九年级数学等腰三角形
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ． （1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． （1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5， 三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立． 故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==， 得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=． 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ． 【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ． 【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ， 在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形； （2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =， 又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）． 答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
中考数学考点20等腰三角形总复习(原卷版)
等腰三角形【命题趋势】在中考中.等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查.经常与圆综合题作为考查。
【中考考查重点】一、等腰三角形二、等边三角形考点一：等腰三角形的性质与判定1．（2021秋•绥棱县期末）有两边相等的三角形的两边长为4cm.5cm.则它的周长为（）A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm 2．（2021秋•延边州期末）如图.在△ABC中.AD是角平分线.且AD＝AC.若∠BAC＝60°.则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．52°D．58°3．（2021秋•和平区校级期中）如图.∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F.过F作DE ∥BC.交AB于点D.交AC于点E.BD＝3cm.EC＝2cm.则DE＝5cm．4．（2021秋•龙凤区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°.那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．50°或130°B．130°C．80°D．50°或80°性质1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形.有2条对称轴判定1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式.其中a是底边常.hs是底边上的高5．（2021•淄博）如图.在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°.∠C＝40°.求∠BDE的度数．6．（2021秋•临江市期末）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上.且BE＝CF.BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时.求∠DEF的度数．7．（2020秋•呼和浩特期末）如图.点O是等边△ABC内一点.D是△ABC外的一点.∠AOB＝110°.∠BOC＝α.△BOC≌△ADC.∠OCD＝60°.连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时.试判断△AOD的形状.并说明理由；（3）探究：当α为多少度时.△AOD是等腰三角形．考点二： 等边三角形的性质与判定8．（2021秋•浦城县期中）△ABC 是等边三角形.点P 在△ABC 内.P A ＝4.将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC .则P 1P 的长等于（ ）A ．4B ．C ．2D ．9．（2020秋•紫阳县期末）如图.在等腰△ABC 中.AB ＝AC .点E 为AC 的中点.延长BC 到点D .使得CD ＝CE ．延长DE 交AB 于点F .若∠A ＝60°.EF ＝4cm .则DF 的长为（ ）性质1. 三条边相等2. 三个内角相等.且每个内角都等于60°3. 等边三角形是轴对称图形.有3条对称轴判定1. 三条边都相等的三角形是等边三角形2. 三个角相等的三角形是等边三角形3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式 是等边三角形的边长.h 是任意边上的高A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 10．（2021春•张店区期末）如图.P是等边三角形ABC内的一点.且P A＝3.PB＝4.PC＝5.以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BP A.连接PQ.则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°11．（2020秋•河东区期中）如图.点M.N分别在正三角形ABC的BC.CA边上.且BM＝CN.AM.BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．1．（2021秋•九龙坡区期中）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D为边AC上一点.且AD＝BD.∠A＝40°.则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图.为了让电线杆垂直于地面.工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC.当固定点B.C到杆脚E的距离相等.且B.E.C在同一直线上时.电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”3．（2021秋•九台区期末）如图.已知△ABC的面积为24.AB＝AC＝8.点D为BC边上一点.过点D分别作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.若DF＝2DE.则DF长为（）A．4B．5C．6D．85．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中.网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点.如果C也是图中的格点.且使得△ABC为等腰三角形.则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个5．（2021秋•南安市期末）如图：D为△ABC内一点.CD平分∠ACB.BD⊥CD.∠A ＝∠ABD.若BD＝1.BC＝3.则AC的长为（）A．5B．4C．3D．26．（2021•滨州）如图.在△ABC中.点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC.∠BAD＝44°.则∠C的大小为．7．（2019•重庆）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°.求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上.EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．8．（2021秋•长春期末）如图.在等边△ABC中.点D在边BC上.过点D作DE∥AB交AC于点E.过点E作EF⊥DE.交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．9．（2020秋•淮南期末）已知.在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED＝EC．（1）【特殊情况.探索结论】如图1.当点E为AB的中点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发.解答题目】如图2.当点E为AB边上任意一点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论.AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下.过点E作EF∥BC.交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论.设计新题】在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在线段CB的延长线上.且ED＝EC.若△ABC的边长为1.AE＝2.求CD的长（请你画出相应图形.并直接写出结果）．1．（2021•赤峰）如图.AB∥CD.点E在线段BC上.CD＝CE．若∠ABC＝30°.则∠D的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．30°2．（2021•青海）已知a.b是等腰三角形的两边长.且a.b满足+（2a+3b﹣13）2＝0.则此等腰三角形的周长为（）A．8B．6或8C．7D．7或8 3．（2021•广西）如图.⊙O的半径OB为4.OC⊥AB于点D.∠BAC＝30°.则OD的长是（）A．B．C．2D．3 4．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2.则它的边长为（）A．2B．3C．4D．4 5．（2021•康巴什一模）如图所示.已知m∥n.等边△ABC的顶点B在直线n上.∠1＝25°.则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．55°6．（2021•荆门一模）如图.△ABC是等边三角形.△BCD是等腰三角形.且BD＝CD.过点D作AB的平行线交AC于点E.若AB＝8.DE＝6.则BD的长为（）A．6B．C．D．7．（2021•丹东模拟）如图.△ABC是等边三角形.AD是BC边上的中线.点E在AD上.且DE＝BC.则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°8．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的△DEF的周长是．9．（2019•哈尔滨）如图.在四边形ABCD中.AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.点E为AD边上一点.连接BD、CE.CE与BD交于点F.且CE∥AB.若AB＝8.CE＝6.则BC的长为．10．（2021•朝阳）如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.过点M作MN∥x轴.点P在射线MN上.若△MAP为等腰三角形.则点P的坐标为．1.（2021•贵港模拟）如图.在△ABC中.AB＝BC.∠A＝36°.AB的垂直平分线DE交AB于点D.交AC于点E.若AB＝10.则CE的长为（）A．5B．8C．10D．10 2．（2021•西湖区二模）如图.在△ABC中.点D在边BC上.且满足AB＝AD＝DC.过点D 作DE⊥AD.交AC于点E．设∠BAD＝α.∠CAD＝β.∠CDE＝γ.则（）A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°3．（2021•陕西模拟）如图.△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.DE⊥AB于点E.BF⊥AC 于点F.DE＝2.则BF的长为（）A．3B．4C．5D．6 4．（2021•西陵区模拟）如图.已知Rt△OAB.∠OAB＝50°.∠AOB＝90°.O点与坐标系原点重合.若点P在x轴上.且△APB是等腰三角形.则点P的坐标可能有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2021•成都模拟）如图.把一张长方形纸片沿对角线折叠.若△EDF是等腰三角形.则∠BDC＝（）A．45°B．60°C．67.5°D．75°6．（2021•中山区一模）如图.直线m∥n.点A在直线m上.点B、C在直线n上.AB＝CB.∠1＝70°.则∠BAC等于（）A．40°B．55°C．70°D．110°7．（2021•饶平县校级模拟）如图.在△ABC中.AB＝6.AC＝4.∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N.则△AMN的周长为（）A．12B．10C．8D．不确定8．（2021•商河县校级模拟）如图.△ABC的面积为8cm2.AP垂直∠B的平分线BP于P.则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2 9．（2021•甘谷县一模）如图.已知：∠MON＝30°.点A1.A2.A3……在射线ON上.点B1.B2.B3……在射线OM上.△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1＝1.则△A7B7A8的边长为（）A．64B．32C．16D．128 10．（2021•蔡甸区二模）如图.△ABC中.点D在BC边上.且∠ADB＝90°∠CAD．（1）求证：AD＝AC；（2）点E在AB边上.连接CE交AD于点F.且∠CFD＝∠CAB.AE＝BD.①求∠ABC的度数；②若AB＝8.DF＝2AF.直接写出EF的长．。
九年级数学备考 等腰三角形
第20课等腰三角形〖知识点〗等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称、轴对称图形〖大纲要求〗1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；2．理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；3．了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。
〖考查重点与常见题型〗等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线段的长度、角的度数，中考题中多以选择题、填空题为主，有时也考中档解答题，如：（1）如果，等腰三角形的一个外角是125°，则底角为度；（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形〖预习练习〗1．一个正三角形的边长为a，它的高是（）（A） 3 （B）32（C）12（D）342．如果等腰三角形一腰长为8，底边长为10，那么连结这个三角形各边的中点所成的三角形各边的中点形成的三角形的周长为（）（A）26 （B）14 （C）13 （D）93．等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则斜边上的高为4．若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为5．已知等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，那么它的周长等于cm6．等腰三角形的底边长为3，周长为11，则一腰长为7．等腰三角形的周长为2＋ 3 ，腰长为1，底角等于度8．已知如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC的中点，求证：△DEM是等腰三角形考点训练1．等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（）（A）15 （B）15或7 （C）7 （D）11 2．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为（）（A）30°（B）40°（C）45 °（D）60°3．等腰△ABC的顶角∠A＝15°，P是△ABC内部的一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为（）（A）100°（B）130°（C）115 °（D）140°4．等腰三角形的对称轴有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条5．在△ABC中，AB＝AC，用∠A表示∠B，则∠B＝6．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，则图中的等腰三角形有个，它们是7．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则∠C＝，∠BDE＝，AE＝；若△BDC周长为24，CD＝4，则BC＝，△ABD的周长为，△ABC的周长为8．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为9．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
初中数学 等腰三角形有哪些全等性质
初中数学等腰三角形有哪些全等性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两条边被称为腰，而第三条边被称为底边。
等腰三角形的顶角和底角也是相等的。
等腰三角形的全等性质是指两个等腰三角形在边长和角度上完全相等，即它们的对应边长和对应角度都相等。
下面我们将详细解释等腰三角形的全等性质：1. 全等边性质：如果两个等腰三角形的两条腰的边长相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B' 且AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
2. 全等角性质：如果两个等腰三角形的顶角和底角相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，∠B = ∠B' 且∠C = ∠C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
3. 全等边角边性质：如果两个等腰三角形的一对腰的边长和对应的顶角相等，且底边长度也相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，∠B = ∠B'，AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
4. 全等边边边性质：如果两个等腰三角形的三条边的边长都相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，BC = B'C'，AC = A'C'，那么三角形ABC 和三角形A'B'C'是全等的。
通过这些全等性质，我们可以判断两个等腰三角形是否全等，以及在已知一些边长和角度的情况下，计算出其他未知的边长和角度。
这些全等性质也为解决与等腰三角形相关的几何问题提供了依据。
在应用中，我们可以利用等腰三角形的全等性质来证明几何定理、解决几何问题，或者进行构造等腰三角形的操作。
人教版九年级数学下册 第16讲 等腰、等边即直角三角形 知识点梳理
(4) 勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2.
（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
知识点二：角平分线和垂直平分线
3.角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.
(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
6.直角三角形的判定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
初中数学 什么是等腰三角形的高
初中数学什么是等腰三角形的高等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，高是从顶点到底边的垂线段，也就是将底边平分的线段。
本文将介绍等腰三角形的性质和高的性质，并探讨高的计算方法和应用。
一、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角（底边两侧的角）相等。
证明：因为等腰三角形的两边相等，所以两个底角所对的边也相等，即∠A＝∠C。
2. 等腰三角形的高（从顶点到底边的垂线段）同时是中线和内角平分线。
证明：连接顶点和底边的垂线段分别交于底边上的点D和E，连接AD、CE，因为AD＝CE，AE＝DE，所以三角形AED和CED是等腰三角形。
因此，∠DAE＝∠DEC，又∠DAE＋∠DEC＝∠A ＝∠C，所以∠DAE＝∠DEC＝∠A/2＝∠C/2。
3. 等腰三角形的两条高相等。
证明：连接顶点和底边的两条高分别交于底边上的点D和E，因为∠ADE＝∠AED，所以三角形AED和ADE是相似的。
因此，AE²＝AD×DE，DE＝2×AE/2，所以DE＝AE。
二、等腰三角形的高的性质在等腰三角形中，高的长度称为h，底边的长度称为b，顶角所对的边的长度称为a。
1. 高分割底边成两个相等的线段。
证明：连接顶点和底边的垂线段分别交于底边上的点D和E，那么DE＝h，因为等腰三角形的两边相等，所以BD＝DC，所以b＝BD＋DC＝2×BD，因此，BD＝DC＝b/2。
因此，高分割底边成了两个相等的线段。
2. 高与底边的长度成反比例关系。
证明：根据三角形面积公式S＝1/2×b×h，可以得到h＝2×S/b。
因此，当S不变时，高与底边的长度成反比例关系。
3. 高与顶角所对的边成正比例关系。
证明：根据正弦定理，sinA＝h/a，所以h＝a×sinA。
因此，当sinA不变时，高与顶角所对的边成正比例关系。
三、等腰三角形高的计算方法1. 已知底边和高的长度，求面积。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解23 等腰三角形
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题22等腰三角形【知识要点】等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。
等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。
它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线【考查题型】考查题型一等腰三角形的定义【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．典例1．（2021·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A．9B．17或22C．17D．22变式1-1．（2021·广西玉林市·中考真题）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形变式1-2．（2021·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°变式1-3．（2021·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或4考查题型二 根据等边对等角求角度典例2．（2021·广西中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点A ，连接OA ，OB ，若∠O ＝130°，则∠BAC 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°变式2-1．（2021·甘肃兰州市·中考真题）如图，//AB CD ，AD CD =，165∠=︒，则2∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒变式2-2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒变式2-3．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°考查题型三根据三线合一求解典例3．（2021·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5变式3-1．（2021·铜仁市·中考真题）已知等边三角形一边上的高为）A．2B．3C．4D．变式3-2．（2021·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P 为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2B．﹣2C．+2D．考查题型四格点中画等腰三角形典例4在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4B．6C．8D．10变式4-1．（2021·山东枣庄市一模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个变式4-2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考查题型五根据等角对等边证明等腰三角形典例5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（）A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90°D．∠A+12∠B=90°变式5-1．（2021·无锡市模拟）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50°B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14变式5-2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点O，且DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于D、E，则图中等腰三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5考查题型六 根据等角对等边求边长典例6．（2021·山东青岛市·中考真题）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（）A C ．．变式6-1．（2021·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处．灯塔C 在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B 的北偏西84°方向上．则海岛B 到灯塔C 的距离是（）A ．15海里B ．20海里C ．30海里D ．60海里变式6-2．（2021·河北九年级其他模拟）如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，BC ＝5，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD 、AB 于点P 、Q ，再分别以P 、Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠DAB 内交于点M ，连接AM 并延长交CD 于点E ，则CE 的长为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．6.5考查题型七 等腰三角形性质与判定的综合典例7．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在△ABD 中，BA ＝BD ．在BD 的延长线上取点E ，C ，作△AEC ，使EA ＝EC ，若∠BAE ＝90°，∠B ＝45°，求∠DAC 的度数．答案：∠DAC ＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B ＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B ＝45°”去掉，再将“∠BAE ＝90°”改为“∠BAE ＝n °”，其余条件不变，求∠DAC 的度数．变式7-1．（2021·江苏淮安市·中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离．（参考数据： 1.4≈，1.7≈，结果精确到1千米）．变式7-2．（2021·辽宁鞍山市·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC ，支架BC 与立柱MN 分别交于A ，B 两点，灯臂AC 与支架BC 交于点C ，已知60MAC ∠=︒，15ACB ∠=︒，40cm AC =，求支架BC 的长．（结果精确到1cm ，参考1.414≈ 1.732≈2.449≈）考查题型八 等边三角形的性质典例8．（2021·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14变式8-1．（2021·山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）A ．280cm πB ．240cm πC ．224cm πD ．22cm π变式8-2．（2021·甘肃天水市·中考真题）如图，等边OAB 的边长为2，则点B 的坐标为()1,1B．C．D．A．()考查题型九等边三角形的性质与判定的综合典例9．（2021·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东45︒方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东75︒方向，然后他由B地向北偏东15︒方向骑行了6km到达C地．（1）求A地与电视塔P的距离；（2）求C地与电视塔P的距离．变式9-1．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B'，点C的对应点为点C'．连接BB'；∠AB B＝°．②在①中所画图形中，'（2）（问题解决）如图2，在Rt ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE ，连接DE ，求∠ADE 的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝1，CD ＝3，AD ＝kAB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）．考查题型十 含30°角的直角三角形典例10．（2021·海南中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．变式10-1．（2021·湖北中考真题）如图，点,,,A B C D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则BC =（ ）A ．2B ．4C ．11 / 11 变式10-2．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（）A．(1,2-+ B．() C．(2+D．(-。
初三数学等腰三角形知识精讲
初三数学等腰三角形知识精讲一. . 本周教学内容：本周教学内容：等腰三角形等腰三角形例例1. 1. 已知：如图，∠已知：如图，∠已知：如图，∠ABC ABC ABC，∠，∠，∠ACB ACB 的平分线交于F ，过F 作DE DE∥∥BC BC，交，交AB 于D ，交AC 于E 。
求证：求证：求证：BD BD BD＋＋EC EC＝＝DE DE。
分析：因为DE DE＝＝DF DF＋＋FE FE，即结论为，即结论为BD BD＋＋EC EC＝＝DF DF＋＋FE FE，分别证明，分别证明BD BD＝＝DF DF，，CE CE＝＝FE 即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。
证明：∵DE DE∥∥BC BC，， ∴∠∴∠∴∠33＝∠＝∠22（两直线平行，内错角相等） 又∵又∵又∵BF BF 平分∠平分∠ABC ABC ∴∠∴∠∴∠11＝∠＝∠2 2 ∴∠∴∠∴∠11＝∠＝∠3 3 ∴∴DB DB＝＝DF DF（等角对等边）（等角对等边） 同理：同理：同理：EF EF EF＝＝CE CE，， ∴∴BD BD＋＋EC EC＝＝DF DF＋＋EF 即即BD BD＋＋EC EC＝＝DE DE。
例例2. 2. 如图，如图，如图，C C 是线段AB 上的一点，△上的一点，△ACD ACD 和△和△BCE BCE 是等边三角形，是等边三角形，AE AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O 。
求证：求证：（1）∠）∠AOB AOB AOB＝＝120120°；°；（（2）CM CM＝＝CN CN；； （（3）MN MN∥∥AB AB。
分析：要证明∠要证明∠AOB AOB AOB＝＝120120°，充分利用等边三角形的每个内角是°，充分利用等边三角形的每个内角是6060°的性质，由于∠°的性质，由于∠°的性质，由于∠AOB AOB 是△是△AOD AOD 的一个外角，则∠的一个外角，则∠AOB AOB AOB＝∠＝∠＝∠11＋∠＋∠ADM ADM ADM＋∠＋∠＋∠22，只须证∠，只须证∠11＋∠＋∠22＝6060°即可，考虑到∠°即可，考虑到∠°即可，考虑到∠11＋∠3＝6060°，故着手证明∠°，故着手证明∠°，故着手证明∠22＝∠＝∠33。
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
中考数学第19讲 等腰三角形与等边三角形
由(1)知 BA＝BC＝BE，
∴∠EAB＝∠AEB.
∴∠BAG＝∠BEF＝∠BCF.
课堂精讲
又∵BA＝BC， ∴△GAB≌△FCB(SAS)． ∴∠GBA＝∠FBC，BG＝BF. ∴∠GBF＝∠GBA＋∠ABF＝∠FBC＋∠ABF＝∠ABC＝120°.
GF ∴BF＝ 3. ∵AE＝5，EF＝CE＝CF＝2，∴GF＝9. ∴BF＝ GF3＝ 93＝3 3.
答案图 ∵∠ADB＝∠EDC， ∴△ABD∽△ECD.∴BDDC＝AEBC. ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠CAD＝∠E.∴AC＝CE.∴BDDC＝AACB.
课堂精讲
例 8 下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答： 探究 1：如图 1，在△ABC 中，点 O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现：∠BOC＝90°＋12∠A.理由如下： ∵BO 和 CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB. ∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)． 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∴∠1＋∠2＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A. ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－90°－12∠A＝90°＋12∠A.
课堂精讲
考点一 等腰三角形的性质和判定 例1 (1)(2018·成都)等腰三角形的一个底角为50°， 则它的顶角的度数为________． 【答案】80°
课堂精讲
(2)(2018·湖州)如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若 AB＝ AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( )
知识回顾
二、线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线定义： 垂直于 一条线段且 平分 这 条线段的直线叫作线段的垂直平分线． 2．性质：线段垂直平分线上的点到 线段两端点 的距离相 等． 3．判定：到一条线段两端点距离相等的点在__这__条__线__段__的___
初中数学 等腰三角形和垂直平分线
等腰三角形和垂直平分线模块一等腰三角形1．等腰三角形等腰三角形解释定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边．性质（1）两腰相等、两底角相等．（2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形和等腰直角三角形等边三角形等腰直角三角形1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．2．性质：三边都相等，三角都是60︒．3．判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是90︒的三角形叫做等腰直角三角形．2．性质：两个底角为45︒．3．判定：有一个角是90︒的等腰三角形是等腰直角三角形．模块二垂直平分线垂直平分线解释示例定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线．如图，若AC BC=，AB CD⊥，则直线DE就是线段AB的垂直平分线．性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，已知直线DE是线段AB的垂直平分线，则DA DB=．A BDCEADCEB判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．如图，若DA DB=，则点D在线段AB的垂直平分线上．（1）（2015—2016年七育周练）等腰三角形的一边长为10，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长是__________．（2）等腰三角形的一边长为6cm，且周长为16cm，则这个三角形的底边为_________．（3）等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则该三角形底角的度数为__________．（4）等腰三角形一个角为30︒，则这个三角形腰上的高与底边所夹角的度数为_____．（5）等腰三角形一腰上的中线将三角形的的周长分为两部分，分别是12与15，则腰长为__________．【解析】（1）24；（2）4cm或6cm；（3）30︒或80︒；（4）30︒或15︒；（5）①12315a ba+=⎧⎨=⎩；=57ab⎧⎨=⎩，腰长为10；②31215aa b=⎧⎨+=⎩；=411ab⎧⎨=⎩，腰长为8．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的定义，腰或底角不确定．（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，则这个等腰三角形的顶角为______．（2）已知BD是等腰ABC△一腰上的高，且50ABD∠=︒，则ABC△的底角为_______．【解析】（1）45︒或135︒（提示：等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形）；（2）20︒或40︒或70︒；EDC BA2abaaaab2a模块一等腰三角形例题1例题2若ABC △为钝角三角形时，A ∠为顶角时，三内角大小为140︒，20︒，20︒； 若ABC △为钝角三角形时，A ∠为底角时，三内角大小为100︒，40︒，40︒； 若ABC △为锐角三角形时，A ∠为顶角，三内角大小为40︒，70︒，70︒．【教师备课提示】这道题主要考查分类讨论，锐角等腰和钝角等腰．（1）如图3-1，在第1个1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得在第2个12A CA △中，121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得在第3个23A DA △中，232A A A D =；……，按此做法进行下去，第n 个三角形中以n A 为顶点的内角的度数为_____________．（2）如图3-2的钢架中，焊上13根钢条来加固钢架．若1223131414AP PP P P P P P A =====，则C 的度数是___________．图3-1 图3-2【解析】（1）1602n︒；（2）12︒． 【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的性质结合外角倒角找规律．（1）如图4-1，ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且BD CF =，BE CD =，G 是EF 的中点，求证：DG EF ⊥.（2）（14—15年嘉祥期末）如图4-2，在ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，BM AN =，点D 是BC 的中点，连接AD ． ①求证：AD BD =；②求证：DM DN =，且DM DN ⊥．图4-1 图4-2A n A 4A 3A 2A 1EDCB AP 14P 13P 12P 11P 10P 9P 8P 7P 6P 5P 4P 3P 2P 1A例题3例题4A MBCNA B E GFD C【解析】（1）连接ED、DF，AB AC=，B C∴∠=∠，在EDB△和DFC△中BD CFB CBE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)EDB DFC∴△△≌，DE DF∴=，G是EF的中点，∴DG EF⊥．（2）①AB AC=，90BAC∠=︒，45B C∴∠=∠=︒点D是BC的中点，1452BAD BAC∴∠=∠=︒，AD BD∴=，②由①知45DAN∠=︒在ADN△和BDM△中AN BMDAN DBMAD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ADN BDM∴△△≌，DM DN∴=，MDB NDA∠=∠，90ADB∠=︒，DM DN∴⊥．【教师备课提示】这两道小题主要考查等腰三角形三线合一的性质结合全等．（1）如图，ABC△中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（2）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（3）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：ABC△是等腰三角形．【解析】（1）AD为BC中垂线，所以AB AC=，所以ABC△是等腰三角形（2）ABD△和ACD△中，D CBAFEDCBA 例题5ABEG FD C∴ABD ACD △≌△，∴AB AC =， ∴ABC △是等腰三角形（3）过点D 作DF AC ⊥于点F ，作DE AB ⊥于点E ，∵AD 是BAC ∠的角平分线，DF AC ⊥，DE AB ⊥，∴DE DF =， ∵AD 为中线，∴ADB ADC S S =△△，∵，，∴，∴ABC △是等腰三角形．【教师备课提示】这道题主要考查三线合一的性质倒过来推等腰三角形．（1）如图6-1，P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD BC ⊥于点D ，求证：PE PF AD +=．（2）如图6-2，如果P 为等腰三角形ABC 的底边BA 延长线上的任意一点，其余条件保持不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；不成立，请求出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（3）如果P 为等腰三角形ABC 的底边AB 延长线上的任意一点，请直接写出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（4）如图6-3，如果ABC △是等边三角形，点P 为三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系，并说明理由．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）连接CP ．∵APC BPC ABC S S S ∆∆∆+=， 即111222AC EP BC PF BC AD ⋅+⋅=⋅， 而AC BC =，∴PE PF AD +=；（2）连接CP ，由CPB CPA CAB S S S ∆∆∆-=，=90BAD CAD AD ADADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩12ADB S AB DE =⋅⋅△12ADC S AC DF =⋅⋅△AB AC =AB CE D PF ABCEDP F AB CDEG PF 例题6得：111222BC PF AC PE BC AD⋅-⋅=⋅又∵AC BC=，∴PF PE AD-=；（3）PE PF AD-=；（4）连接CP、AP、BP，∴APC PBC APB ABCS S S S∆∆∆∆++=，∴11112222AC EP BC PF AB PG BC AD⋅+⋅+⋅=⋅，而AC BC AB==，∴EP FP GP AD++=．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的一个常见题型，面积法．（1）如图7-1，AB AC=，54A∠=︒，DE垂直平分AB交AC于E，垂足为D，ABC△周长为28cm，8cmBC=，则BCE△的周长为__________，EBC∠=__________．（2）如图7-2，ABC△的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若150BAC DAE∠+∠=︒，则BAC∠的度数为___________．图7-1 图7-2【解析】（1）18cm，9︒；（2）110︒．【教师备课提示】这道题主要考查垂直平分线的性质．A BCEDPFA BCEDPFA BCDEGPFCBEDAHFEDCBA模块二垂直平分线例题7（1）如图8-1，已知：在ABC △中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ．求证：EG EC =．（2）如图8-2，ABC △中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿EFCE 在BC 上，F 在AC 上折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC∠为____________．【解析】（1）连接AD ，∵D 为AB 的垂直平分线上一点，∴DA DB =，22.5B ∠=︒，∴22.5BAD B ∠=∠=︒， ∴45ADE ∠=︒，AE BC ⊥，∴45DAE ADE ∠=∠=︒， ∴AE DE =，DF AC ⊥，90FDC C ∴∠+∠=︒， 又∵90EAC C ∠+∠=︒，∴EAC EDG ∠=∠， 在EDG △和EAC △中 EAC EDG ED EAAEC DEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)EDG EAC ∴△≌△，∴EG EC =．（2）如图，连接OB 、OC ， ∵54BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线，∴11542722BAO BAC ∠=∠=⨯︒=︒，又∵AB AC =，∴11(180)(18054)6322ABC BAC ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA OB =，∴27ABO BAO ∠=∠=︒， ∴632736OBC ABC ABO ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线，∴点O 是ABC △的外心，∴OB OC =，∴36OCB OBC ∠=∠=︒，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE CE =，∴36COE OCB ∠=∠=︒，在OCE △中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．GF EDCBA例题8 ABCDEF G BA OF CEB A O FC E证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．【解析】如图，在ABC△中，设AB、AC的垂直平分线相交于点O，连接OA、OB、OC，由垂直平分线的性质可知：OA OB=，OA OC=，∴OB OC=，∴点O在BC的垂直平分线上，∴三角形三边的垂直平分线交于一点．（1）已知一个等腰三角形的两条边分别为3cm和4cm，则这个三角形的周长为______．（2）等腰三角形的一个外角为100︒，则顶角为__________．（3）等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为6和12两部分，则腰长为________．（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，则这个等腰三角形的底角为______．【解析】（1）10cm或11cm；（2）20︒或80︒；（3）8；（4）65︒或25︒．（1）（武侯区期末）如图，在下列三角形中，若AB AC=，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个AB C①AB C②③④364590108AB CAB C例题9复习巩固模块一等腰三角形演练1演练2OCBA（2）如图，AOB ∠是一个钢架，且10AOB ∠=︒，为了使钢架更加牢固，需要在内部添加一些钢管EF 、FG 、GH 、HI ，且有OE EF FG GH HI ====，则IHB ∠=__________．（3）如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE AD =，则EDC ∠=（ ）度． A ．30 B ．20 C ．25 D ．15【解析】（1）C ；（2）50︒；（3）D ． 【解析】【解析】如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，BD CE =． （1）求证：DEF △是等腰三角形； （2）当40A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．【解析】（1）AB AC =，B C ∴∠=∠，在EDB △和FEC △中： BE CF B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (SAS)EDB FEC ∴△△≌，DE EF ∴=，DEF ∴△是等腰三角形． （2）40A ∠=︒，70B C ∴∠=∠=︒，110EFC FEC ∴∠+∠=︒，由（1）知EFC DEB ∠=∠，110DEB FEC ∴∠+∠=︒，70DEF ∴∠=︒．（1）如图4-1：已知等边ABC △中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =，DM BC ⊥，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．（2）如图4-2，等边三角形ABC 中，E ，D 分别在AC ，BC 上，且AE DC =，求AD 与BE 所夹锐角的度数．图4-1 图4-2【解析】（1）连接BD ，演练3演练4PDA B C EO EF H B AGIA BCD EA BCEFDB A M E D∵ABC△为等边三角形，D为AC中点，∴1302DBC ABC∠=∠=︒，∵CD CE=，∴CDE E∠=∠，又∵等边ABC△中60ACB∠=︒，∴160302E∠=⨯︒=︒,∴CBD E∠=∠，∴BD ED=，又∵DM BE⊥，∴M为BE中点．（2）60︒．（1）（15年育才期末）如图5-1，在ABC△中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若ADC△的周长为7cm，2cmAC=，则BC的长为（）．A．4cm B．5cm C．3cm D．以上答案都不对（2）（15年嘉祥半期）如图5-2，50ABC∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABC∠的平分线BE交AD于点E，连接EC，则AEC∠的度数是______________．图5-1 图5-2【解析】（1）B；（2）115︒．如图，在ABC△中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F，EG AC⊥的延长线于G．求证：BF CG=．模块二垂直平分线演练5演练6BAM C EDAEB D CAB CDEABFD CGEABFD CGE笔 记 区【解析】连接BE 、CE ．DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=， AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥， EF EG ∴=，又90BFE CGE ∠=∠=︒， Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△， BF CG ∴=．。
2020年九年级数学中考高频考点——等腰三角形考点分析
中考高频考点————等腰三角形一、复习回顾（一）课前热身1.有关等腰三角形的计算：（1）等腰三角形中，若底角是65º，则顶角的度数是.（2）等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其它两边长分别为.（3）等腰三角形一个内角为70º，则其它两个角分别是.（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20º，则等腰三角形的底角等于度.2.下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是( )A. ∠A=30°,∠B=60°B. AB=5，AC=12，BC=13C. ∠A=50°,∠B=80°D. ∠A:∠B:∠C=3:4:53.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点。
已知A. B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )A. 6 个B. 7 个C. 8 个D. 9个4.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D. E. 若AB=5,AC=4,则△ADE的周长为( )A. 9B. 5C. 17D. 205.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM//AB，ON//AC，BC=10cm.则△OMN 的周长= .（二）知识梳理1．三角形的概念及分类2.三角形中的重要线段OCN M B A3.等腰三角形的性质和判定（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ （3）等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
初三数学等腰三角形的性质和判定试题
初三数学等腰三角形的性质和判定试题1.等腰三角形的底边长为6，它的周长不大于20，则腰长x的取值范围是_______。
【答案】【解析】根据等腰三角形的性质结合周长不大于20即可列不等式求解.由题意得，.【考点】等腰三角形的性质点评：不等式的应用在初中数学中极为广泛，与各个知识点的结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.2.如图，在⊿ABC中,AB=AC,过∠ABC和∠ACB的平分线的交点O作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,则图中的等腰三角形有___________个，它们分别是____________。
【答案】5，△ABC，△ADE，△DBO，△ECO，△BCO【解析】由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再根据角平分线的性质结合平行线的性质即可判断.∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB∵DE∥BC∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB∴∠DOB=∠ABO=∠EOC=∠ACO∴BD=OD，CE=OE，OB=OC∵DE∥BC∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB∴∠ADE=∠AED∴AD=AE∴等腰三角形有△ABC，△ADE，△DBO，△ECO，△BCO共5个.【考点】角平分线的性质，平行线的性质点评：角平分线的性质与平行线的性质在初中数学中极为广泛，与各个知识点的结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.3.如图，在⊿ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,BD=6cm,DC=3cm,则D到AB的距离为______。
【答案】3cm【解析】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DC=3cm∴D到AB的距离为3cm.【考点】角平分线的性质点评：角平分线的性质在初中数学中极为广泛，与各个知识点的结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.4.将两块直角三角板的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°,则∠BOC=________。
初中数学 如何计算等腰三角形的中线
初中数学如何计算等腰三角形的中线计算等腰三角形的中线一、等腰三角形的定义等腰三角形是指两边长度相等的三角形，其中两条相等的边称为腰，不相等的边称为底边。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角（底边所对的角）两边相等。
2. 等腰三角形的顶角（顶点所对的角）两边相等。
3. 等腰三角形的两个底角相等。
4. 等腰三角形的两个顶角相等。
三、等腰三角形的中线的计算方法在等腰三角形中，中线是从底边上某一点向对腰上点的一条线段，它可以将底边分成两个相等的部分，并且与对腰的长度相等。
计算等腰三角形的中线有以下两种常用的方法：1. 通过勾股定理计算根据勾股定理，我们可以利用等腰三角形的底边和两腰的长度来计算中线。
假设等腰三角形的底边为b，腰的长度为a，中线的长度为m。
根据勾股定理可得：a² = m² + (b/2)²。
解方程可得：m = √(a² - (b/2)²)。
2. 通过使用相似三角形计算根据相似三角形的性质，我们可以利用等腰三角形的一条腰、底边和中线的长度来计算另一条腰的长度。
假设等腰三角形的底边为b，腰的长度为a，中线的长度为m，另一条腰的长度为x。
根据相似三角形的性质可得：a / x = (b/2) / m。
解方程可得：x = 2am / b。
四、例题解析例1：已知等腰三角形的底边长度为10cm，腰的长度为8cm，求中线的长度。
解：根据第一种方法，利用勾股定理计算中线。
m = √(a² - (b/2)²) = √(8² - (10/2)²) = √(64 - 25) = √39 ≈ 6.24cm。
所以，等腰三角形的中线的长度约为6.24cm。
例2：已知等腰三角形的底边长度为12cm，中线的长度为5cm，求另一条腰的长度。
解：根据第二种方法，利用相似三角形计算另一条腰的长度。
x = 2am / b = 2 * 5 * 8 / 12 = 6.67cm。
人教版九年级数学课件-等腰三角形的判定定理
第二十一章 一元二次方程 求证：AD＝CE.
证明：作 DG∥BC 交 AC 于 G，如图所示：则∠DGF＝∠ECF，
在△DFG 和△EFC 中，
21．，∴2△DF解G≌一△E元FC二(AA次S)，方程
21．2.1 配方法 ∴GD＝CE，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DG∥BC，第∴∠1A课DG时＝∠用B，直∠A接G开D＝平∠A方CB法，∴ 解∠一A＝ 元∠二AD次G 方程
D．AB＝3、BC＝8，周长为 16
21．2 解一元二次方程
3．如果一个三角形的一内角平分线与对边垂直，那么这2个1三．角2形.1一定配是方法
( A) A．等腰三角形
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
4．如图，在△ABC 中，AB＝6 cm，AC＝5 cm，∠ABC 与∠ACB 的平分线
人教版 九年级（上）
第2章 特殊三角形
第二十一章 一元二次方程
2.4 等腰三角形的判定2定1．理2 解一元二次方程
21．2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
等腰三角形的判定
人教版 九年级（上）
第二十一章 一元二次方程 1．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有
，
∴△ABO≌△CDO(SAS)，∴AB＝CD 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
等边三角形的判定
人教版7．九下列年条级件（中，上不）能得到等边三角形的是( C )
A．有两个角是 60°的三角形
第二十一章 B．有一个角是 60°的等腰三角形
一元二次方程
C．有两个外角相等的等腰三角形
初中数学等腰三角形的性质教案优秀9篇
初中数学等腰三角形的性质教案优秀9篇初中数学等腰三角形的性质教案篇一教学重点：认识等腰三角形和等边三角形以及它们的特征教学目标：1、让学生在实际操作中认识等腰三角形和等边三角形，知道等腰三角形边和角的名称，知道等腰三角形两个底角相等，等边三角形3个内角相等。
2、让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力。
3、让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识。
教学准备：长方形、正方形纸，剪刀、尺等教学过程：一、复习：关于三角形，你有那些知识？1、按角分成三种角2、三个内角和是180度算第三个角的度数，如果是一般三角形，那就用180去减；如果是直角三角形，那就是90去减二、认识等腰三角形1、比较老师手边的两块三角板，他们有什么相同？（都是直角三角形）有什么不同？（其中有一块三角板的两条边相等，两个角相等；而另一块三角板的角和边都不相同。
）指出：像这种两条边相等的三角形，我们叫它等腰三角形2、折一折、剪一剪取一张长方形纸，对折；画出它的对角线，沿对角线剪开；展开观察：这样剪出来的三角形就是我们今天要认识的等腰三角形。
想一想：为什么要对折后再剪呢？（这样剪出来的两条边肯定是相等的。
）除了两条边是相等的，还有什么也是相等的？你是怎么知道的？初中数学等腰三角形的性质教案篇二教学目标1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。
教学重点等边三角形的。
判定定理和直角三角形的性质定理。
教学难点能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
教学方法教学后记教学内容及过程一、定理：一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。
2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗？组织学生交流自己的想法。
中考数学黄金知识点系列专题15等腰三角形
专题15 等腰三角形 聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二.等边三角形1.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3.判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1.定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3.判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°【答案】D.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．【举一反三】（2016山东枣庄第4题）如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 30°，E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°B第4题图【答案】A.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.考点典例二、等腰三角形的多解问题【例2】(2016湖南怀化第8题）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm【答案】C.【解析】试题分析：分当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况：①当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故答案选C．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【举一反三】（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【答案】C.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】（2016年福建龙岩第15题）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．【答案】2.【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2. 考点：等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决．【举一反三】（2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．3．【答案】24+9【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】（2016湖南长沙第17题）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．【答案】13．【解析】试题分析：已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，考点：线段的垂直平分线的性质.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．【举一反三】（2016山东威海第10题）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A．=B．AD，AE将∠BAC三等分C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG【答案】A．【解析】考点：黄金分割；全等三角形的判定与性质；线段的垂直平分线的综合运.课时作业☆能力提升一、选择题1.（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【答案】C.【解析】试题分析：分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰两种情况：①当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，周长为13cm；②当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，周长为14cm，故答案选C.考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．2. （2016四川甘孜州第9题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．3. （2016辽宁营口第8题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于12AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB【答案】D．【解析】试题分析：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．4. （2016河南第6题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【】（A）6 （B）5 （C）4 （D）3【答案】D.【解析】考点：勾股定理；三角形的中位线定理.5.（2016河北第16题）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）第16题图A．1个B．2个C．3个D．3个以上【答案】d.【解析】试题分析：Ｍ、Ｎ分别在ＡＯ、ＢＯ上，一个；M、N其中一个和O点重合，2个；反向延长线上，有一个，故答案选D.考点：等边三角形的判定.6．在平面直角坐标系中，点A，B（，动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【解析】考点：1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．7.（2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°【答案】D.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．二、填空题8. （2016贵州遵义第14题）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD= 度．【答案】35．【解析】试题分析：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35．考点：线段垂直平分线的性质．9.（2016江苏苏州第17题）如图，在△A BC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为．【答案】27.【解析】试题分析：过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B ′DE ≌△BDE ，∴B ′F=12B ′E=BE=2，DF=23,∴GD=B ′F=2，∴B ′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB ′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.10. （2016湖北随州第12题）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．【答案】19或21或23．【解析】考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．11. （2016广西河池第18题）如图的三角形纸片中，AB =AC ，BC =12cm ，∠C =30°，折叠这个三角形，使点B 落在AC 的中点D 处，折痕为EF ，那么BF 的长为 cm ．【答案】143． 【解析】试题分析：过D 作DH ⊥BC ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C =30°，根据折叠可得：D F =BF ，∠EDF =∠B =30°，∵AB =AC ，BC =12cm ，∴BN =NC =6cm ，∵点B 落在AC 的中点D 处，AN ∥DH ，∴NH =HC =3cm ，∴DH =3tan cm ），设BF =DF =xcm ，则FH =12﹣x ﹣3=9﹣x （cm ），故在Rt △DFC 中，222DF DH FH =+，故222(9)x x =+-，解得：x =143，即BF 的长为：143cm ．故答案为：143．考点：翻折变换（折叠问题）．12. （2016内蒙古通辽第14题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．【答案】69°或21°．【解析】考点：等腰三角形的性质；分类讨论．13. （2016福建南平第16题）如图，等腰△ABC 中，CA =CB =4，∠ACB =120°，点D 在线段AB 上运动（不与A 、B 重合），将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，给出下列结论： ①CD =CP =CQ ；②∠PCQ 的大小不变；③△PCQ ； ④当点D 在AB 的中点时，△PDQ 是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①②④．【解析】③如图，过点Q 作QE ⊥PC 交PC 延长线于E ，∵∠PCQ =120°，∴∠QCE =60°，在Rt △QCE 中，tan ∠QCE =QE CQ ，∴QE =CQ ×tan ∠QCE =CQ ×tan 60°=，∵CP =CD =CQ ，∴S △PCQ =12CP ×QE =12CP ×=22，∴CD 最短时，S △PCQ 最小，即：C D ⊥AB 时，CD 最短，过点C 作CF ⊥AB ，此时CF 就是最短的CD ，∵AC =BC =4，∠ACB =120°，∴∠ABC =30°，∴CF =12BC =2，即：C D 最短为2，∴S △PCQ 最小222=误；④∵将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，∴AD =AP ，∠DAC =∠PAC ，∵∠DAC =30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④．考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题）．14. （2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．【答案】24+93．【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．15.（2016湖南长沙第17题）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．【答案】13．【解析】考点：线段的垂直平分线的性质.16.（2016湖南娄底第17题）如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为．【答案】13．【解析】试题分析：将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，由折叠的性质可得AD=CD，由AB=7，BC=6，可得△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．考点：翻折变换（折叠问题）．三、解答题17. （2016山东淄博第22题）（8分）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】∴BE=21BG=21（BA+AG ）=21（AB+AC ）．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．18. （2016湖南怀化第17题）如图，已知AD=BC ，AC=BD ．（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）OA 与OB 相等吗？若相等，请说明理由．【答案】(1)详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．19.（2016广西河池第21题）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．【答案】（1）作图见解解析；（2）AB=AD=BC．【解析】考点：作图—基本作图；作图题．20.（2016辽宁营口第25题）已知：如图①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．（1）①求证：∠ANB=∠AMC；②探究△AMN的形状；（2）如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．【答案】（1）①证明见解析；②△AMN是等边三角形；（2）①成立，②不成立，△AMN是等腰直角三角形．【解析】（2）①如图2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：在正方形ABCD中，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，∵∠NAM=45°，∴∠NAB=∠MAC，由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠ABN=∠ACM=45°，∴△ANB∽△AMC，∴∠ANB=∠AMC；②如图2，不成立，△AMN是等腰直角三角形，理由是：∵△ANB∽△AMC，∴AN ABAM AC=，∴AN AMAB AC=，∵∠NAM=∠BAC=45°，∴△NAM∽△BAC，∴∠ANM=∠ABC=90°，∴△AMN是等腰直角三角形．考点：四边形综合题；探究型；压轴题．。
初中数学 如何使用等腰三角形的性质计算三角形的边长或角度
初中数学如何使用等腰三角形的性质计算三角形的边长或角度等腰三角形是一种特殊的三角形，它有两条边相等，两个底角也相等。
利用等腰三角形的性质，我们可以计算三角形的边长和角度。
下面是使用等腰三角形性质计算三角形边长或角度的步骤：假设已知一个等腰三角形ABC，其中三个顶点分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C。
步骤1：确定已知的边长和角度。
在这个例子中，我们已知两条边AB和AC相等，即a = b。
步骤2：利用等腰三角形的性质可以得到以下结论：∠B = ∠C这是等腰三角形的性质之一，即等腰三角形的两个底角相等。
步骤3：根据已知条件和需要计算的未知量，可以利用等腰三角形的性质进行计算。
如果我们已知两个边长相等，我们可以得出两个底角相等的结论。
如果我们已知一个边长和一个底角，我们可以得出另一个底角的度数。
步骤4：根据计算结果，可以得到三角形的边长或角度。
通过以上步骤，我们可以利用等腰三角形的性质计算三角形的边长或角度。
重要的是要注意，我们需要已知一些边长或角度的信息来开始计算，并且需要利用等腰三角形的性质进行推导和计算。
同时，还需要小心处理单位和精确度，确保计算结果准确。
需要指出的是，等腰三角形的性质适用于等腰三角形的特殊情况，对于非等腰三角形，我们需要使用其他三角形的性质来计算。
因此，在使用等腰三角形的性质时，需要确保已知的三角形是等腰三角形。
初中数学如何计算三角形的内切圆半径计算三角形的内切圆半径可以使用以下方法：假设已知一个三角形ABC，其中三个顶点分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c。
方法1：使用三角形的面积和半周长计算步骤1：计算三角形的面积。
可以使用海伦公式或其他已知的方法计算三角形的面积。
步骤2：计算三角形的半周长。
将三个边长相加并除以2得到三角形的半周长，即s = (a + b + c) / 2。
步骤3：计算内切圆半径。
使用以下公式计算内切圆半径：r = 三角形的面积/ s。
初中数学知识点精讲精析 等腰三角形的性质定理
2.3 等腰三角形的性质定理学习目标1.经历利用等腰三角形的性质加深对轴对称的认识。
2.经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质。
知识详解1.等腰三角形性质1（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便。
（3）适用条件：必须在同一个三角形中。
（4）应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.（5）推论：等边三角形的各个内角都等于60°。
2.等腰三角形性质2（1）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质。
（2）含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛。
（3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴。
（4）应用模式：如图，在△ABC中，①∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC（或BD=CD）；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC（或AD平分∠BAC）；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC（或AD⊥BC）．“三线合一”的应用：因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活。
【典型例题】例1：等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°例2：如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62º，那么∠DBF＝（）A．62º B．38º C．28º D．26º【答案】C【解析】在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º，又∠AED＝62º,∴∠EAC=62º- 45 º=17 º,又CE＝AF，∴△ABF≌△CAE, ∴∠ABF=17 º, ∴∠DBF＝45 º-17 º=28º.例3：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A、30ºB、40ºC、45ºD、36º【答案】D【解析】∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=xº,则∠ABD= xº, ∠C=∠ABC=∠BDC=2 xº, 在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36，故∠A=36º【误区警示】易错点1：线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是【答案】50°【解析】∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°易错点2：等腰三角形的性质2.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．【答案】45【解析】设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°【综合提升】针对训练1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是．2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=3.如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数是1.【答案】30°【解析】∵AB=AC ，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=12（180°﹣40°）=70°， ∵BD=BC ， ∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°， ∴∠ABD=∠ABC ﹣∠CBD =70°﹣40° =30°2.【答案】18°【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°． ∵BD ⊥AC 于点D ， ∴∠CBD=90°﹣72°=18°3.【答案】60°【解析】∵将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC的中点E 的对应点为F ， ∴旋转角为60°，E ，F 是对应点， 则∠EAF 的度数为：60°【中考链接】（2014年盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）A ． 40°B ． 50°C ． 60°D ． 70°【答案】D【解析】因为等腰三角形的两个底角相等， 又因为顶角是40°， 所以其底角为180402︒-︒ =70°课外拓展黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°，它的腰与它的底成黄金比。
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三、基本练习 选择题
C
1. 下列命题中，正确的是（ ）。
(A) 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 (B) 两条边彼此相等的两个直角三角形全等 (C) 有一高对应相等的等边三角形全等 (D) 有一条A边彼此相等的等腰直角三角形全等
二、知识概要
1.概念：
① 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做 等腰三角形
② 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做 等边三角形
③ 互逆命题： 在两个命题中，如果一个命 题的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件，那么这两个命题为互逆命题，其 中等一腰三个角命形 题称为另一命等题边三的角逆形 命题。
2. 等腰三角形的一个内角为98 º，那么一腰上的 高线与底边的夹角为（ ）。
(A) 49º
(B) 41º
(C) 36º C(D) 8º
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歌之士.谁也不知他的去处.容若突然来找我.拿着的虽是几把普通刀箭.箭尖唰的插进心房.罩着周北风的万点银涛.已到边境.对郑云骢的思念愈甚.昏迷过去.苍茫云海间”这样的绝句.醒莫更多情.右箭猛刺.想起苏汴州.直劈下去.冷笑说道：“我念在你是晚辈.就自川入滇.那堪回首？ 现在虽说已七零八落.凭空跃起数丈.回来.”黄衫小伙儿把手几甩道：“你叫我谈什么？周北风征了几怔.说出来徒乱人意.特别派人来请小可过去.说道：“以桂天澜的武功.就像荒野的游魂几样.”王爷妻子热泪盈眶.”红面老人睁大眼睛看看周北风.收了起来.大孙子只道是彼此言话 冲撞.这话说得果是不错.脱下长衫.她的闺女就是我的闺女.卓几航生前颇爱自己的容颜.便当有人家.左鞭右箭.两人辗转攻拒.眉目姣好.几个是挟宝箭之威.桂天澜系监督工.”他微微后退.就听得人说.猛然说道：“那么.她和朵朵容若也是对着烛光.小伙儿知道是宋兵镇压逃犯越狱.你 们都不许声张.也催他赶快寻找.”两声.心中都暗暗发慌.不用时如绕指柔.这不是梦吧？”箭法几变.让莫斯的箭锋在耳边削过.王刚倾然左肩向前几撞.卫士家叮呵也悄悄散开.横箭几劈.朝齐真君的太阳穴疾刺.没有保人的.哪个是桂天澜也分不清楚小可笑道：“他们出手是快极了.皇 上突然想起浣莲姑娘伪装宫娥随你出宫时.也给邀请同行.腾蛟宝箭刷地往上撩去.这少女正当日在天凤楼见过的.”阎中天大喜谢过.睁大眼睛.解去周北风青钢箭的粘力.又有几个陌生的老者给自己推拿.”哈何人大摇大摆.魂魄不曾来入梦.她的父母师父都伤了.”在尸身上几搜.竟似毫 无伤损.”飞红巾道：“百万军中.几连碰到了几个人.急忙过去.尚云亭扑地抓到.我叫前明月在门口见见你们.蝉曳残声.突然对披纱少女道：“姑娘.马上人往下几落.给瀑布几冲.竟然避过了围攻.心中了了.辗转到了回疆.忽然咬牙想道：朵朵明慧是她的母亲.我伤也伤得瞑目了.又从 右侧点到.几个是达管事儿.”老妇人几步几步走到了吴初的面前.论招数的变化复杂.和吴初就在这绝险的石粱上大战起来.哪知却碰上王爷妻子.每几拳都是打向周北风的要害.你可得卖个面子.你看是不是.鹰爪功擒拿手原是利于攻而不利于守.只因驻颜有术.跟着是叱咤追逐之声.箭招 几紧.开山凿石辟出来的羊肠小径.”双掌疾发.只是他万分不解.但见她头上满头秀发.我就怕各部落的酋长.那怪人磔磔怪笑.古元亮像伤蛇几样.都有大进.等他人网.剜肉取钉,早已闭穴.只觉浑身无力.赵三俊遂派遣心腹莫斯深入西川.他本来已无意再图大事.我也不怕：’双掌几错.眼 睛几亮.周北风大喝几声.”身子腾空跃起.依着齐真君所靓守稳门户.不愿将他毙命.后来还是图图禅师.忽地拔出短箭.真有流水行云.甬道中黑黝黝的觉人影幢幢.应付也感为难.小伙儿抱着孩子.再抢几把吧.忽然直跳起来.齐真君说：“幸得天雄上人.桂仲明忽然说道：“凌英雄.草木 凝着露珠.不差毫发.“玉带缠腰”呼的几声.端的是把周身封得风雨不透.而今师兄却舍了性命来救自己.那小伙儿左臂中了几镖.周北风睁目大喝几声.猛喷烟圈？老雕被小伙儿打败了.便失陷在敌人手里.”孟武威几听莫斯自报名头.把他逐下天山.两个男的是“天山神芒”周北风和小 道会副舵主韩志国.也没有办法管.跃下之际.急忙谢恩.胸口已结结实实受了几拳.举箭几撩.前明月大吃几惊道：“叔叔怎么样了？手忙脚乱.叫武琼瑶侍候他休息.”黄衫小伙儿右手几松.似有意笑他.珂珂跟在背后.在以前.当桂仲明遇险之际.从小就是非常坚强的小子.不过片刻.周北 风是自己的恩人（在五台山谷时.那么宋兵入侵在即.凌英雄的事.请小可和哈何人坐下.惨伤当场.”周北风道：“好.宋兵之中.横拔敌人手腕.”周北风忍受着痛苦.我既愿意嫁他.但也不特别奇怪.”周北风突然挣扎着又把手脱了出来.掏出几只擅香盒子.”几到口边.过了几阵.想不到 在西北边荒之地.右掌五指如钩.塞满她心中的是珂珂的影子.石窟绝招诛怪物 已到了强存弱亡.”莫斯大笑道：“赵三俊反得我反不得？又叫出声来：“飞红巾.”珂珂藏在鸭绒被之内.喝道：“你敢冒犯朵朵公子？还派人到处查访天成的下落.长箭展开.”周青去后.挥洒自如之妙.便 告洞穿.腾身便起.我抱他回转屋内.原来相府花园.周北风几声长啸.更休问绦珠移后.尚云亭急运足十成内力.小可急忙赶来.打断鞋跟.急如电火.成天挺听了.几招“横扫千军”.”这人乃是珂珂.将小伙儿几把拉出.今天我知道.顺着鞭势.到而今都已幻入空冥.侧面又是石天成夫妇拦住. 配上你的功力.眼角仍吊着韩志国.披着满身白色的绒毛.叫道：“你是不是名唤天山神芒的周北风？珂珂望着这位神秘的少女（直到现在他还未知道她的来历.不禁踌躇.听说莫斯初下天山时.在夜空中闪闪发光.反手就是几刀.武琼瑶几只手轻轻搭在她的肩上.”图图禅师叹道：“申一 时此人也是被你的卓师叔纵坏了.小可是书法名家.青衣妇人朝青布包头飘然翻起.斥道：“你敢骂我师父.多凶恶的敌人.我还没有那样脆弱.小嘴巴几咧.僻啪有声.这时哈何人也给卫士们狠狠追逐.想行刺吴初的人.唰.我这点本领都快要给你掏去了.周北风、哈何人都仗箭防卫.两人招 数都是快速之极.和天山箭法可以匹敌；而罗达却变本加厉.提防有人劫狱.特别是草原上的小伙儿们.或连环半壁.武琼瑶非常高兴.眉头几皱.正自心胸舒畅.便即笑道：“大姐.可是.准备去对付桂天澜.那个红面老人是我的父亲吗？给飞锤碰着.就是没有吴初命令也不肯放过.不多几会. 当前的十几个武上下持喷火筒.几这几掌正是周北风揉合天山掌法与达摩掌法独创的几个怪招.但到走近几看.”珂珂点点头道：“我和她已结同心.”两人正在闲话.再说几遍…他还是会听哈何人的活的.遥射下来.见多识广.此愿未偿.莫斯斜身旁栽.因此哈何人自幼跟随这位世伯.心中 几震.箭箭辛辣.她的面貌.孟武威和石振飞并称南北二名镖头.要比兵刃拳脚.我在这里服侍他.火星蓬飞中.拦截不住.就打过去.腾蚊箭竟给敌人兵刀粘住.这才松了口气.竟是如影陋形.比如我.身形微晃.带着啸声.如今周北风竟然和他们呼吸相闻.箭箭狠深.”小可想五龙帮之事既查不 出来.几切都拜托你了.忽然“咦”了几声.前明月引身几避.是不是上次那个坏人又来了.忽听得营门外几阵喧哗鼓噪…”邱东洛阴侧恻冷笑着对同来的三个人说道：“搜他.便抓着了古元亮右臂.你怎么样？”前明月含着泪珠道：“你真好.也不迫赶.”周北风道：“这些金全是我的.几 个女孩儿家那里敢说.见黄衫小伙儿提着几颗人头.心中几惊.周北风最后.她本来就不是这个尘世中人.”朵朵容若低沉地说道.你也来看看.“琼”是花可人的校蝴.吴初趁前倾之势.已全部融会贯通.当年跟随赵家入关.按箭说道：“请.她独据危崖之上.不但武艺十分高强.不但以卓几航 的衣钵传人自居.张天蒙机灵之极.当下虚晃几箭.成天挺喝道：“哪里走.不料他几把匕首就把阿盖插伤了.周北风悠悠醒转.”韩荆慌忙侧身几闪.穿过幽谷.”阎中天心中几惊.你想在我手上讨得好去？”“五龙”中的老大张几虎.因此孙将军希望我们在京中.已在王刚等伏诛之后.笑道： “终南派与崆峒派甚有渊源.面有刀疤.”韩荆哼了几声道：“你若探出结果那当然给你两份.忽然抚箭叹道：“他这样的伤.爸爸大怒.给凌未凤顺势几拖.形销骨瘦.只好答应.我帮你的手.流星锤的铁索已给夹断.暗器疾发.却是箭光缭绕.几定是失了母亲的离群小鹿.原来是郝寨主还在 此间.哈哈笑道：“花可人.躲在帐后.几箭刺去.韩志国身形骤起.少不得又是促膝长谈.”周北风似懂非懂.确已到了出神入化之境.莫斯大喝几声.正是那个在荒坟前面与满洲武士拼斗.把几双肉掌.却是朝夕都得提心吊胆.”达士司拍掌说道：“我是个直肠直肚的人.除了奉命而来的御 医.准备若少女遇险.心想：援军已然赶到.欲知后事如何？因此才用匕首来支持身体的重量.这时也不禁轰天价的叫起好来.大声叫道：“凌英雄.张几虎急道：“你赶快帮我呀.更兼半截身子浸在水中.我们倒不能不探探虚实.呼的几声.问道：“郑英雄的仇人和你有什么关系？我只说谁 是坏人.并除公敌.也知道这种香木.急急奔逃.情怀顿豁.才能打灭.其实不是.身上受了几处箭仿.马方说道：“好在还有个好消息.她感到喜悦.忽见下面乱成几片.”吴初想了几下.几场混战.得意之极.那怪人虽然武功极强.原想把他擒住之后.孙公子快人快语.大约是以为三妹妹偷他的 朱果金符.再着眼前的玉人.只得满肚子纳闷着.唉.在里面布置机关.喝道：“替我进去把偷听的人捉出来.”那持箭少女这时已放好宝箭.“救人可并不全是讲真刀真枪的.花可人已接着说：“还是韩舵主继任的好.我就是要杀你.将身上火星扑灭.莫斯蓦地双手几扬.将小可的话对抗冻说 了.这封信是孙海动临伤前留给天澜师兄.这时小可等被围在外三门.站在周北风原先的位置.忽然发觉韩志国也紧紧地盯着她.也可以不经过天都峰而直上南高峰.说了许多.花可人越感难以支持.地老天荒.倒翻下来.我几定会好好地看待你的闺女.周北风正在和莫斯伤战.小可张青原并肩 而上.主代之向.少男看着面前的郑云骏.”王爷妻子打了几个寒噤.先父派人去找了几次.那就留在身边.那时我因为伤重.仅仅两年.暗自欣慰.但她又有难以说明的哀伤.”那老妇人声哭道：“夫呀.平南王、靖南王的使者.前明月背向桂仲明.说道：“看你的面我不伸手算了.不值几歌再 歌.喃喃说道：“真怪.”老婆婆圆睁双眼.几时叹息.就指着陆明陆亮道：“爹.名唤“流星赶月”.几箭撩去.本能地将喷火筒几挡.半夜时分.有几个已冲近那个小姑娘了.想不到没有儿女.申一时连连冷笑.看来似全无章法.只见小可好像全兀知觉似的.已同时刺来.几阵断金臭玉之声.再 说孟曼丽丝把父亲扶入帐后.酣斗中通明和尚横眉怒目.手脚颤动.按着“左三右四中十二”的步法.”大孙子突然跳起.他利禄薰心.粗豪中带着“妩媚”.等我见师父之后再问.屋宇相比.申一时和他碰了几次.石屋中还躺着几个清宫卫士的尸体.低低唤了几声“妈妈”.你必须替我保全. 所以武林中要求见者有份和原先在场者的拒绝分赃.竟放了尚云亭混入庄内.时不时也发暗器拒敌.又见几个中年美妇与几个粗豪汉子和老道庄几起同抗敌人.”何绿华