弹性力学第九章

第九章 薄板弯曲问题
薄板问题解法
§9-2 弹性曲面的微分方程
本节从空间问题的基本方程出发，
应用3个计算假定进行简化，导出按位移
求解薄板弯曲问题的基本方程。
第九章 薄板弯曲问题
薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内 容是： 1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。 2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应变分量 x , x , xy;主要应力分量 σ ,σ , ；
u w v w , 得： z x z y (9 1)
略去σ z 引起的形变项。当略去 z , xz和 zy
后，薄板弯曲问题的物理方程为
1 1 2(1 ) x (σ x σ y ), y (σ y σ x ), xy xy . E E E (b) (9-2)
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u ，v 用 w 表示。
得
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
u w v w 0, 0. z x z y
w w u z f1 ( x, y ), v z f 2 ( x, y ). x y
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在 xy 面上的投影形状保持不变。
第九章 薄板弯曲问题
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问 题中提出了上述3个计算假定，并应用这3 个计算假定,简化空间问题的基本方程， 建立了小挠度薄板弯曲理论。 实践证明，只要是小挠度的薄板，薄 板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的 精度。
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说明： (1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应 力引起的形变; 但在平衡条件中，仍考虑 它们的作用。
第九章 薄板弯曲问题
⑵ 薄板弯曲问题的物理方程(b)与 平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚 方向，对于 x , y , xy , 平面应力问题的 应力为均匀分布，合成轴力 N x , N y , N xy ; 而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中 面为0，合成弯矩 M x ,M y 和扭矩 M xy 。
b 2 ~ q( ) , 及扭应力 xy （合成扭矩 M xy） b ~ q ( ), 横向切应力 zx , zy （合成横向剪力Fsy ,Fsx ）
挤压应力
z ~ q.

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所以 zx , zy 为次要应力，σ z 为更次要 应力。略去它们引起的形变，即得 zx 0, zy 0 . (a)
(1)具有一定的刚度，横向挠度 ； (2) 在中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；
(3)在内力中，仅由横向剪力 Fs 与横向荷
载 q 成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。
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计算假定
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
根据其内力和变形特征，提出了3个计 算假定(kirchhoff)： 1. 垂直于中面的线应变 z 可以不计。
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特点
薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根 据其内力及变形的特征，又提出了3个计算 假定，用以简化空间问题的基本方程，并从 而建立了薄板的弯曲理论。 当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称 为薄板的弹性曲面。 小挠度薄板--这种板虽然薄，但仍有相 当的抗弯刚度。它的特征是：
第九章 薄板弯曲问题
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⑶ 从计算假定1、2，得出 z zx zy 0,
故中面法线在薄板弯曲时保持不伸
缩，并且成为弹性曲面的法线。
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3.中面的纵向位移可以不计，即
(u, v) z 0 0.
(9-3)
(c)
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u v v u , y , xy , 由于 x x y x y
x x xy
次要应力分量 zx , zy 及最次要应力 σ z 均用w来 表示。 3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
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具体推导如下： 1. 取挠度
w w( x, y )
为基本未知函数。
应用几何方程及计算假定1，
w εz 0, w w( x, y ). z
w 由 z 0 ，得 z
取 εz 0 ，
w w( x, y).
故中面法线上各点，都具有相同的横向 位移，即挠度w。
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2. 次要应力分量 zx , zy 和 z 远小于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计。 薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级： 弯应力 σ x ,σ（合成弯矩 M x ,M y） y
又由计算假定3，(u, v) z 0 0, 得 故 f1 f 2 0,
w w u z, v z. x y
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3.主要应变 x , x , xy用 w 表示。
应用其余三个几何方程，得：
2w 2w 2w x 2 z, y 2 z, xy 2 z. (a) x y xy
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4.主要应力 σ x , σ x , xy 用 w 表示。
应用薄板的三个物理方程及式(a)，得：
Ez 2w 2w σx ( ), 2 2 2 1 x y Ez 2w 2w σy ( ), 2 2 2 1 y x Ez 2 w xy . 1 xy
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定义
§9-1 有关概念及计算假定
薄板是厚度远小于板面尺寸的物体。
薄板的上下平行面称 为板面。 薄板的侧面，称为 板边。 平分厚度的面,称为中面。
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比较
杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用-杆件的拉压问题； 杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用-梁的弯曲问题。 薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用-平面应力问题； 薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用-薄板的弯曲问题。