专题32 两圆相切的存在性问题(原卷版)

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中考数学压轴题【相切的存在性问题】解题训练卷

中考数学压轴题【相切的存在性问题】解题训练卷一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．例题解析例❶如图1-1，已知抛物线y＝x2－1与x轴相交于A、B两点．（1）有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值；（2）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？图1-1【解析】（1）如果⊙P与两坐标轴都相切，那么圆心P到两坐标轴的距离相等．画直线y＝x和y＝－x，四个圆心P就都找到了，如图1-2，图1-3．其实求半径r，只需一个图就可以了，⊙P的半径为r＝|x|．（2）要判断⊙P与y轴相离、相交，先找到临界位置⊙P与y轴相切，此时x＝1或x＝－1．如图1-4，可以想象，当圆心P在x轴下方时，⊙P与y轴相交，此时－1≤y P＜0；当圆心P在x轴上方时，⊙P与y 轴相离，此时y P＞0．图1-2 图1-3 图1-4例❷如图2-1，△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高．如图2-1，A在原点处，点B 在y轴的正半轴上，点C在第一象限．若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2-2，设运动的时间为t秒，当B到达原点时停止运动．当以点C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．图2-1 图2-2【解析】这道题讲一下画图策略，答案就在图形中．（1）如图2-3，画x轴，取点A；作CA⊥x轴，且CA＝5；以CA为半径画⊙C，以A为圆心，8为半径画弧，产生点B．如图2-4，过点B画y轴．在Rt△AOB中，已知AB和∠1，求得OA＝t＝4.8．（2）如图2-5，先画y轴和点B，产生点A后再画x轴．求得OA＝t＝6.4．图2-3 图2-4 图2-5例❸如图3-1，A(－5,0)，B(－3,0)，C(0, 3)，四边形OADC是矩形．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，以PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间t的值．图3-1【解析】我们先根据“d＝r”讲解题策略．如图3-2，动点P到切线BC的所有垂线段中，哪条等于半径PC？此时P(3, 0)，t＝1．如图3-3，动点P到切线DC的所有垂线段中，半径PC是哪条？此时P(0, 0)，t＝4．如图3-4，动点P到切线AD的距离就是PA，PA与半径PC相等，点P在AC的垂直平分线上，此时在Rt△PCO中，由勾股定理解得AP＝3.6，所以QP＝5.4，t＝5.4.图3-2 图3-3 图3-4我们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图，答案就在图形中．如图3-5，经过切点C 画切线BC 的垂线，与x 轴的交点就是P (3, 0)．如图3-6，经过切点C 画切线DC 的垂线，与x 轴的交点就是P (0, 0)．如图3-7，已知圆上两点A 和C ，画AC 的垂直平分线，与x 轴的交点就是P ．图3-5 图3-6 图3-7例❹ 如图4-1，已知抛物线y ＝mx 2＋bx ＋c (m ＞0)经过A (1, 0)、B (－3,0)两点，顶点为P ，与y 轴交于点D ．⊙C 的直径为A 、B ，当m 为何值时，直线PD 与⊙C 相切？图4-1【解析】由y ＝m (x －1)(x ＋3)，可得D (0,－3m )，P (－1,－4m )．⊙C 的半径为2，切线PD 随m 变化．如图4-2，先假设切点为E ，那么∠CPE ＝∠PDF ．由sin ∠CPE ＝sin ∠PDF ，得CE PF CP PD=．解方程24m =，得m =．所以当m =时，直线PD 与⊙C 相切．事实上，此时直线PD 与⊙C 相切于点D ，∠PCD ＝30°（如图4-3）．图4-2 图4-3例❺ 如图5-1，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝8，BC ＝18，54sin =∠BCD ，点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3个单位的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为t 秒．如果⊙P 的半径为6，⊙Q 的半径为4，在移动的过程中，试探索：t 为何值时⊙P 与⊙Q 外离、外切、相交？图5-1【解析】对于⊙P ，R ＝6；对于⊙Q ，r ＝4．圆心距d ＝PQ 怎么表示呢？如图5-2，PQ 2＝QH 2＋PH 2＝82＋(12－5t )2．当两圆外切时，由d ＝R ＋r ＝10，得d 2＝102．解方程82＋(12－5t )2＝102，得t ＝1.2（如图5-3），或t ＝3.6（如图5-4）．现在，我们想象两圆的运动过程，从外离到外切、相交，再到外切，外离，然后写出结论：当0≤t ＜1.2和3.6＜t ≤6时，两圆外离；当1.2＜t ＜3.2时，两圆相交．图5-2 图5-3 图5-4例❻如图6-1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝3厘米，⊙O为△ABC的内切圆．（1）求⊙O的半径；（2）动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆．设点P运动的时间为t秒，若⊙P与⊙O相切，求t的值．图6-1【解析】如图6-2，⊙O的半径r＝1（厘米）．对于⊙O，r＝1；对于⊙P，R＝t；圆心距d＝OP在Rt△POH中解决（如图6-3）．由OP2＝OH2＋PH2＝12＋(2－t)2，得d＝OP当⊙P与⊙O外切时，由d＝R＋r1t+．解得23t=（如图6-4）．当⊙P与⊙O内切时，由d＝|R－r||1|t-．解得t＝2（如图6-5）．图6-2 图6-3 图6-4 图6-5例❼ 如图7-1，已知直线l ：443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，⊙O 的半径为1，点C 是y 轴正半轴上的一点，如果⊙C 既与⊙O 相切，也与直线l 相切，求圆心C 的坐标．图7-1【解析】先确定⊙C 与直线l 相切，再解方程⊙C 与⊙O 相切．如图7-2，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．设BC ＝5m ，半径CD ＝3m ．对于⊙O ，r ＝1；对于⊙C ，R ＝3m ；圆心距d ＝OC ＝OB －BC ＝4－5m ．当两圆外切时，R ＋r ＝d ．解方程3m ＋1＝4－5m ，得38m =．此时17(0,)8C （如图7-3）．当两圆内切时，R －r ＝d ．解方程3m －1＝4－5m ，得58m =．此时7(0,)8C （如图7-4）．图7-2 图7-3 图7-4例❽如图8-1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE交AB于点E，∠BDE＝∠A，以点D为圆心，DC的长为半径作⊙D．设BD＝x．（1）当⊙D与边AB相切时，求x的值；（2）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，当⊙D与⊙E相切时，求x的值．图8-1 【解析】如图8-2，AB＝AC和∠BDE＝∠A，隐含了△ABC∽△DBE，DB＝DE＝x．（1）如图8-3，当⊙D与边AB相切时，d＝r，解DH＝DC就可以了．解方程465x x=-，得103x=．（2）对于⊙D，R＝DC＝6－x；对于⊙E，r＝AE＝AB－BE＝655x -；圆心距d＝DE＝DB＝x．当两圆外切时，由d＝R＋r，得6(6)(5)5x x x-+-+=．解得5516x=（如图8-4）．当两圆内切时，由d＝R－r，得6(6)(5)5x x x---+=．解得54x=（如图8-5）．图8-2 图8-3 图8-4 图8-5例❾如图9-1，一个Rt△DEF的直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB＝12，DE＝4，DF＝3．如图9-2，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP的中点．同时Rt△DEF沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当点D运动到点A时，两个运动都停止．在运动过程中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF的两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间t，若不存在，说明理由．图9-1 图9-2【解析】这道题目我们讲画图的策略．注意到AQ＝BD＝t．①如图9-3，画∠CAM＝∠CAB；在射线AM上取一点D，过点D作AM的垂线；画直角的平分线产生点Q；在点D右侧截取DB＝AQ．作QH⊥AM于H，以QH为半径的⊙Q符合题意．由QH＝DH，得391255t t=-．解得t＝5．②过点D画直角的平分线还有图9-4的情形，此时DH＝9125t-．解方程931255t t-=，得t＝10．从上面的过程我们可以体验到，画图与点P无关，与△DEF无关．我们去伪存真，∠A的大小确定，以D为顶点构造直角，作直角的平分线产生点Q，截取得到点B就可以了．图9-4 图9-5。

与两圆相切有关问题

B（2，1）的圆的方程.
问题1：要不要讨论，两圆是内切还是外切？
2 2 2 解：设圆的方程为 ( x a ) ( y b ) r
2 （ a - 3） (b 1) 2 r 2 2 2 则 (-1 - a ) (4 - b) r 2 2 2 (2 - a ) (1 - b) r
|a|=4+1,∴a=〒5,若圆C1与圆C2内切，则|C1C2|=r1-r2,即
|a|=3,∴a=〒3. 2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是( (A)x2=2y+1 (B)x2=-2y+1 )
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
(状元桥P77例2)
例 4 .求半径为 4，与圆 x y - 4 x - 2 y - 4 0，且和直线相切的圆的方程
(状元桥
y 0
P78误区警示)
( ) )
练习：
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2y+1
(B)±5
(C)3或5
(B)x2=-2y+1
(D)±3或±5
2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是(
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2+y2=1相切，则a的值为
(
(A)±3 (B)±5 (C)3或5 (D)±3或±5
)
【解析】选D.若圆C1与圆C2外切，则|C1C2|=r1+r2,即
|C 1 C 2|= (m+1) +(m+2) .

备考2024年中考数学专题突破(全国通用)二次函数的存在性问题(原卷版)

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为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB =AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA =BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA =CB ．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．C 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=1334C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-xAH =3，BH =2而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，12C 、2【构造三垂直】34C C 、求法相同，以3C 为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （5，3）；（2）表示线段：AB 1AC 1BC（3）分类讨论：当1BAC 为直角时，22211AB AC BC ；（4）代入得方程： 2222201153m m ，解得：32m．三、等腰直角三角形在性问题方法突破【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90 得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】【兰州中考（删减）】二次函数22y ax bx 的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx 的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．【分析】（1）213222y x x ；（2）本题直角顶点P 并不确定，以BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再过点P 作水平线，得三垂直全等．设HP=a ，PQ=b ，则BQ=a ，CH=b ，由图可知：42a b b a ，解得：13a b．故D 点坐标为（1,3）．同理可求此时D 点坐标为（3,2）．思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P 点．根据B 点和M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P 点坐标易求．P 点横坐标同D 点，故可求得D点坐标．四、平行四边形存在性问题方法突破考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D CAB DC x x x x y y y y ，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx -x A BC（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ，可以理解为AC 的中点也是BD的中点．D【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C A C D B x x x x x x x x y y y y y y y y，2222A CB DAC BD x x x x y y y y→A C B D A C B D x x x x y y y y ．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D （各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：D 之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，531352m n ，可得 17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253mn ，解得 21,4D ；（3）AB 为对角线时，153235mn，解得 33,0D．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：1=D B C A ，2=D A C B ，3D A B C ．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，130120m n ，解得43m n ，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n ，解得21m n ，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n ，解得21m n，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式：A C B DAC BD x x x x y y y y ，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．五、矩形的存在性问题方法突破矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：A CB D AC BD x x x x y y y y（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】点C 满足以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C 有14,03C 、214,03C、 32,0C 、 43,0C在点C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标．【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．思路2：先平行，再矩形当AC 为对角线时，A 、B 、C 、D 满足以下3个等式，则为矩形：A C B D A C B D x x x x y y y y其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在坐标系中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考虑平行四边形存在性：（1）AB为对角线时，14120a bc，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD综合以上可解：323abc或233abc．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC为对角线时，14102a bc，另外AC=BD，得合以上可解得：143531abc．故C14,03、D5,13．（3）AD为对角线时，14120b ac，另外AD=BC综合以上可解得：431331abc．故C14,03、D13,13．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC，5BC （3）分类讨论：根据55AC BC ，可得：，（4）求解得答案：解得：236m，故5C 坐标为23,06．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．六、菱形的存在性问题方法突破作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足：A CB D AC BD x x x x y y y y考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A +C =B +D ”（AC 、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．1．看个例子：如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）．（1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） 2222151********m p q m m，解得：398985m p q（2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ） 2222151041514504m p qm，解得：223m p q 或843m p q（3）当AD 为对角线时，由题意得：2222151401514110p mq m，解得：153m p q153m p q思路2：先等腰，再菱形先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．（1）当AB=AC时，C点坐标为1 ，对应D点坐标为5 ；C点坐标为1 ，对应D点坐标为5 ．（2）当BA=BC时，C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．（3）AC=BC时，C点坐标为39,08，D点坐标为9,58．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．七、正方形的存在性问题方法突破作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点．不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C 使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．至于具体求点坐标，以1C 为例，构造△AMB ≌△1C NA ，即可求得1C 坐标．至于像5C 、6C 这两个点的坐标，不难发现，5C 是3AC 或1BC 的中点，6C 是2BC 或4AC 的中点．题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．八、相似三角形存在性问题【模型解读】在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．九、角的存在性问题方法突破除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．圆周角定理： 1= 221三角函数：若tan 1=tan 2，则 1= 2全等三角形： 1= 212等腰三角形： 1= 212角平分线： 1= 212平行： 1= 3， 2= 3321想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．题型一等腰直角三角形存在性问题本溪中考1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．ABCD Oxy辽宁阜新中考2．如图，抛物线22y ax bx 交x 轴于点(3,0)A 和点(1,0)B ，交y 轴于点C ．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为(1,0) ，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO 为等腰直角三角形，且MNO 为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．备用图2023·湖南娄底·统考中考真题3．如图，抛物线2y x bx c 过点 1,0A 、点 5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求b ，c 的值．(2)点 000,05P x y x 是抛物线上的动点，过点P 作PE x 轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2023·四川广元·中考真题4．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx 的图象与x 轴交于点 2,0A ， 4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ，求出点F 的坐标.题型二等腰三角存在性问题山东泰安中考5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c 交x 轴于点(4,0)A 、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E ，连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．甘肃白银中考6．如图，抛物线24y ax bx 交x 轴于(3,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；江苏盐城中考（删减）7．如图所示，二次函数2(1)2y k x 的图像与一次函数2y kx k 的图像交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴交于C 、D 两点，其中0k ．（1）求A 、B 两点的横坐标；（2）若OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，求k的值．贵港中考（删减）8．如图，已知二次函数2y ax bx c 的图像与x 轴相交于(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴相交于点(0,3)C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH x轴于点H，与线段BC交于点M，的坐标．连接PC．当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P四川眉山中考删减9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线249y x bx c 经过点(5,0)A 和点(1,0)B ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作DMN DBA ，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．辽宁葫芦岛中考（删减）10．如图，直线4y x 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交BC 于点D ，当PDM 是等腰三角形时，直接写出t的值．题型三直角三角形存在性问题兰州中考（删减）11．通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90 得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx 的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx 的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．辽宁本溪中考如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c 与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,)2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．。

2020中考专题练习---两圆相切的存在性问题-

1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况．两圆相切的存在性问题知识结构模块一：以函数为背景的两圆相切问题知识精讲AB CO xy（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A 、B 两点间的距离公式为：221212()()AB x x y y -+-．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径；（2）根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）；（3）根据题意对所求的解进行取舍．【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =--与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，其中点A 的坐标为（3-，0），点D 在线段AB 上，AD = AC ．如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径．【答案】见解析．【解析】∵抛物线224y ax ax =--经过点A （-3，0）， ∴2(3)2(3)40a a ----=，解得：415a =． ∴所求抛物线的关系式为：24841515y x x =--． ∴抛物线的对称轴是直线1x =．例题解析当0x =时，4y =-，即得C （0，-4）．又由A （-3，0），得5AC =．∴AD = AC = 5．又由A （-3，0），得D （2，0）， ∴CD又由直线1x =为抛物线24841515y x x =--的对称轴，得B （5，0）． ∴BD = 3．设圆C 的半径为r ．∵圆D 与圆C 外切，∴CD = BD + r ．即得：3r =+．解得：3r =．∴圆C 的半径长为3．【总结】本题比较基础，主要考查函数背景下的两圆外切问题，注意将位置关系转化为数量关系进行求解即可．。

第04讲圆与圆的位置关系(原卷版)

第04讲圆与圆的位置关系目录考点一：圆与圆的位置关系考点二：相切两圆的性质考点三：相交两圆的性质【基础知识】一．圆与圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．二．相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．三．相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．【考点剖析】一．圆与圆的位置关系（共26小题）1．（2022春•长宁区校级月考）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（）A．11B．6C．3D．22．（2022春•青浦区校级期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．外切D．相交3．（2022春•松江区校级期中）⊙A半径为3，⊙B半径为5，若两圆相交，那么AB长度范围为（）A．3＜AB＜5B．2＜AB＜8C．3＜AB＜8D．2＜AB＜54．（2022•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（）A．.0＜r≤4B．.0≤r≤4C．.0＜r＜4D．.0≤r＜45．（2022•杨浦区三模）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7D．2＜OB＜76．（2022春•浦东新区期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切7．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜88．（2022春•奉贤区校级期中）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于．9．（2022春•浦东新区校级期中）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是．10．（2022春•徐汇区校级期中）已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是．11．（2022春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A．4＜OB＜7B．5＜OB＜7C．4＜OB＜9D．2＜OB＜712．（2022春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．内切D．内含13．（2022•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（）A．5B．6C．7D．814．（2022春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（）A．12B．11C．10D．915．（2022春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．外切D．相交16．（2022•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（）A．4B．5C．6D．717．（2022春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（）A．d＞2B．d＞8C．0≤d＜2D．d＞8或0≤d＜218．（2022春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（）A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含19．（2022•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）A．外离B．相交C．外切D．不能确定20．（2022•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤521．（2022春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是．22．（2022春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为．23．（2022春•松江区校级期中）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r 的取值范围是．24．（2022春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（）A．点C在⊙A外，点D在⊙A内B．点C在⊙A外，点D在⊙A外C．点C在⊙A上，点D在⊙A内D．点C在⊙A内，点D在⊙A外25．（2022春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是．26．（2022秋•青浦区校级月考）两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距d为．二．相切两圆的性质（共3小题）27．（2022•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是 cm．28．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为．29．（2020秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．三．相交两圆的性质（共6小题）30．（2022•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（）A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝731．（2022•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（）A．2r+r•cos45°＝1B．2r+2r•cos45°＝1C．3r+r•cos45°＝1D．3r+2r•cos45°＝132．（2022•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（）A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离33．（2022春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是．34．（2022春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为 cm．35．（2022春•嘉定区校级期中）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB＝6．求：（1）弦AC的长度；（2）四边形ACO1O2的面积．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海松江·二模）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤52．（2021·上海金山·二模）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（）．A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切3．（2021·上海嘉定·二模）已知点，，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A ()4,0A ()0,3B 与⊙B 的位置关系（）A ．内切B ．外切C ．内含D ．外离4．（2021·上海静安·九年级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题5．（2018·上海金山·九年级期末）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（）A ．r ＜5B ．r ＞5C ．r ＜10D ．5＜r ＜106．（2019·上海·九年级期末）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，1r >那么这两个圆的位置关系不可能是（）A ．内含B ．内切C ．外离D ．相交二、填空题7．（2021·上海静安·九年级期中）已知⊙与⊙两圆内含，，⊙的半径为5，那么⊙1O 2O 123O O =1O 的半径r 的取值范围是_______．2O 8．（2019·上海上海·九年级期中）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．9．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，4），以2为半径的圆A 与以r 为半径的圆O 相交，那么圆O 半径r 的取值范围为____．10．（2020·上海闵行·九年级期末）半径分别为3cm cm 的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB=cm ，那么圆心距O 1O 2的长为______cm.11．（2021·上海静安·二模）如果⊙O 1与⊙O 2相交，⊙O 1的半径是5，O 1O 2＝3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是_____．12．（2021·上海普陀·二模）已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，以A 为圆心2为半径长作⊙A ，以B 为圆心BC 为半径作⊙B ，如果⊙A 与⊙B 内切，那么△ABC 的面积等于_____．13．（2021·上海市实验学校二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d ，若两圆没有交点，则d 的取值范围是___________14．（2021·上海杨浦·三模）如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为ABC 4AB =P BC PB 半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是________．P AC O P15．（2021·上海奉贤·三模）如图，已知在等边△ABC 中，AB ＝4，点P 在边BC 上，如果以线段PB 为半径的⊙P 与以边AC 为直径的⊙O 外切，那么⊙P 的半径长是________________．16．（2017·上海静安·九年级期中）如图，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，AB ＝3，点O 在直线AB 上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是________．17．（2018·上海长宁·九年级期末）已知⊙的半径为4，⊙的半径为R ，若⊙与⊙相切，且1O 2O 1O 2O ，则R 的值为________．1210O O =18．（2018·上海金山·九年级期末）两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．19．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．20．（2018·上海宝山·九年级期末）⊙O 的直径AB ＝6，C 在AB 延长线上，BC ＝2，若⊙C 与⊙O 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是______．21．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）在矩形中，，，点是边上一点ABCD 5AB =12BC =E AB （不与、重合），以点为圆心，为半径作，如果与外切，那么的半径的取值A B A AE A C A C r 范围是_______．三、解答题22．（2021·上海金山·一模）已知：如图，⊙与⊙外切于点，经过点的直线与⊙、⊙分1O 2O T T 1O 2O 别相交于点和点．A B （1）求证：；12//O A O B （2）若，，，求的长．12O A =23O B =7AB =AT23．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知垂足分别为点、点，与,,AB BC DC BC ⊥⊥B C AC 交于点，BD P （1）如果，以点为圆心作圆，圆与直线相切，35AB CD ==，P P BC ①求圆的半径长；P ②又，以为直径作圆，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由：8BC =BC O O P （2）如果分别以为直径的两圆外切，求证：与相似．AB CD 、ABC BCD △24．（2019·上海普陀·一模）如图，⊙和⊙相交于A 、B 两点，与AB 交于点C ，的延长线1O 2O 12O O 2O A 交⊙于点D ，点E 为AD 的中点，AE=AC ，连接．1O 1O E （1）求证：；11O E O C =（2）如果＝10，，求⊙的半径长．1O 2O 16O E =2O25．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知：如图所示，P 是∠MAN 的边AN 上的一个动点，B 是边AM 上的一个定点，以PA 为半径作圆P ，交射线AN 于点C ，过B 作直线使∥AN 交圆与D 、E 两点（点D 、点E 分l l 别在点B 的左侧和右侧），联结CE 并延长，交射线AM 于点F ．联结FP ，交DE 于G ，cos∠BAP =，AB ＝5，AP ＝x ，BE =y ，35（1）求证：BG ＝EG ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF 是以BF 为腰的等腰三角形时，求经过B 、E O 与圆P 的圆心距．26．（2018·上海上海·九年级期中）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点P 在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP=x，PC= y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；R R（3）联结PD，当∠PDC=∠B时，以D为圆心半径为的⊙D与⊙P相交，求的取值范围．27．（2021·上海杨浦·二模）如图，已知Q 是∠BAC 的边AC 上一点，AQ ＝15，cot∠BAC ＝，点P 是射34线AB 上一点，联结PQ ，⊙O 经过点A 且与QP 相切于点P ，与边AC 相交于另一点D ．（1）当圆心O 在射线AB 上时，求⊙O 的半径；（2）当圆心O 到直线AB 的距离为时，求线段AP 的长；34（3）试讨论以线段PQ 长为半径的⊙P 与⊙O 的位置关系，并写出相应的线段AP 取值范围．。

动圆产生的相切问题(有答案)

动圆产生的相切问题1.掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的概念，并会用代数表示；2.理解直线与圆相切、两圆相切的性质；3.会判定直线与圆相切、两圆相切，会用直线与圆相切和两圆相切的判定、性质进行相关计算或证明；4.初步体会分类讨论思想和动态数学思维。

知识结构【注意】：此部分知识梳理过程，以提问形式出现，提问的方式和形式不固定（可以用：文字提问、图形提问等），但直线与圆、圆与圆的位置关系，一定要学生掌握从图形到文字表达再到代数表示这个过程，建议以画图的形式出现，部分地方让学生填空完成，用时8分钟左右。

1.直线与圆的位置关系：2.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；3.圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；注意：①当R1=R2时，两圆不可能内切或内含；②两圆外离或内含时，也可叫做两圆相离；两圆外切或内切时，也可叫做两圆相切。

4.相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

5.相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。

例1.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒,,12=BC 18=AD ，10=AB ．动点P 、Q 分别从点D 、B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 在线段BC 上以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点Q 运动到点C 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）。

当点P 在线段DA 上运动时，若以BQ 为直径的圆与以AP 为直径的圆外切，求t 的值。

（★★★）【参考教法】：我们一起来分析分析题目吧！1.点P 、Q 的运动速度和方向咋样？（让学生说）2.能说说两圆的半径吗？提示：：以BQ 为直径的圆与以AP 为直径的圆外切；3.你能用先用t 的代数式表示两圆的半径和圆心距吗？提示：让学生计算。

4.当两圆的外切时，如何列方程？提示：12d r r =+；（d 表示圆心距，12r r 、分别表示两圆的半径）5.做完本题后，对圆的相切有点思路了没？【满分解答】：过点B 作AD BH ⊥，垂足为H ，得8=BH ，CDBA QP 图1记BQ 中点为1O 、AP 中点为2O ，联结21O O ，过点1O 作AD I O ⊥1，垂足为I ，则81==BH I O ，21t BO =，2121t CO -=，t tAO -=-=922182，t DO +=92，323)212()9(2-=--+=∴tt t I O ，当29)9(22121tt t AO BO O O -=-+=+=时以BQ 为直径的圆与以AP 为直径的圆外切，在21IO O Rt ∆中，2221221I O I O O O +=，即222)323(8)29(-+=-tt ，整理得：42=t ，0>t ，2=∴t 。

2023年中考数学二轮复习专题课件——圆的相切之存在性问题

13
时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′ 长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，求⊙P的半径. 和哪个边相切
①当圆与AC相切时
设切点为Q，连接PQ
△B’QP∽△B’CA‘
PQ PB CA AB r 13 r 12 13 r 156
25
例4 如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= 5 ，AC=12，将△ABC绕点C顺
∵∠EDC+∠ODB=90°，∴∠EDO=90°
△EAO≌△EDO，AE=ED=EC 设AB长为X，则AC为√3X
AE 1 AC 3 x
2
2
tanABE AE 3 AB 2
如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G ，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究 CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为 √5时，求弦ED的长．
┓ F
图一
解如图一，连接PQ，作DF⊥BC，QH⊥BC 可得DF=QH=8，HF=QD=2t，BP=3t。 FC=DF/tan∠C=6 ∴PH=BC-BP-HF-FC=18-3t-6-2t=12-5t 在RT△PQH中，d2=PQ2=PH2+QH2=(12-5t)2+82
例2 如图,在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=8，BC=18.tan∠BCD=4/3,点P从点B开始延BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动。点Q从点D开始延DA边向终点A以

与圆有关的存在性问题训练(含答案)

与圆有关的存在性问题训练例1：已知圆C :()2222=+-y x ，直线l ：2+=kx y .若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线21,l l ，使得21l l ⊥，则实数k 的取值范围是（）A.[)()+∞-⋃-,3232,0B.[]3,232+-C.()0,∞-D.[)∞+，0答案：D例2：已知两点()0,a A ，()0,a B -()0>a ，若圆()()11322=-+-y x 上存在点P ，使得︒=∠90APB ，则正实数a 的取值范围为（）A.(]3,0 B.[]3,1 C.[]32， D.[]21，答案：B例3：在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点()10，，()30，，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线()0>=kkxy关于y轴对称，则k的最小值为（）A.332 B.3 C.32 D.34答案：D例4：已知圆()()1041:22=-+-y x C 和点()t M ,5，若圆C 上存在两点B A ,使得MB MA ⊥，则实数t 的取值范围是（）A.[]6,2- B.[]5,3- C.[]62， D.[]53，答案：C例5：已知点A 在圆2:22=+y x O 上，Q P ,是直线t x y +=上的两个不同的点，若存在Q P A ,,使得线段AQ AP ,的中点都在圆O 上，则t 的取值范围是________.答案：()6,6-∈t例6：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,m A ，()0,4+m B ，若圆()83:22=-+m y x C 上存在点P ，使得︒=∠45APB ，则实数m 的取值范围是________.例7：已知A是圆C内异于圆心的一定点，动点P满足：在圆C上存在唯一点Q，使得0=QA，则动点P的轨迹为（）∙QPA.直线B.圆C.椭圆D.双曲线答案：C例8：在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆1:22=+y x O 的直径，若直线013:=+--k y kx l 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足OQ BP //，则实数k 的取值范围是________.例9：在平面直角坐标系xOy 中，点Q P ,分别为直线032:=-+y x l 与圆()()02:222>=+-r r y x M 上的动点，若存在点Q P ,，使得OPQ ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则r 的取值范围为_________.例10：已知圆()43:221=++y x C ，圆()45:222=-+y x C ，若平面内存在点P 满足：过点P 有无数多对相互垂直的直线21,l l ，它们分别与圆1C ，圆2C 相交，且被圆1C ，圆2C 截得的弦长相等，求点P 的坐标.答案：()()1,1,4,421=-=P P例11：若圆()()22253r y x =++-上有且只有两个点到直线234=-y x 的距离等于1，则半径r 的取值范围是（）A.(]64， B.[)6,4 C.()64， D.[]64，答案：C例12：已知圆1:22=+y x O ，圆()()13:22=+-+-a y a x M .若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为B A ,，使得︒=∠60APB ，则实数a 的取值范围是_______.答案：[]3,0∈a思考题：在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()03:222>=-+a a y x M ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a A ，()0,1B ，()2,3C ，若圆M 上存在点P ，使得︒=∠90BPC ，︒=∠45PAB ，则a 的值为________.。

初中平面几何中的圆与相切问题

初中平面几何中的圆与相切问题在初中平面几何的学习中，圆是一个重要的几何概念。

圆的性质和应用经常出现在解决实际问题和讨论几何形状的过程中。

而圆与相切问题是其中一个重要的问题，本文将就此问题展开讨论。

一、定义与性质在初中平面几何中，我们首先需要了解圆的定义和一些基本性质。

圆是由和一个确定的点到这个点的距离恒定的所有点组成的。

我们称这个固定的点为圆心，距离为半径。

圆的基本性质有以下几点：1. 圆心和圆上的任意一点可以确定一个唯一的圆。

2. 圆的半径相等，因此圆上的任意两点到圆心的距离也相等。

3. 圆上任意一条弦可以截出两个弧，这两个弧上的任意一点到圆心的距离是相等的。

4. 圆的外接圆和内切圆的圆心都在圆上。

二、相切问题和解决方法在平面几何中，相切是一个重要的关系。

对于圆与直线的相切，我们需要讨论圆和直线之间的位置关系是否满足相切的条件。

圆与圆之间的相切问题也是如此。

1. 圆与直线相切当圆和直线之间只有一个交点，并且这个点同时在圆上时，我们称该直线与圆相切。

解决圆与直线相切的问题可以通过以下步骤进行：（1）已知圆的半径和圆心，以及直线的方程。

（2）计算直线到圆心的距离，判断该距离与半径的关系。

（3）若两者相等，则表示直线与圆相切。

2. 圆与圆相切在平面几何中，两个圆相切是指两个圆之间只有一个公共切点，并且这个点同时位于两个圆上。

解决圆与圆相切的问题可以通过以下步骤进行：（1）已知两个圆的半径和圆心。

（2）计算两个圆心的距离，并判断该距离与两个圆的半径之和的关系。

（3）若两者相等，则表示两个圆相切。

三、案例分析接下来，我们通过几个案例来具体讨论圆与相切问题。

案例一：已知圆O的圆心坐标为（2，3），半径为4。

直线L的方程为2x - y = 1，判断直线L与圆O的位置关系。

解：首先，可以计算直线到圆心的距离。

直线L的距离公式为d = |2x - y - 1| / √(2^2 + (-1)^2) = |2x - y - 1| / √5。

初三两圆相切的存在性问题

ABCOxy【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =--与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，其中点A 的坐标为（3-，0），点D 在线段AB 上，AD = AC ．如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径．两圆相切的存在性问题一：以函数为背景的两圆相切问题xyABCO 【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，其中OA = AB = BC = 4，tan 3BCO ∠=．（1）若点P 在第四象限，且POC ∆与AOB ∆相似，求满足条件的所有点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，若P 与以OC 为直径的D 相切，请直接写出P 的半径．DBAC OP【例3】如图，线段P A = 1，点D 是线段P A 延长线上的点，AD = a （a > 1），点O 是线段AP 延长线上的点，2OA OP OD =，以O 圆心，OA 为半径作扇形OAB ，90BOA ∠=︒，点C 是弧AB 上的点，联结PC 、DC ．（1）联结BD 交弧AB 于E ，当a = 2时，求BE 的长；（2）当以PC 为半径的P 和以CD 为半径的C 相切时，求a 的值；（3）当直线DC 经过点B ，且满足PC OA BC OP =时，求扇形OAB 的半径长．ABCDMP【例4】如图，已知：在ABC ∆中，射线AM // BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB = 4，BC = 6，∠B = 60°．（1）求证：2AP AD BP =；（2）如果以AD 为半径的A 与以BP 为半径的B 相切，求线段BP 的长度．二：以几何图形为背景的两圆相切问题ABCEF【例5】如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，点E 、F 分别在边BC 、AC 上（点F不与点A 、C 重合），EF // AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC = x ．（1）求∠B 的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE 、DF 分别交AB 于M 、N ，若MN = y ，求y 关于 x 的函数关系式并写出定义域；（3）（直接写出结果即可）以点E 为圆心，BE 为半径的E 与边AC○1有公共点时，求x 的取值范围； ②一个公共点时，求x 的取值范围；○3个公共点时，求x 的取值范围．。

中考数学总复习《二次函数与圆的存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数与圆的存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，二次函数y＝ax2＋2ax－3a的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C．（1）请直接写出A、B两点的坐标：A，B；（2）若以AB为直径的圆恰好经过这个二次函数图像的顶点．①求这个二次函数的表达式；①若P为二次函数图像位于第二象限部分上的一点，过点P作PQ平行于y轴，交直线BC于点Q．连接OQ、AQ，是否存在一个点P，使tan①OQA＝12？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（2016山东省淄博市）已知，点M是二次函数2y ax（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，14a），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为18．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN①x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．3．已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN①x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．4．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）分别求出经过点C和点D的“蛋圆”的切线的表达式．5．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D为该二次函数图象顶点．（1）求该二次函数解析式，及D点坐标；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMC＝S△AOC，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点F ，使以点F 、E 、B 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．6．已知二次函数2222y ax ax am am =-+-()1m <与x 轴交于A ，B 两点，且A 在B 的左边()1,1P -．（1）若1a =．①求A ，B 两点的坐标（用含m 的代数式表示）；①连接AP 和BP ，若在AB 和BP ，AP 所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，求m 的取值范围．（2）若抛物线过点P ，以A 为圆心，2为半径作圆，请判断直线PB 与①A 的位置关系，并说明理由． 7．如图，已知二次函数图像的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图像上，过点F(0，1)作x 轴的平行线交二次函数的图像于M ，N 两点（1）求二次函数的表达式；（2）P 为平面内一点，当PMN ∆时等边三角形时，求点P 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E ，使得以点E 为圆心的圆过点F 和和点N ，且与直线1y =-相切，若存在，求出点E 的坐标，并求E 的半径；若不存在，说明理由．8．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点D 为该二次函数图象顶点．连接BC 、AC 及CD 、BD ．（1）如图1，若点B 的坐标(3,0)，顶点D 坐标(1,4)．①求a 的值，并说明DBA ACB ∠=∠；①如图2，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（2）若12a=-，点(1,0)B，点(4,0)A-，如图3，动点G在直线AC上方的二次函数图象上．过点G作GE AC⊥于点E，是否存在点G，使得CGE中的某个角恰好等于BAC∠的2倍？若存在，求出点G的横坐标：若不存在，请说明理由．9．如图，二次函数y＝﹣13x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是．（2）连接AC、BC，判断①CAB和①CBA的数量关系，并说明理由．（3）设点M在二次函数图象上，以M为圆心，半径为855的圆与直线AC相切，求M点的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点．（1）如果一个二次函数图象经过B、C、D三点，求这个二次函数的解析式；（2）设点P的坐标为（m,0）(m>5),过点P作x轴交（1）中的抛物线于点Q，当以为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标．11．已知圆P 的圆心在反比例函数k y x=(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．(1)求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;(2)若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．12．已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F ，M ，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？ 13．如图，二次函数的图像交x 轴于(1,0),(2,0)A B -，交y 轴于(0,2)C -，过,A C 画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 在x 轴正半轴上，且PA PC =，求OP 的长；（3）点M 在二次函数图像上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ．① 点M 在y 轴右侧，且CHM AOC ∆~∆（点C 与点A 对应），求点M 的坐标；① 若M 的半径为，求点M 的坐标．14．已知二次函数21342y x x =-+. （1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为M ，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，连结AC 、BC,若①ACB =90°.①求此时抛物线的解析式；①以AB 为直径作圆，试判断直线CM 与此圆的位置关系，并说明理由.15．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan①ACO ＝13． (1)求这个二次函数的表达式； (2)经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．参考答案：1．（1）A （1，0）、B （－3，0）；（2）①y ＝－12x 2－x ＋32；①存在，P （－35，4825） 2．（1）a =1；（2）M 1（12，14），Q 1（14，18）或M 2（﹣12，14），Q 2（﹣14，18）； 3．（1）y=x 2；（2）M1（，），Q 1（，），M 2（﹣，），Q 2（﹣，）4．（1）（0，）；（2）y=x+；y=﹣2x ﹣3．5．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3，D （1，﹣4）；（2）点P 的坐标为（1，4+26）或（1，4﹣26）；（3）存在，且点F 的坐标为（133，0）或（53，0）或（﹣193，0）． 6．（1）①(,0)A m 和(2,0)B m -，①10m -<≤；（2）相交7．（1）214y x =；（2）(0,123)P +或(0,123)P -；（3）在二次函数图像上存在点E ，使得以点E 为圆心，半径为54的圆，过点F ，N 且与直线1y =-相切． 8．（1）①1a =-，①点P 的坐标为（1，﹣4+26）或（1，﹣4﹣26）；（2）G 的横坐标2-或2911-9．（1）﹣56；（32，0）；（2）①CBA ＝2①CAB ；（3）点M 坐标为（﹣6，﹣5）或（2，﹣1） 10．（1）；（2）11．(1)22()1y x k k +-=-(2)212．（1）一次函数的解析式为314y x =-+；二次函数解析式为214y x =．（2）相切（3）当3t =时，过F M N ，，三点的圆面积最小，最小面积为4π．13．（1）22y x x =--（2）3/2（3）①(1,2)-或710(,)39①117(,317)2M --+或117(,317)2M -+- 14．(1)D(3,0);(2)①()2125344x --+;①直线CM 与①D 相切, 15．(1)2=23y x x --(2)存在点F ，坐标为（2，-3）(3)1712±。

双曲函数与圆存在性问题

双曲函数与圆存在性问题
双曲函数是一类特殊的函数，包括双曲正弦、双曲余弦和双曲
正切等。

而圆则是一种常见的几何形状。

本文将讨论双曲函数与圆
之间的存在性问题。

我们首先来了解一下双曲函数。

在数学中，双曲函数是指满足
特定条件的一类函数。

其中，双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函
数（cosh）和双曲正切函数（tanh）是最为常见的双曲函数。

它们
在实数域上定义，并与三角函数有一定的关系。

接下来，我们来讨论圆。

圆是一个平面上所有离圆心距离相等
的点的集合。

圆的性质在几何学中有广泛的应用和研究，它与直线、角度以及曲线等都存在紧密的联系。

那么，双曲函数与圆之间是否存在关联呢？一般来说，双曲函
数与圆没有直接的关系。

双曲函数的图形呈现出一种“开放”的形态，而圆则是一个“封闭”的图形。

这两种形态之间存在明显的差异。

然而，在某些特定情况下，双曲函数和圆可以相联系。

例如，通过引入复数域，我们可以将双曲函数与圆的概念相联系起来。

在复平面上，双曲函数的图形与平面上的圆相关联，并通过复平面上的欧拉公式进行描述。

总结起来，双曲函数与圆之间一般来说没有直接的关联，它们在形态上存在一定的差异。

然而，在某些特定情况下，通过引入复数域，双曲函数和圆可以相联系。

这为我们理解和研究数学和几何学提供了一种有趣的视角。

以上是关于双曲函数与圆存在性问题的简要讨论。

希望对您有所帮助！。

专题33 圆中的存在性综合问题(解析版)

专题33 圆中的存在性综合问题1、如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，∴OH＝＝＝1，∴OB＝＝＝，即⊙O的半径为，∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．2、如图，直径为10的⊙O经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x2+kx+48＝0的两根．（1）求线段OA、OB的长；（2）已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2＝CD•CB时，求C点的坐标；（3）在⊙O上是否存在点P，使S△POD＝S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）连接AB，∵∠BOA＝90°，∴AB为直径，根与系数关系得OA+OB＝﹣k，OA×OB＝48；根据勾股定理，得OA2+OB2＝100，即（OA+OB）2﹣2OA×OB＝100，解得：k2＝196，∴k＝±14（正值舍去）．则有方程x2﹣14x+48＝0，解得：x＝6或8．又∵OA＞OB，∴OA＝8，OB＝6；（2）若OC2＝CD×CB，则△OCB∽△DCO，∴∠COD＝∠CBO，又∵∠COD＝∠CBA，∴∠CBO＝∠CBA，所以点C是弧OA的中点．连接O′C交OA于点D，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA，根据垂径定理，得OD＝4，根据勾股定理，得O′D＝3，故CD＝2，即C（4，﹣2）；（3）设直线BC的解析式是y＝kx+b，把B（0，6），C（4，﹣2）代入得：，解得：．则直线BC的解析式是：y＝﹣2x+6，令y＝0，解得：x＝3，则OD＝3，AD＝8﹣3＝5，故S△ABD＝×5×6＝15．若S△ABD＝S△OBD，P到x轴的距离是h，则×3h＝15，解得：h＝10．而⊙O′的直径是10，因而P不能在⊙O′上，故P不存在．3、如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF上，且∠EBD＝∠A．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）已知∠A＝30°．①若BE＝3，求BD的长；②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，则∠GEB＝90°，∴∠G+∠GBE＝90°，∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，∴∠EBD＝∠G，∴∠EBD+∠GBE＝90°，∴∠GBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD与⊙O相切；（2）解：如图2，连接AG，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，由（1）知∠GBD＝90°，∴∠GBD＝∠ABC，∴∠GBA＝∠CBD，又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，∴△BCD∽△BAG，∴＝＝tan30°＝，又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3，∴BG＝2BE＝6，∴BD＝6×＝2；（3）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下，由（2）知＝，＝，∴＝，∵B，E为定点，BE为定值，∴BD为定值，D为定点，∵∠BCD＝90°，∴点C在以BD为直径的⊙M上运动，∴当点C在线段OM上时，OC最小，此时在Rt△OBM中，＝＝，∴∠OMB＝60°，∴MC＝MB，∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠BDC+∠ACD＝180°，∴AC∥BD，∴四边形ABCD为平行四边形．4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B两点分别作⊙O的切线PA、PB交于一点P，连接OP（1）求证：∠APO＝∠BPO；（2）若∠C＝60°，AB＝6，点Q是⊙O上的一动点，求PQ的最大值．（1）证明：连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在RT△PAO和RT△PBO中，，∴RT△PAO≌RT△PBO（HL），∴∠APO＝∠BPO；（2）解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠PBA＝∠C＝60°，OP⊥AB，∴△PAB为等边三角形，延长PO交⊙O于Q，连接AQ、BQ，则此时PQ最大，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠BPO＝30°∴PQ＝2×AP＝2×AB＝2××6＝6．5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．（1）求证：△BEF是直角三角形；（2）求证：△BEF∽△BCA；（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．（1）证明：∵∠EFB＝∠∠EDB，∠EBF＝∠EDF，∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴△BEF是直角三角形．（2）证明：∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠EFB＝∠EDB，∴∠EFB＝∠BCD，∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥CD，∴∠AMC＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠BCD＝∠CAB，∴∠BFE＝∠CAB，∵∠ACB＝∠FEB＝90°，∴△BEF∽△BCA．（3）解：设EF交AB于J．连接AE．∵EF与AB互相平分，∴四边形AFBE是平行四边形，∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，∵BD⊥AD，∴EF∥BD，∵AJ＝JB，∴AF＝DF，∴FJ＝BD＝，∴EF＝m，∵△ABC∽△CBM，∴BC：MB＝AB：BC，∴BM＝，∵△BEJ∽△BME，∴BE：BM＝BJ：BE，∴BE＝，∵△BEF∽△BCA，∴＝，即＝，解得m＝2（负根已经舍弃）．6、（1）如图，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝3，BD＝4，则点D到直线AB的距离是（2）如图，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E（E在B、C之间，且不与B、C重合）．探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC＝90°，∠BCD为锐角．BD平分∠ABC，BD＝7，AB＝6．求⊙O的面积．解：（1）如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵S△BDC＝•BC•DE＝•BD•DC，∴DE＝，∴DF＝DE＝．故答案为；（2）如图②中，结论：AB+BC＝2BE．理由：作DF⊥BA于F，连接AD，DC．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF＝DE，∠DFB＝∠DEB＝90°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠EDF＝180°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠FDA＝∠CDE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△DFA≌△DEC（ASA），∴AF＝CE，∵BD＝BD，DF＝DE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BF＝BE，∴AB+BC＝BF﹣AF+BE+CE＝2BE；（3）如图③，连接AC，延长BC至H，使CH＝AB，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴＝，∴AD＝CD，∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠DCH＝∠BAD，又∵AD＝CD，AB＝CH，∴△ABD≌△CHD（SAS）∴BD＝DH＝7，∠ABD＝∠DHB＝45°，∴∠BDH＝180°﹣∠DBH﹣∠DHB＝90°，∴BH＝＝＝14，∵AB＝CH＝6，∴BC＝8，∵∠ABC＝90°，∴AC是直径，∵AC＝＝＝10，∴OC＝5，∴⊙O的面积＝25π．7、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以OB为半径的⊙O交AB于点E，交C于点D，连接CE，且CE＝CA．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，连接AD并延长交⊙O于点F，连接EF．①如果∠BAC＝60°，求证：EF⊥BC．②如果∠BAC≠60°，EF⊥BC是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．证明：（1）如图1，连接EO，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CA＝CE，OE＝OB，∴∠A＝∠CEA，∠B＝∠OEB，∴∠CEA+∠OEB＝90°，∴∠CEO＝90°，∴CE⊥OE，且OE为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）如图2，连接DE，∵∠BAC＝60°，AC＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE＝AC，∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠CFD＝∠ABC＝30°，∵DB是直径，∴∠DEB＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝90°，∵AD＝AD，AC＝AE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠CAD＝∠EAD＝∠CAB＝30°，∵∠BEF＝∠DAE+∠DFE，∴∠BEF＝60°，∴∠BHE＝180°﹣∠CBE﹣∠BEF＝90°，∴EF⊥BC；②仍然成立，理由如下：如图3，连接OE，DE，∵DB是直径，∴∠DEB＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝90°，∴点A，点C，点D，点E四点共圆，∴∠CAD＝∠CED，∵∠CEO＝90°＝∠BED，∴∠CED＝∠OEB，∴∠CAD＝∠OEB，∵∠OEB＝∠OBE＝∠DFE，∴∠CAD＝∠DFE，∴AC∥EF，∴∠ACB＝∠EHB＝90°，∴EF⊥BC．8、如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE＝1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G．（1）证明∠EFG＝90°．（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积．（3）在点F整个运动过程中，①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长．②连接EG，若＝时，求⊙O的半径（请直接写出答案）．解：（1）连结EG．在正方形ABCD中，得∠C＝90°．∴EG为⊙O的直径，∴∠EFG＝90°．（2）过点F作AD的垂线分别交AD，BC于点M，N（如图1）．由（1）得：∠AFE＝90°，∠ADF＝45°．∴设MF＝MD＝a，且AD＝MN，∴AM＝FN，∵∠NFE+∠AFM＝∠AFM+∠MAF，∴∠NFE＝∠MAF，∴△AMF≌△FNE（AAS），∴MF＝EN，即a＝3﹣a，∴a＝1.5，∴S△ADE＝×4×1.5＝3．（3）①Ⅰ当EF＝CG时（如图2）．∴EF＝CG．∴EF∥CG．∴∠BEF＝∠C＝90°．∴BE＝EF＝1．∴BF＝．Ⅱ当EF＝FG时（如图3）．∵EF＝FG，∴＝，∴∠ECF＝∠ACE＝45°，∴点A，C，E共线．∴F为对角线的交点．∴BF＝BD＝2．Ⅲ当GF＝GC时，点F作AD的垂线分别交AD，BC于点M，N．∵∠ECG＝90°，∴EG是直径，∴∠EFG＝90°，∴∠ECG＝∠EFG＝90°，∵EG＝EG，EG＝GC，∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），∴EF＝CE，∴EF＝CE＝3，设FN＝x．则AM＝BN＝x．∴EN＝x﹣1．根据EN2+FN2＝EF2，得：（x﹣1）2+x2＝32，解得x＝或（舍弃），∴BF＝NF＝，∴综上所述，所有满足条件的BF长分别为，2，．②如图4中，连接EG，作EM⊥BD于M，GN⊥BD于N．由△EMF∽△FNG，可得＝＝＝，设FM＝x，则GN＝DN＝2x，EM＝BM＝，FM＝，∵BD＝4，∴++3x＝4，∴x＝，∴DG＝DN＝，∴CG＝CD﹣DG＝4﹣＝，∴EG＝＝＝，∴⊙O的半径为．9、如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为；（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA．∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝60°，∵＝，∴AB⊥OC，∴∠OAD＝∠OAC＝30°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠OAD，∴OA∥BF，∵AF⊥BF，∴OA⊥AF，∴AF是⊙O的切线．（2）解：∵＝，∴∠CBD＝∠BEC，∵∠BCD＝∠BCE，∴△BCD∽△ECB，∴＝，∴＝，∴EC＝12，∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．故答案为9．（3）解：结论：＝，的值不变．理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．∵＝，∴OC⊥AB，CB＝CA，∴BH＝AH＝AB，∵∠ABC＝30°，∴BH＝BC，∴AC＝AB，∵CE∥AN，∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，∵∠ACE＝∠ABN，∴△ACE∽△ABN，∴＝＝，∴＝，∴的值不变．10、如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？解：（1）连接GD，EC．∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，∴∠GAD＝∠DAO，∵GD＝GA，∴∠GDA＝∠GAD，∴∠GDA＝∠DAO，∴GD∥OA，∴∠BDG＝∠BOA＝90°，∵GD为半径，∴y轴是⊙G的切线；∵A（2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝设半径GD＝r，则BG＝﹣r，∵GD∥OA，∴△BDG∽△BOA，∴＝，∴r＝2（﹣r），∴r＝，∵AC是直径，∴∠AEC＝∠AOB＝90°，∴EC∥OB，∴＝＝，∴＝＝，∴EC＝2，AE＝，∴OE＝2﹣＝，∴C的坐标为（，2）；（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，∵AC是直径，∴AC＝2×＝∴∠AEC＝∠AFC＝90°∵∠FEA＝45°∴∠FCA＝45°∴在Rt△AEH中，由勾股定理可知：AF＝CF＝，设OE＝a∴AE＝2﹣a∵CE∥OB∴△ACE∽△ABO∴＝，∴CE＝2，∵CE2+AE2＝AC2，∴22+（2﹣a）2＝∴a＝或a＝（不合题意，舍去）∴AE＝∴在Rt△AEH中，由勾股定理可得，AH＝EH＝，∴在Rt△AEH中，由勾股定理可知：FH2＝AF2﹣AH2＝（）2﹣（）2＝2，∴FH＝，∴EF＝EH+FH＝．。

某年高考全国三卷,与圆相切的压轴题

某年高考全国三卷,与圆相切的压轴题某年高考全国三卷，与圆相切的压轴题：“求证：以下命题正确”——这可是中学教科书里面很少出现过的新奇命题！当时我看到试卷上写着“等腰直角三角形斜边长为腰的两倍且小于斜边长的4倍。

”时就心头发紧，认定自己解决不了它，最后果然证明错误！之所以会错，完全是个人知识结构单薄造成的，以至于把难度极大的问题，当作简单题来对待；在理解上有缺陷。

其实，遇见未曾接触过或没有见过的事物，首先要仔细分析，想方设法去理解、认同它，而不能一味地轻视和否定，只有这样才有可能接受和掌握它。

现在经常说“世界是你的，也是我的，但归根结底还是你的。

”虽然“我的”范围无限广阔，可是又如何呢？总得从属于“你的”吧！所谓“我的”就是你的知识、思维模式及信念系统，并不具备什么神秘色彩。

既然如此，那么在一般情况下，你都应该比别人更多地占据优势，获取胜利。

有些同学喜欢谈论、议论，甚至争辩，希望通过这种途径让别人承认他们是正确的，从而产生自豪感、满足感，这本身没有任何错误，可是若用在学习上，就容易导致错误的选择，影响自己学业进步。

其实每个人的智力都差不多，关键是要保持清醒的头脑，养成良好的学习习惯，善于积累知识和经验，增强独立思考和判断能力，这才是获取知识的根本途径。

许多同学在学习上往往存在着依赖性、被动性，老师讲什么就听什么，课堂笔记照抄照搬，老师布置的作业不管会不会做都硬着头皮上交，缺乏主动探索精神，缺乏独立钻研的刻苦精神，久而久之，必将导致学习效率低下，学习成绩下降。

诚然，基础较差的同学需要花费更多的时间和精力，但并非意味着就不能超越别人，只要找准适合自己的学习方法，同样能够达到令人满意的效果。

在这个竞争激烈的社会里，即使是天资聪颖的孩子，也会遭遇失败。

同样，即便是成绩拔尖的学生，也会由于学习方法不当而名落孙山。

我们在日常生活中常常看到，有的孩子整天沉迷于网络游戏，或者痴迷于武侠小说，却丝毫没有收获，原因就在于他们对于所学的东西没有兴趣，学习的目标也不明确，更谈不上为了自己的目标付诸努力。

运动中的两圆相切问题

运动中的两圆相切问题两圆相切是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。

在这个问题中，两个圆在运动中相切，并且圆心的坐标和半径都是可变的。

首先，我们来看一下两圆相切的基本原理。

两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，即：R1 + R2 = d，其中R1和R2分别为两个圆的半径，d为两个圆心之间的距离。

其次，我们来看一下两圆相切的运动轨迹。

当两个圆在运动中相切时，它们的运动轨迹是一个椭圆，其中一个圆的圆心在椭圆的焦点处，另一个圆的圆心在椭圆的另一个焦点处。

最后，我们来看一下两圆相切的解法。

首先，我们需要确定两个圆的半径和圆心坐标，然后根据上面提到的两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹。

总之，两圆相切是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。

两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，当两个圆在运动中相切时，它们的运动轨迹是一个椭圆，其中一个圆的圆心在椭圆的焦点处，另一个圆的圆心在椭圆的另一个焦点处。

要解决这个问题，首先要确定两个圆的半径和圆心坐标，然后根据两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹。

两圆相切的问题是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。

它的解法也很简单，只要确定两个圆的半径和圆心坐标，根据两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹即可。

因此，两圆相切的问题是一个比较容易解决的数学问题，只要掌握了基本原理，就可以轻松解决。

圆的存在性问题(切点的存在性问题)

圆的存在性问题(切点的存在性问题)
引言
圆是几何学中最基本的图形之一。

在研究圆的性质时，我们面临着一个重要的问题，即圆上是否存在切点。

本文将探讨这个存在性问题，并提供相关的推理和证明。

分析
为了探讨圆的切点存在性问题，我们首先需要了解圆的定义和性质。

根据几何学中的定义，圆是平面上一组与给定点的距离相等的点的集合。

在圆中，我们可以找到两种特殊的点，即圆心和圆上的点。

圆心的存在性
根据圆的定义，圆心是与圆上所有点的距离相等的点。

由于圆是由距离相等的点组成的，因此圆心必然存在于圆中。

这是一个基本且不容置疑的事实。

切点的存在性
在研究切点的存在性时，我们考虑一个特定的情况。

假设有一
条直线与圆相交，我们需要确定该直线是否存在切点。

根据几何学
的基本原理，当直线与圆有且仅有一个交点时，该交点即为切点。

为了证明切点的存在性，我们可以利用基本几何定理，如切线
与半径垂直等。

通过应用这些定理，我们可以推导出直线与圆的交
点数量。

结论
根据上述分析，我们可以得出以下结论：
- 圆心必然存在于圆中，这是由圆的定义所决定的；
- 直线与圆交点的数量决定了切点的存在性；
- 切点的存在性取决于直线与圆的位置关系。

综上所述，对于圆的存在性问题和切点的存在性问题，我们可
以根据几何原理进行推理和证明。

通过深入研究圆形的性质和特点，我们可以更好地理解圆的存在和切点的存在性。

专题32 探究是否存在常数型问题(原卷版)

探究是否存在常数型问题探索性问题——肯定结论1．存在性问题的解题步骤探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤为：(1)假设满足条件的元素(常数、点、直线或曲线)存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；(2)解此方程(组)或不等式(组)；(3)若方程(组)有实数解，则元素(常数、点、直线或曲线)存在，否则不存在．2．解决存在性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．【例题选讲】[例1] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4． (1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[例2] 已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ．(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；(2)是否存在实数p ，使|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．[例3] 已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45．直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于A ，B 两个相异点，且AP →＝λPB →．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在m ，使OA →＋λOB →＝4OP →？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[例4]如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB→为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[例5] 已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2，1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．[例6] 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆，离心率e ＝12，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32．(1)求椭圆的方程；(2)椭圆左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【对点训练】1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，其离心率为22，又抛物线x2＝4y在点P(2，1)处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(－4，0)，斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1k＋k2k＝λk1k2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点F1，F2的距离之和为4．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ：y ＝x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m ，使|AB |＝2|CD |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合． (1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在常数k (k ≠0)，使得直线l 的斜率为k 且|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1． (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．5．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．6．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点坐标为(0，1)，离心率为22，动直线y ＝x ＋m 交椭圆M 于不同的两点A ，B ，T (1，1)．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)试问：△TAB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．。