第13章全等三角形

第十三章全等三角形

13.1全等三角形

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1．通过一个图形的平移、翻折、旋转，体会全等图形和全等三角形位置变化了，但形状、大小没有变化的特点．

2．理解全等三角形概念及表示方法，知道对应顶点、对应边、对应角及其性质．

知识点拨

（1）能够完全“重合”的两个三角形全等．

（2）全等三角形的对应边相等、对应角相等．

例1 填空题：

(1)如图13－1－1，①△ACF≌△ABE，AB＝AC，则对应角是____，对应边是____．

②△OFB≌△OEC，则对应角是____，对应边是____．

图13－1－1 图13－1－2

(2)如图13－1－2，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C对应角为____，BD边对应边为____．

(3)如图13－1－3，△ABC≌△ADE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，则对应角是____，对应边是____．

图13－1－3

解：(1)①对应角是∠A与∠A，∠ABE与∠ACF，∠AEB与∠AFC，对应边是AB与AC，BE 与CF，AE与AF．

②对应角是∠BOF与∠COE，∠BFO与∠CEO，∠OBF与∠OCE，对应边是OB与OC，OF 与OE，BF与CE．

(2)∠C的对应角是∠DBE，BD的对应边是CA．

(3)对应角是∠B与∠ADE，∠C与∠E，∠BAC与∠DAE．对应边是AB与AD，AC与AE，BC与DE．

点拨：由于在全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角(或公共角)是对应角，结合图形即可判断出．

例2 如图13－1－4，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2．

求∠DFE的度数与EC的长．

图13－1－4

图13－1－ 5

图13－1－7

图13－1－8

解：在△ABC 中，∠A+∠B+∠ACB ＝180°(三角形内角和为180°)

∵∠A ＝30°，∠B ＝50°(已知)

∴∠ACB ＝180°-30°-50°＝ 100°

∴△ABC ≌△DEF(已知)

∴∠ACB ＝∠DFE(全等三角形对应角相等)

BC ＝EF ．(全等三角形对应边相等)

∴∠DFE ＝100°

EC ＝E F －FC ＝B C －FC ＝BF ＝2

点拨：BF 与EC 不是全等三角形的对应边，所以不能由△ABC 与△DEF 全等直接得出EC ＝BF ． 点拨：由三角形内角和定理可得∠ACB 的度数，再由全等三角形的对应角相等，对应边相等，求出所求的角的度数与线段的长．

例3 如图13－1－5，△ABC ≌△DEF ，且B 与E ，C 与F 是对应顶点，问经过怎样的图形变换可使这两个三角形重合？

解法1： 先将△DEF 沿着CB 方向平移，使E 与B 重合(此时F 与C 重合)，再将移动后的△DEF 沿着BC 翻折，它即与△ABC 重合．

解法2： 先把△DEF 沿 EF 翻折，再把翻折后的△DEF 沿着CB 方向平移，使E 与B 重合，则△DEF 即与△ABC 重合．

点拨：变换后使对应顶点重合． 实习园地

一、你能把惟一正确的结论的代号填在题后括号内吗？

1．如图13－1－6，△ABC ≌△CDA ，且AB 、CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（ ）

（A ）△ABC 和△CDA 的面积相等 （B ）△ABC 和△CDA 的周长相等

（C ）∠B + ∠BAC = ∠D + ∠DAC

（D ）AD ∥BC 且AD = BC 2．若△MNP ≌△NMQ ，且MN = 10 cm ，NP = 8 cm ，PM = 6 cm ，则MQ 的长为（ ）

（A ）10 cm （B ）8 cm （C ）6 cm （D ）5 cm

3．若△ABD ≌△CDB ，∠ABD=60°，∠CBD=70°，则∠C 的度数是（ ）

（A ）30° （B ）40° （C ）50° （D ）60°

4．如图13－1－7，已知△ABC ≌△DEF ，且AB>BC>CA ，则在△DEF 中有（ ）

（A ）DE>EF>DF （B ）DE>DF>EF

（C ）EF>DE>DF （D ）DF>DE>EF

图13－1－6

A D

C B

图13－1－9

图13－1－10

图13－1－11 图13－1－12

图13－1－13

图13－1－14

5．已知：如图13－1－8，△ABC 与△DEF 是全等三角形，则有（ ）组线段相等

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

6．若△MNP ≌△NMQ ，且MN=8cm,NP=7cm,PM=6cm ，则MQ 的长为（ ）

（A ）8cm （B ）7cm （C ）6cm （D ）5cm

7．下列说法正确的是（ ）

（A ）全等三角形是指形状相同的两个三角形

（B ）全等三角形是指面积相等的两个三角形

（C ）全等三角形的周长和面积相等

（D ）所有的等边三角形都是全等三角形

8．如图13－1－9，△ABC ≌△CDA ，AB=4，BC=5，AC=6，则AD 边的长为（ ）

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）不确定

9．在图13－1－10中，△ABD ≌△CDB ，且AB ，CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（

） （A ）△ABD 和△CDB 的面积相等 （B ）△ABD 和△CDB 的周长相等

（C ）∠A+∠ABD=∠C+∠CBD （D ）AD//BC 且AD=BC

10．如图13－1－11，△ABC ≌△ADE ，∠ABC 和∠ADE 是对应角，则∠DAC 的对应角是（

）

（A ）∠ACB （B ）∠CAE （C ）∠BAE （D ）∠DAE

11．如图13－1－12，△ABD ≌△ACD ，BD=CD ，若∠BAC=1000 ，，则∠BAD=（ ）

（A ）450 （B ）500 （C ）400 （D ）800

二、你能把正确的结果填在题中横线上吗？

12．如图13－1－13，△ABC ≌△CDA ，∠B=∠D ，AB=CD ，则∠BAC=______.