应用数学基础 第六章-广义Fourier级数与最佳平方逼近
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工科数学分析11-2
sin kx)
lim n
f
(x 0) 2
f (x
0)
1
f (x
t
)
sin(n 2 sin
1 )t 2 t
dt
0
2
(1)
(2)
1
f ( x 0) lim 1
sin(n )t
f (x t)
2 dt 0,
2
n
0
2 sin t
2
1
f ( x 0) 1 lim
0
的函数 f ( x)在[- , ]是逐段光滑的，则其傅里叶级
数处处收敛,而且在点 x处，级数的和为
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
an
n1
cos nx
bn
sin nx ,
an
1
f ( x)cos nxdx, (n 0,1, 2,
),
bn
1
f ( x)sin nxdx, (n 1, 2,
sin(n 1 )t
0
[ f ( x 0) f ( x t)]
2 dt 0.
(4)
n
2sin t
2
对于(3)假设
t
f
(
x
0) 2 sin
f t
(x
t)
f ( x 0) t
f
(
x
t
)
2
t sin
t
2
2
lim t f '( x 0), lim t f '( x 0)
(bn ')2 2
1 2n2
(an ')2 2
因为
Fourier级数
于是得到 f 的正弦级数
f ( x ) ~ 2
sin 2 x sin 3x (1) n 1 sin nx (1) n 1 sin nx 2sin x 。 n 2 3 n n 1
它的几何意义是由一系列的正弦波迭加出来的三角波（图 9.3.3(a)） ，其逼近情况见图 9.3.3(b)。与例 9.3.1 类似，它在 x 时的值是 0，与 f ( x ) 不相等。 注意， 这两种级数的表达形式虽然大相径庭， 但在下一段就会知道， 若限制在 [0, ) 上，它们表示的确是同一个函数。
n a0 S n ( x) (a k cos kx bk sin kx) 2 k 1
大概应该收敛于 f ( x) ，而在跳跃间断点处，Fourier 级数似乎收敛于 f 在该点左右极 限的中点。 为了判断 Fourier 级数的收敛性， 我们先引入分段单调和分段可导的概念。
定义 9.3.1 设函数 f 在 [a, b] 上有定义。如果在 [a, b] 上存在有限个点
y 1
0
x
(a) (b)
图 9.3.1
函数 f 的图形在电工学中称为方波（图 9.3.1(a)） ，上式表明它可以由一系列正弦 波迭加得到。但显然，当 x 0 和 时，右端级数的和为 ，不等于 f ( x ) 。 图 9.3.1(b)给出了在 [ , ] 上， f 的 Fourier 级数的部分和函数 S m 的逼近情况。 正弦级数和余弦级数 由定积分的性质，若 f 是奇函数，那么显然有 an 0 ，而
1 bn T
于是得到 f 的 Fourier 级数
f ( x) ~
1 (1) n 1 (1) n 1 1 2 (1) n 2 2 cos nx 2 3 2 sin nx 。 6 n 1 n n 1 n n
chapter05复变函数
f ( x)
0
A( ) cos(x)d
1 1
0
B( ) sin(x)d
其中
A( ) B ( )
f ( ) cos( )d f ( ) sin( )d
A() 被称为Fourier余弦变换 B() 被称为Fourier正弦变换
f ( )e i d
F () 被称为Fourier变换 Fourier积分定理被称为反演公式
F -1 F = I
卷积
• Fourier变换的性质
1 F ( ) 性质2（积分性质）F f ( x )dx i 1 f ( ax ) F 性质3（相似性质）F a a
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
3
S1 1 0.75 0.5
S3
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
• -函数的性质
性质1：对于 连续f(x)，有
( x) f ( x)dx f (0)
( x x0 ) f ( x)dx f ( x0 )
x0 0
x0 0
( x x0 ) f ( x)dx f ( x0 )
0
A( ) cos(x)d
1 1
0
B( ) sin(x)d
其中
A( ) B ( )
f ( ) cos( )d f ( ) sin( )d
A() 被称为Fourier余弦变换 B() 被称为Fourier正弦变换
f ( )e i d
F () 被称为Fourier变换 Fourier积分定理被称为反演公式
F -1 F = I
卷积
• Fourier变换的性质
1 F ( ) 性质2（积分性质）F f ( x )dx i 1 f ( ax ) F 性质3（相似性质）F a a
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
3
S1 1 0.75 0.5
S3
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
• -函数的性质
性质1：对于 连续f(x)，有
( x) f ( x)dx f (0)
( x x0 ) f ( x)dx f ( x0 )
x0 0
x0 0
( x x0 ) f ( x)dx f ( x0 )
Fourier分析基础（一）——Fourier级数
Fourier分析基础（⼀）——Fourier级数前⾔傅⽴叶分析的作⽤是把⼀个函数变成⼀堆三⾓函数的和的形式，也就是分解。
⾸先引⼊的是傅⽴叶级数，Fourier级数的作⽤是把函数变为可数⽆限个三⾓函数的和，⽽且这些三⾓函数的频率都是某个基频的整数倍。
如果这个基频⽆限趋近于0，那么在极限的情况下这函数的参数（频率）就连续了，将连续时域函数映射到连续的频域函数的变换就是标准的傅⽴叶变换。
由于⼯程采集的信号⼤多都是离散的，把时域离散化以后不可能在得到连续的频域函数，所以在频域上也不连续了，这种离散时域序列到离散频域序列的变换称之为离散傅⽴叶变换（DFT），然后有⼈开发出了快速计算的快速傅⽴叶变换（FFT）。
以上介绍的每⼀种Fourier变换都有其逆变换。
Fourier级数考虑⼀下，假设存在2个序列和，还有⼀个数字。
现在有⼀个时域上变化的函数。
这个函数可以表达为如下的形式：这就是傅⽴叶级数，傅⽴叶变换最基础的形式。
上式中和式的形式或许并不直观，如果画出⼀部分或许会直观⼀些。
如图所⽰，是从圆频率为1rad/s~10rad/s的正弦信号的合集。
在空间上的Fourier级数展开考虑傅⽴叶级数，⾸先考虑周期函数在上的展开，但是在展开之前，需要做⼏个计算和证明。
计算（就不计算了，这个是⼀样的）。
积分过程略，得到。
这样就求出了在上的范数，就是那么正交基不妨使⽤构成。
然⽽我并不知道这个集合是不是正交的基，需要证明啊！下⾯证明如下的积分关系成⽴：其中，，可以的很轻松得到：2,4,5的正确性，关键在于1,3,6的证明上。
证明了以上六个等式，也就等同证明了是空间的⼀组正交基。
⾸先我们都造：辣么两个加⼀下就得到:减⼀下就得到：的时候，上⾯那俩货上积分是0可以⽤⾁眼看出。
看不出的……呵呵最后证明1式，⾸先假设，很轻松就证明了，然后的时候，函数是奇函数，所以在相对原点对称的区间上积分是0。
证完收⼯。
现在我们搞到了这么⼀组正交基：下⾯就要⽤它分解函数了，也就是计算这些系数。
fourier 级数
a0
a0
1
f ( x )dx
(1) 式两边乘以 nx后积分: cos
a0 f ( x ) cos nxdx 2
cosnxdx
(a k cos kx cos nxdx bk sinkx cos nxdx )
k 1
an
an
2
0
bn 0.
cosnxdx 0; sinnxdx 0; sinmx sinnxdx 0 ; cosmx sinnxdx 0 ; cosmx cosnxdx 0 ; (m n)
又有：
1 dx 2；
2
cos2 nxdx a n
an
1
f ( x ) cos nxdx( n 1,2,....)
(1)两边乘以 nx后积分，同样可得： sin
bn
1
f ( x ) sin nxdx ( n 1 2， ， ...)
1 a n f ( x ) cos nxdx ( n 0,1,2,.....) ( 2) 1 bn f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,.....)
bn
0
1
f ( x ) sinnxdx ( 1) n 1 x sinnxdx n
( n 1, 2, 3,)
ChSec正交多项式最佳平方逼近
定义 称多项式
H
n (x)
(1) n
e x2
dn dx n
(e x2
),
x (, )
(n 0, 1, 2, )
为埃尔米特多项式。
① {Hn(x)}是在区间(-, +)上带权函数 ( x ) e x 2
的正交多项式序列。
e x2
H
m
(x)
H
n
(x)dx
0,
2
n
n!
mn , mn
② 相邻的三项具有递推关系式：
上带权
(x)
1
1 x2
的正交多项式序列。且
0,
1 1
1 1
x2
Tm ( x)Tn ( x)dx
2
,
,
mn mn0 mn0
(2) 递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关 系式：
T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x T n 1 ( x ) 2 x T n ( x ) T n 1 ( x )
u n (x)
s in [ (
n
1) arccos 1 x2
x]
(n 0, 1, 2, )
为第二类切比雪夫多项式。
① {un(x)}是在区间[-1, 1]上带权函数 ( x ) 1 x 2
的正交多项式序列。
② 相邻的三项具有递推关系式：
u u
0 n
(x) 1 ( x
)
1,
2
u x
(n 1, 2, )
(3) 奇偶性：
切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为奇函数； n为偶数时为偶函数。
Tn ( x) cos[n arccos( x)] cos(n ncar cos x) (1) n cos(narc cos x) (1) n Tn ( x)
课件：傅里叶(Fourier)级数
nx
dx
0
9
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
1
1d
x
2
cos2
n xdx
sin
2
nx
dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin 2 nx 1 cos 2nx
2
2
10
6.4.2 函数展开为傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
5x
( x , x (2k 1) , k 0, 1 , 2 , )
说明:
当
x
(2k
1)
时,
级数收敛于
0
(
2
)
2
22
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f (x) ,
x [ , )
F(x)
f (x 2k ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
23
例3. 将函数
2
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
bn
1
f (x)sin nx d
2 cos x
x
1
0
x sin nxdx
sin x 1 sin 2x (
n
(1)n1 n
1, 2, )
4
2
2
32
cos3x 1 sin 3x 1 sin 4x
3
4
522
cos 5 x
1 5
sin
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
最佳平方逼近
2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
函数的最佳平方逼近
主讲 孟纯军
最佳平方逼近
最佳平方逼近多项式 正交多项式； 正交多项式在最佳平方逼近中的应用。
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 g ( f , 1 )1 ..... ( f , n )n
正交多项式
在求最佳平方逼近多项式中，若选取基 1,x,…,xn,得到的法方程组往往病态， 我们考虑取多项式空间的正交基。
设多项式序列g0 , g1 , gn， 其中gi ..., 是i次多项式, w( x)为给定的权函数，若
( f , i ) ai , i 1,n (i , i )
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 ( f , n ) ( f , 1 ) g 1 ..... n (1 , 1 ) (n , n )
若1 ( x),....m ( x)是标准正交基时，则 ai ( f , i )，i 1,n
a0=1.8846 , a1=7.4880x, a2=7.4880
所以，最佳平方逼近二次多项式为 p(x)=1.8846 -7.4880x+7.4880x2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
函数的最佳平方逼近
主讲 孟纯军
最佳平方逼近
最佳平方逼近多项式 正交多项式； 正交多项式在最佳平方逼近中的应用。
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 g ( f , 1 )1 ..... ( f , n )n
正交多项式
在求最佳平方逼近多项式中，若选取基 1,x,…,xn,得到的法方程组往往病态， 我们考虑取多项式空间的正交基。
设多项式序列g0 , g1 , gn， 其中gi ..., 是i次多项式, w( x)为给定的权函数，若
( f , i ) ai , i 1,n (i , i )
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 ( f , n ) ( f , 1 ) g 1 ..... n (1 , 1 ) (n , n )
若1 ( x),....m ( x)是标准正交基时，则 ai ( f , i )，i 1,n
a0=1.8846 , a1=7.4880x, a2=7.4880
所以，最佳平方逼近二次多项式为 p(x)=1.8846 -7.4880x+7.4880x2
最佳逼近PPT课件
φ(xi)=f(xi),
有可能给的条件个数n大于多项式
P(x)的待定系数个数，如，10个插值条件求
5次多项式，该问题是无解的。
有时我们所需的近似函数不一定是多项式。
在实际问题中,往往并不要求近似函
数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只
要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之 间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地
Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm
(4―70)
这种方法称为多项式拟合数据。
偏差的平方和
n
n
R ri2 [Pm ( xi ) yi ]2
i0
i0
(4―71)
为最小,这样的方法称为线性最小二乘法,R称为用
Pm(x)拟合f(x)的总偏差。 根据极值理论,要使得R达到极小,必有
反映函数y=f(x)的大致面目,也即与f(x)有最
好的拟合(或逼近)。这就是曲线拟合问题。
有的还称为配曲线或找经验公式。
例如,已知数据
x0
1
2
3
4
5
y1
1.6
2.1
2.4
3.2
3.4
我们可以用近似函数
(
x)
a0
a1x
1
1 2
x
图 4.4
因为曲线拟合问题并不要求满足插
值原则
φ(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
k (x) C[a,b](k 0,1, 2 , n) 且线性无关.
记 Span{0 ,1,,n}
为连续函数空C[a,b]的子空间,如果存在元素
函数逼近与FFT之最佳平方逼近
lim f ( x ) Sn ( x ) 0 n 2
Legendre 多项式展开
按 Legendre 多项式展开
设 f(x) C[-1, 1]，(x) = 1
Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P1 ( x) anPn ( x)
(Pk , f ) 2k 1 1 其中 a 1 Pk ( x ) f ( x ) dx (Pk , Pk ) 2
k
一致收敛性：若 f ”(x) 在 [-1, 1] 上分段连续，则
f ( x) C ( x)
Chebyshev 级数
a0 n akTk ( x ) 部分和 Cn ( x ) 2 k 1
误差
f ( x) Cn ( x 1 e x dx 2.3504 1 P1 , f 1 xe x dx 0.7358 1 P2 , f 1 (1.5 x 2 0.5)e x dx 0.1431 1 P3 , f 1 (2.5 x 3 1.5 x )e x dx 0.02013
正交函数作逼近
若 0, 1, , n 正交，则法方程的解为 a 所以
k
k , f k , k
k = 0, 1, …, n
0 , f ( x ) 1 , f ( x ) n , f ( x ) S * ( x) 0 1 n 0 , 0 1 , 1 n , n
误差
( x) 2
2
n
k , f f ( x) 2 k 0 k , k
2 n 2
2
k , f , k 0 k k
Legendre 多项式展开
按 Legendre 多项式展开
设 f(x) C[-1, 1]，(x) = 1
Sn ( x) a0 P0 ( x) a1 P1 ( x) anPn ( x)
(Pk , f ) 2k 1 1 其中 a 1 Pk ( x ) f ( x ) dx (Pk , Pk ) 2
k
一致收敛性：若 f ”(x) 在 [-1, 1] 上分段连续，则
f ( x) C ( x)
Chebyshev 级数
a0 n akTk ( x ) 部分和 Cn ( x ) 2 k 1
误差
f ( x) Cn ( x 1 e x dx 2.3504 1 P1 , f 1 xe x dx 0.7358 1 P2 , f 1 (1.5 x 2 0.5)e x dx 0.1431 1 P3 , f 1 (2.5 x 3 1.5 x )e x dx 0.02013
正交函数作逼近
若 0, 1, , n 正交，则法方程的解为 a 所以
k
k , f k , k
k = 0, 1, …, n
0 , f ( x ) 1 , f ( x ) n , f ( x ) S * ( x) 0 1 n 0 , 0 1 , 1 n , n
误差
( x) 2
2
n
k , f f ( x) 2 k 0 k , k
2 n 2
2
k , f , k 0 k k
最佳平方逼近和最小二乘法
最佳平方逼近和最小二乘法哎呀，今天我们来聊聊一个挺有意思的话题，那就是最佳平方逼近和最小二乘法。
这听起来好像挺高大上的样子，其实呢，咱们可以把它变得简单易懂。
想象一下，你在阳光明媚的下午，喝着冰凉的饮料，跟朋友闲聊。
说起这些数学名词，大家可能会皱眉头，但我跟你说，这其实跟咱们生活中遇到的那些小烦恼有着千丝万缕的联系。
什么是最佳平方逼近呢？就像你和朋友一起找地方吃饭。
你们各自都提出了自己的想法，但最后为了避免争吵，大家决定选择一个最符合大家口味的地方。
这个过程就像是在给一堆数据点找到一个最合适的“朋友”。
想象一下，在坐标系上，有一堆点在那儿乱七八糟地分布着。
你想找一条线，尽量让这条线离这些点都近一点儿。
没错，这就是最佳平方逼近。
它试图找到那条线，让所有点到这条线的距离平方和最小。
简单点说，就是尽量让大家都满意。
再说说最小二乘法。
这名字听上去像个数学怪物，但其实它就是一种聪明的方式，帮助我们处理那些烦人的数据。
咱们可以把它想象成在考场上，有些同学的分数特别高，有些则低得让人心疼。
如果你只看最高分和最低分，可能会觉得这次考试的结果一片惨淡。
但如果你用最小二乘法来分析，那就好像给每个人的分数加了个权重，最终得出的平均分就能更真实地反映出大家的水平。
你可能会问，这俩东西有什么关系呢？嗯，其实它们是一对好搭档。
最佳平方逼近就是在找一条线，而最小二乘法则是在告诉你怎么画出这条线。
就像你要画一个完美的心形，光靠眼睛估计可不行，得有个具体的方法。
最小二乘法就像那把尺子，帮你量出每个点到线的距离，让你知道要怎么调整，才能画得又圆又满。
而且啊，这些方法可不光是在数学课上用得着。
咱们的日常生活中也是到处都是应用。
比如你在超市买水果，有些橙子很便宜，有些却贵得让你心疼。
你可能想知道，橙子的价格到底是个什么水平。
于是，你就可以用最小二乘法来分析这批橙子的价格走势，看看哪些便宜又好吃，哪些是价格虚高。
结果一出来，你就能得出一个合理的消费建议，哎呀，简直太棒了！还有呢，想想你在网上购物时，看到的那些评价。
Fourier级数的性质及收敛定理的证明
0)
2
t
f (x t) t
f ( x 0) 2 sin t
,
t (0, π].
2
17
取极限得到
lim(t) f ( x 0) 1 f ( x 0).
t 0
再令(0) f ( x 0), 则函数 在点 t 0 右连续.
因为 在 [0, π]上至多只有有限个第一类间断点,
所以 在 [0, π]上可积. 根据定理1和推论2,
nxdx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
(4)
4
将(3), (4)代入(2)，可得
0
π
[
π
f
(
x
)
Sm
(x)]2dx
π π
f
2( x)dx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
因而
a02 2
m
(an2
n1
bn2 )
1 π
π [ f ( x)]2dx,
π
它对任何正整数m成立.
0,
(10)
n 2
π0
2sin t
2
与
lim
f
(
x
0)
1
0
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
0.
n 2
π π
2sin t
(11)
2
先证明 (10) 式. 对 (9) 式积分 后得到
15
1
π
π
sin
n
1 2
x
dx
1
第六章 函数最佳逼近
最佳一致逼近多项式 /* optimal uniform approximating polynomial */ 的构造：求 n 阶多项式 Pn(x) 使得 || Pn y || 最 小。
v 1.0
直接构造 OUAP 的确比较困难，不妨换个角度，先 考察它应该具备的性质。有如下结论：
OUAP 存在，且必同时有 偏差点。 证明：存在性证明略。后者用反证法，设只有正偏差点。
（2） x x dx n 0,1, 存在；
b a
n
（3）对非负连续函数 f ( x )，若 f x x dx 0，则在上
a
b
一定有 f ( x) 0，那么称 ( x )是区间 [a, b]上的权函数。
权函数的一种解释是物理上的密度函数，相应的 a x dx 表示 。 总质量，当权函数常数时，表示质量分布是均匀的。
1 d P0 ( x ) 1, Pn x n 2 n! dx
n
x
2
1
n
n 1, 2,
思考: Pn ( x ) 的最高次项系数为？ 最高次项系数为1的Legendre 多项式有什么样的形式？
Pn 的重要性质：
0, mn 正交性 1 P ( x ) P ( x )dx 2 1 n m , mn 2n 1
( x x k ) 2 qn k ( x )
2.几个常用的正交多项式 勒让德多项式/* Legendre polynomials */
当区间为[1,1] ，权函数 ( x) 1时，由 1, x , x 2 , , x n , 正交化得到的多项式称为Legendre多项式，用Pn ( x ) 表示。 其简单的表达式为
计算方法 最佳平方逼近最小二乘法 ppt课件
1 1
1
12aa10
(f, 0) (f, 1)
2 3
推导在最后一页PPT
( f0 ),0 11x 2 d x 1 2ln(2 1 )2 21.14
(f1 ),0 1 x1 x 2 d x 1 3 ( 1 x 2 )3 2|1 0 22 3 10.
1 1
1
12aa10
1.147 0.609
|| f(-x s( )|x 2 2 | ) a bρ[ (f x- (s )x (2 ) d x) x
度量。
权函数
练习：
设f (x 1)，s(xx在 ,) [0,1别 ]上 求，分 ||f(x -s)(x | |)与||f(x -s)(x |2 |)(设权函
解：
| |f(- xs)(|x | )m 0x1|a1- xx|1
与拟合曲线的偏差的平方和最小,这就是最小二乘原 理。
两种逼近概念: 插值: 在节点处函数值相同. 拟合: 在数据点处误差平方和最小
问题的提出： • 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 代
表f(x)在区间[a, b]上的一系列点的函数值 yi= f(xi) ，通常由函数表来表达。
x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
最佳平方逼近
函数逼近的类型
• 最佳一致逼近：使用多项式对连续函数进行一致 逼近。逼近误差使用范数
|f |(-s x (x ) | |) m a x b|f a(- x s x (x ) | )
度量。
这种度量太强
• 最佳平方逼近：使用多项式s(x)对连续函数f(x)进 行平方逼近。逼近误差使用范数
数值分析06-平方逼近
x dx cos xdx 0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 2 2
从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求 解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便 ，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到 正交多项式。 定义6.3 如果函数系{0(x), 1(x),…, m(x),…}满足:
0 k 1
( x ) 因而任一至多 0 k ( k1次多项式 Q ( x ) 均能表成它们的线性组 0且 ( x ) 0 ,1, 2 ,...) k 1
2 k 2 k
合。
根据定积分性质有： ( k , k ) ( x ) k ( x ) d x 0 设： Q k 1 ( x ) b aj j ( x ) 所以， k ( x )}为正交多项式系。0 { j
2
阜师院数科院第六章 函数逼近
b a
( k 2 ,3 , L , n )
6-11
( x ) k 2 ( x ) d x
2
下面介绍几种常用的正交多项式: （一）勒让德（Legendre）多项式 Legendre多项式的一般表示式为: n 1 d 具体表达 2 n Pn ( x ) n [( x 1) ] n 式为: 2 n! dx
W Y
设 0， 1， ， n 是线性相关的
, 即存在不全为
c 0 ( 0 , i ) c 1 ( 1 , i ) c n ( n , i ) c i ( i , i ) 0
0， 1， ， n 在 [ a , b ]上线性无关。
0 ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x ) dx a Ak 0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 2 2
从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求 解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便 ，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到 正交多项式。 定义6.3 如果函数系{0(x), 1(x),…, m(x),…}满足:
0 k 1
( x ) 因而任一至多 0 k ( k1次多项式 Q ( x ) 均能表成它们的线性组 0且 ( x ) 0 ,1, 2 ,...) k 1
2 k 2 k
合。
根据定积分性质有： ( k , k ) ( x ) k ( x ) d x 0 设： Q k 1 ( x ) b aj j ( x ) 所以， k ( x )}为正交多项式系。0 { j
2
阜师院数科院第六章 函数逼近
b a
( k 2 ,3 , L , n )
6-11
( x ) k 2 ( x ) d x
2
下面介绍几种常用的正交多项式: （一）勒让德（Legendre）多项式 Legendre多项式的一般表示式为: n 1 d 具体表达 2 n Pn ( x ) n [( x 1) ] n 式为: 2 n! dx
W Y
设 0， 1， ， n 是线性相关的
, 即存在不全为
c 0 ( 0 , i ) c 1 ( 1 , i ) c n ( n , i ) c i ( i , i ) 0
0， 1， ， n 在 [ a , b ]上线性无关。
0 ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x ) dx a Ak 0
63 最佳平方逼近
(
0,
1
)
( 1, 1 )
( n, 1
)
c1
(
f
,1
)
(0,n )
(1,n )
(
n,
n
)
cn
( f ,n )
第18页/共49页
格拉姆(Gram)矩阵
(0,0 )
当且设a仅 00 (0当 x)(, xa1)(0x), aa1,1 1n((xx) ) 是[aan,时ba]成 上n线立 n (性x,)则 无关称 0 的连续函数 a0,0a(1x,)…,,1a(xn )是, 任意n (实x数)在，[a则, b]上是线性无关的.
S (x) a00 (x) a11 (x) ann (x)
的全体是C[a, b]的一个子集，记为 n Span{0 , 1, , n}
并称 0 (x), 1(x), , n (x) 是生成集合的一个基底。
第8页/共49页
定义6.13 (最佳平方逼近函数) 设 0 ( x),1( x),n ( x),是C[a , b]中的线性无关函数, 记 span{0,1, , ,n,}
的全体是cab的一个子集记为上连续如果定义613最佳平方逼近函数定理612连续函数在ab上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆gram行列式g0其中定理611对于任意的函数gram行列式不等于零对于连续函数空间cab中的元素fx及其子空间中的最佳平方逼近最佳平方逼近就是存在都有
定义 近似代替又称为逼近，函数 f(x) 称为被逼近函
(0 ,1 )c0 (1 ,1 )c1 (n ,1 )cn ( f ,1
数值计算与最优化(lecture 12)最佳平方逼近
称上式为函数序列0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在点 x1, x2 ,..., xm 上 简单记为 Gn a b 的法方程组。
显然，系数矩阵Gn是对称的。由于0 ( x), 1 ( x),, n ( x) 是线性无关的，因而Gn也是非奇异的，即
det(Gn ) det[((i , j ))( n1)( n1) ] 0
三、一般最小二乘拟合问题
定义5.1.1 设函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)定义在实数集X上。
如果存在不全为零的实数c0 , c1 ,..., cn，使得
c0 0 ( x) c11 ( x) cnn ( x) 0, x X
成立，则称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性相关； 否则，称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性无关。
重度:
i 1, 2,..., m
即权重或者密度，统称为权系数
定义加权残差的平方和为
2 2
i i2 i ( y( xi ) yi ) 2
i 1 i 1
m m 2 i
m
m
即，在最小二乘中， 用更一般的加权平均 i i2代替。
i 1 i 1
最小二乘问题可推广如下：
根据Cramer法则，法方程组有唯一解：
a0 a0 *, a1 a1 *,, an an *
因此
S *( x) a* j ( x)为最小二乘解。 j
j 0 n
作为一种简单的情况：
常使用多项式S ( x) P ( x)作为( xi , yi )(i 1, 2,..., m)的拟合函数 n
显然，系数矩阵Gn是对称的。由于0 ( x), 1 ( x),, n ( x) 是线性无关的，因而Gn也是非奇异的，即
det(Gn ) det[((i , j ))( n1)( n1) ] 0
三、一般最小二乘拟合问题
定义5.1.1 设函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)定义在实数集X上。
如果存在不全为零的实数c0 , c1 ,..., cn，使得
c0 0 ( x) c11 ( x) cnn ( x) 0, x X
成立，则称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性相关； 否则，称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性无关。
重度:
i 1, 2,..., m
即权重或者密度，统称为权系数
定义加权残差的平方和为
2 2
i i2 i ( y( xi ) yi ) 2
i 1 i 1
m m 2 i
m
m
即，在最小二乘中， 用更一般的加权平均 i i2代替。
i 1 i 1
最小二乘问题可推广如下：
根据Cramer法则，法方程组有唯一解：
a0 a0 *, a1 a1 *,, an an *
因此
S *( x) a* j ( x)为最小二乘解。 j
j 0 n
作为一种简单的情况：
常使用多项式S ( x) P ( x)作为( xi , yi )(i 1, 2,..., m)的拟合函数 n
最佳逼近与Fourier系数的等价关系
最佳逼近与Fourier系数的等价关系
最佳逼近与Fourier系数的等价关系
探讨最佳逼近En(f)与函数的Fourier系数^f(n)∈C,n=0,±1,±2,…,在{f(n)}∞n=0∈MVBVS*和^f(n)+f(-n)}∞n=0∈MVBVS*条件下的等价关系问题,此地MVBVS*为所称的强均值有界变差(strong mean value bounded variation)数列的集合.
作者：虞旦盛周平周颂平作者单位：虞旦盛(浙江理工大学数学研究所,杭州,310018;Department of Mathematics,Statistics and Computer Science,St.Francis Xavier University,Antigonish,Canada B2G 2W5)
周平(Department of Mathematics,Statistics and Computer Science,St.Francis Xavier University,Antigonish,Canada B2G 2W5) 周颂平(浙江理工大学数学研究所,杭州,310018)
刊名：中国科学A辑ISTIC PKU英文刊名：SCIENCE IN CHINA(SERIES A) 年，卷(期)：2007 37(11) 分类号：O1 关键词：最佳逼近 Fourier系数均值有界变差。
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2012-12-31 7
§6.1-2 Fourier系数与Bess X中的标准正交系, x X, M = span{e1, …, en}, 则
(1) x在M上的投影x0可表示为x0 = x , e i e i ;
(2) || x0 ||2 = | x , e i |2 ;
i 1 n
n
i 1
(3) || x - x0 ||2 = || x ||2 - || x0 ||2.
此 x0与Th6.2及 前面的意义不同
Hint: (1) 只要证此 x0确是 x在M上的投影即可. 再利用：
x0确是 x在M上的投影 (x x0) M x x0与{e1, …, en}正交 (2) & (3) 利用勾股定理可证 .
做法：令 = d(x, M), 则有{ yn } M, 使得
lim || x y || = . n
y M
再证{ yn }是Cauchy序列，令 y y0M即可.
(b) 再证明x y0 M .
2012-12-31
(c) 令 x0 = x y0, 则…
5
§6.1-1
定义6.5 设X是赋范线性空间, M是X的子空间, xX. 若 存在 y0M, 使得 || x y0 || = d(x, M) = inf || x y ||,
y M
则称y0为x在M上的最佳逼近. 最佳逼近与空间的范数(或内积)有关. 在Banach空间( C[a, b], || • || )中的最佳逼近称为最 佳一致逼近, 而Hilbert空间L2[a, b]中的最佳逼近称为最 佳平方逼近. 本节讨论在L2[a, b]的有限维子空间M上的最佳平方 逼近，并从给出的两种方法中比较选出标准正交系法.
f s* , ei f , ei a j e j , ei 0, (1 i n)
j 1 n
从而得到一个系数行列式非零的线性方程组： e1 , e1 a1 e 2 , e1 a2 e n , e1 an f , e1 e1 , e 2 a1 e 2 , e 2 a2 e n , e 2 an f , e 2 e1 , e n a1 e 2 , e n a2 e n , e n an f , e n 可用Cramer法则或其它方法求解，得出a1, …, an .
第六章 广义Fourier级数与最佳平方逼近
学时数： 内容提要： 正交投影及投影定理，广义Fourier级数、Bessel不等 式、完全标准正交系及其判定条件、Parseval恒等式； 函数的最佳平方逼近的概念, 计算最佳平方逼近的方 法和Legendre多项式、Hermite多项式、Laguerre多项 式、Chebychev多项式等正交多项式的性质与计算； 曲线拟合的最小二乘法及其矩阵表示. 基本要求： 理解正交投影及多项式逼近的概念，了解正交多项式的 基本性质，熟练掌握用几种正交多项式计算最佳平方逼 近的方法. 知道曲线拟合的最小二乘法. 6学时
§6.1 正交投影和广义Fourier级数
一、正交投影与正交分解 定义6.1 设X是内积空间, M是X的子空间, xX. 若存在 y0M和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 , (6.1) 则称y0为x在M上的正交投影, (6.1)式称为x的正交分解. 几何解释： 设M是R3 中过原点的平面(即完备 子空间). xX, y0M 和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 , 其中y0为x在M上的投影, 且有 || x y0 || || x y ||, xR3.
推论 设{ei}是内积空间X中的标准正交系, 则对于每一个 xX都有
lim x, ei = 0 .
n
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§6.1-3 完全标准正交系及其等价条件
定义6.3 若F＝ei是内积空间X的正交系，并且满足
spanF X ,
则正交系F称为完全系，或者称F为X中的完全正交系. 若F又是标准正交系，则称F为X中的完全标准正交系. 定理6.5 若F＝ei是Hilbert空间H中的标准正交系, 则 下列四条等价: (1) F是 H的完全标准正交系; Parseval恒等式 (2) F = {0}; (3) 对每一个xH, 有 x x, ei ei ;
定理6.2(投影定理) 若M是内积空间的完备子空间, 则 X的每一个元素x在M上的投影都唯一地存在, 即存在唯 一的y0M和x0 M, 使得 x = y0 + x0 . 证明 (a) 先证明xM, y0M , 使得
|| x y0 || = d(x, M) = inf || x y ||.
2012-12-31 12
§6.2-1
最佳平方逼近问题
定义6.6 若M是Hilbert空间L2[a, b]的一个有限维子空间, 则L2[a, b]中的每一个元素 f 在M上的投影 s*都唯一地存
在(定理6.2), 并且
b | f ( x ) s( x ) |2 dx || f s* || = d( f, M) = inf a sM s*称为 f 在M上的最佳平方逼近, 称|| f s* ||为最佳平方 逼近 s*的误差. 在实际应用中，X是Banach空间( C[a, b], || • || )或 Hilbert空间L2[a, b], 而M是X的一个完备子空间. 因此， 最佳逼近的存在性与唯一性问题自然就解决了.
y M
证明 先证明唯一性. 若y0, y1都是 x在M 上的投影, 则 y0 y1M, 且 y0 y1M 从而… 再证(6.2)式. 因此，如果 x在M上的投影y0存在, 则M用中元素 来逼近x时，当y = y0时误差达到最小值d(x, M).
2012-12-31 4
§6.1-1
正交投影与正交分解
2012-12-31 6
§6.1-2 Fourier系数与Bessel不等式
例6.1 实内积空间C[0, 2 ]的内积定义为： 1 2 x , y x( t ) y( t )dt .
1 令u0= , un(t) = cos nt, vn(t) = sin nt (nN), 则C[0, 2 ] 2
第六章 广义Fourier级数与最佳平方逼近
本章内容结构 §6.1 正交投影和广义Fourier级数 一般性地介绍了正交投影及投影定理、正交投影的存 在与唯一性问题，广义Fourier级数、完全标准正交 系及其判定条件，最佳逼近问题. §6.2 函数的最佳平方逼近 计算最佳平方逼近、多项式逼近、逼近误差以及 它们的计算方法. 6.3 几种重要的正交多项式 Legendre多项式、Hermite多项式、Laguerre 多项式、Chebychev多项式等正交多项式的 性质与计算.
i 1
2 2 (4) 对每一个xH, 有 || x || | x, e i | . i 1
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§6.1-3 完全标准正交系及其等价条件
Hint: 定理6.5的证明采用循环证法， 参见教材第281-283页. 定义6.4 若F = {ei}是Hilbert空间H的完全标准正交系, 则 每一个xH 可展开为无穷级数, 即
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§6.2-1
最佳平方逼近问题
方法2：假设{e1, e2, …, en}是M的一组标准正交系, 则前 面的线性方程组之系数矩阵为单位矩阵E, 因此立即得 到 ai = < f, ei >, ( i = 1, 2, …, n ). 于是
s* f , e i e i ,
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x
x-y
y
O M x0 = x-y0 y0
3
§6.1-1
正交投影与正交分解
设 X是内积空间, M是 X的任意子空间. 则对任意的xX, x在M 上的投影不一定存在, 但若存在则唯一，即有：
定理6.1 设X是内积空间, M是X的子空间, xX. 若x在M 上的投影y0存在, 则x在M上的投影y0是唯一的, 并且 || x y0 || = d(x, M) = inf || x y || (6.2)
0
的每一个元素可以展开为Fourier级数： a0 x( t ) ( an cos nt bn sinnt ), 2 n1 1 2 其中 a0 x( t )dt , an x , un , bn x , v n , ( n N ). 0 定义6.2 设 F = { ei }是内积空间X中的标准正交系, xX, 则内积<x, ei>称为x关于F的广义Fourier系数, 或简称为 Fourier系数.
例6.2 记 ei (x) = xi ( x [0, 1], i = 0, 1, 2, …, n), 则 {e0 , e1, …, en}是 L2[0, 1] 的子空间Pn[0, 1]的基. 设 f(x) = ex ( x[0, 1]), 则f C[0, 1] L2[0, 1], cf. 教材p.286 (1) 求 f 在Pn[0, 1]上的n次最佳平方逼近 sn*； (2) 当n=2时，求 f 的二次最佳平方逼近 s2*. 解: (1) 对i, j= 0, 1, 2, …, n, 易计算出< ei , ej >=1/(i+j+1). 用方法1可列出相应的方程, 从而求解.(它的系数矩阵是 Hilbert矩阵，由§5.1知它是病态的--Page 232) (2) n=2时, 先计算出三个常数项依次为e-1, 1和e-2， 解方程得s2*=1.01299 + 0.85113x +0.83918x2, 2=410 -5.
下面将介绍求s*的两种方法.
§6.1-2 Fourier系数与Bess X中的标准正交系, x X, M = span{e1, …, en}, 则
(1) x在M上的投影x0可表示为x0 = x , e i e i ;
(2) || x0 ||2 = | x , e i |2 ;
i 1 n
n
i 1
(3) || x - x0 ||2 = || x ||2 - || x0 ||2.
此 x0与Th6.2及 前面的意义不同
Hint: (1) 只要证此 x0确是 x在M上的投影即可. 再利用：
x0确是 x在M上的投影 (x x0) M x x0与{e1, …, en}正交 (2) & (3) 利用勾股定理可证 .
做法：令 = d(x, M), 则有{ yn } M, 使得
lim || x y || = . n
y M
再证{ yn }是Cauchy序列，令 y y0M即可.
(b) 再证明x y0 M .
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(c) 令 x0 = x y0, 则…
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§6.1-1
定义6.5 设X是赋范线性空间, M是X的子空间, xX. 若 存在 y0M, 使得 || x y0 || = d(x, M) = inf || x y ||,
y M
则称y0为x在M上的最佳逼近. 最佳逼近与空间的范数(或内积)有关. 在Banach空间( C[a, b], || • || )中的最佳逼近称为最 佳一致逼近, 而Hilbert空间L2[a, b]中的最佳逼近称为最 佳平方逼近. 本节讨论在L2[a, b]的有限维子空间M上的最佳平方 逼近，并从给出的两种方法中比较选出标准正交系法.
f s* , ei f , ei a j e j , ei 0, (1 i n)
j 1 n
从而得到一个系数行列式非零的线性方程组： e1 , e1 a1 e 2 , e1 a2 e n , e1 an f , e1 e1 , e 2 a1 e 2 , e 2 a2 e n , e 2 an f , e 2 e1 , e n a1 e 2 , e n a2 e n , e n an f , e n 可用Cramer法则或其它方法求解，得出a1, …, an .
第六章 广义Fourier级数与最佳平方逼近
学时数： 内容提要： 正交投影及投影定理，广义Fourier级数、Bessel不等 式、完全标准正交系及其判定条件、Parseval恒等式； 函数的最佳平方逼近的概念, 计算最佳平方逼近的方 法和Legendre多项式、Hermite多项式、Laguerre多项 式、Chebychev多项式等正交多项式的性质与计算； 曲线拟合的最小二乘法及其矩阵表示. 基本要求： 理解正交投影及多项式逼近的概念，了解正交多项式的 基本性质，熟练掌握用几种正交多项式计算最佳平方逼 近的方法. 知道曲线拟合的最小二乘法. 6学时
§6.1 正交投影和广义Fourier级数
一、正交投影与正交分解 定义6.1 设X是内积空间, M是X的子空间, xX. 若存在 y0M和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 , (6.1) 则称y0为x在M上的正交投影, (6.1)式称为x的正交分解. 几何解释： 设M是R3 中过原点的平面(即完备 子空间). xX, y0M 和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 , 其中y0为x在M上的投影, 且有 || x y0 || || x y ||, xR3.
推论 设{ei}是内积空间X中的标准正交系, 则对于每一个 xX都有
lim x, ei = 0 .
n
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§6.1-3 完全标准正交系及其等价条件
定义6.3 若F＝ei是内积空间X的正交系，并且满足
spanF X ,
则正交系F称为完全系，或者称F为X中的完全正交系. 若F又是标准正交系，则称F为X中的完全标准正交系. 定理6.5 若F＝ei是Hilbert空间H中的标准正交系, 则 下列四条等价: (1) F是 H的完全标准正交系; Parseval恒等式 (2) F = {0}; (3) 对每一个xH, 有 x x, ei ei ;
定理6.2(投影定理) 若M是内积空间的完备子空间, 则 X的每一个元素x在M上的投影都唯一地存在, 即存在唯 一的y0M和x0 M, 使得 x = y0 + x0 . 证明 (a) 先证明xM, y0M , 使得
|| x y0 || = d(x, M) = inf || x y ||.
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§6.2-1
最佳平方逼近问题
定义6.6 若M是Hilbert空间L2[a, b]的一个有限维子空间, 则L2[a, b]中的每一个元素 f 在M上的投影 s*都唯一地存
在(定理6.2), 并且
b | f ( x ) s( x ) |2 dx || f s* || = d( f, M) = inf a sM s*称为 f 在M上的最佳平方逼近, 称|| f s* ||为最佳平方 逼近 s*的误差. 在实际应用中，X是Banach空间( C[a, b], || • || )或 Hilbert空间L2[a, b], 而M是X的一个完备子空间. 因此， 最佳逼近的存在性与唯一性问题自然就解决了.
y M
证明 先证明唯一性. 若y0, y1都是 x在M 上的投影, 则 y0 y1M, 且 y0 y1M 从而… 再证(6.2)式. 因此，如果 x在M上的投影y0存在, 则M用中元素 来逼近x时，当y = y0时误差达到最小值d(x, M).
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§6.1-1
正交投影与正交分解
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§6.1-2 Fourier系数与Bessel不等式
例6.1 实内积空间C[0, 2 ]的内积定义为： 1 2 x , y x( t ) y( t )dt .
1 令u0= , un(t) = cos nt, vn(t) = sin nt (nN), 则C[0, 2 ] 2
第六章 广义Fourier级数与最佳平方逼近
本章内容结构 §6.1 正交投影和广义Fourier级数 一般性地介绍了正交投影及投影定理、正交投影的存 在与唯一性问题，广义Fourier级数、完全标准正交 系及其判定条件，最佳逼近问题. §6.2 函数的最佳平方逼近 计算最佳平方逼近、多项式逼近、逼近误差以及 它们的计算方法. 6.3 几种重要的正交多项式 Legendre多项式、Hermite多项式、Laguerre 多项式、Chebychev多项式等正交多项式的 性质与计算.
i 1
2 2 (4) 对每一个xH, 有 || x || | x, e i | . i 1
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§6.1-3 完全标准正交系及其等价条件
Hint: 定理6.5的证明采用循环证法， 参见教材第281-283页. 定义6.4 若F = {ei}是Hilbert空间H的完全标准正交系, 则 每一个xH 可展开为无穷级数, 即
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§6.2-1
最佳平方逼近问题
方法2：假设{e1, e2, …, en}是M的一组标准正交系, 则前 面的线性方程组之系数矩阵为单位矩阵E, 因此立即得 到 ai = < f, ei >, ( i = 1, 2, …, n ). 于是
s* f , e i e i ,
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x
x-y
y
O M x0 = x-y0 y0
3
§6.1-1
正交投影与正交分解
设 X是内积空间, M是 X的任意子空间. 则对任意的xX, x在M 上的投影不一定存在, 但若存在则唯一，即有：
定理6.1 设X是内积空间, M是X的子空间, xX. 若x在M 上的投影y0存在, 则x在M上的投影y0是唯一的, 并且 || x y0 || = d(x, M) = inf || x y || (6.2)
0
的每一个元素可以展开为Fourier级数： a0 x( t ) ( an cos nt bn sinnt ), 2 n1 1 2 其中 a0 x( t )dt , an x , un , bn x , v n , ( n N ). 0 定义6.2 设 F = { ei }是内积空间X中的标准正交系, xX, 则内积<x, ei>称为x关于F的广义Fourier系数, 或简称为 Fourier系数.
例6.2 记 ei (x) = xi ( x [0, 1], i = 0, 1, 2, …, n), 则 {e0 , e1, …, en}是 L2[0, 1] 的子空间Pn[0, 1]的基. 设 f(x) = ex ( x[0, 1]), 则f C[0, 1] L2[0, 1], cf. 教材p.286 (1) 求 f 在Pn[0, 1]上的n次最佳平方逼近 sn*； (2) 当n=2时，求 f 的二次最佳平方逼近 s2*. 解: (1) 对i, j= 0, 1, 2, …, n, 易计算出< ei , ej >=1/(i+j+1). 用方法1可列出相应的方程, 从而求解.(它的系数矩阵是 Hilbert矩阵，由§5.1知它是病态的--Page 232) (2) n=2时, 先计算出三个常数项依次为e-1, 1和e-2， 解方程得s2*=1.01299 + 0.85113x +0.83918x2, 2=410 -5.
下面将介绍求s*的两种方法.