弹性力学第九章
第九章应力状态(3,4,5)分解
2 2
2 t x
解：
s 2 50MPa s 1 s 2 50MPa
s 3 50MPa
t max s1 s 3
2 50MPa
[例9-14]求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。
s max
解：
s min
s x s y
§9-3 空间应力状态的概念
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点 处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢 轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。
空间应力状态最一 般的表现形式如图所 示；正应力sx、sy、sz 的下角标表示其作用 面，切应力txy、txz、tyx、 tyz、tzx、tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个 下角标表示切应力的方向。
现在来导出一般空 间应力状态(图a)下的广 义胡克定律。因为在线 弹性,小变形条件下可以 应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之 间的关系为
s y sz 1 ex s x s y s z E E E E 同理有 1 1 e y s y s x s z ，e z s z s x s y E E sx
图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应 力为正。如果某作用面的外法线是沿着坐标轴的正向，则该 面上的切应力分量就以沿坐标轴正向时为正，相反，如果某 截面上的外法线是沿着坐标轴的负向，则该面上的切应力分 量就以沿坐标轴负向时为正。这样剪应力互等定理的表达式 就可不加负号了。
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力 分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
弹塑性力学第九章弹性力学的能量原理
∫+∫=∫
(σε
2)(1)(2)(1)(2)(1)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
σij=λεδ+2Gε
kkij
ij
()
∫=∫+
σ(ελεδεε
2)(1)(2)(2)(1)
VijijdV2GdV
Vkkijijij
()
λε(2)ε(1)ε(2)ε(1)
∫+
=
Vkkss2GijijdV
σ(ελεδεε
1)(2)(1)(1)(2)
()
∫=∫+
VijijdV2GdV
Vkkijijij
=()
∫+
λε1)((1)2
(ε2)εε()
Vkkss2GijijdV
相
等
∫+∫=∫
(σε
1)(2)(1)(2)(1)(2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫+∫=∫
(2)(1)(2)(1)σ(2)ε(1)
iuuijijii
σ=取真实的应力作为静力可能的应力
isjσ
ij
∫+∫=∫
Fkddσεd
biuVfuSV
sksk isiiijij
VSV
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nudS
Sijji
u
=
∫+∫+∫=∫
VFbiuidVfudSnudVdV
弹性力学-09
式中：
2 2 2 2 2 2 x y z 2
（9-2）
—— 空间问题的 Laplace 算子
用位移表示的平衡微分方程
应力边界条件：
us u vs v ws w
l xy s m y s n zy s Y
按位移求解空间问题 无限大弹性层受重力及均布压力 空心圆球受均布压力 位移势函数的引用 拉甫位移函数及伽辽金位移函数 半空间体在边界上受法向集中力 半空间体在边界上受切向集中力 半空间体在边界上受法向分布力 两球体之间的接触压力 按应力求解空间问题 等截面直杆的纯弯曲
§9-1
按位移求解空间问题
—— 基本方程
E 1 e ur 2 ur 2 Kr 0 21 1 2 r r E 1 e 2 w Z 0 21 1 2 z
（9-4）
—— 用位移表示的轴对称问题的平衡微分方程
2. 按位移求解空间问题的基本方程
2. 按位移求解空间问题的基本方程
平衡微分方程的位移表示： 将几何方程代入物理方程（8-19），有：
w v u yz x y z E u E w v x x e yz 1 1 2 x v 21 y z u w zx y （8-9） y u z x E v E w y e zx w v u （9-1） 1 1 2 y z 21 z x xy z v x u y E w xy z E e 21 x y 1 1 2 z E E x e x yz yz 2 1 2 1 1 u v w 其中： e E E x y y zx zx （8-19） z e y 2 1 1 1 2 将方程（9-1）代入平衡微分方程（8-1），并整理可得： E E z e z xy xy 2 1 1 1 2
第9章 梁的应力
中性层
中 性 轴
6
3.假设和推论 (1)平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生
转动.
(2)假设纵向纤维之间无挤压，各条纤维仅发生简单的拉伸
或压缩。材料服从虎克定律σ=Eε。
推论： (1）距中性轴等高处，变形相等。 (2) 横截面上只有正应力。
F
F
m
n
4、梁的正应力公式推导
m
n
中性轴
B
L 2 L 2
A
F
h 6
a
b
C
h 2
h
c
b
3
FL
1
a
M B ya IZ
FL
h
MB
1 2
FL
IZ
bh
12
2 3 3 1.65MPa bh 12 1 h
b 0
c
M B yc IZ
FL
2 3 2 bh 12
2.47MPa
（压）
12
例题2
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
F A
F
cos
2
同一点在斜截面上时：
2
sin 2
即使同一点在不同方位截面上，它的应力也各不相同
45
3、梁上任一点应力状态的分析
符号规定： 正应力：拉应力为正，压应力为负 切应力:使单元体顺时针方向转动为正；反之为负 α自x轴开始到斜截面的外法线方向逆时针转向为正，反之为负
第九章 梁的应力
1
概
述
钢筋混凝土梁拉裂破坏 1、弯曲构件横截面上的应力 剪力V 内力 剪应力τ
第9章---弹性力学变分原理
§9-2 应变能与余应变能 热力学定律——导出应变能的表达式
物体在外荷载作用下的功能转换：
弹性力学的 变分原理
可逆过程——外荷载对物体所做的功全部转化为物体的
动能和物体因变形引起的应变能(内能)。
不可逆过程——外荷载对物体所做的功, 一部分转化为
物体的动能和应变能,另一部分转化为热能、声能等被耗散。
y y ( x) y( x) x [a, b]
(9-4)
§9-1 变分法的预备知识 二、函数的变分
弹性力学的 变分原理
通常函数要满足一定的边界条件, 函数的变分应满足齐 次边界条件
y(a) ya , y(b) yb
y(a) 0, y(b) 0
导数的变分
( y) y ( x) y( x) (y ) y ( x) y( x) ( y) (y)
应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位 置 x、y、z的函数，因此，应变能密度是一个泛函。
泛函的一般形式
I [ y( x)] f ( x, y, y)dx
a
b
§9-1 变分法的预备Hale Waihona Puke 识 二、函数的变分函数的微分
弹性力学的 变分原理
dy y( x)dx
是增量的一阶小量！
函数的变分
热力学定律——导出应变能的表达式
弹性力学的变分原理
(σ u) il,iul il il ( σ ) u σ : ε
代(11-12a)
V ( σ f ) udv σ : εdv
V V
σ : εdv
若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度
§9-1 变分法的预备知识 一、函数与泛函
《弹塑性力学》第九章空间轴对称问题
80%
物理方程
描述了材料在不同应力状态下表 现出的物理性质。
塑性力学的基本方程
流动法则
描述了塑性应变与应力之间的 关系。
屈服准则
描述了材料屈服的条件，即应 力达到屈服点时的状态。
强化准则
描述了材料在塑性变形过程中 的应力增强机制。
空间轴对称问题的边界条件和初始条件
边界条件
描述了物体在边界上的受力状态和位 移约束。
如旋转机械、航空航天器等的 设计和分析。
土木工程
如桥梁、高层建筑等大型结构 的分析。
石油工程
如油藏模拟、油气管道设计等 。
核工程
如核反应堆、核废料处理设施 等安全评估。
02
空间轴对称问题的数学模型
弹性力学的基本方程
80%
平衡方程
描述了物体内部各点的受力平衡 状态。
100%
几何方程
描述了物体在受力后产生的形变 和位移。
近原问题的解。
在处理空间轴对称问题时，有限元法能 够将复杂的空间几何形状和边界条件简 化为易于处理和计算的离散模型，从而
提高求解效率。
有限元法在空间轴对称问题中广泛应用 于弹性力学、塑性力学等领域，能够得
到高精度的数值解。
有限差分法在空间轴对称问题中的应用
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的方法，通过求解差分方程来逼近原问题
目
CONTENCT
录
• 空间轴对称问题的基本概念 • 空间轴对称问题的数学模型 • 空间轴对称问题的解析解法 • 空间轴对称问题的数值解法 • 空间轴对称问题的实验研究
01
空间轴对称问题的基本概念
定义与特性
定义
空间轴对称问题是指物体在空间中关于某一直线或平面对称分布 的问题。
第九章弹性振动的准确解(2011版)
第九章 弹性体振动的准确解9.1 引言在引论中我们曾经提到，实际的振动系统都是弹性体系统。
弹性体具有分布的物理参数（质量，阻尼，刚度）。
它可以看做由无数个质点借弹性联系组成的连续系统，其中每个质点都具有独立的自由度。
所以，一个弹性体的空间位置需要用无数个点的独立空间坐标来确定。
也就是说，弹性体具有无限多个自由度。
在数学上，弹性体的运动需要用偏微分方程来描述。
前面我们论述的多自由度系统只是弹性体的近似力学模型。
本章讨论理想弹性体的振动，所谓理想弹性体．．．．．是指满足以下三个条件的连续系统模型：（1）匀质分布；（2）各向同性；（3）服从虎克定律。
通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。
我们将看到，任何一个弹性体具有无限多个固有频率以及无限多个与之相应的主振型；而且这些主振型之间也存在着关于质量与刚度的正交性；弹性体的自由振动也可以表示为各个主振动的线性叠加；而且对于弹性体的动响应分析，主振型叠加法仍然是适用的。
所以说，弹性体振动与多自由度系统的振动，二者有着一系列共同的特性，这就是它们的共性。
而二者的差别仅在于数量上弹性体有无限多个固有频率与主振型，而多自由度系统只有有限多个。
我们还将看到，对于一些简单情形下的弹性体振动问题，可以很方便地找到它们的准确解。
尽管实际问题往往是复杂的，很少可以归结为这些简单情形；但是了解这些简单情形下准确解的特征，对于处理复杂问题是有帮助的。
为了避免用到弹性力学的知识，而仅以材料力学作为基础，我们将限于讨论一维弹性体（梁，轴，杆等）。
9.2弦的振动设有理想柔软的细弦张紧于两个固定支点之间，张力为T ，跨长为l ,弦单位长度的质量为ρ。
两支点连线方向取为x 轴（向右为正），与x 轴垂直的方向取为y 轴（向上为正），如图9.2-1（a ）。
设弦的振动发生在xoy 平面内，弦的运动可表示为y=y (x,t ).还假设弦的振动幅度是微小的，即 y 与xy∂∂均为小量；在这假设下弦的张力T 可近似地看做常量。
弹性力学第九章柱形杆的扭转和弯曲
zx G 1
2ab2 x
x2
y2
2 y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
• 最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
m
ax
2Ga1
2ba
• B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
A O
r
Bx
当b<<a
yb 2
max |
zx
yb 2
| 3T ab2
(5)
二 任意边长比的矩形截面杆的扭转 在狭长矩形截面扭杆应力函数(1)的基础上，加上修正项F1，即
F(x,y)b42 y2F1(x,y)
(6)
函数F应满足方程
，将2式F(6)代入2，得到F1满足方程
2 F1 x2
2 F1 y 2
0
(7)
另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转函数
柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转——横截面翘曲变形不受限制 约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法 自由扭转的位移 1. 2.翘曲假设
位移解法基本方程
u yz v xz
w(x,y)
设单位长度相对扭转角为
将
(a2 b2)T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
翘曲位移为
u
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
yz
v
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
xz
w(a2a3bb32G)T xy
弹性力学(9)讲义版
( )
r r curlA = ∇ × A = 0
r 对于无旋场 ，有：A = grad Φ = ∇Φ
∂ ∂ ∂ ∇ = , , ∂x ∂y ∂z
r A的标量势 , r 为 R 的标量 函数。
inΩ
r 不失一般性，令： ∇g Ψ = 0
r r divA = ∇g A = 0 inΩ r r r r 对于无源场 ，有： A = curl Ψ = ∇ × Ψ A的矢
r r E = ∇Φ + ∇ × Ψ
r ∇ ×U = 0
r r r E = U +V
r ∇g V = 0
r 将赫姆霍兹定理 用于位移场 u ：
二、位移矢量的 Stokes分解
r r r u = u1 + u2
r r E = ∇Φ + ∇ × Ψ
没有转动 的位移 （无旋 没有体积变r 化的位移 （等体 r r r r 的）∇ × u1 = 0 , u 1 = ∇ Φ 的）θ = ∇ g u 2 = 0 , u 2 = ∇ × Ψ
司 老多媒体教学系列 师
弹性力学
华中科技大学力学系
2014年2月28日
1
司继文
老 司 师
多媒体教学系列
弹性力学 第九章 习题： 10-1 10-2 10-5 10-6 10-8 10-9
2
第九章 空间问题
§9-1 基本方程的柱坐标和球坐标形式 §9-2 位移的势函数分解 §9-3 弹性力学的位移通解 §9-4 弹性力学的应力通解
uR = uR ( R ) ,uθ = 0,uϕ = 0
γ Rθ = γ ϕθ = γ Rϕ = 0 ε R = ε R ( R ) ,ε θ = ε ϕ = ε T ( R )
弹性力学-00
教材与主要参考书
《弹性力学简明教程》
徐芝纶 编 高等教育出版社 铁木辛柯 （Timoshenko）编 科学出版社
《弹性理论》
《弹性理论基础》 陆明万等 编
清华大学出版社
第一章 绪
论
§1-1 弹性力学的研究内容 §1-2 弹性力学中的几个基本概念
§1-3 弹性力学中的基本假定
§1-1 弹性力学的研究内容
保证 s lim
s 0
Q s
中极限的存在。
2. 线弹性假定
假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间 成线性比例关系（正负号变化也相同）。
比例常数 —— 弹性常数（E、μ）
脆性材料—— 一直到破坏前，都可近似为线弹性的； 塑性材料—— 比例阶段，可视为线弹性的。 作用： 可使求解方程线性化
s lim
A0
Q
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力 A (2) 应力矢量. Q的极限方向 应力的法向分量 —— 正应力 应力的切向分量 —— 剪应力
P ΔA
ΔQ
n
(法线)
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
应力分量 单位:
与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
x
w
S
P
P v
u
O
y
弹性力学问题： 已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、 μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。
需建立三个方面的关系：
（1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系； （2）几何学关系： 形变与位移间的关系；
（3）物理学关系： 形变与应力间的关系。
§1-3 弹性力学中的基本假定
弹性力学简明教程 课后习题答案
《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中,将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后,得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中,考虑到3阶微量的精度时,所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量〔即更高阶微量〕上,可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形,物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上,应分别列出两个精确的边界条件；在小边界〔即次要边界〕上,按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上,对于图2－15〔a〕、〔b〕问题的三个积分边界条件相同,因此,这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量必须满足〔1〕平衡微分方程,〔2〕相容方程,〔3〕应力边界条件〔假设>。
2－14 见教科书。
2－15 见教科书。
2－16 见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程,相容方程与x=0和的应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和,与转动量,再令,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解：〔1〕校核相容条件是否满足,〔2〕求应力,〔3〕推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中l>>h,x=0,l属于次要边界〔小边界〕,可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后,并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
弹性力学主要内容及参考书目《弹性力学》
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
教材与主要参考书
教材： 《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书：《弹性理论》 铁木辛柯
பைடு நூலகம்
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
《弹性与塑性力学》（例题与习题）
弹性力学复习思考题
第二章平面问题的基本理(1) 两类平面问题的特点？(几何、受力、应力、应变等)。
(2) 试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。
(3) 在建立平面问题基本方程(平衡方程、几何方程)时，作了哪些近似简化处理？其作用是什么？(4) 位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？(5) 已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确定？需要什么条件？(6) 已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主方向？(7) 什么是线应变(正应变)、剪应变(切应变、角应变)？如何由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？(8) 平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？(9) 边界条件有哪两类？如何列写？第四章平面问题的极坐标解(1 )极坐标解答适用的问题结构的几何形状(?圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等)(2) 极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程)(3) 极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等)(4) 极坐标下应力分量与应力函数间关(5) 极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？(6) 极坐标下轴对称问题应力函数、应力分量、位移分量的特点？(7) 圆弧形曲梁问题应力函数、应力分量、位移分量的确定？(如何利用材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数的形式？)(8) 楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？(10) 何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？如何利用圣维南原理列写边界条件？(11) 弹性力学问题为超静定问题，试说明之。
(12) 弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？(13) 弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条件是什么？(14) 按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条件外，还必须满足变形协调方程(相容方程)？而按位移求解为什么不需要满足变形协调方程？(15 )应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题的正确解？为什么？(16) 常体力情况下，如何将体力转化为面力？其意义如何？(17) 何为逆解法？何为半逆解法？(18) Airy应力函数在边界上值的物理意义是什么？应力函数的导数：_________ 在边界上值的物理意义是什么？x ' y (9 )半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？(10) 圆孔附近应力集中问题应力函数、应力分量、位移分量的确(11) 定加法的应用。
弹性力学第九章 薄板弯曲问题
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
（1）应力分量 x
由公式（9－4）知， x 合成的主矢量为零；
对中面合成的弯矩
2
M x 2 z xdz
把（9－4）代入上式
M x
1
E
2
2w x2
2w y2
2 z2dz
§9－1 有关概念及计算假定
计算假定：
薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。
（1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即
z 0
由几何方程可得
y
w 0, w w x, y
z
0
x
b
/2 /2
z 图9－1
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都 具有相同的位移，其值等于挠度。
M yx
2 2
z yxdz
E 3
121
2w xy
M xy
Fsy
2
2
yz
dz
12
E 3 1 2
2w y
（d） （e） （f）
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
zx 0, yz 0
这里与梁的弯曲相同之处，也有 不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截 面，板的弯曲有两个方向，要考虑两 个横截面上的应力。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－1 有关概念及计算假定
结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成 为弹性曲面的法线。
河海大学弹性力学徐芝纶版 第九章ppt
d 2ur 2 dur 2 2 2 ur 0 dr r dr r
d 1 d 2 [ 2 ( r ur )] 0 dr r dr
积分：
1 d 2 ' ( r ur ) A 2 r dr d ( r 2ur ) A' r 2 dr r 2ur Ar3 B ur Ar B / r
对于球对称问题，求解方程成为
d 2 u r 2 dur E (1 ) 2 ( 2 2 ur ) f r 0 (1 )(1 2 ) dr r dr r
§9-2 半空间体受重力及均布压力
如图：
x o(y ) g p
fx fy 0 f z g
z
由于对称（任一铅直平面都是对称面），故可假设：
1 2 ui [2(1 ) ξ i ξ k,ki ] 2G
代入无体力的平衡方程中
G ui ( G)u j , ji 0
2
运算后得到： 4i 0
ζ ij δij ξ k,k (1 ) (ξi,j ξ j,i ) ξ k,kij
2 2
从而有：
G ui (λ G)uj,ji 0
2
1 2 λG ψ ,i ψ ,jji 0 2 2G 1 2 λG 2 ψ ,i ψ ,i 0 2 2G 2 ψ ,i 0
ψ c,c为任意常数
2
特别的，取Ｃ＝０，则
2 0
此时
ζ ij λ θ ij 2Gεij 1 1 2 而 ui ,i ,ii 2G 2G 1 1 1 1 ij (ui , j u j ,i ) ( ,ij , ji ) ,ij 2 2G 2 2G
弹性力学第九章
v
w z f 1 x, y y
u w z x
w u z f 2 x, y x
因为 u z0 0 vz0 0 f x, y 0 f1 x, y 0
2
于是纵向位移表示为
w u z x
E xy 21
y
E y x 2 1
Ez x 1 2
2w 2w x 2 y 2
Ez y 1 2
xy
2w 2w y 2 x 2 Ez 2 w 1 xy
mx ny sin sin 16q0 a b w 6 D m1,3,5, m1,3,5, m 2 n 2 2 m n a2 b2
a b
q0 sin
Amn
4q 0 1 cos m 1 cos n m2 n2 6 Dm n a2 b2
2
• 或
Amn
16q 0
6 Dm n
m n 2 2 b a
2 2
2
m 1,3,5,; n 1,3,5,
M
y y 0
0
2w 2w y 2 x 2 0 y 0
2w y 2 0 y 0
• 自由边的边界条件
M
y y b
0
M
yx y b
0
F
Sy y b
0
第五节 四边简支矩形薄板的重三角级数解
zy
Ez 2 2 w F2 x, y 2 2 1 y
• 薄板的上下板面的边界条件为 0 0
弹性力学--第九章(1)汇总
ur
1 2G
r
w 1
2G z
(9－11)
2 C
ur
1 2G
r
w 1
2G z
(9－11)
r
2 r 2
,
1 r
r
rz
zr
2 rz
z
2 z 2
(9－12)
注意：并不是所有一切问题的位移都是有势的，因此，位移 势函数并不是在所有一切问题中都存在的，当然也就很明显，用 位移势函数求解不一定成功。实际上，如果位移势函数存在，则
而且（9－11）式及(9 3)式得出非常简单的应力分量表达式如下：
r
2 r 2
,
1 r
r
rz
zr
2 rz
z
2 z 2
(9－12)
这样，对于一个轴对称问题，如果找到适当的调和函数 (r, z)
使得（9－11）式给出的位移分量和（9－12）给出应力分量能够满足 边界条件，就得到该问题的解答。
1 2 y
1 e 2w 0
1 2 z
2 0,
x
2 0,
y
2 0
z
2 C
也就是：
2 C
其中的C为任意常数。于是任取一函数满足2＝C，按（9－8）式求出的位移分量
都能满足平衡微分方程（9－7），因而，可以试取为问题的解答。
显然，如果取 C＝0，即命2＝0，则按（9－8）式求出的位移分量也 能试取为问题的解答。 这样，虽然缩小了函数 的范围，但针对具体问 题去寻求函数 就比较容易。
91按位移求解空间问题92无限大弹性层受重力及均布压力94位移势函数的引用补充95拉甫位移函数与伽辽金函数补充96半空间体在边界上受法向集中力97半空间在边界上受切向集中力补充98半空间体在边界上受法向分布力补充910按应力求解空间问题911等截面直杆的纯弯曲补充本章介绍空间问题按位移求解的方法和按应力求解的方法其思路和步骤与平面问题相似
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挤压应力
z ~ q.
第九章 薄板弯曲问题
所以 zx , zy 为次要应力，σ z 为更次要 应力。略去它们引起的形变，即得 zx 0, zy 0 . (a)
(1)具有一定的刚度，横向挠度 ； (2) 在中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；
(3)在内力中，仅由横向剪力 Fs 与横向荷
载 q 成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。
第九章 薄板弯曲问题
计算假定
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
根据其内力和变形特征，提出了3个计 算假定(kirchhoff)： 1. 垂直于中面的线应变 z 可以不计。
第九章 薄板弯曲问题
⑶ 从计算假定1、2，得出 z zx zy 0,
故中面法线在薄板弯曲时保持不伸
缩，并且成为弹性曲面的法线。
第九章 薄板弯曲问题
3.中面的纵向位移可以不计，即
(u, v) z 0 0.
(9-3)
(c)
u v v u , y , xy , 由于 x x y x y
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u ，v 用 w 表示。
得
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
u w v w 0, 0. z x z y
w w u z f1 ( x, y ), v z f 2 ( x, y ). x y
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在 xy 面上的投影形状保持不变。
第九章 薄板弯曲问题
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问 题中提出了上述3个计算假定，并应用这3 个计算假定,简化空间问题的基本方程， 建立了小挠度薄板弯曲理论。 实践证明，只要是小挠度的薄板，薄 板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的 精度。
第九章 薄板弯曲问题
4.主要应力 σ x , σ x , xy 用 w 表示。
应用薄板的三个物理方程及式(a)，得：
Ez 2w 2w σx ( ), 2 2 2 1 x y Ez 2w 2w σy ( ), 2 2 2 1 y x Ez 2 w xy . 1 xy
第九章 薄板弯曲问题
说明： (1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应 力引起的形变; 但在平衡条件中，仍考虑 它们的作用。
第九章 薄板弯曲问题
⑵ 薄板弯曲问题的物理方程(b)与 平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚 方向，对于 x , y , xy , 平面应力问题的 应力为均匀分布，合成轴力 N x , N y , N xy ; 而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中 面为0，合成弯矩 M x ,M y 和扭矩 M xy 。
x x xy
次要应力分量 zx , zy 及最次要应力 σ z 均用w来 表示。 3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下： 1. 取挠度
w w( x, y )
为基本未知函数。
应用几何方程及计算假定1，
w εz 0, w w( x, y ). z
w 由 z 0 ，得 z
取 εz 0 ，
w w( x, y).
故中面法线上各点，都具有相同的横向 位移，即挠度, zy 和 z 远小于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计。 薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级： 弯应力 σ x ,σ（合成弯矩 M x ,M y） y
第九章 薄板弯曲问题
定义
§9-1 有关概念及计算假定
薄板是厚度远小于板面尺寸的物体。
薄板的上下平行面称 为板面。 薄板的侧面，称为 板边。 平分厚度的面,称为中面。
第九章 薄板弯曲问题
比较
杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用-杆件的拉压问题； 杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用-梁的弯曲问题。 薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用-平面应力问题； 薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用-薄板的弯曲问题。
又由计算假定3，(u, v) z 0 0, 得 故 f1 f 2 0,
w w u z, v z. x y
第九章 薄板弯曲问题
3.主要应变 x , x , xy用 w 表示。
应用其余三个几何方程，得：
2w 2w 2w x 2 z, y 2 z, xy 2 z. (a) x y xy
第九章 薄板弯曲问题
薄板问题解法
§9-2 弹性曲面的微分方程
本节从空间问题的基本方程出发，
应用3个计算假定进行简化，导出按位移
求解薄板弯曲问题的基本方程。
第九章 薄板弯曲问题
薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内 容是： 1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。 2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应变分量 x , x , xy;主要应力分量 σ ,σ , ；
第九章 薄板弯曲问题
特点
薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根 据其内力及变形的特征，又提出了3个计算 假定，用以简化空间问题的基本方程，并从 而建立了薄板的弯曲理论。 当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称 为薄板的弹性曲面。 小挠度薄板--这种板虽然薄，但仍有相 当的抗弯刚度。它的特征是：
第九章 薄板弯曲问题
u w v w , 得： z x z y (9 1)
略去σ z 引起的形变项。当略去 z , xz和 zy
后，薄板弯曲问题的物理方程为
1 1 2(1 ) x (σ x σ y ), y (σ y σ x ), xy xy . E E E (b) (9-2)