凸分析的基本概念
fundamental of convex analysis
fundamental of convex analysis
【实用版】
目录
1.凸分析的基本概念
2.凸函数的性质
3.凸分析的应用领域
正文
一、凸分析的基本概念
凸分析是数学领域中的一个分支，主要研究凸函数和凸集合的性质。
在凸分析中，凸函数是指在定义域内，对于任意的 x 和 y，都有
f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y) 成立的函数。
而凸集合则是指对于集合内的任意两个元素，其连线上的任意点都属于该集合。
二、凸函数的性质
凸函数具有许多重要的性质，这些性质在数学分析、优化理论、经济学等领域都有广泛的应用。
以下是凸函数的一些基本性质：
1.凸函数的图像总是位于其切线的上方。
2.凸函数在定义域内是连续可导的。
3.凸函数的导数在定义域内恒大于等于 0。
4.凸函数的二阶导数在定义域内恒大于等于 0。
三、凸分析的应用领域
凸分析在许多领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：
1.数学分析：凸分析为数学分析提供了一种新的视角和工具，可以用来研究各种数学问题。
2.优化理论：凸函数在优化理论中具有重要的地位，可以用来求解各种最优化问题。
3.经济学：经济学中的许多问题都可以用凸函数来描述，如效用函数、生产函数等。
最优化方法第一章最优化问题与凸分析基础
当常数取不同的值 时，重复上面的讨论， 在平面上得到一族曲 线——等高线. 等高线的形状完全由 曲面的形状所决定；反 之，由等高线的形状也 可以推测出曲面的形 状．
2 2 x2 上画出目标函数 f ( x， x ) x x 例 在坐标平面 x1， 1 2 1 2 的等高线． 解:因为当目标函数取常数时，曲线表示是以原点为 圆心，半径为的圆．因此等高线是一族以原点为圆 心的同心圆（如图所示）
1.2最优化问题的数学模型
一般形式
min f ( x1， x2， ， xn )， x2， ， xn ) 0， i 1，， 2 ， l， gi ( x1， s. t. x2， ， xn ) 0， j 1，， 2 ， m (m n)． h j ( x1，
向量形式
x 的二阶偏导
2 f X xnx1 2 f X x n x 2 2 f X 2 x n
例：求目标函数 f ( x) x12 x22 x32 2 x1 x2 2 x2 x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。 f X f X 解：因为 2 x1 2 x2 2 x2 2 x1 2 x3 3 x
定义1：整体（全局）最优解：若x* D，对于一切 x D ， 恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题的整体最优解。
) 定义2：局部最优解：若 x* D，存在某邻域 N ( x* ，使得对于 * 一切 x N ( x* ) D ，恒有 f x f x 则称 x *是最优化问题 的局部最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
1. 最优化问题
凸分析有关定义的整理
一、定义1. 定义1.1设)(x f 是nR 到[]+∞∞-,的实值函数，x 是使)(x f 为有限的点，如果极限λλλ)()(limx f y x f -+↓存在（可以取∞+或∞-），则称这个极限是)(x f 在x 沿向量y的单边方向导数，记为):('y x f 。
2. 定义 1.2 设)(x f 是n R 上的凸函数，如果向量*x 满足：对于z ∀，有>-<+≥x z x x f z f ,)()(*，则称*x 是)(x f 在x 的次梯度。
)(x f 在x 的次梯度的全体称为)(x f 在x 的次微分，用)(x f ∂表示。
如果)(x f ∂Φ≠，则称)(x f 在x 是次可微的。
3. 定义2.1 设)(x f 是nR 上的正常凸函数，则称dom )(x f ∂={}Φ≠∂)(|x f x 为次微分映射)(x f ∂的有效定义域，而称{}n R x x f f rang ∈∂=∂|)( 为)(x f ∂的值域。
4. 定义3.1 设)(x f 是nR 到[]+∞∞-,的实值函数，x 是)(x f 有限的点。
如果存在唯一的向量*x ，满足)(,)()(*x z o x z x x f z f -+>-<+=，则称)(x f 在x 可微，*x 称为)(x f 在x 的梯度，用)(x f ∇表示。
5. 定义2.1（189P ） 设)(x f 是nR 上的正常凸函数，则称{}Φ≠∂=∂)(|x f x f dom 为次微分映射f ∂的有效定义域，而称{}nR x x f f rang ∈∂⋃=∂|)(为f ∂的值域.6. 定义3.1（197P ） 设)(x f 是nR 到[]+∞∞-,的实值函数，x 是)(x f 有限的点。
如果存在唯一的向量*x ，满足|)(|*,)()(x z o x z x x f z f -+-+=，则称)(x f 在x 可微，*x 称为)(x f 在x 的梯度，用)(x f ∇表示.7. 定理1.1 设)(x f 是nR 上的正常凸函数，domf x ∈0，则对n R y ∈∀，):(0,y x f 存在。
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化和凸分析是数学中重要的分支领域，它们在诸多应用领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化和凸分析的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、凸集与凸函数在进一步探讨凸优化和凸分析之前，我们先来了解一些基本概念。
首先是凸集和凸函数。
1. 凸集凸集是指集合中任意两点的连线上的点都属于该集合。
具体地，对于任意$x, y$属于集合$C$和$0\leq\lambda\leq 1$，满足$\lambda x+(1-\lambda)y$也属于$C$，则$C$是一个凸集。
2. 凸函数凸函数是定义在凸集上的实值函数，满足对于集合内的任意$x,y$和$0\leq\lambda\leq 1$，有$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambdaf(x)+(1-\lambda)f(y)$。
简单来说，凸函数的任意两点的连线上的函数值都不超过连线两端的函数值。
二、凸优化凸优化是指优化问题的目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸优化问题有着许多重要的性质和算法。
1. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为：$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &f(x)\\\text{subject to}\quad &x\in C\end{align*}$$其中，$f(x)$是凸函数，$C$是凸集。
2. 凸优化问题的性质凸优化问题具有以下性质：（1）全局最优解是局部最优解。
这意味着在凸优化问题中，存在一个全局最优解，同时该最优解也是局部最优解。
（2）凸优化问题无局部最优解和全局最优解之间的鞍点。
凸优化问题不存在鞍点，因此可以通过寻找局部最优解来获得全局最优解。
3. 典型凸优化问题凸优化问题在实践中有着广泛的应用，以下是一些典型的凸优化问题：（1）线性规划问题（Linear Programming，简称LP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &c^Tx\\\text{subject to}\quad &Ax\leq b\\&x\geq 0\end{align*}$$（2）二次规划问题（Quadratic Programming，简称QP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\frac{1}{2}x^TPx+q^Tx+r\\\text{subject to}\quad &Gx\leq h\\&Ax=b\end{align*}$$（3）半正定规划问题（Semidefinite Programming，简称SDP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\langle C,X\rangle\\\text{subject to}\quad &\langle A_i,X\rangle=b_i,\quad i=1,\ldots,m\\&X\succeq 0\end{align*}$$三、凸分析凸分析是研究凸集和凸函数性质的数学分支，它主要研究凸集的性质以及凸函数的导数和二阶导数。
凸分析与优化范文
凸分析与优化范文凸分析是数学的一个分支，主要研究凸函数和凸集合的性质、性质、性质、性质、性质，以及优化问题的求解方法。
它有广泛的应用，包括经济学、工程学、计算机科学等领域。
凸函数在凸分析中起着核心的作用。
一个函数f(x) 在定义域D上是凸函数，当且仅当对于任意的x1, x2∈D和0≤t≤1，都有 f(tx1+(1-t)x2) ≤ tf(x1)+(1-t)f(x2)。
也就是说，凸函数的曲线上的两点之间的线段始终位于曲线的上方。
对凸函数进行研究，可以得到一系列重要的性质。
其中一些性质如下：凸函数的导函数是递增的，所以凸函数的曲线上的任意两点之间的斜率不减；凸函数的局部极小值也是全局极小值，所以可以通过寻找局部极小值来找到全局极小值；凸函数的极小化问题具有唯一最优解等等。
这些性质对于优化问题的求解和设计有重要意义。
凸集合是凸分析的另一个重要概念。
一个集合S称为凸集合，当且仅当对于任意的x1, x2∈S和0≤t≤1，有tx1+(1-t)x2∈S。
也就是说，凸集合中的任意两点之间的线段始终在集合内部。
凸集合具有许多重要性质，比如凸集合的交、并、凸组合仍然是凸集合；凸集合的闭包是凸集合；凸集合的内部、边界、闭包也都是凸集合等等。
基于凸函数和凸集合的性质，可以引出优化问题的定义。
给定一个凸函数f(x)和一个凸集合S，求解优化问题：min f(x)x∈S这个问题的目标是找到在凸集合S上使得函数f(x)取得最小值的点x*。
优化问题的求解可以通过不同的算法来实现，比如梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等等。
凸优化是研究凸函数和凸集合相关问题的一个分支。
它主要研究如何高效地求解凸优化问题，从而得到最优解。
凸优化问题具有许多重要的特点，比如凸优化问题的局部最优解也是全局最优解，凸优化问题具有唯一最优解等等。
因此，凸优化问题的求解方法能够保证得到最优解，并且具有较高的效率和可靠性。
凸分析与优化在实际应用中有着广泛的应用。
在经济学中，凸优化被用于求解生产、消费等经济模型中的最优决策问题；在工程学中，凸优化被用于信号处理、图像处理、机器学习等领域中的模型训练和参数优化问题；在计算机科学中，凸优化被用于求解网络流、图像分割等问题。
最优化理论与算法(二)凸分析
• 多面集 {x|Ax0}也是凸锥，称为多面锥。
约定: 非空集合S生成的凸锥,是指可以表示成S中有限 个元素的非负线性组合(称为凸锥组合)的所有点所构成 的集合,记为coneS. 若S凸,则
coneS=K(S) ∪{0}
2013-11-10 9
2. 凸集与凸函数
Df 2.5 非空凸集中的点 x 称为极点,若 x=x1+(1-)x2 , (0,1) , x1 ,x2 S, 则 x=x1=x2.换言之,x不能表示成S中两个 不同点的凸组合. x1 x S x5 x x4
2013-11-10 4
2. 凸集与凸函数
Df 2.2 给定m个向量, x1 ,..., x m R n ,以及满足 i 1的
i 1 m
非负实数 i R, i 1,.., m, 称向量1 x1 ... m x m 为 {x1 , ..., x m }的凸组合.
2013-11-10
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2. 凸集与凸函数
例2. 集合S {(x1 , x 2 ) x 2 | x1 | 4 凡是与向量(0,1)T 夹角 45的向量 都是它的方向。 T， 1,1)T 是其仅 (1,1) ( 有的两个极方向
Th2. 若多面体P的极点(极方向)存在的话,则极点 3 (极方向)的数目一定有限.
(2)函数f在开集intS内是连续的. (3)函数f的水平集L(f,)={x|x ∈ S,f(x) ≤}, ∈ R
凸分析与优化范文
凸分析与优化范文在凸分析与优化中，凸集和凸函数是两个核心概念。
凸集是指对于集合中的任意两个点，它们之间的线段也属于这个集合。
凸函数是指函数在定义域上的任意两个点之间的线段上的函数值都不大于这两个点对应的函数值之和。
凸集和凸函数具有许多重要的性质和特征，这些性质和特征成为凸分析的基础。
凸优化是凸分析与优化中的一个重要研究方向，它主要研究凸集上的凸函数的最小化问题。
凸优化问题是指在给定的凸集上寻找一个凸函数的最小值。
凸优化问题具有良好的性质，往往可以通过有效的算法在有限时间内求解。
凸优化问题的经典例子包括线性规划、二次规划、半正定规划等。
凸分析与优化在实际问题中的应用非常广泛。
在经济学中，凸分析与优化常用于研究消费者行为、生产函数、市场均衡等问题。
在工程学中，凸分析与优化常用于研究最优控制、系统优化、信号处理等问题。
在计算机科学中，凸分析与优化常用于研究机器学习、图像处理、数据挖掘等问题。
在运筹学中，凸分析与优化常用于研究调度问题、网络流问题、组合优化问题等。
凸分析与优化的研究方法主要包括对凸集和凸函数的性质和特征进行研究，以及对凸优化问题的算法和理论进行研究。
在对凸集和凸函数的性质和特征的研究中，常用的方法包括对凸函数的导数、二阶导数进行分析，研究凸集和凸函数的单调性、凸性等性质。
在对凸优化问题的算法和理论的研究中，常用的方法包括利用凸性、对偶性等性质设计求解算法，研究凸优化问题的最优解的存在性、唯一性等理论性质。
总之，凸分析与优化是数学中的一个重要分支，它研究凸集、凸函数、凸优化以及相关的理论和方法。
凸分析与优化在实际问题的建模、分析和求解中有着广泛的应用，涉及到经济学、工程学、计算机科学、运筹学等各个领域。
凸分析与优化的研究方法主要包括对凸集和凸函数的性质和特征进行研究，以及对凸优化问题的算法和理论进行研究。
凸集投影定理
凸集投影定理凸集投影定理是凸分析中的重要定理之一，它描述了凸集在向量空间中的投影性质。
凸集投影定理的形式和内容十分丰富，它在优化理论、经济学、几何学等领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念、定理陈述、证明思路和应用等方面来介绍凸集投影定理。
一、基本概念在介绍凸集投影定理之前，我们先来了解一些基本概念。
在向量空间中，凸集是指任意两点之间的连线上的所有点都属于该集合。
简单来说，凸集就是“凸起来”的集合，它没有凹陷的部分。
凸集具有许多重要的性质，其中之一就是凸集的投影。
二、定理陈述凸集投影定理可以用如下的方式陈述：给定一个凸集C和一个点x，那么存在唯一一个C中的点y，使得x和y的距离最小。
换句话说，对于任意一个点x，都存在一个点y属于C，使得x和y之间的距离最小。
这个点y就是x在凸集C上的投影。
三、证明思路凸集投影定理的证明思路可以分为两步：首先证明存在性，即证明对于任意一个点x，都存在一个点y属于C，使得x和y之间的距离最小；然后证明唯一性，即证明这个点y是唯一的，不存在其他的点与x的距离更小。
为了证明存在性，我们可以假设存在两个点y1和y2都是x在凸集C上的投影。
假设y1和y2不相等，那么根据凸集的定义，对于y1和y2之间的任意一点z，z也应该是x的投影之一。
但是根据凸集投影定理的假设，存在唯一的投影点，所以假设不成立，即y1和y2相等。
接下来我们来证明唯一性。
假设存在一个点z是x在C上的投影，且与y不相等。
那么根据凸集的定义，z和y之间的连线上的所有点都应该属于C。
但是根据凸集投影定理的假设，y是唯一的投影点，所以假设不成立，即z和y相等。
我们证明了凸集投影定理的存在性和唯一性。
四、应用凸集投影定理在实际问题中有广泛的应用。
例如，在优化问题中，我们常常需要将一个点投影到一个凸集上，以满足一些约束条件；在经济学中，凸集投影定理可以用来描述市场需求与供给之间的关系，帮助分析市场均衡价格；在几何学中，凸集投影定理可以用来求解点到线段、线段到线段等几何之间的最短距离。
2凸分析
2 m
恒有 x ＋ x ＋ ...＋
x
m
S.
设 S 为非空凸集，
x S ， x 是凸集 S 的极点， 称 中的任意一个成立1 x 不能表示成 ）
S 中两个不同点的凸组合
1 2
（2）若假设 x x ( 1 ) x , ( 0 ,1 ), x S , x S , 则必有 x x x .
n
p x d 为凸集 .
T
H H
x R |
n
p x d ,
T
x R |
n
p x d 为凸集 .
T
定义：有限个半空间的
交
x
称为多面集。
|
Ax b
凸集的性质
设 S 1 , S 2 R , 且 S 1 , S 2 均为凸集，
n
为实数，则
S1 ;
2
2
n
f 在 S 上二次可微， 为
x S
.
若 f ( x ) 0 , x S , 则 f ( x ) 在 S 上为严格凸函数 ( 逆定理不成立 )
凸规划
设有规划 (P )
是研究凸函数求极值的问题。
min f ( x ) g i ( x ) 0 ( i 1 ,2 ,..., m ) s .t .
1 2 1 2
则称 f 为 S 上的凸函数
严格凸函数（严格凹函数）
( 凹函数 )。
凸函数的几何意义：
凸函数的性质
设 f 1， f 2 是定义在 S 上的凸函数，实数
0 ,则
f ; f 1 f 2 也是定义在
n
S 上的凸函数。
第三章 凸分析
第二节 凸函数与次微分
一 凸 数 、 函 、 义 设 R 的 集 f 若 于 1 定 ： X是 n中 凸 ， : X →R1， 对 任 意 x y ∈X， ∈[01， 的， λ ， 有 ] f (λx +(1−λ) y) ≤ λ f (x) +(1−λ) f ( y)， 则 f为 上 凸 数 若 上 等 中 等 是 称 X 的 函 ； 以 不 式 不 号 严 格 ， 称 为 格 函 ； 函 (− f )是 函 ， 的 则 f 严 凸 数 若 数 凸 数 则 f 是 函 ； f既 凸 数 是 函 ， 称 称 凹 数 若 是 函 又 凹 数 则 f为 射 数 仿 函 。
∂2 f 其 H(x) = 中 即 H 正 。 H ， (x) ≥ 0 为 (x)半 定 ∂x ∂x i j n×n
3 性 ： f 是 区 (a b)上 凸 数 则 在 、 质 设 开 间 ， 的 函 ， f (a b)上 处 、 可 ， 而 连 的 且 左 ， 处 左 右 导 从 是 续 ， 其 、 右 数 −'和 +'满 对 x1， 2 ∈(a b)， 1 < x2， ： 导 f f 足 任 x ， x 有 f (x2 ) − f (x1) f (x1) ≤ f (x1) ≤ ≤ f−' (x2 ) ≤ f+' (x2 ) x2 − x1
3 下 我 看 个 明 合 凸 的 子 、 面 们 两 证 集 为 集 例 ： 例： 明 性 划 可 域 ={ x∈Rn | Ax ≤ b x ≥ 0} 是 1 证 线 规 的 行 D ， 一 凸 。 个 集 证 任 D 两 元 ， 证 两 凸 合 属 D 可 ： 取中 个 素 要 其 者 组 仍 于即 。 取 中 和， ∈[01。 有 ， 则 ： ] D x y λ [ 。 A λx +(1−λ) y] = λAx +(1−λ)Ay ≤ λb +(1−λ)b = b 而 x +(1−λ) y ≥ 0 故 x +(1−λ) y ∈D,所 D 一 凸 。 ， λ 以 是 个 集 λ 例 ： 任 ∈Rn， ≠ 0 α ∈R1， 合 ={x∈Rn | pT x =α} 集 H 2 对 p p ， R 的 集 称 以 为 向 的 平 。 平 H是 n中 凸 。 为 p 法 量 超 面 超 面 因 对 x y ∈H， ∈[01， ： 为 任， λ ， 有 ] pT [λx +(1−λ) y] = λ pT x +(1−λ) pT y = λα +(1−λ)α =α， 说 λx +(1−λ) y ∈H。 明
第三章凸分析(管理数学基础)
3、下面我们看两个证明集合为凸集的例子： 例1：证明线性规划的可行域D x R n | Ax b，x 0 是 一个凸集。 证：任取D中两个元素，要证其两者凸组合仍属于D即可。 取D中x和y， [0，。则有： 1] A[ x (1 ) y ] Ax (1 ) Ay b (1 )b b。 而 x (1 ) y 0，故 x (1 ) y D, 所以D是一个凸集。 例2：对任p R n，p 0， R1，集合H {x R n | pT x } 称为以p为法向量的超平面。超平面H 是R n中的凸集。 因为对任x，y H， [0，，有： 1] pT [ x (1 ) y ] pT x (1 ) pT y (1 ) ， 说明 x (1 ) y H。
第二节 凸函数与次微分
一、凸函数 1、定义：设X 是R n中的凸集，f : X R1，若对于任 意的x，y X ， [0，，有 1] f ( x (1 ) y ) f ( x ) (1 ) f ( y )， 则称f 为X 上的凸函数；若以上不等式中不等号是严 格的，则称f 为严格凸函数；若函数( f )是凸函数， 则称f 是凹函数；若f 既是凸函数又是凹函数，则称 f 为仿射函数。
第三章 凸分析
第一节 凸集与凸集分离定理
一、凸集 1、定义：设集合C R n， 1，若C中任意两点x和y 0 的凸组合 x (1 ) y C，则称C是一个凸集。 2、几何意义：在二维中，x和y的凸组合 x (1 ) y即 为x和y的连线。所以在二维中，若集中任意两点连线段仍属 原集合，则原集合为凸集。
'
(3)求f (0)： 由(2)有，f (0) [11] ，。
第七章 凸分析简介
第七章凸分析简介（本章内容取自[11]）7.1基本概念凸集、凸函数、次梯度、集合的凸包、函数的凸包、法锥、切锥定义132.线性空间X的子集C称为凸集，如果：αx+(1−α)y∈C,∀x,y∈C,α∈[0,1].(7.1)空集定义为凸集。
定理133.凸集有如下基本性质：1.任意多个凸集的交还是凸集。
2.如果C1、C2是凸集，则C1+C2≡{x1+x2|x1∈C1,x2∈C2}也是凸集。
3.凸集的闭包和内部也是凸集。
4.凸集经仿射变换后还是凸集；凸集的仿射变换的原像也是凸集。
Proof.定义134.线性空间X的子集C称为锥，如果：λx∈C,∀x∈C,λ>0.(7.2)定义135.设X为点集，x i∈X，i=1,···,m，则m ∑i=1αi x i,αi≥0,m∑i=1αi=1,(7.3)m ∑i=1αi x i,m∑i=1αi=1,(7.4)m∑i=1αi x i,αi≥0(7.5)分别称为{x i}的凸组合、仿射组合和非负组合。
智能科学系教材——流形学习与稀疏表示定义136.设X为点集，则X的凸包为包含X的所有凸集的交。
它由所有X的点的凸组合构成，记作conv(X)。
定义137.设X为点集，则X的仿射包为包含X的所有仿射空间的交。
它由所有X的点的仿射组合构成，记作aff(X)。
aff(X)的维数称为X的维数。
定义138.设X为点集，由所有X的点的非负组合构成的集合称为X生成的锥，记作cone(X)。
定义139.设X⊂R m为点集，x∈X，B r(x)为中心在x、半径为r的m维球。
如果存在r>0使得B r(x)∩aff(X)⊂X，则称x为X的相对内点(relative interior)。
X的相对内点集记为ri(X)。
定义140.设C为凸集，f:C→R称为凸函数，如果：f(αx+(1−α)y)≤αf(x)+(1−α)f(y),∀x,y∈C,α∈[0,1].(7.6)函数g称为凹函数，如果−g是凸函数。
教案课件(第二章凸分析)
凹凸函数的推广
拟凹函数定义：设 D R ， f : D R ， x1, x2 D ，都有
n
f (tx1,(1 t ) x2 ) min f ( x1 ), f ( x2 )， 0 t 1
则称 f 是（定义在 D 上的）拟凹函数。
在经济学中，用定义域集合中的无差异集合（曲线）反映凸性或拟凹性
第二章 凸分析
第一节 集合和关系
一、集合 集合定义：一定范围内的所有个体事物，当把他们看作 一个整体时，这个整体就称为一个集合，而 其中的每个个体事物称为这个集合的元素。
说明： （1） 这个定义并不是一个严格的定义， 只能看作是集合这个概念的一个 朴素的说法。 （2）对集合概念要明确两点，首先，一个集合中的各个元素必须是彼此 相异，一个个体事物只能是一个元素；其次，哪些个体事物是给定 集合的元素必须是确定无疑的，不能出现不确定的情况。
经济解释： ①（厂商理论）可行生产集合——规模收益不变或递减； ②要素需求集合——能够生产出同一产出 y 的投入要素的集合； ③（消费者理论）预算约束集合{x│p·x≤m}、偏好集合以及无差异曲线。
凸组合 定义：设 x1，…，xm 是 Rn 中的元素，λ 1≥0，…，λ 满足 i ＝1，则称元素
t
1
R (或者 ) (s, t )1 s t 0 S S
R
1
例 3：消费者的偏好关系
s
关系的完备性定义： 设集合 S 上关系 R ，如果对 S 中任何两个元素 x 和 y ， 都有 xRy 或 yRx 成立，则称关系 R 是完备的。 关系的传递性定义： 设集合 S 上关系 R ，如果对 S 中任何元素 x, y, z S ，
非线性最优化理论凸分析
非线性最优化理论和凸分析是数学领域中重要的两个分支，它们在优化问题和凸集合方面发挥着关键作用。
以下简要介绍它们的基本概念：
1. 非线性最优化理论：
-非线性最优化理论研究的是在目标函数或约束条件为非线性情况下的最优化问题。
-最优化问题可以形式化为找到使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
-非线性最优化问题通常包括局部最优解和全局最优解的寻找。
2. 凸分析：
-凸分析是研究凸集合和凸函数性质的数学分支。
-凸集合是对于任意两点的连线上的所有点都在该集合内的集合，而凸函数则满足在定义域内的任意两点间的函数值都在这两点连线上。
-凸集合和凸函数有许多重要性质，如局部最小值即为全局最小值等。
在实际应用中，非线性最优化理论和凸分析经常结合使用，尤其在机器学习、数据分析、工程优化等领域。
通过凸分析的方法，可以更好地理解和解决非线性最优化问题，帮助优化算法更快地收敛到最优解，并且保证最优解的准确性和稳定性。
凸分析
凸分析凸分析是数学中的一个分支，主要研究凸集和凸函数的性质及其应用。
它在优化问题、经济学、工程学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍凸集、凸函数、凸优化等基本概念，并探讨凸分析在实际问题中的应用。
一、凸集和凸函数首先，我们来了解凸集的概念。
一个集合称为凸集，当且仅当对于该集合中的任意两个点，连接这两个点的线段仍然在集合内部。
换言之，如果集合中的任意两点连线上的所有点都属于该集合，那么该集合就是凸集。
凸函数是定义在凸集上的实值函数。
一个函数在定义域上是凸的，如果对于定义域内的任意两个点，函数值在这两点所连线上的所有点的函数值都不大于（或不小于）这两个点所对应的函数值。
换言之，如果函数的值沿着它的定义域内的任意一条线段都或者是递增的，或者是递减的，那么该函数就是凸函数。
二、凸分析的基本原理凸分析依赖于凸集和凸函数的重要性质。
其中，凸函数有很多重要的性质，如凸函数的导数是递增的，凸函数的局部最小值也是全局最小值等。
通过这些性质，我们可以利用凸函数来解决不等式约束的优化问题，进而提高问题的最优解。
凸分析还研究了凸函数的次导数和次微分，并且使用它们来证明了很多关于凸函数的重要定理。
这些定理为凸分析提供了强大的工具和方法，使得我们能够更好地理解和解决实际问题。
三、凸优化与应用凸优化是凸分析的一个重要应用领域。
它研究的是在凸函数下的优化问题，考虑了约束条件下的最优解。
凸优化问题具有较好的求解性质，有许多高效的算法和工具可用于解决各种实际问题。
凸优化在经济学、金融学、工程学等领域具有广泛的应用。
例如，在经济学中，我们常常需要在有限资源下最大化效益或者最小化成本，凸优化问题对于这类问题的求解非常有效。
在金融学中，我们可以使用凸优化来构建投资组合，以实现风险最小化或者收益最大化。
在工程学中，凸优化可用于电力系统、通信网络等领域的优化设计。
此外，凸分析还具有在信号处理、机器学习等领域的应用。
例如，在信号处理中，我们可以利用凸分析的方法来降低噪声、提取信号特征等。
泛函分析中的凸分析理论
泛函分析中的凸分析理论在数学领域中，泛函分析是研究函数空间及其上的泛函的一个重要分支。
而凸分析理论则是泛函分析领域中的一个重要概念，它主要研究凸集合、凸函数以及凸优化等问题。
本文将介绍泛函分析中的凸分析理论，包括凸集合、凸函数、凸性质以及凸优化等内容。
1. 凸集合首先我们来介绍凸集合的概念。
在欧几里德空间中，一个集合被称为凸集合，如果对于该集合中的任意两点，连接这两点的线段仍然完全位于该集合内部。
换句话说，集合中的任意两点的线段都在该集合内部。
凸集合在泛函分析中具有重要的意义，它们在凸优化等问题中起着关键作用。
2. 凸函数接下来我们来讨论凸函数的概念。
在实数域或者欧几里德空间中，一个函数被称为凸函数，如果该函数的定义域是凸集合，且对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方。
直观上来说，凸函数的图像上的任意两点之间的线段都位于函数图像的上方。
3. 凸性质凸函数具有许多重要的性质，这些性质在泛函分析中被广泛应用。
其中一个重要性质是凸函数的次微分性质。
对于凸函数，几乎处处都可微，并且在凸函数的极值点处，导数等于零。
这一性质在优化问题中有着非常重要的应用。
4. 凸优化凸优化是凸分析理论的一个重要应用方向。
在凸优化中，研究的是凸优化问题，即目标函数是凸函数，约束条件是凸集合的优化问题。
凸优化是数学规划领域中研究的一个重要问题，它在工程、经济学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
综上所述，泛函分析中的凸分析理论涉及到凸集合、凸函数、凸性质以及凸优化等内容，这些概念和理论在数学和应用领域中均具有重要意义。
凸分析理论的研究不仅推动了泛函分析领域的发展，也为实际问题的求解提供了重要工具和方法。
希望本文的介绍能够帮助读者更深入地了解泛函分析中的凸分析理论，激发学术研究和实际应用中对于这一领域的兴趣和研究。
第1章凸分析的基本概念
类似地在 (b) 中，任取 C1 + C2 中的两点，可以用 x1 + x2 和 y1 + y2 表 示，其中 x1, y1 ∈ C1 且 x2, y2 ∈ C2. 对任意 α ∈ [0, 1] 有如下关系
α(x1 + x2) + (1 − α)(y1 + y2) = αx1 + (1 − α)y1 + αx2 + (1 − α)y2 .
一个凸函数的典型例子是仿射函数 (affine function)，这类函数形如 f (x) = a x + b，其中 a ∈ n 而 b ∈ ；其凸性可用凸函数的定义直接验证. 另一个典型例子是范数函数 · . 对任意 x, y ∈ n 及 α ∈ [0, 1]，通过三角
第 1 章 凸分析的基本概念
{x | ajx bj, j = 1, · · · , r},
其中 a1, · · · , ar 和 b1, · · · , br 分别为 n 中的一组向量和一组标量. 作为有 限个半空间的交集，多面体也是凸闭集 [见命题 1.1.1(a)].
称集合 C 为锥体 (cone) 如果对所有 x ∈ C 和常数 λ > 0 都满足 λx ∈ C. 通常锥体并不一定是凸集，也不一定包含原点，但任何非空锥体的 闭包必然包含原点 (见图 1.1.2). 多面体锥 (polyhedral cone) 是可写作如 下形式的集合
凸分析教学大纲）
《凸分析》课程教学大纲课程英文名称：Convex Analysis课程编号：941428课程计划学时：36学分：2课程简介：凸分析是研究凸性的一门学科。
它主要由凸集、（凸）多包形和凸函数三部分所组成。
凸性的结果可追溯到18世纪中叶，但是近代的凸分析则在20世纪由H.闵科夫斯基、C.卡拉西奥多里等人创始的他们对于多包形作了深入的研究,奠定了有关的基本理论。
在20世纪中叶，由于最优化理论的发展，许多的基本理论问题皆涉及到凸性，使凸分析日益受到重视而深入发展。
凸性、次梯度等在离散数学方面也受到注意。
教学对象：数学与应用数学、信息与计算科学本科生。
一、课程教学内容及教学基本要求教学目标：本课程是应用数学专业的一门学位课。
通过本课程的学习，使学生对凸分析理论、思想和方法有一个较完整的认识(主要是有穷维空间)。
掌握应用凸分析解题的基本技巧。
为学生从事相应的研究工作和应用打下一定的基础。
课程主要内容：R中的凸集一、n理解与掌握与凸集和凸锥，凸集的内部，承托超平面，凸多面体，凸集的无界性和相关的概念及基本结论，了解凸集的面的概念。
着重掌握凸集的分解定理。
二、凸函数理解与掌握与凸函数有关的基本概念和结论。
着重掌握凸函数与凸集的联系。
三、对偶关系理解与掌握与凸函数的共轭，凸集的承托函数，凸集的极化及对偶锥等有关的基本概念和结论。
通过对它们深入理解不断深化对凸分析的研究对象的认识。
四、凸函数的次微分运算理解与掌握次梯度和次微分基本概念，某些次微分的具体形式，次微分的基本性质。
了解次微分映射的单调性*性质。
二、大纲附录教材名称：《凸分析导论》 [荷]J.V.蒂尔编著中南工业大学出版社 1990参考书：《凸分析》史树中编著科学出版社 1970《凸分析基础》冯德兴编著科学出版社 1995。
关于β-凸分析的若干结果
关于β-凸分析的若干结果
β-凸分析，也称为贝塔图，是一种算法，用于帮助人们更准确地理解场景背
景的三维形状信息。
它通过测量地面与地形的俯仰角，可快速测绘出山谷、急坡、坡顶、平台等形式，可视化建筑场景的贴合评估、场地资源性状、建筑外观特色等。
β-凸分析可以帮助建筑师更准确地掌握地形状，测量多变的地形信息，如地
形曲率、坡度角、高程差等，实现模拟地形的准确性，更好地服务建筑结构的拟定。
同时，借助高程数据的处理能力，可以更有效地检验建筑物对地形环境的影响，利用绘图工具更加直观地查看和估算环境变化，为建筑物的可行性和可持续性提供有力保障。
β-凸分析技术也可以应用于建筑建设项目中，比如大自然和城市景观规划、
道路工程等。
β-凸分析可以有效解决建设中的地势仿真、原位测量和检验、对地
形要求的预测仿真及其他生态环境的估定与模拟等，使建设项目能够更加贴合地形地貌，减轻环境和景观的污染，从而保障建筑建设的可持续性，为美丽宜居的城市和绿色化的社会环境建设添砖加瓦。
总而言之，β-凸分析工具把三维地形与建筑形象紧密结合，比传统测量技术
更加精准和便捷。
在建筑规划设计与施工过程中，它可以有效地减少建筑物与自然环境的破坏，促进建筑技术的发展，为城市建设和社会发展创造出更加美丽自然的环境。
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注意在我们的定义中，定义域 C 为凸集是函数 f : C → 现在我们介绍凸函数的几种拓展定义. 函数 f : C →
先决条件. 因此当称某函数为凸函数时， 通常默认其定义域为凸集. 函数 (strictly convex)， 如果其满足式 (1.1) 且不等式处处被严格满足， 即 式 (1.1) 对所有满足 x = y 的向量 x, y ∈ C 及所有 α ∈ (0, 1) 都取不等号. 函数 f : C → 件是 C 为凸集. 一个凸函数的典型例子是仿射函数 (affine function)，这类函数形如 f (x) = a x + b，其中 a ∈
n n
使得(x, w) ∈ epi(f ) ,
(自变量 x 的空间) 上的投影. 如果把 f 的定义
域限制为其有效定义域，函数的上图不变. 类似地，如果扩展 f 的定义域到 并对任意 x ∈ / X 定义函数值为 f (x) = ∞，新函数的上图和有效定义域 亦不变.
图 1.1.4 扩充实值的凸函数和非凸函数， 及其分别的上图和有效定义域.
1.1
凸集与凸函数
本章将介绍凸集合与凸函数相关的基本概念，这些内容将贯穿本书所 有的后续章节. 附录 A 列举了本书将用到的线性代数和实分析的定义、符 号和性质. 首先我们给出凸集合的定义如下 (见图 1.1.1). 定义 1.1.1
n
的子集 C 被称为凸集， 如果其满足 ∀ x, y ∈ C, ∀ α ∈ [0, 1]
n
0, j = 1 , · · · , r },
中的一组向量. 线性代数中介绍的子空间则是多面体
锥的一种特例， 同时多面体锥则是多面体的一种特例.
1.1.1
凸函数
现在我们给出实值凸函数的定义 (见图 1.1.3). 定义 1.1.2 令 C 为
n
的凸集， 则称函数 f : C →
为凸函数 (convex
n
b}，
其中 a 为非零向量而 b 为标量. 易验证超平面和半空间都是凸闭集. 多面体
其中 a1 , · · · , ar 和 b1 , · · · , br 分别为
中的一组向量和一组标量. 作为有
限个半空间的交集， 多面体也是凸闭集 [见命题 1.1.1(a)]. 称集合 C 为 锥体 (cone) 如果对所有 x ∈ C 和常数 λ > 0 都满足 λx ∈ C . 通常锥体并不一定是凸集，也不一定包含原点，但任何非空锥体的 闭包必然包含原点 (见图 1.1.2). 多面体锥 (polyhedral cone) 是可写作如 下形式的集合 C = {x | aj x 其中 a1 , · · · , ar 为
n
空间上 (而
非仅仅定义在某一凸子集上) 并且处处取有限实值， 因为从数学的角度讲这 类函数更简单. 然而在很多优化问题和对偶问题的实际情况中， 某些操作常 使对象函数取到无限值， 从而失去良好的性质. 例如下列函数 f (x) = sup fi (x),
i∈I
其中 I 为一个无限序数集合，即使 fi 都是实函数，f 仍可能在某些点取 值 ∞；另一例子则为，实函数的共轭函数常常会在某些点取到无限值 (见 1.6 节). 此外，我们还会遇到一些凸函数 f 仅仅定义在某凸子集上，却无法 将其拓展为全空间上的实凸函数 [例如，函数 f : (0, ∞) → 的做法是把定义域拓展到整个 概念，即定义在全空间
2
凸优化理论
图 1.1.1
凸集的定义. 凸集中任意两点的连线线段都包含在集合内部，因此
左图中的集合是凸集， 而右图中的不是.
(b) 任意两个凸集 C1 与 C2 的向量和 C1 + C2 是凸集. (c) 对任意凸集 C 和标量 λ，集合 λC 是凸集. 另外，如 λ1 , λ2 为正标 量， 则以下集合是凸的， (λ1 + λ2 )C = λ1 C + λ2 C. (d) 凸集的闭包 (closure) 与内点集 (interior) 是凸集. (e) 凸集在仿射函数下的象和原象是凸集. 证明 证明的思路是直接利用凸集的定义. 在 (a) 中，我们在交集 ∩i∈I Ci 中任取两点 x， y . 由于每个 Ci 都是凸集， x 和 y 间的线段被每个 Ci 所包含, 因而也属于它们的交集. 类似地在 (b) 中， 任取 C1 + C2 中的两点， 可以用 x1 + x2 和 y1 + y2 表 示， 其中 x1 , y1 ∈ C1 且 x2 , y2 ∈ C2 . 对任意 α ∈ [0, 1] 有如下关系 α(x1 + x2 ) + (1 − α)(y1 + y2 ) = αx1 + (1 − α)y1 + αx2 + (1 − α)y2 . 由于 C1 和 C2 分别是凸集， 上式右侧中两个小括号代表的向量分别属于 C1 和 C2 ， 而它们的向量和属于 C1 + C2 . 因此根据定义 C1 + C2 是凸集. 对 (c) 的证明留给读者作为练习. 对 (e) 可用类似 (b) 的方法来证明. 为证明 (d)，考虑某凸集合 C ，以及 C 的闭包中任取的两点 x 与 y . 根 据闭包的性质可得，在 C 中存在序列 {xk } ⊂ C 和 {yk } ⊂ C 分别收敛
n
被称为凹的 (concave) 如果 (−f ) 为凸函数，注意先决条
而b∈
；其凸性可用凸函数的定义直接验证.
n
另一个典型例子是范数函数 · . 对任意 x, y ∈
及 α ∈ [0, 1]，通过三角
第1 章
凸分析的基本概念
5
形不等式我们可得到 αx + (1 − α)y 因此 · 是凸函数. 为任一函数，而 γ 为标量，则集合 {x ∈ C | f (x) γ} αx + (1 − α)y = α x + (1 − α) y ,
有两种特殊情况我们必须首先排除在外，即当 f 处处为 ∞ 的情况 [当且仅当 epi(f ) 为空]，以及当函数在某些点取值 −∞ 的情况 [当且仅当 epi(f ) 包含竖直直线]. 如果存在 x ∈ X 使得 f (x) < ∞ 且对任意 x ∈ X 满 足 f (x) > −∞， 我们称 f 为真的 (proper)， 反之我们则称函数 f 为非真的 (improper). 简而言之，函数 f 为真当且仅当其上图为非空且不包含任何 竖直直线. 我们试图为扩充实值函数定义凸性， 传统对实凸函数的定义方法会遇到 这样的困难， 若 f 既能取值 −∞ 也能取值 ∞， 则插值项 αf (x) + (1 − α)f (y ) 变成了不可求和的 −∞ + ∞ (该情况仅在 f 非真时发生， 但是这种函数却在 证明和其他分析中常常出现，因此我们并不希望事先排除它们的存在)，引 入上图的概念恰可有效地回避这个难题， 其引申出的凸函数定义如下.
4
凸优化理论
图 1.1.2 凸锥体和非凸锥体. 图 (a) 和 (b) 中的锥体是凸集， 而 (c) 中的锥体 由两条过原点的直线组成，是非凸的. 图 (a) 中的锥体是多面体. 图 (b) 中的 锥体不包含原点.
图 1.1.3
凸函数 f : C →
的定义. 任意两个函数点的线性插值 αf (x) +
(1 − α)f (y ) 大于或等于实际的函数值 f αx + (1 − α)y ，其中 α 可在 [0, 1] 中任意取值.
function) 如果 f αx + (1 − α)y αf (x) + (1 − α)f (y ), ∀ x, y ∈ C, ∀ α ∈ [0, 1] (1.1) 为凸函数的 被称为严格凸
αx + (1 − α)y ∈ C,
依惯例我们认为空集是凸的. 通常根据问题的背景，我们可容易地判 定某特定凸集是否为非空. 然而多数情况下，我们会尽量说明集合是否为非 空， 从而降低模糊性. 命题 1.1.1 给出了一些保持集合凸性不变的集合变换. 命题 1.1.1 (a) 任意多个凸集 {Ci | i ∈ I } 的交集 ∩i∈I Ci 是凸集.
n n
可定义为
f (x) = 1/x 便无法拓展]. 在这种情况下，相对于把 f 局限在 C 上，更方便 空间并允许 f 在某些点取值无限. 基于上述原因，我们将引入扩充实值 (extended real-valued)函数的 上且可在一些点上取值 −∞ 或 ∞ 的函数. 为了 刻画这样的函数， 我们先来介绍上图 (epigraph) 的概念.
第1 章
凸分析的基本概念
3
到 x 与 y ，即 xk → x 且 yk → y . 对任意 α ∈ [0, 1]，我们构造一收敛到 αx + (1 − α)y 的序列 αxk + (1 − α)yk ， 由于 C 是凸集， 则该序列被包含 在 C 内. 我们可得到 αx + (1 − α)y 属于 C 的闭包，因此凸集 C 的闭包也 是凸集. 类似地， 在 C 的内点集中任取两点 x 与 y 并构造分别以 x， y 为中 心且半径 r 足够小的开球， 使得它们都被包含在 C 内. 对任意 α ∈ [0, 1]， 构 造以 αx + (1 − α)y 为中心 r 为半径的开球. 则该球内的任意点都可表示为 C 中向量 x + z 和 y + z 的凸组合 α(x + z ) + (1 − α)(y + z )， 其中 z < r. 因此该开球属于 C ，即凸组合 α(x + z ) + (1 − α)(y + z ) 属于 C 的内点集. 因此集合 C 的内点都可表示为内点的凸组合 αx + (1 − α)y ， 即 C 的内点集 是凸集. 几个特殊的凸集 我们现在来介绍常用的特殊凸集. 超平面 (hyperplane)是由一个线性 等式定义的集合，形式为 {x | a x = b}，其中 a 为非零向量而 b 为标量. 半 空间 (half space) 是由一个线性不等式定义的集合，可写为 {x | a x (polyhedral) 是有限个半空间的非空交集， 可写为如下形式 {x | aj x bj , j = 1, · · · , r},