种相似性。
例如，当我们将一个直角三角形绕斜边中点旋转180度时，可以发现它与原来的直角三角形完全相同。
因此，在解决一些关于勾股定理、正弦定理、余弦定理等问题时，可以尝试利用相似性进行推导。
3. 利用平移平移也是旋转三角形解题中常用的技巧。
当我们平移一个三角形时，可以发现它与原来的三角形具有某种平移关系。
例如，当我们将一个等腰三角形向下平移一段距离时，可以发现它与原来的等腰三角形具有相同的底边长度。
因此，在解决一些关于面积、周长、高度等问题时，可以尝试利用平移进行推导。
4. 利用旋转旋转是旋转三角形解题中最基本的技巧。
当我们旋转一个三角形时，可以通过计算旋转后的角度和边长来寻找解题突破口。
例如，当我们将一个任意三角形绕其中心点旋转180度时，可以发现它与原来的三角形完全相反。
因此，在解决一些关于对称性、相似性、平移等问题时，可以尝试利用旋转进行推导。
综上所述，旋转三角形是一种常见的几何题型，在解题过程中需要灵活运用对称性、相似性、平移和旋转等技巧。
只有不断地探索和实践，才能在旋转三角形解题中取得更好的成果。
小专题(四) 相似三角形的判定方法综合
小专题(四)相似三角形的判定方法综合本专题主要从平行型、“A”字型、旋转型、运动型几个出题形式进行考查,其中通过判定三角形相似而得到对应边的比例关系、对应角的相等关系,通过添加辅助线构造相似三角形等题目在历年的中考中屡见不鲜.类型1平行型1.如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE.EF与CD交于点G.求证:△CEG∽ADB.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,△ADB≌△CBD,又∵DF=BE,∴四边形BEFD是平行四边形,∴BD∥EF,∴△CEG∽△CBD,∴△CEG∽△ADB.类型2“A”字型2.(咸宁中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形;(2)选择(1)中的一对加以证明.解:(1)△ADE≌△BDE,△ABC∽△BCD.(2)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD为角平分线,∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,在△ADE和△BDE中,∴△ADE≌△BDE(AAS).∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD为角平分线,∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A,∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BCD.类型3旋转型3.(安徽中考)如图1,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若∠AGD=∠BGC.(1)求证:AD=BC;(2)求证:△AGD∽△EGF;(3)如图2,若AD,BC所在直线互相垂直,求的值.解:(1)∵GE是AB的垂直平分线,∴GA=GB,同理GD=GC.在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,∴△AGD≌△BGC,∴AD=BC.(2)∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.在△AGB和△DGC中,,∠AGB=∠DGC,。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
旋转型相似三角形(经典)
谢谢观看
01
02
03
机械设计
在机械设计中，旋转型相 似三角形可以用来分析旋 转机械的运转情况，如齿 轮、轴承等。
航空航天设计
在航空航天设计中，旋转 型相似三角形可以用来分 析飞行器的旋转部件，如 旋翼、尾翼等。
流体动力学
在流体动力学中，旋转型 相似三角形可以用来描述 旋转流体的运动规律，如 旋涡的形成和演化。
在解决实际问题中的应用
01
旋转型相似三角形的性质不仅在数学问题中有应用，在实际生 活中也有广泛的应用。
02
在工程、建筑、航海和航空等领域，经常需要利用旋转型相似
三角形来测量角度、距离和高度等参数。
例如，在建筑设计中，可以利用旋转型相似三角形来测量建筑
03
物的倾斜角度，以确保建筑物的稳定性和安全性。
理解和掌握。
复数法研究
复数法
通过引入复数，利用复数的几何意义和运算性质，研究旋转型相似三角形的性质和判定条 件。
复数法在旋转型相似三角形中的应用
利用复数的模和辐角等性质，证明旋转型相似三角形的性质和判定定理，如相似比不变等 。
复数法的优势
复数法能够简化证明过程，使证明更加简洁明了，同时能够加深对旋转型相似三角形性质 的理解。
02
旋转型相似三角形的性 质应用
在几何图形中的应用
1
旋转型相似三角形在几何图形中有着广泛的应用， 特别是在解决与角度、长度和面积相关的问题时。
2
通过利用旋转型相似三角形的性质，可以找到未 知角度、长度或面积，从而解决复杂的几何问题。
3
例如，在解决与圆、多边形、立体图形等相关的 问题时，可以利用旋转型相似三角形来建立数学 模型，简化问题。
旋转型相似三角形
04
旋转型相似三角形的证 明方法
旋转法
总结词
通过旋转三角形，将两个三角形置于同一平面内，利用角度 相等和边长比例关系证明相似。
详细描述
首先，将两个三角形中的一个旋转一定角度，使两个三角形 共面。然后，根据旋转的角度和边长比例关系，证明两个三 角形对应角相等，从而得出相似结论。
构造法
总结词
通过构造辅助线，将两个三角形连接 成一个整体，利用整体与部分的关系 证明相似。
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，旋转型相似三角 形可以帮助设计师确定建筑物的 比例和角度，以实现美观和功能
性的平衡。
机械设计
在机械设计中，旋转型相似三角 形可以用来确定机械部件的位置 和角度，以确保机械的正常运转。
艺术创作
在艺术创作中，旋转型Hale Waihona Puke 似三角 形可以帮助艺术家创造具有动态
感和立体感的作品。
详细描述
首先，通过构造辅助线将两个三角形 连接成一个整体。然后，利用整体与 部分的关系，证明两个三角形对应边 成比例，对应角相等，从而得出相似 结论。
代数法
总结词
通过建立代数方程，利用方程的性质证明相似。
详细描述
首先，根据题目条件建立代数方程。然后，利用代数方程的性质，如方程的解的性质和代数的运算性质，证明两 个三角形对应边成比例，对应角相等，从而得出相似结论。
谢谢观看
05
特殊类型的旋转型相似 三角形
等腰旋转型相似三角形
等腰旋转型相似三角形是旋转型相似 三角形的一种特殊类型，其特点是两 腰相等，且与底边形成相同的角度。
等腰旋转型相似三角形的性质还包括 其高与底边的比例关系为1:√2，以及 其面积与边长的关系为S=√2/4 * a^2。
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E
变式二：若把两个正方形改成矩形，且满足 AD = AB
CG =k，此时 AF 的值又是多少？
CE
DE
1 A
D
G
F
B
C
E
本课小结
1、“旋转型”相似三角形的识别
2、“旋转型”相似三角形的特征 1、两对相似三角形
2、两边一夹角证明
A
3、只要有公共对应顶
12
E
点的相似三角形都试用
C
B
D
我们的理想目标：
①旋转前有一对相似三角形，由平 行于三角形一边的直线所截而成。 旋转后产生新的一对相似三角形
D B
A E
C
②证明新相似三角形采用“两边一夹角 判定法”
③角相等从旋转得到，对应边成比例从原 三角形相似中得到。
D
A E
B
C
找出新的相似三角形：
已知△ABC∽△ADE
已知△ABC∽△EDC
已知△ABC∽△AED
发挥基本图形，基本模型的最大功用。 摆脱基本图形，基本模型的束缚。
课后思考题
1.如图，直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1，将其绕直角 顶点C逆时针旋转一个角度α(0°<α<90°)，得到 Rt△A’B’C，在三角板旋转的过程中，边A’C与AB所在直 线交于点D，过点D作DE//A’B’交CB’于点E，连接BE， 设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式。
三角形？并说明理由。
如
D
∠AD
A
的三角
A D ,A B
A E
怎样的
D
E
B
C
B
C
旋转 还原 连接 原相似 新
如图，已知：∠ADE=∠C,分别交AB,CD,于点D,E,将∆ADE绕点A顺时针旋转(点E位
置不限），连接BD,CE.，请观察探究图中是否有相似三角形？并说明理由。
A D
E
A
D E
B
C
B
C
“旋转型”相似三角形的主要特征
"旋转型"相似三角形
—体会线段，角在图形变换中的定位
A
12
E
C B
D
如图，在ΔABC中，
∠ ADE=∠ B， 则 图 中 相 似
A
的三角形是
。
A D ,A B ,A E ,A C 四 条 线 段 有
怎样的大小关系？
D
E
B
C
旋转 还原 连接 原相似 新相似 角 定义 题目
如图，已知：DE∥BC,分别交AB,CD,于点D,E,将∆ADE绕点A顺时针旋转，
已知：△ABD∽△ACE
老师提示：
1.不要死记硬背模型图。
2.解决问题要掌握通法，明白原理，不要只会套特法。
3.经历图形的变换过程，洞悉事物之间的内在转化的真相， 提升直观想象能力和逻辑推理能力为根本初衷。
应用：
1、如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，△ABC绕着
点A旋转后能与△AB’C’重合，那么△ABB’与
使得点E在∆ABC内部，连接BD,CE.(请同学们画出图形），并观察探究图中的相 似三角形,完成证明。
A
D
E
∠A 的三 AD
怎样
B
C
旋转 还原 连接 原相似
如图，已知：DE∥BC,分别交AB,CD,于点D,E,将∆ADE绕点A顺时针旋转，使得点
E在∆ABC外部，连接BD,CE.(请同学们画出图形），并观察探究图中是否有相似
DE
1A
D
1.不要习惯于套模型，要考虑通法。 2
2.能求出或表示出AF , DE的长， 然后再求比吗？
G PF
3.能否考虑三角形相似，如果图形
条件不足，就添加辅助线构造相似 三角形。
o'
B
C
E
变式一：若正方形CEFG绕着点C顺时针旋转一个角 度，此时 AF 的值变化吗？
DE
1A
D
2
PG
o'
B
F C
△ACC’的面积之比为
。
A
B B'
C' C
应用：
2、如图，在ΔABC中，AB=AC，D为线段AB上一 点，作ΔEDC∽ΔABC，连接AE，求证：AE//BC。
D B
A
E
C
备注
应用：
1、 如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知
点B、C、E在同一直线上，连结DE和AF，交于点P。
求 AF 的值。
பைடு நூலகம்
B B'
E
A' D
C
A
课后思考题
2.如图，已知在ΔABC中，把ΔABC绕点C旋转，使A落在 A’，B落在B’处，若A’在AB边上，你能找出图中所有的 相似三角形吗？
B'
C
A
A'
B