应用数学基础 第六章-广义Fourier级数与最佳平方逼近
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
下面将介绍求s*的两种方法.
2012-12-31 13
1 2
§6.2-1
最佳平方逼近问题
在下面的讨论中，Hilbert空间L2[a, b]的范数指的是 || • ||2 , 简记为|| • ||.
方法1：设{e1, …, en}是 M的一组基，s*在这组基下的坐 标为a1, …, an. 由于f s* M f s*与{ei }正交, 故
定理6.2(投影定理) 若M是内积空间的完备子空间, 则 X的每一个元素x在M上的投影都唯一地存在, 即存在唯 一的y0M和x0 M, 使得 x = y0 + x0 . 证明 (a) 先证明xM, y0M , 使得
|| x y0 || = d(x, M) = inf || x y ||.
第六章 广义Fourier级数与最佳平方逼近
学时数： 内容提要： 正交投影及投影定理，广义Fourier级数、Bessel不等 式、完全标准正交系及其判定条件、Parseval恒等式； 函数的最佳平方逼近的概念, 计算最佳平方逼近的方 法和Legendre多项式、Hermite多项式、Laguerre多项 式、Chebychev多项式等正交多项式的性质与计算； 曲线拟合的最小二乘法及其矩阵表示. 基本要求： 理解正交投影及多项式逼近的概念，了解正交多项式的 基本性质，熟练掌握用几种正交多项式计算最佳平方逼 近的方法. 知道曲线拟合的最小二乘法. 6学时
i 1 n
n
i 1
(3) || x - x0 ||2 = || x ||2 - || x0 ||2.
此 x0与Th6.2及 前面的意义不同
Hint: (1) 只要证此 x0确是 x在M上的投影即可. 再利用：
x0确是 x在M上的投影 (x x0) M x x0与{e1, …, en}正交 (2) & (3) 利用勾股定理可证 .
x x, ei ei
i 1
此无穷级数称为x关于F的广义Fourier级数, 或简称为 Fourier级数. 此级数的前n项和sn即x在子空间M = span{e1, …, en} 上的投影，而||x - sn ||是 x 到M的距离.
2012-12-31 11
§6.2
函数的最佳平方逼近
f s* , ei f , ei a j e j , ei 0, (1 i n)
j 1 n
从而得到一个系数行列式非零的线性方程组： e1 , e1 a1 e 2 , e1 a2 e n , e1 an f , e1 e1 , e 2 a1 e 2 , e 2 a2 e n , e 2 an f , e 2 e1 , e n a1 e 2 , e n a2 e n , e n an f , e n 可用Cramer法则或其它方法求解，得出a1, …, an .
推论 设{ei}是内积空间X中的标准正交系, 则对于每一个 xX都有
lim x, ei = 0 .
n
2012-12-31 9
§6.1-3 完全标准正交系及其等价条件
定义6.3 若F＝ei是内积空间X的正交系，并且满足
spanF X ,
则正交系F称为完全系，或者称F为X中的完全正交系. 若F又是标准正交系，则称F为X中的完全标准正交系. 定理6.5 若F＝ei是Hilbert空间H中的标准正交系, 则 下列四条等价: (1) F是 H的完全标准正交系; Parseval恒等式 (2) F = {0}; (3) 对每一个xH, 有 x x, ei ei ;
而误差 的平方为(利用勾股定理): 2 || f s* ||2
i 1
n
|| f || | f , e i | .
2 2 i 1
n
显然优于方法1，尤其是标准正交系{ei }与具体的 f 无关，因而可事先计算出来, 甚至可以查表.
2012-12-31 15
§6.2-2
多项式逼近
2012-12-31 8
§6.1-2 Fourier系数与Bessel不等式
定理6.4 设{ei }是内积空间X中的标准正交系, 则对每一 个 xX, 有
| x , e i |2 || x ||2
i 1
(6.3)
此不等式称为Bessel不等式. Hint: 利用Th6.3, 则(6.3)式对每个有限的数n均成立，再 取极限即知.
i 1
2 2 (4) 对每一个xH, 有 || x || | x, e i | . i 1
2012-12-31 10
§6.1-3 完全标准正交系及其等价条件
Hint: 定理6.5的证明采用循环证法， 参见教材第281-283页. 定义6.4 若F = {ei}是Hilbert空间H的完全标准正交系, 则 每一个xH 可展开为无穷级数, 即
正交投影与正交分解
推论1 若M是Hilbert空间H的闭子空间, 则 H = M M. 推论2 若M是Hilbert空间H的闭子空间, 则 M = M . 特别地, 当M = {0}时, M = H. 证明 首先，容易证明M M . 另一方面, xM , 由推论1知 y0M和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 . 注意到 y0M M , 从而x0 = x y0 M M . 由引 理1.5(2)得x = y0 M, 所以 M M .
0
的每一个元素可以展开为Fourier级数： a0 x( t ) ( an cos nt bn sinnt ), 2 n1 1 2 其中 a0 x( t )dt , an x , un , bn x , v n , ( n N ). 0 定义6.2 设 F = { ei }是内积空间X中的标准正交系, xX, 则内积<x, ei>称为x关于F的广义Fourier系数, 或简称为 Fourier系数.
做法：令 = d(x, M), 则有{ yn } M, 使得
lim || x y || = . n
y M
再证{ yn }是Cauchy序列，令 y y0M即可.
(b) 再证明x y0 M .
2012-12-31
(c) 令 x0 = x y0, 则…
5源自文库
§6.1-1
y M
证明 先证明唯一性. 若y0, y1都是 x在M 上的投影, 则 y0 y1M, 且 y0 y1M 从而… 再证(6.2)式. 因此，如果 x在M上的投影y0存在, 则M用中元素 来逼近x时，当y = y0时误差达到最小值d(x, M).
2012-12-31 4
§6.1-1
正交投影与正交分解
例6.2 记 ei (x) = xi ( x [0, 1], i = 0, 1, 2, …, n), 则 {e0 , e1, …, en}是 L2[0, 1] 的子空间Pn[0, 1]的基. 设 f(x) = ex ( x[0, 1]), 则f C[0, 1] L2[0, 1], cf. 教材p.286 (1) 求 f 在Pn[0, 1]上的n次最佳平方逼近 sn*； (2) 当n=2时，求 f 的二次最佳平方逼近 s2*. 解: (1) 对i, j= 0, 1, 2, …, n, 易计算出< ei , ej >=1/(i+j+1). 用方法1可列出相应的方程, 从而求解.(它的系数矩阵是 Hilbert矩阵，由§5.1知它是病态的--Page 232) (2) n=2时, 先计算出三个常数项依次为e-1, 1和e-2， 解方程得s2*=1.01299 + 0.85113x +0.83918x2, 2=410 -5.
2012-12-31 7
§6.1-2 Fourier系数与Bessel不等式
定理6.3 设{ ei }是内积空间 X中的标准正交系, x X, M = span{e1, …, en}, 则
(1) x在M上的投影x0可表示为x0 = x , e i e i ;
(2) || x0 ||2 = | x , e i |2 ;
2012-12-31 6
§6.1-2 Fourier系数与Bessel不等式
例6.1 实内积空间C[0, 2 ]的内积定义为： 1 2 x , y x( t ) y( t )dt .
1 令u0= , un(t) = cos nt, vn(t) = sin nt (nN), 则C[0, 2 ] 2
2012-12-31 14
§6.2-1
最佳平方逼近问题
方法2：假设{e1, e2, …, en}是M的一组标准正交系, 则前 面的线性方程组之系数矩阵为单位矩阵E, 因此立即得 到 ai = < f, ei >, ( i = 1, 2, …, n ). 于是
s* f , e i e i ,
2012-12-31 12
§6.2-1
最佳平方逼近问题
定义6.6 若M是Hilbert空间L2[a, b]的一个有限维子空间, 则L2[a, b]中的每一个元素 f 在M上的投影 s*都唯一地存
在(定理6.2), 并且
b | f ( x ) s( x ) |2 dx || f s* || = d( f, M) = inf a sM s*称为 f 在M上的最佳平方逼近, 称|| f s* ||为最佳平方 逼近 s*的误差. 在实际应用中，X是Banach空间( C[a, b], || • || )或 Hilbert空间L2[a, b], 而M是X的一个完备子空间. 因此， 最佳逼近的存在性与唯一性问题自然就解决了.
定义6.5 设X是赋范线性空间, M是X的子空间, xX. 若 存在 y0M, 使得 || x y0 || = d(x, M) = inf || x y ||,
y M
则称y0为x在M上的最佳逼近. 最佳逼近与空间的范数(或内积)有关. 在Banach空间( C[a, b], || • || )中的最佳逼近称为最 佳一致逼近, 而Hilbert空间L2[a, b]中的最佳逼近称为最 佳平方逼近. 本节讨论在L2[a, b]的有限维子空间M上的最佳平方 逼近，并从给出的两种方法中比较选出标准正交系法.
2012-12-31
x
x-y
y
O M x0 = x-y0 y0
3
§6.1-1
正交投影与正交分解
设 X是内积空间, M是 X的任意子空间. 则对任意的xX, x在M 上的投影不一定存在, 但若存在则唯一，即有：
定理6.1 设X是内积空间, M是X的子空间, xX. 若x在M 上的投影y0存在, 则x在M上的投影y0是唯一的, 并且 || x y0 || = d(x, M) = inf || x y || (6.2)
第六章 广义Fourier级数与最佳平方逼近
本章内容结构 §6.1 正交投影和广义Fourier级数 一般性地介绍了正交投影及投影定理、正交投影的存 在与唯一性问题，广义Fourier级数、完全标准正交 系及其判定条件，最佳逼近问题. §6.2 函数的最佳平方逼近 计算最佳平方逼近、多项式逼近、逼近误差以及 它们的计算方法. 6.3 几种重要的正交多项式 Legendre多项式、Hermite多项式、Laguerre 多项式、Chebychev多项式等正交多项式的 性质与计算.
§6.1 正交投影和广义Fourier级数
一、正交投影与正交分解 定义6.1 设X是内积空间, M是X的子空间, xX. 若存在 y0M和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 , (6.1) 则称y0为x在M上的正交投影, (6.1)式称为x的正交分解. 几何解释： 设M是R3 中过原点的平面(即完备 子空间). xX, y0M 和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 , 其中y0为x在M上的投影, 且有 || x y0 || || x y ||, xR3.
2012-12-31 13
1 2
§6.2-1
最佳平方逼近问题
在下面的讨论中，Hilbert空间L2[a, b]的范数指的是 || • ||2 , 简记为|| • ||.
方法1：设{e1, …, en}是 M的一组基，s*在这组基下的坐 标为a1, …, an. 由于f s* M f s*与{ei }正交, 故
定理6.2(投影定理) 若M是内积空间的完备子空间, 则 X的每一个元素x在M上的投影都唯一地存在, 即存在唯 一的y0M和x0 M, 使得 x = y0 + x0 . 证明 (a) 先证明xM, y0M , 使得
|| x y0 || = d(x, M) = inf || x y ||.
第六章 广义Fourier级数与最佳平方逼近
学时数： 内容提要： 正交投影及投影定理，广义Fourier级数、Bessel不等 式、完全标准正交系及其判定条件、Parseval恒等式； 函数的最佳平方逼近的概念, 计算最佳平方逼近的方 法和Legendre多项式、Hermite多项式、Laguerre多项 式、Chebychev多项式等正交多项式的性质与计算； 曲线拟合的最小二乘法及其矩阵表示. 基本要求： 理解正交投影及多项式逼近的概念，了解正交多项式的 基本性质，熟练掌握用几种正交多项式计算最佳平方逼 近的方法. 知道曲线拟合的最小二乘法. 6学时
i 1 n
n
i 1
(3) || x - x0 ||2 = || x ||2 - || x0 ||2.
此 x0与Th6.2及 前面的意义不同
Hint: (1) 只要证此 x0确是 x在M上的投影即可. 再利用：
x0确是 x在M上的投影 (x x0) M x x0与{e1, …, en}正交 (2) & (3) 利用勾股定理可证 .
x x, ei ei
i 1
此无穷级数称为x关于F的广义Fourier级数, 或简称为 Fourier级数. 此级数的前n项和sn即x在子空间M = span{e1, …, en} 上的投影，而||x - sn ||是 x 到M的距离.
2012-12-31 11
§6.2
函数的最佳平方逼近
f s* , ei f , ei a j e j , ei 0, (1 i n)
j 1 n
从而得到一个系数行列式非零的线性方程组： e1 , e1 a1 e 2 , e1 a2 e n , e1 an f , e1 e1 , e 2 a1 e 2 , e 2 a2 e n , e 2 an f , e 2 e1 , e n a1 e 2 , e n a2 e n , e n an f , e n 可用Cramer法则或其它方法求解，得出a1, …, an .
推论 设{ei}是内积空间X中的标准正交系, 则对于每一个 xX都有
lim x, ei = 0 .
n
2012-12-31 9
§6.1-3 完全标准正交系及其等价条件
定义6.3 若F＝ei是内积空间X的正交系，并且满足
spanF X ,
则正交系F称为完全系，或者称F为X中的完全正交系. 若F又是标准正交系，则称F为X中的完全标准正交系. 定理6.5 若F＝ei是Hilbert空间H中的标准正交系, 则 下列四条等价: (1) F是 H的完全标准正交系; Parseval恒等式 (2) F = {0}; (3) 对每一个xH, 有 x x, ei ei ;
而误差 的平方为(利用勾股定理): 2 || f s* ||2
i 1
n
|| f || | f , e i | .
2 2 i 1
n
显然优于方法1，尤其是标准正交系{ei }与具体的 f 无关，因而可事先计算出来, 甚至可以查表.
2012-12-31 15
§6.2-2
多项式逼近
2012-12-31 8
§6.1-2 Fourier系数与Bessel不等式
定理6.4 设{ei }是内积空间X中的标准正交系, 则对每一 个 xX, 有
| x , e i |2 || x ||2
i 1
(6.3)
此不等式称为Bessel不等式. Hint: 利用Th6.3, 则(6.3)式对每个有限的数n均成立，再 取极限即知.
i 1
2 2 (4) 对每一个xH, 有 || x || | x, e i | . i 1
2012-12-31 10
§6.1-3 完全标准正交系及其等价条件
Hint: 定理6.5的证明采用循环证法， 参见教材第281-283页. 定义6.4 若F = {ei}是Hilbert空间H的完全标准正交系, 则 每一个xH 可展开为无穷级数, 即
正交投影与正交分解
推论1 若M是Hilbert空间H的闭子空间, 则 H = M M. 推论2 若M是Hilbert空间H的闭子空间, 则 M = M . 特别地, 当M = {0}时, M = H. 证明 首先，容易证明M M . 另一方面, xM , 由推论1知 y0M和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 . 注意到 y0M M , 从而x0 = x y0 M M . 由引 理1.5(2)得x = y0 M, 所以 M M .
0
的每一个元素可以展开为Fourier级数： a0 x( t ) ( an cos nt bn sinnt ), 2 n1 1 2 其中 a0 x( t )dt , an x , un , bn x , v n , ( n N ). 0 定义6.2 设 F = { ei }是内积空间X中的标准正交系, xX, 则内积<x, ei>称为x关于F的广义Fourier系数, 或简称为 Fourier系数.
做法：令 = d(x, M), 则有{ yn } M, 使得
lim || x y || = . n
y M
再证{ yn }是Cauchy序列，令 y y0M即可.
(b) 再证明x y0 M .
2012-12-31
(c) 令 x0 = x y0, 则…
5源自文库
§6.1-1
y M
证明 先证明唯一性. 若y0, y1都是 x在M 上的投影, 则 y0 y1M, 且 y0 y1M 从而… 再证(6.2)式. 因此，如果 x在M上的投影y0存在, 则M用中元素 来逼近x时，当y = y0时误差达到最小值d(x, M).
2012-12-31 4
§6.1-1
正交投影与正交分解
例6.2 记 ei (x) = xi ( x [0, 1], i = 0, 1, 2, …, n), 则 {e0 , e1, …, en}是 L2[0, 1] 的子空间Pn[0, 1]的基. 设 f(x) = ex ( x[0, 1]), 则f C[0, 1] L2[0, 1], cf. 教材p.286 (1) 求 f 在Pn[0, 1]上的n次最佳平方逼近 sn*； (2) 当n=2时，求 f 的二次最佳平方逼近 s2*. 解: (1) 对i, j= 0, 1, 2, …, n, 易计算出< ei , ej >=1/(i+j+1). 用方法1可列出相应的方程, 从而求解.(它的系数矩阵是 Hilbert矩阵，由§5.1知它是病态的--Page 232) (2) n=2时, 先计算出三个常数项依次为e-1, 1和e-2， 解方程得s2*=1.01299 + 0.85113x +0.83918x2, 2=410 -5.
2012-12-31 7
§6.1-2 Fourier系数与Bessel不等式
定理6.3 设{ ei }是内积空间 X中的标准正交系, x X, M = span{e1, …, en}, 则
(1) x在M上的投影x0可表示为x0 = x , e i e i ;
(2) || x0 ||2 = | x , e i |2 ;
2012-12-31 6
§6.1-2 Fourier系数与Bessel不等式
例6.1 实内积空间C[0, 2 ]的内积定义为： 1 2 x , y x( t ) y( t )dt .
1 令u0= , un(t) = cos nt, vn(t) = sin nt (nN), 则C[0, 2 ] 2
2012-12-31 14
§6.2-1
最佳平方逼近问题
方法2：假设{e1, e2, …, en}是M的一组标准正交系, 则前 面的线性方程组之系数矩阵为单位矩阵E, 因此立即得 到 ai = < f, ei >, ( i = 1, 2, …, n ). 于是
s* f , e i e i ,
2012-12-31 12
§6.2-1
最佳平方逼近问题
定义6.6 若M是Hilbert空间L2[a, b]的一个有限维子空间, 则L2[a, b]中的每一个元素 f 在M上的投影 s*都唯一地存
在(定理6.2), 并且
b | f ( x ) s( x ) |2 dx || f s* || = d( f, M) = inf a sM s*称为 f 在M上的最佳平方逼近, 称|| f s* ||为最佳平方 逼近 s*的误差. 在实际应用中，X是Banach空间( C[a, b], || • || )或 Hilbert空间L2[a, b], 而M是X的一个完备子空间. 因此， 最佳逼近的存在性与唯一性问题自然就解决了.
定义6.5 设X是赋范线性空间, M是X的子空间, xX. 若 存在 y0M, 使得 || x y0 || = d(x, M) = inf || x y ||,
y M
则称y0为x在M上的最佳逼近. 最佳逼近与空间的范数(或内积)有关. 在Banach空间( C[a, b], || • || )中的最佳逼近称为最 佳一致逼近, 而Hilbert空间L2[a, b]中的最佳逼近称为最 佳平方逼近. 本节讨论在L2[a, b]的有限维子空间M上的最佳平方 逼近，并从给出的两种方法中比较选出标准正交系法.
2012-12-31
x
x-y
y
O M x0 = x-y0 y0
3
§6.1-1
正交投影与正交分解
设 X是内积空间, M是 X的任意子空间. 则对任意的xX, x在M 上的投影不一定存在, 但若存在则唯一，即有：
定理6.1 设X是内积空间, M是X的子空间, xX. 若x在M 上的投影y0存在, 则x在M上的投影y0是唯一的, 并且 || x y0 || = d(x, M) = inf || x y || (6.2)
第六章 广义Fourier级数与最佳平方逼近
本章内容结构 §6.1 正交投影和广义Fourier级数 一般性地介绍了正交投影及投影定理、正交投影的存 在与唯一性问题，广义Fourier级数、完全标准正交 系及其判定条件，最佳逼近问题. §6.2 函数的最佳平方逼近 计算最佳平方逼近、多项式逼近、逼近误差以及 它们的计算方法. 6.3 几种重要的正交多项式 Legendre多项式、Hermite多项式、Laguerre 多项式、Chebychev多项式等正交多项式的 性质与计算.
§6.1 正交投影和广义Fourier级数
一、正交投影与正交分解 定义6.1 设X是内积空间, M是X的子空间, xX. 若存在 y0M和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 , (6.1) 则称y0为x在M上的正交投影, (6.1)式称为x的正交分解. 几何解释： 设M是R3 中过原点的平面(即完备 子空间). xX, y0M 和 x0 M, 使得 x = y0 + x0 , 其中y0为x在M上的投影, 且有 || x y0 || || x y ||, xR3.