重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第三章第三节两点间的距离
人教高一数学教学设计之《3.3.2两点间的距离》
人教高一数学教学设计之《3.3.2两点间的距离》一. 教材分析《高中数学新课程标准》是人教版高中数学教材的理论指导，该标准对高中数学的教学内容、教学方法、教学评价等方面都做了详细的规定。
其中，3.3.2《两点间的距离》是必修2中的一节内容。
本节内容主要介绍了两点间的距离公式，以及如何利用勾股定理求解直角三角形斜边上的高。
学生通过本节内容的学习，能够理解两点间距离的概念，掌握两点间距离的计算方法，为后续的立体几何和解析几何的学习打下基础。
二. 学情分析高一学生已经学习了初中数学的大部分内容，对函数、几何等数学概念有了一定的理解。
但是，对于一些抽象的数学概念，如两点间的距离，学生可能还比较陌生。
另外，由于疫情的影响，学生的学习方式和学习习惯可能发生了变化，因此，在教学过程中，需要关注学生的学习状态，引导学生逐渐适应高中数学的学习。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握两点间的距离公式，并能够运用该公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：两点间的距离公式的推导和应用。
2.教学难点：两点间的距离公式的灵活运用，以及如何利用勾股定理求解直角三角形斜边上的高。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解两点间的距离概念。
2.启发式教学法：通过提问、讨论等方式，激发学生的思考，引导学生自主探索。
3.小组合作教学法：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括文字、图片、动画等，帮助学生直观地理解两点间的距离概念。
2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习使用。
3.教学设备：准备投影仪、计算机等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实际问题，如地图上的两个城市之间的距离，引导学生思考如何计算两点间的距离。
高中数学《3.3.2两点间的距离》学案 新人教A版必修
高中数学《3.3.2两点间的距离》学案新人教A版必修3、3、2 两点间的距离学案一、学习目标：探索并掌握两点间的距离公式、初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想、二、重点、难点：重点：难点：三、知识要点：1、平面内两点，，则两点间的距离为：、特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，、2、坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系、四、自主探究例题精讲：【例1】在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程、解：∵ 点在直线上，∴ 可设，根据两点的距离公式得,解得，∴、∴直线PM的方程为，即、【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值、解：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点、设, 则，解得，所以线段、【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）、解：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系xOy、yxB(-c,0)A(a,b)C(c,0)O设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0),由两点间距离公式得：|AB|=，|AC|=，|AO|=， |OC|=c、∴ |AB|＋|AC|=， |AO|＋|OC|=、∴ |AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）、点评：此解体现了解析法的思路、先建立适当的直角坐标系，将△ABC的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明、还可以作如下推广：平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和、三角形的中线长公式：△ABC的三边长为a、b、c，则边c上的中线长为、【例4】已知函数，设，且，求证<、oxA(1,a)B(1,b)y解：由=，在平面直角坐标系中，取两点，则 , 、△OAB中，，∴ <、故原不等式成立、点评：此证法为数形结合法，由联想到平面内点到原点的距离公式，构造两点与三角形，将要证明的不等式转化为三角形中三边的不等关系、五、目标检测（一）基础达标1、已知，则|AB|等于（）、A、4C、6D、2、已知点且，则a的值为（）、A、1B、－5C、1或－5D、－1或53、点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则的长为（）、A、10B、5C、8D、64、已知，点C在x轴上，且AC=BC，则点C的坐标为（）、A、B、C、D、5、已知点，点到M、N的距离相等，则点所满足的方程是（）、B、C、D、6、已知，则BC边上的中线AM的长为、7、已知点P（2，－4）与Q（0，8）关于直线l对称，则直线l的方程为、（二）能力提高8、已知点，判断的类型、9、已知，点为直线上的动点、求的最小值，及取最小值时点的坐标、（三）探究创新10、燕隼（sun）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类、它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似、红隼的体形比燕隼略大、通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米、近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟、经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A（32、65厘米，25、2厘米），B（33、4厘米，26、9厘米）、你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？。
重庆市大学城第1中学校人教版高中数学必修二导学案：第3章第3节点到直线的距离 两条平行直线间的距离
第三章第三节点到直线的距离两条平行直线间的距离三维目标1．理解点到直线距离公式的推导；2．熟练掌握点到直线的距离公式；3．会用点到直线距离公式求解两平行线距离.________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1问题1.什么叫点到直线的距离 ?利用点到直线的距离的定义 ,你如何将点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l (A 、B 都不为0 )的距离转化为点),(00y x P 到垂足的距离 ?请尝试用本方法求点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l (A 、B 都不为0 )的距离.点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l (A 、B 都不为0 )的距离的 ?请表达出详细的推导过程.问题3.在直线0:=++C By Ax l 中 ,假设A =0时 ,直线l 的方程是什么 ?直线l 的位置有什么特点 ?如何求点),(00y x P 到直线的l 距离 ?它满足上述公式吗 ?假设B =0呢 ?问题4.请利用点到直线的距离公式求点P (3 ,－2)到以下直线的距离：(1) 3x -4y +1 =0 (2)y ＝6 (3)x ＝4.*问题5.求两条平行直线间的距离：(1 )先尝试求两平行直线3x ＋4y －12＝0和3x ＋4y -7＝0的距离.(2 )一般的 ,假设两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：1110A x B y C ++= , 2l ：2220A x B y C ++= ,求1l 与2l 的距离【学做思2】1. 点A(1,3) ,B(3,1) ,C( -1,0) ,求ABC ∆的面积.2. 直线1:2780l x y --= ,2:62110l x y --= ,1l 与2l 是否平行 ?假设平行 ,求1l 与2l 间的距离.达标检测1. 点(3 ,m)到直线x ＋3y －4＝0的距离等于1 ,那么m 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．－33 D.3或－33 2．直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行 ,那么它们之间的距离是( )A ．4 B.21313 C.51326 D.713263．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条4. 过点P(1,2)引直线 ,使A(2,3)、B(4 ,－5)到它的距离相等 ,那么这条直线的方程是( )A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．2x ＋3y －7＝0 ,或x ＋4y －6＝0D ．3x ＋2y －7＝0 ,或4x ＋y －6＝05. △ABC 中 ,A(3,2) ,B(－1,5) ,C 点在直线3x －y ＋3＝0上 ,假设△ABC 的面积为10 ,那么点C 坐标为________．。
高一数学必修二导学案：2.3.2 空间两点间的距离
（2）求点 关于坐标原点的对称点的坐标；
（3）求点 关于点 的对称点的坐标；
11．已知点 ， 的坐标分别为 ， ，
当 为何值时， 的值最小．最小值为多少？
12．在 平面内的直线 上确定一点 ，使 到点 的距离最小．
问题3．平面直角坐标系中两点 ， 的线段 的中点坐标是什么？
空间中两点 ， 的线段 的中点坐标又是什么？
【课堂研讨】
例1、求空间两点 ， 间的距离 ．
例2、平面上到坐标原点的距离为 的点的轨迹是单位圆，其方程为 ．
在空间中，到坐标原点的距离为 的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．
例3、证明以 ， ， 为顶点的 是等腰三角形．
例4、已知 ， ，求：
（1）线段 的中点和线段 长度；
（2）到 ， 两点距离相等的点 的坐标满足什么条件．
【学后反思】
课题:2.3.2空间两点间的距离检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．在空间直角坐标系中，已知 的顶点坐标分别是 ， ，
，则 的形状是．
2．若 ， ， ，则 的中点 到点 的距离是．
课题:2.3.2空间两点间的距离
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．
【课前预习】
问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？
问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．
3．点 与点 之间的距离是．
4．在 轴上有一点 ，它与点 之间的距离为 ，
人教课标版高中数学必修2导学案-两点间的距离
3.3.2两点间的距离【学习目标】掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题，体会数形结合的优越性.【学习过程】一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空，写完后和本组同学讨论）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 .2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?二、新课导学：探究：1、求B(3，4)到原点的距离是多少?2、在平面直角坐标系中，任意两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离是多少?（自学课本内容，了解两点间距离公式的推导原理，在下面写出大致的推导过程，并把不明白的地方用红笔标注出来）两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点， 则AB =特殊地：(,)P x y 与原点的距离为三、合作探究例1：已知点(8,10),(4,4)A B-求线段AB的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),A B-，在x轴上求一点，使PA PB=,并求PA的值.（写完后，打开课本P105，检查自己所写与课本是否一样,还有没有不同的方法，写出来）学法指导：设P（x,0）将PA PB=转化为关于x的方程求解。
例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.学法指导：先建立适当的坐标系，用坐标表示有关变量，然后进行代数运算，最后把运算结果“翻译”成几何关系.四、交流展示1.自主完成课本P106练习1、2，写在课本上即可.2. 已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C，求证：ABC∆是等腰三角形.3.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.五、达标检测1. 两点(1,3),(2,5)A B-之间的距离为（）.A．B．C D．32. 以点(3,0),(3,2),(1,2)---为顶点的三角形是（）三角形.A B CA．等腰B．等边C．直角D．以上都不是3. 直线a x＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值（）.A．2-B．2C．1D．1-4.求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.。
高中数学 第三章3.3.1～3.3.2两条直线的交点坐标、两点间的距离导学案 新人教A版必修2
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1～3.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离一、两直线的交点问题活动与探究1求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．迁移与应用1．直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)2．求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．3．求经过点P (1,0)和两直线l 1：x ＋2y －2＝0，l 2：3x －2y ＋2＝0交点的直线方程．4．无论实数a 取何值，方程(a －1)x －y ＋2a －1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点．(1)两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．(2)经过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)的交点的直线方程可设为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0．反之，若直线方程可写为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，则该直线过直线l 1与l 2的交点．二、两点间的距离公式及其应用活动与探究2在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程．迁移与应用1．已知△ABC 的三个顶点为A (3，－1)，B (2,2)，C (－3,3)，则AC 边上的中线长为__________．2．已知点A (4,12)，点P 在x 轴上，且点A 与点P 间的距离为13，则点P 的坐标为__________．3．已知三个点A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，则△ABC 的形状是__________．三、对称问题活动与探究3求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程．迁移与应用1．两条直线x －2y ＋3＝0和2x －y ＋3＝0关于直线x －ay ＝0对称，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．－2D ．22．一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程．(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．(2)求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法：转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1，P 2关于l 的对称点，再用两点式可求出l 2的方程．当堂检测1．已知点P (x,2)，Q (－2，－3)，M (1,1)，且|PQ |＝|PM |，则x 的值为( )A ．－1B ．1 C．－92 D ．92 2．直线x －ay ＋1＝0与直线x ＋y －1＝0的交点在y 轴上，则a 的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．±13．点P (－4,2)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点P ′的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，85 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－85 4．直线2ax ＋y －2＝0过定点__________．5．过直线2x －y ＋1＝0与x －y ＋5＝0的交点，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程是__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．相交 交点的坐标 无公共点 平行预习交流1 0 平行 1 相交 无数 重合提示：不对．还有可能重合．2．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2预习交流2 提示：当直线P 1P 2垂直于坐标轴时，公式仍适用．当直线P 1P 2垂直于x 轴时，|P 1P 2|＝|y 1－y 2|；当直线P 1P 2垂直于y 轴时，|P 1P 2|＝|x 1－x 2|．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可先求出交点坐标，再利用点斜式求方程，或用直线系方程求解．解法一：由方程组233=02=0,x y x y --⎧⎨⎩，++得3=,57=.5x y ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∵直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行，∴直线l 的斜率k ＝－3．∴根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0．解法二：设直线l 的方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0．∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，∴2＋λ－3(λ－3)＝0，解得λ＝112．∴直线l 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋2×112－3＝0． 化简得15x ＋5y ＋16＝0．迁移与应用 1．C2．解法一：解方程组24=02=0,x y x y -⎧⎨-⎩+，+得交点P 坐标为(0,2)，又l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率为－43．由点斜式得y －2＝－43(x －0)，即4x ＋3y －6＝0．解法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0．即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．∵l ⊥l 3，∴3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为(1＋11)x ＋(11－2)y ＋4－2×11＝0．化简得4x ＋3y －6＝0．3．解：设所求直线方程为x ＋2y －2＋λ(3x －2y ＋2)＝0．∵点P (1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0．∴λ＝15．∴所求方程为x ＋2y －2＋15(3x －2y ＋2)＝0，即x ＋y －1＝0．4．解：由(a －1)x －y ＋2a －1＝0，得－x －y －1＋a (x ＋2)＝0．所以，已知直线恒过直线－x －y －1＝0与直线x ＋2＝0的交点．解方程组1=02=0,x y x ---⎧⎨⎩，+得=2=1x y -⎧⎨⎩，． 所以方程(a －1)x －y ＋2a －1＝0表示的直线恒过定点(－2,1)．活动与探究2 思路分析：设出点P 的坐标，根据条件求出点P 的坐标，再求直线PM 的方程．解：∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )．根据两点的距离公式得|PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325，∴P (2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫325，645．∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5，即4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0． 迁移与应用 1． 52．(－1,0)或(9,0)3．等腰直角三角形活动与探究3 思路分析：求出l 1与l 的交点，再在直线l 1上取一点并求出该点关于直线l 的对称点，最后用两点式写出直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0得l 1，l 的交点M (3，－2)．在直线l 1上取点A (2,0)，设点A 关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)．由AA ′⊥l 及线段AA ′的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－1，3×x 0＋22＋4×y 02－1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0－3y 0－8＝0，3x 0＋4y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝45，y 0＝－85， 即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85． 所以，所求直线l 2的方程为y ＋2－85＋2＝x －345－3， 即2x ＋11y ＋16＝0．迁移与应用 1．B2．解：如图所示，设原点关于直线l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线AO 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，∴两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y ＝3．【当堂检测】1．C 2．B 3．A 4．(0,2) 5．2x ＋y －17＝0。
最新人教版高中数学必修2第三章《两点间的距离》课堂导学
最新人教版高中数学必修2第三章《两点间的距离》课堂导学课堂导学三点剖析一、两点间的距离公式【例1】已知：点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求证：△ABC 是等腰三角形. 思路分析：求出边之长，比较三边的大小下结论.解：∵|AB|=8)13()24(22=-+-, |AC|=20)15()20(22=-+-, |BC|=20)40()35(22=-+-, ∴|AC|=|BC|.又∵A 、B 、C 不共线，∴△ABC 是等腰三角形.温馨提示1.两点间的距离公式应用非常广泛，因此要熟练掌握，灵活运用，运算准确.2.对公式的正用不仅熟练，对公式的逆用也应该灵活，例如，你能说出22)3()2(++-y x 表示的几何意义吗？（它表示平面点（x ，y ）与点（2，-3）之间的距离）.各个击破类题演练1已知△ABC 的顶点坐标是A （2，1），B （-2，3），C （0，-1），求△ABC 三条中线的长度.解：AB 的中点 D 的坐标为（0，2），∴中线|CD|=22)12()00(++-=3;BC 的中点E 的坐标为（-1，1），∴中线|AE|=22)11()21(-+--=3；AC 的中点F 的坐标为（1，0），∴中线|BF|=23)30()21(22=-++.变式提升1已知△ABC 三个顶点是A （-1，0），B （1，0），C （21，23），求△ABC 的面积. 解：因为|BC|=22)230()211(-+-=1， |AB|=2,|AC|=3)230()211(22=-+--，所以|AC|2+|BC|2=|AB|2，则△ABC 是以|AB|为斜边的直角三角形.∴S △ABC =21|AC|·|BC|=23.二、两点间的距离公式的应用【例2】试在直线x-y+4=0上求一点P ，使它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等.思路分析一：直线上的点(x,y)的设法技巧：减少一个未知数；用x 表示y 或用y 表示x ，再用距离公式.解法一:由直线x-y+4=0，得y=x+4，点P 在该直线上.∴可设P 点的坐标为(a,a+4).由已知|PM|=|PN|，∴2222)64()4()]4(4[)]2([-++-=--++--a a a a ,2222)2()4()8()2(-+-=+++a a a a .∴(a+2)2+(a+8)2=(a-4)2+(a-2)2.解得a=23-，从而a+4=23-+4=25. ∴P(23-,25). 思路分析二：由于|PM|=|PN|，所以点P 在线段MN 的垂直平分线上.又点P 在已知直线上，故点P 为两直线的交点.解法二:由于|PM|=|PN|，所以点P 在线段MN 的垂直平分线上.由于k MN =35610)2(4)4(6==----，∴线段MN 的垂直平分线的斜率为k=5 3-. 又MN 的中点为(1,1)，∴线段MN 的垂直平分线的方程为y-1=53-(x-1)，即y=53-x+58. 又∵点P 在直线x-y+4=0上，∴点P 为直线x-y+4=0与y=53-x+58的交点. 由=-=+-==+-.25,235853,04y x x y y x 得∴点P 的坐标为(23-,25). 温馨提示1.根据点所在的直线方程巧设点的坐标,可减少未知数的个数,使计算过程更为优化.这种“消元减元”的方法在数学中广泛应用，特别对于“多元”方程或函数常用此法.2.“几何”与“代数”的相互转化和结合，容易使问题简单化，直观化，使思维更上一个层次，本题依据点的性质转化到了MN 的中垂线，进一步化为方程组的解.类题演练2已知点A （-1，2），B （2，7），在x 轴上求一点P ，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.思路分析一：先设出点P 的坐标，再由两点间距离公式列方程求解，再求|PA|.解法一：设所求点为P(x,0),于是有|PA|=52)20()1(222++=-++x x x , |PB|=114)70()2(222+-=-+-x x x ,由|PA|=|PB|得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.所以，所求点为P （1，0），且|PA|=22)20()11(22=-++.思路分析二：结合图形，可以发现，所求的点就是线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点. 解法二：由已知得，线段AB 的中点坐标是M （21，272+），直线AB 的斜率k=327-，线段AB 的垂直平分线方程为y-723272-=+(x-21),在上式中，令y=0得x=1.所以所求P 的坐标为（1，0），因此|PA|=22)20()21(-++=22.变式提升2用坐标法证明定理：如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2成立.思路分析：坐标法就是首先建立适当的坐标系，设出各点坐标，用代数关系证明几何关系，本题就以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系.证明：取长方形ABCD 的两条边AB 、AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，如图，设长方形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0）、B （a ，0）、C （a ，b ）、D （0，b ）.在平面上任取一点M （m ，n ），则|AM|2+|CM|2=m 2+n 2+(m-a)2+(n-b)2；|BM|2+|DM|2=(m-a)2+n 2+m 2+(n-b)2；|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2.温馨提示本题关键在于根据长方形的性质建立适当的直角坐标系，然后大胆设出各点的坐标，利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行：第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量;第二步:进行有关代数运算;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.三、求平面上一点到两个定点间的距离之和（或之差）最小（或最大）值【例3】已知点A(-3,5),B(2,15)在直线l:3x-4y+4=0上找一点P 使|PA|+|PB|最小，并求出最小值.思路分析：此题的平面几何背景是：由两点位于一条直线的同侧，可在直线上求出一点，使它到这两点的距离之和最小.可依据线段垂直平分线的性质与三角形中两边之和大于第三边来解决，方法是先找出其中一点关于这条直线的对称点，该对称点与另一点的连线和已知直线的交点就是所求的点.解：可求得A 关于l 的对称点A′(3,-3),直线A′B 的方程为18x+y-51=0.解方程组?=+-=-+.0443,05118y x y x 得P(38,3). ∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|=|A′B|=135.∴P(38,3),|PA|+|PB|的最小值为135. 温馨提示1.求路程之和，线段之和的最小（或路程之差，线段之差最大）问题有两种基本思路.(1)化为二次函数的最值问题求解.（2）利用数形结合化为点关于直线的对称的点进行处理.2.利用对称性可以解决类似两类问题，一类就是在定直线l 上找一点M ，使M 点到两定点A 、B 的距离之差||MA|-|MB||最大；一类是在定直线l 上找一点M ，使M 点到两定点A 、B 点的距离之和|MA|+|MB|最小，这时还要考虑A 、B 点在直线l 的两侧还是在l 的同侧去分类讨论. 类题演练3A 、B 两个厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A 、B 两厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供A 、B 两厂用水，要使提水站到A 、B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？解：如图以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A （0，400），点B （a ，100）.过点B 作BC ⊥AO 于点C.在△ABC 中，AB=500，AC=400-100=300，由勾股定理得BC=400.∴B （400，100）.点A （0，400）关于x 轴的对称点A′(0,-400),由两点式，得直线A′B 的方程为y=45x-400.令y=0，得x=320.即点P （320，0）.故提水站（点P ）在距O 点320 m 处（如图）时，到A 、B 两厂的水管长度之和最短. 变式提升3如图，已知平面上两点A （4，1），B （0，4），在直线l ：3x-y-1=0上找一点M ，使||MA|-|MB||最大，求M 的坐标及最大值.解：设B （0，4）关于直线l 的对称点的B′(x 0,y 0),则===-+-+?-=--.3,3,0124203,3104000000y x y x x y 解得∴B′(3,3).设M′为l 上任一点，则在△AB′M′中有||M′A|-|M′B||=||M′A|-|M′B′||≤|AB′|(当且仅当M′，B′,A 三点共线时，等号成立，此时取最大值|AB′|).∵过点A （4，1），B′(3,3)的直线为434131--=--x y ,即2x+y-9=0. 直线AB′与直线l 的交点M 的坐标为方程组==??=-+=--.5,2092,013y x y x y x 的解∴M （2，5）. ∴M 点的坐标为（2，5）时，||MA|-|MB||取最大值为|AB′|=5)13()34(22=-+-.。
高中数学3.3 两点间的距离 教案1人教版必修2
两点间的距离今天我说课的内容是人教版数学必修（2）第三章“3.3.2两点间的距离”，主要内容是建立直角坐标系中两点间的距离公式和用坐标法证明简单的平面几何问题。
我将通过教材分析、目标分析、教法学法、教学程序和教学评价五个部分，阐述本课的教学设计。
一一、、教教材材与与学学情情分分析析1．地位与作用点是组成空间几何体最基本的元素之一，两点间的距离也是最简单的一种距离。
本章是用坐标法研究平面中的直线，而点又是确定直线位置的几何要素之一。
对本节的研究，为点到直线的距离公式、两条平行直线的距离公式的推导以及后面空间中两点间距离的进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。
2．学情分析（1）知识与能力：在上一节，学生已经在平面直角坐标系中建立了各种形式的直线方程，对坐标法解决几何问题有了初步的认识。
（2）学生实际：我校学生实际是基础扎实、思维活跃，但抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导。
二二、、目目标标分分析析1．教学目标根据新课程标准的理念,以及上述教材结构与内容的分析，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标：【知识与技能】（直接性目标）（1）让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程 ，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题；（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。
【过程与方法】（发展性目标）（1）利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。
通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；（2）在推导过程中，渗透数形结合的数学思想。
【情感态度价值观】（可持续性目标）培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。
2．教学重点、难点根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程。
特确定如下重点与难点：【重点】 两点间的距离公式和它的简单应用【难点】 用坐标法解决平面几何问题【难点的确定】根据学生的认知水平，学生对于用坐标法研究几何问题只是停留在初步认识，对于坐标法的一基本步骤还不清楚，这需要一个过程。
高中数学：两点间距离教案新人教版必修2
高中数学：两点间距离教案新人教版必修2
高一数学导学案
课题：两点间的距离公式时间：12。
29班级姓名
【学习目标】1、了解两点间距离公式的推导过程；熟练掌握两点间的距离公式、中点公式；2、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；
【重点难点】两点间的距离公式中点公式
【学法指导】化归
学习过程
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？
思考4:在平面直角坐标系中，已知点A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O,A) 思考5:一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
1、公式：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离，用d（A，B）表示为
A，B）
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) 求证：三角形ABC是等腰三角形。
\
练习：已知：A（1，1）B（5，3）C（0，3）求证：三角形ABC是直角三角形
【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍.
2、中点公式:已知A（x1，y1）, B（x2，y2），M(x,y)是线段AB的中点，计算公式如下
【例4】已知:平行四边形ABCD的三个顶点坐标A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
【学后反思】
【教后反思】。
最新人教版高中数学必修2第三章《两条平行直线间的距离》教学设计
教学设计3．3.3点到直线的距离3．3.4两条平行直线间的距离整体设计教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具．点到直线的距离公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离．”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．三维目标1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作．重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax ＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题．思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离．如图1，已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0)．图1推进新课新知探究提出问题①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离．你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？②前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论：(ⅰ)x 0＝0，y 0＝0时，d ＝|C |A 2＋B 2；(ⅱ)x 0≠0，y 0＝0时，d ＝|Ax 0＋C |A 2＋B 2； (ⅲ)x 0＝0，y 0≠0时，d ＝|By 0＋C |A 2＋B 2.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P (x 0，y 0)，d ＝？学生应能得到猜想：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax ＋By ＋C 1＝0，令y ＝0，得P ′(－C 1A ，0)．∴P ′到直线l 的距离d ＝|A ·(－C 1A )＋C |A 2＋B 2＝|C －C 1|A 2＋B 2.(*) ∵P 在直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0上，∴Ax 0＋By 0＋C 1＝0.∴C 1＝－Ax 0－By 0. 代入(*)得d ＝|C ＋Ax 0＋By 0|A 2＋B 2，即d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. ②可以验证，当A ＝0或B ＝0时，上述公式也成立．③引导学生得到两条平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2 .证明：设P 0(x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C 2＝0上任一点，则点P 0到直线Ax ＋By ＋C 1＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 1|A 2＋B 2.又Ax 0＋By 0＋C 2＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 2，∴d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 讨论结果：①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. ②当A ＝0或B ＝0时，上述公式也成立．③两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离公式为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 应用示例思路11求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2.解：(1)根据点到直线的距离公式得d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝105＝2 5. (2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝|23－(－1)|＝53. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.2解：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h . |AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0. 点C 到x ＋y －4＝0的距离为h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52， 因此，S △ABC ＝12×22×52＝5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.3解：在直线2x －7y －6＝0上任取一点，例如取P (3,0)，则点P (3,0)到直线2x －7y ＋8＝0的距离就是两平行线间的距离．因此，d ＝|2×3－7×0＋8|22＋(－7)2＝1453＝145353. 点评：把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.课本本节练习．拓展提升问题：已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0,0)、M (0,3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：点O (0,0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－45，25)， 则直线MO ′的方程为y －3＝134x . 直线MO ′与直线l ：2x －y ＋1＝0的交点P (－85，－115)即为所求， 相应的||PO |－|PM ||的最大值为|MO ′|＝1855. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作．3．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．作业课本习题3.3 A 组9、10；B 组2、4.设计感想对本节课的教学内容的处理，各种版本的教材的手段不尽相同．“北师大版”给出的方法是先求两条互相垂直的直线的交点坐标再计算距离，并没有推导公式的过程，重在求解过程的“流程”，而不在意运算的繁琐，有让学生感性认识“算法”的味道；“人教版”和“苏教版”思路基本相同，都是先引导学生探索和“北师大版”中的方法一样的解法，但不展现其推导过程，然后采用作辅助线构造直角三角形以简化运算的方法进行公式推导．“苏教版”还用了从具体到抽象的方法以降低思维难度．但为什么会想到要构造直角三角形，这一最需要学生探索的过程无法展现．为解决这个问题，本节课拟吸收各版本的精华，采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．备课资料备用习题1．求直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程．分析：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等．解：设所求直线方程为2x ＋11y ＋C ＝0，则|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112⇒C ＝16(已知直线)或C ＝－38.∴所求直线为2x ＋11y －38＝0.2．已知正方形ABCD 的相对顶点A (0，－1)和C (2,5)，求顶点B 和D 的坐标．答案：B (4,1)，D (－2,3)．。
人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.3.2两点间的距离》教案
3.3.2 两点间的距离整体设计教学分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.三维目标1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质.重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.已知平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，如何求P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的距离|P 1P 2|? 思路2.(1)如果A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们的坐标分别是x A 、x B 、y C 、y D ，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，求|AB|. 推进新课新知探究提出问题①如果A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们坐标分别是x A 、x B 、y C 、y D ，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，如何求P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的距离|P 1P 2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|x B -x A |,|CD|=|y C -y D |.②通过画简图，发现一个Rt △BMO ，应用勾股定理得到点B 到原点的距离是5. ③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-.④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22. 知能训练课本本节练习.拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.答案：x=y=21.课堂小结通过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；②能灵活运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题. 作业课本习题3.3 A组6、7、8；B组6.。
2021-2022学年高中数学必修2学案：3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离
3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离学 习 目 标核 心 素 养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点)1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学学科素养．2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学学科素养．1．两条直线的交点坐标 几何元素及关系代数表示 点A A (a ，b ) 直线l l ：Ax ＋By ＋C ＝0 点A 在直线l 上 Aa ＋Bb ＋C ＝0直线l 1与l 2的交点是A 方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解是⎩⎨⎧x ＝ay ＝b法一：代数法直线l 1，l 2联立得方程组⎩⎨⎧唯一解无穷多解无解⇔⎩⎨⎧l 1，l 2相交，l 1，l 2重合，l 1，l 2平行．(代数问题) (几何问题)法二：几何法(前提条件：系数均不为零)方程组⎩⎨⎧A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0⎩⎪⎨⎪⎧唯一解⇔A1A2≠B1B2⇔l1，l2相交，无穷多解⇔A1A2＝B1B2＝C1C2⇔l1，l2重合，无解⇔A1A2＝B1B2≠C1C2⇔l1，l2平行．3．两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2．②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2的形式？[提示]可以，原因是（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．(2，2)B．(1，1)C．(1，2)D．(2，1)C[由⎩⎨⎧x＝1，y＝2得交点坐标为(1，2)，故选C.]2．已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为()A．5 B． 5 C．3 D．29B[由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝（3－2）2＋（7－5）2＝ 5.] 3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是() A．2 3 B．3＋2 3C．6＋3 2 D．6＋10C[|AB|＝（2＋1）2＋32＝32，|BC|＝（2＋1）2＋0＝3，|AC|＝（2－2）2＋32＝3，则△ABC的周长为6＋3 2.]4．已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________． 1或－5 [由两点间距离公式得（a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或－5.]两直线的交点问题【例1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3. [解] (1)方程组⎩⎨⎧2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1. 因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1). (2)方程组⎩⎨⎧2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合． (3)方程组⎩⎨⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.两条直线相交的判定方法 方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二 两直线斜率都存在且斜率不等方法三 两直线的斜率一个存在，另一个不存在[跟进训练]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0. [解] (1)解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1).(2)解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.两点间距离公式的应用【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，试判断△ABC 的形状．[解] 法一：∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， |AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， 又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二：∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， |AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．[跟进训练]2．若等腰三角形ABC 的顶点A (3，0)，底边BC 的长为4，BC 边的中点为D (5，4)，求等腰△ABC 的腰长．[解] 因为|BD|=12|BC|=2，因为|AD |＝（5－3）2＋（4－0）2＝2 5. 在Rt △ABD 中，由勾股定理得 |AB |＝|AD |2＋|BD |2＝20＋4＝2 6. 所以等腰△ABC 的腰长为2 6.经过两条直线交点的直线方程 [探究问题]1. 如何求两条直线的交点坐标？[提示] 求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可． 2．已知直线过一定点如何求其方程？[提示] 已知直线过定点求其方程，若斜率存在只需求出斜率即可． 3．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？[提示] 过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程).【例3】 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．思路探究：求直线方程→待定系数法求方程→条件确定系数 [解] 法一：解方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75. 又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0. 法二：设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎨⎧（2＋λ）×1－（λ－3）×3＝0， （2＋λ）×（－1）－（2λ－3）×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0， 即15x ＋5y ＋16＝0.1．本例中将“3x ＋y －1＝0”改为“x ＋3y －1＝0”，则如何求解？ [解] 由例题知直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75，直线l 与x ＋3y －1＝0平行，故斜率为－13，所以直线l 的方程为y ＋75＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x ＋15y ＋24＝0.2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ [解] 设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34， 所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．[跟进训练]3．直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y ＝0C ．x ＋2y ＝0D ．x －2y ＝0B [设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0，因为l 过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x －y ＝0.]1．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13B [由⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.]2．已知点M (－1，3)，N (5，1)，P (x ，y )到M ，N 的距离相等，则x ，y 满足的条件是( )A.x ＋3y －8＝0 B ．x －3y ＋8＝0 C ．x －3y ＋9＝0 D ．3x －y －4＝0D [由两点间距离公式得（x ＋1）2＋（y －3）2＝（x －5）2＋（y －1）2， 整理得3x －y －4＝0.]3．直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和直线2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________．－1 [由⎩⎨⎧4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2.把x ＝4，y ＝－2代入ax ＋2y ＋8＝0得4a －4＋8＝0，解得a ＝－1.] 4．已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |＝________．2 [由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42， |CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.]5．已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．[解] 设所求点P (x ，0)，于是由|P A |＝|PB |得（x ＋1）2＋（0－2）2＝（x －2）2＋（0－7）2， 即x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1. 所以，所求P 点坐标为(1，0)， |P A |＝（1＋1）2＋（0－2）2＝2 2.。
高中数学人教版必修2 3.3.2两点间的距离 教案2
3.3.2两点间的距离教案授课类型：新授课授课时间：第周年月日（星期）一、教学目标1、知识与技能：（1）能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；（2）掌握直角坐标系两点间的距离公式，会用坐标法证明简单的几何问题。
2、过程和方法：（1）学习两直线交点坐标的求法，判断两直线位置的方法，归纳过定点的直线系方程；（2）推导两点间距离公式，充分体会数形结合的优越性。
3、情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系，能用代数方法解决几何问题。
二、教学重点、难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系，应用两点间距离公式解决几何问题。
三、教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。
引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。
由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
四、教学过程：（一）两条直线的交点坐标1、设置情境，导入新课问题1：已知两条直线l1：3x + 4y– 12 = 0，l2：2x + y + 2 = 0相交，求这两条直线的交点坐标。
问题2：已知两条直线l1：A1x + B1y + C1 = 0，l2：A2 x + B2y + C2 = 0相交，如何求这两条直线的交点的坐标？2、讲授新课几何元素中，点A可用坐标A (a , b) 表示，直线l可用方程Ax + By + C = 0表示，因此，求两条直线的交点坐标，可联立方程组求解（代数方法）。
结论：（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；（3）若方程组有无数解，则两条直线重合。
练习：课本P104，练习1。
3、探究：当λ变化时，方程3x + 4y – 2 + λ (2x + y + 2) = 0表示什么图形？图形有何特点？演示：借助几何画板作出方程所表示的图形，改变的值。
教案 3.3.2 两点间的距离 人教版必修二
双峰一中高一数学必修二教案
科目：数学
课题§3.2.2 两点间的距离课型新课
教学目标（1）．掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
（2）．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
；
（3）．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
教学过程教学内容备
注
一、自主学习
二、质疑提问
三、问题探究
四、课堂检测
五、小结评价主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
高中数学教案之高一数学人教版必修二3.3.2两点间的距离
高一数学必修二教案
科目：数学
课题两点间的距离课型新课
教学目标（1）．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
（2）．掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
（3）．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
教学过程教学内容备
注
一、自主学习
二、质疑提问
三、问题探究
四、课堂检测
五、小结评价主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
高中数学必修二导学案：第三章第三节两点间的距离
第三章第三节两点间的距离三维目标1．理解平面内两点间的距离公式的推导过程；2．掌握两点间距离公式及其简单应用；3．会用坐标法证明一些简单的几何问题.________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1问题1.在坐标轴上，两点A 、B 之间的距离AB 是如何计算的？问题2.平面直角坐标系下两点1P (1,1x y )、2P (2,2x y )，如何求1P 、2P 两点之间的距离12PP ？问题3.请尝试用两点间的距离公式完成下列各题：（1）求(2,1),(5,1)A B -两点之间的距离.（2）若(,5)(0,10)17,?A a B a -与间的距离是则值为多少（3）已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标.A BPP=问题4.请从向量的角度证明两点间的距离公式12【学做思2】=，并求出PA的值.1. 已知点),在x轴上求一点P,使得PA PB【思考】结合图象，本题还有没有其它的解法呢？2.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.【方法总结】【变式】已知△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.达标检测1. △ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )A.26B.65C.29D.132. 直线l的倾斜角为30°，且过点B(0,1)，直线l交x轴于点A，则|OA|、|AB|的值分别为( )A．1,2 B.3，2 C．1， 3 D.33，23. 已知A(1,2)，B(5，－2)，在x轴上有一点P(x,0)满足|PA|＝|PB|，在y轴上有一点Q(0，y)，它在线段AB的垂直平分线上，则(x，y)为( )A．(3，－3) B．(3,3) C．(－3,3) D．(－3，－3)4. 光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( ) A．5 2 B．2 5 C．510 D．10 55. 已知AO是△ABC的边BC的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．。
重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第四章第三节空间两点间距离
第四章第三节空间两点间距离三维目标1. 了解空间两点间的距离推导，了解空间两点的距离公式；2. 能用距离公式求空间中两点之间的距离;3．渗透数形结合的思想。
___________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1. 在平面直角坐标系中，已知，，则=写出推导过程：问题2：类比该公式，你能猜想一下空间两点，的距离公式吗？并证明你的结论。
问题3：若点为坐标原点，求的长度是多少？【变式】如果是定长，则表示什么图形？【学做思2】1. 已知A(2， 5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7。
2. 点M是空间直角坐标系O中的一点，写出满足下列条件的点的坐标并求与对称点的距离：（1）与点M关于轴对称的点；（2）与点M关于轴对称的点；（3）与点M关于轴对称的点；（4）与点M关于原点对称的点。
【总结】结合平面上点关于轴对称的性质，从这题中你有什么体会？3.已知三角形的三个顶点坐标分别为，，．求过点的中线长？4.在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小。
达标检测*1.在空间直角坐标系中，已知，，则，两点间的距离是A. B． C． D．2. 已知三点，，，则( )A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形3. 已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A、B两点距离的最小值为( )A.55B.555C.355D.115*4. 在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．5. 求点M(4，－3,5)到x轴的距离。
6. 求到两定点，距离相等的点的P的坐标满足的轨迹方程。
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第三章第三节两点间的距离
三维目标
1．理解平面内两点间的距离公式的推导过程；
2．掌握两点间距离公式及其简单应用；
3．会用坐标法证明一些简单的几何问题.
________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1
问题1.在坐标轴上，两点A 、B 之间的距离
AB 是如何计算的？
问题2.平面直角坐标系下两点(1,1x y )、(2,2x y )，如何求、两点之间的距离12PP ？
问题3.请尝试用两点间的距离公式完成下列各题：
（1）求(2,1),(5,1)A B -两点之间的距离.
（2）若(,5)(0,10)17,?A a B a -与间的距离是
则值为多少 （3）已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标.
A B
PP=
问题4.请从向量的角度证明两点间的距离公式
12
【学做思2】
=，并求出PA的值.
1. 已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使得PA PB
【思考】结合图象，本题还有没有其它的解法呢？
2.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
【方法总结】
【变式】已知△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
达标检测
1. △ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中
线长为( )
A.26
B.65
C.29
D.13
2. 直线的倾斜角为30°，且过点B(0,1)，直线交x轴于点A，则|OA|、|AB|的值分别为( )
A．1,2 B.3，2 C．1，3D.
3
3
，2
3. 已知A(1,2)，B(5，－2)，在x轴上有一点P(x,0)满足|PA|＝|PB|，在y轴上有一点Q(0，
y)，它在线段AB的垂直平分线上，则(x，y)为( )
A．(3，－3) B．(3,3)C．(－3,3) D．(－3，－3)
4. 光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( ) A．52B．25C．510D．10 5
5. 已知AO是△ABC的边BC的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．。