二次函数与直角三角形

二次函数与直角三角形

1．（10分）（2006河南22题）二次函数2

18

y x =

的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ． （1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；

（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC BD 的值．

解：（1）根据题意，设点B 的坐标为2

18

x x ⎛⎫ ⎪⎝

⎭

，，其中0x >．

点A 的横坐标为2-，122A ⎛

⎫∴- ⎪⎝⎭

，． ······································································ 2分

AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，()02M ，， AC BD ∴∥，32MC =

，2

128

MD x =-． Rt Rt BDM ACM ∴△∽△． BD MD AC MC

∴=． 即2

1282

2

x x -=．

解得12x =-（舍去），28x =．

()88B ∴，． ··················································································································· 5分 （2）存在． ··················································································································· 6分 连结AP ，BP ．

由（1），1

2

AE =

，8BF =，10EF =． 设EP a =，则10PF a =-．

AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，90APB =∠，

y

D

B

M

A C O

x

AEP PFB ∴△∽△． AE EP PF BF ∴=． 1

2108

a

a ∴=-．

解得5a =

5a =

∴点P

的坐标为()3+

或(

)

3． ···························································· 8分 （3）根据题意，设218

A m m ⎛⎫

⎪⎝

⎭

，，218B n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，，不妨设0m <，0n >．

由（1）知

BD MD

AC MC =， 则22128128n n m m -=--或2

212812

8

n n m m -=

--． 化简，得()()160mn m n +-=．

0m n -≠，

16mn ∴=-．

16AC BD ∴=． ········································································································· 10分

2.如图17，(2010辽宁大连26题)抛物线F ：2(0)y ax bx c a =++>与y 轴相交于点C ，直线1L 经过点C 且平行于x 轴，将1L 向上平移t 个单位得到直线2L ，设1L 与抛物线F 的交点为C 、D ，2L 与抛物线F 的交点为A 、B ，连接AC 、BC （1）当12a =

，3

2

b =-，1

c =，2t =时，探究△ABC 的形状，并说明理由； （2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’CDB 的面积（用含a 的式子表示）

（

1）

213

122

y x x =

-+，∴C 的坐标为（0，1），当t=2时，y=3，所以有213

3122

x x =

-+，

解得

121; 4.x x =-=(A B

∴-

,5,CA CB AB ∴===222AB CB AC ∴=+,

则△ABC 是直角三角形。

（2）设AB 交y 轴于E ，交抛物线对称轴于F ，则F 为AB 中点，连接CF 。 由方程2c t ax bx c +=++得20ax bx t +-=,设它们两根为12,.x x 则由根与系数的关系得：

1212,b t x x x x a a

+=-=-；

AB=12x x -=

12CF AB ∴==

在Rt △CEF 中，CE=t,EF=2b

a

-

2

22

2b t a ∴+-=⎝

⎭

,解得t=1

a . (3)因为点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，所以

b<0,且

A ’B=4EA ’.

E