现代控制理论-第7章
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第六次课小结
一、 Lyapunov 意义下的稳定性问题基本概念
平衡状态的概念
Lyapunov 意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等）
纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性 二次型，复二次型（Hermite 型）
二、 Lyapunov 稳定性理论
第一方法 第二方法
三、 线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析
应用Lyapunov 方程
Q PA P A H -=+
来进行判别稳定性
四、 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计
衰减系数，一旦定出min η，则可定出)(x V 随时间t 衰减上界。 计算min η的关系式
五、 离散时间系统的状态运动稳定性及其判据
离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov 稳定判据在离散系统中的应用
六、线性多变量系统的综合与设计的基本问题
问题的提法
性能指标的类型
研究的主要内容
七、极点配置问题
问题的提出
可配置条件
极点配置算法
爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（）给出的系统，重写为
Bu Ax x +=&
假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为n s s s μμμ===,,,21Λ。 利用线性状态反馈控制律
Kx u -=
将系统状态方程改写为
x BK A x )(-=&
定义
BK A A -=~
则所期望的特征方程为
)
())((~
11121=++++=---=-=+-*
*--*n n n n n a s a s a s s s s A sI BK A sI ΛΛμμμ
由于凯莱-哈密尔顿定理指出A ~
应满足其自身的特征
方程，所以
0~~~)~(**11*1*
=++++=--I a A a A a A A n n n n Λφ
我们用式（）来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑n = 3的情况。需要指出的是，对任意正整数，下面的推导可方便地加以推广。 考虑下列恒等式
22
3332
22~~)(~~)(~~
A
BK A ABK BK A A BK A A A BK ABK A BK A A BK
A A I I ---=-=--=-=-== 将上述方程分别乘以)1(,,,*0
*0
*1
*2
*3
=a a a a a ，并相加，则可得
3
2*1*2
*3
~~~A
A a A a I a +++ -+--+-+=32
*1
*2
*3
)~
()(A A BK ABK A a BK A a I a
2
2~
~A BK A ABK BK A ---
-
----+++=BK A A BK a ABK a BK a A A a A a I a 2*1
*1
*2
3
2
*1
*2
*3
~
2
~~A BK A ABK -- （）
参照式（）可得
0)~(~~~*32*1*2
*
3
==+++A A A a A a I a φ
也可得到
0)(*
32*1
*2*3≠=+++A A A a A a I a φ
将上述两式代入式（），可得
BK A A ABK ABK a A BK A BK a BK a A A 2*
12*1*2**
~~~)()~(------=φφ
由于0)~
(*
=A φ，故
BK
A A K K a A
B A K A K a K a B A 2
*12*1
*2
*
)~()~~()(+++++=φ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡+++=K
A K K a A K A K a K a
B A AB B ~~~][*
12
*1
*2
2
M M （）
由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵
][2
B A AB B Q M M =
的逆存在。在式（）的两端均左乘能控性矩阵Q 的逆，可得
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡+++=-K
A K K a A K A K a K a
A B A AB B ~~~)(][*
12
*1
*2
*
12φM M
上式两端左乘[0 0 1]，可得
K K A K K a A K A K a K a A B A AB B =⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=-~~~]100[)(]][100[*
12*1*
2*12φM M 重写为
)(][]100[*
12A B A AB B K φ-=M M
从而给出了所需的状态反馈增益矩阵K 。
对任一正整数n ，有
)
(]][1000
[*
11
A B A AB B K n φ--=M ΛM M Λ
式（）称为用于确定状态反馈增益矩阵K 的爱克曼方程。 ------------------------------------------------- [例] 考虑如下线性定常系统
Bu Ax x +=&
式中