应用统计学 第七章 列联分析

联 分
为 (R 1)(C 1) 。根据表7-2、表7-4和式（7-2），将 2统计量的计算过程列入表7-5。
析
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第二节 2 统计量与 2 检验
第 七
章 二、 2 检验
列
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联 分 析
2 检验即卡方检验，是指运用 2 统计量的计算结果与 2 分布中的临界值进行比较，
作出对原假设的统计决策。卡方检验可以用于拟合优度检验和独立性检验。其中，拟合
总频数n。表7-4是利用Excel计算的储户期望值分布表。
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第一节 列联表
第 七 章
用Excel计算期望值的操作步骤如下：
列
（1）将表7-2中的观察值数据输入Excel，选中B10单元格，输入“=ROUND($E3*
联
分
B$6/$E$6,0)”，如图7-1所示。
析
（2）选中B10单元格，将鼠标放在右下角，出现“+”时，向右拉至D10处。
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列联表
2 统计量 与 2 检验
列联表中的 相关测量
第一节
第二节
第三节
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列联表
2 统计量 与 2 检验
列联表中的 相关测量
第一节
第二节
第三节
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第一节 列联表
第 七 章
一、列联表的构造
列
联 分
列联表是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表。例如，要分析收入情
表7-6是一个简化的 2 2 列联表，a、b、c、d均为观察频数。
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第三节 列联表中的相关测量
第 七 章
列
由表7-6中的数据，可计算出a、b、c、d对应的期望频数分别为：
联 分 析
接近程度。两者越接近，即 | fij eij | 越小，计算出来的 2 值越小；反之，| fij eij |越大，计
算出来的 2 值越大。
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第二节 2 统计量与 2 检验
第
七
章
运用 分布进行假设检验，需要确定 2分布的自由度。在RC 的列联表中，若 R 1，
列 则自由度为 C 1 ；若 C 1 ，则自由度为 R 1 ；当 R 2 且 C 2 时，自由度
的有210人，10～20万的有185人，20万以上的有105人，我们把每一行的总数称为行边缘频数；
表中最下边显示了储蓄率情况变量的总数，如10%以下的有172人，10%～30%的有171人，
30%以上的有157人，我们把每一列的总数称为列边缘频数。
列联表所表现的就是变量Y在变量X条件下的分布，或是变量X在变量Y条件下的分布，因此
列联表
2 统计量 与 2 检验
列联表中的 相关测量
第一节
第二节
第三节
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第三节 列联表中的相关测量
第 七
章 一、 相关系数
列
联 分
相关系数是描述 2 2 列联表数据相关程度最常用的一种相关系数。对于 2 2 列联表，
析
相关系数的值在0～1之间，其计算公式为：
2 / n （7-3）
析 若用 fij 表示观察值频数，用 eij 表示期望值频数，则 2 统计量的计算公式为：
r
2
c ( fijeij )2
i1 j 1
eij
（7-2）
2 统计量具有以下特征：① 2 0 ，因为它是对平方值结果的汇总。② 2 值的大小与 观察值和期望值的配对数即 RC 的多少有关。RC 越多，在不改变分布的情况下， 2 值越大，因此， 2 统计量的分布与自由度有关。③ 2 统计量描述了观察值与期望值的
析
况和储蓄率的关系，随机调查了500个储户，年收入分为10万以下、10～20万、
20万以上，储蓄率分为低于10%、10%～30%、30%以上，得到列联表7-2。
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第一节 列联表
第 七 章
二、列联表的分布
列
联 分
（一） 观察值的分布
析
表7-2就是一个简单的观察值的分布。表中最右边显示了收入情况变量的总数，如10万以下
第七章 列联分析
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美国税收制度公正吗？
引导案例
根据美国一家网站的调查发现，认为美国税收制度不公正的公民的收入、年龄、教育水平并
不相同。在2006年4月对1 005人进行的调查中，该网站提出，60%的美国人认为税收制度不公
正，而薪资高于5万美元的人群中，有超过60%的人认为税收制度不公正，具体数据如表7-1所示。
（3）选中B10、C10和D10单元格，将鼠标移动到D10的右下角，出现“+”时，向下拉至
D12处。
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列联表
2 统计量 与 2 检验
列联表中的 相关测量
第一节
第二节
第三节
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第二节 2 统计量与 2 检验
第 七
章 一、 2 统计量
列
联
分
统计量可用于变量间的拟合优度和独立性检验，测定两个分类变量之间的相关程度。
从上述数据可知，收入低于5万美元的美国人中有55.44%认为美国税收制度不公正，而收入
高于5万美元的美国人中有64%认为美国税收制度不公正，那么这两个收入阶层的美国人对美国
税收制度的认同比例是否一致？要解决这个问题，可以使用列联分析方法。经 2检验发现，这两
个收入阶层的美国人对美国税收制度的认同比例显然是不一致的。
又把列联表中的观察值分布称为条件分布，每个具体的观察值就是条件频数。例如，收入在10
万以下的人中，储蓄率在10%以下的有15人，就是一个条件频数。
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第一节 列联表
第 七
章 （二） 百分比的分布
列 联
条件频数反映了数据的分布，但不适合进行对比。为了能在相同的基数上比较，使列联表中
分 析
的数据提供更多的信息，可以计算相应的百分比。表7-3就是一个列联表的百分比分布。
优度检验是对多个总体比例是否等于其期望概率的检验；独立性检验是判断两组或多组
资料是否相互关联，如果不相互关联，就称为独立。例如，储户的收入水平和储蓄率是
否存在关系，对父母的孝敬程度是否与孩子性别有关等。
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第二节 2 统计量与 2 检验
第 七 章 列 联 分 析
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第一节 列联表
第 七
章 （三） 期望值的分布
列 联
在实际分析中，我们还需要期望值的分布。假定行变量和列变量是独立的，一个观察频数的
分 析
期望频数 eij 是总频数的个数n乘以该观察频数 fij 落入第i行和第j列的概率，即
eij
n ri cj nn
ric j n
（7-1）
根据式（7-1）可知，期望频数等于观察频数 fij 对应的行合计数 ri 乘以列合计数 c j 除以