认识无理数
北师大版八年级上册2.1认识无理数(教案)
-近似值的理解和应用：在实际问题中，学生需要学会如何使用无理数的近似值，并理解近似值与精确值之间的差异。难点在于如何让学生在保证精确度的同时，合理选择和使用近似值。
在学生小组讨论环节，我努力扮演好引导者的角色，引导学生发现问题、分析问题和解决问题。从成果分享来看，学生们对于无理数的应用有了更深入的认识。但我也发现，他们在提出问题和解决问题时，有时会陷入思维定式。因此，在今后的教学中，我将注重培养学生的创新思维，引导他们从多角度审视问题。
总体来说，今天的课堂教学取得了一定的效果，但也暴露出了一些问题。在今后的教学中，我需要关注以下几个方面：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是指不能表示为两个整数比例的数，即无限不循环小数。无理数在数学中具有重要地位，它是实数的一个重要组成部分，帮助我们更准确地描述世界。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算正方形的对角线长度，我们发现它是一个无理数，这展示了无理数在实际中的应用。
北师大版八年级上册2.1认识无理数（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级上册第二章《实数与平方根》的第一节“认识无理数”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.无理数的定义：通过介绍无限不循环小数的概念，引导学生理解无理数的本质，并能够识别无理数。
2.无理数的性质：探讨无理数的性质，如无理数与有理数的运算规律、无理数的近似值等。
5.培养学生的数学探究精神：鼓励学生主动探究无理数的性质和规律，培养学生的创新意识和探究能力。
认识无理数
认识无理数认识无理数无理数是一种特殊的数，它无法表示为两个整数的比值，也不能用分数或者小数表示。
无理数是一种无限不循环的小数，它的小数部分永远不会重复。
在古代，无理数的概念并不存在。
古代数学家和自然哲学家们认为宇宙中的一切事物都可以用有理数表示和理解。
然而，随着数学的发展，人们意识到有些长度是无法用有理数来表示的，比如一条边长为1的正方形的对角线。
最早提出无理数概念的数学家是希腊哲学家毕达哥拉斯。
他发现了一个不能表示为两个整数之比的数，即根号2。
这个数字是无理数的典型例子，它的小数部分是无限不循环的。
希腊人因此认识到，数学上还存在着一种新的数。
接下来的几个世纪里，数学家们对无理数的理解有所深化。
公元3世纪的数学家阿基米德成为了解析无理数的先驱之一。
他创造了一个近似求出根号2的方法，即不断逼近根号2的有理数序列。
这种方法被称为连分数方法，是一种处理无理数的常见技巧。
然而，数学家们很快意识到连分数方法有一定的限制，无法涵盖所有无理数。
在17世纪，法国数学家笛卡尔提出了重要的思路，他认为无理数应该通过代数的方式来研究。
这种代数方法的奠基人是德国数学家弗朗茨·韦尔斯特拉斯和理查德·迪德金德。
他们通过用代数方程来表示无理数，进一步深化了对无理数的理解。
无理数的概念在数学发展的过程中发挥了重要作用。
需要指出的是，无理数不仅仅是指那些无法用有限小数表示的数。
根号2是一个无理数，但是根号4是一个有理数，因为它可以表示为2的平方根。
无理数在现代数学中有着广泛的应用。
在几何学中，无理数广泛用于测量，比如计算圆的周长和面积。
在物理学中，无理数被用来表示实际世界中的各种测量结果，比如重力加速度、电荷大小等等。
无理数的一些性质也是数学家们关注的重点。
无理数是无限不循环的，这意味着它的各个数字不会重复出现。
这种无限性质使得无理数具有不可数性，也就是说无理数的个数是不可数的。
同时，无理数和有理数的关系也是研究的一个重要课题。
认识无理数课件
第二章 实数
1
认识无理数
学习目标
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼
近的思想（难点）
复习回顾
1．整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数
3 （均
填整数）。
3
7.有六个数：0.123，（-1.5） ，3.1416， ，-2π，
0.1020020002···（每两个2之间依次增加一个0），若其中无理数
的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则
x+y+z=
6
.
五、当堂达标检测
拓展提升
在下图的正方形网格中画出1个三角形使三边都是无理数。
例2：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找
出长度是无理数的线段.
长度为有理数的线段： AB、EF
长度为无理数的线段：CD、GH、MN
三、即学即练，应用知识
1.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数；
（2）所有无理数都是无限小数;
（3）有理数都是有限小数;
（4）不是有限小数的不是有理数.
；
分数分为 正分数、负分数
.
2．一个整数的平方一定是整数吗？ 是
3 .一个分数的平方一定是分数吗？
是
一、创设情境，引入新知
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
一、创设情境，引入新知
还有好多方法，课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
2.1.1认识无理数(教案)
一、教学内容
本节教学内容选自数学教科书八年级上册第二章“数与代数”中的2.1.1节“认识无理数”。主要内容包括：
1.无理数的定义：介绍无理数的概念，让学生理解无理数是无限不循环小数，与有理数的区别。
2.无理数的表示：学习无理数的表示方法，如根号表示、无限小数表示等。
3.常见无理数：列举一些常见的无理数，如π、e、√2、√3等，并简要介绍它们的特点。
2.提升逻辑推理能力：在学习无理数性质和应用的过程中，引导学生运用逻辑推理，培养学生逻辑思维和推理能力。
3.增强数学抽象能力：让学生从具体的实例中抽象出无理数的概念，学会用数学符号表示无理数，提高数学抽象能力。
4.培养数学应用意识：通过探讨无理数在实际问题中的应用，让学生体会数学与现实生活的联系，培养数学应用意识。
此外，学生在小组讨论中的成果分享环节表现不错，能够将所学知识运用到实际问题的解决中。但我也注意到，部分学生对于无理数在实际生活中的应用还不够熟悉。为了提高学生的应用意识，我计划在今后的教学中增加一些与生活密切相关的实例，让学生更好地感受到数学知识的实用性。
在课程结束后，我对学生进行了简单的问卷调查，发现他们在本节课中掌握的知识点较为扎实。但同时，他们也反映出了对无理数性质和证明过程的理解不够深入。针对这个问题，我将在下一节课中进行针对性的讲解，通过更多的实例和练习，帮助学生巩固和深化对无理数性质的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是无限不循环小数，它与有理数（整数和分数）不同，不能精确表示为有限的小数或分数。无理数在数学中具有重要地位，如在几何中的比例关系、物理学的公式中等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过圆的周长与直径的比例（π），展示无理数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决几何问题。
《认识无理数》课件
无理数的特征
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
无理数是实数的一种，具有实数的所 有性质和运算规则。
无理数与有理数的区别
有理数是可以表示为 两个整数之比的数， 包括整数、分数和十 进制小数。
有理数和无理数在实 数域中是互斥的，即 它们不能相互转化。
无理数则无法表示为 分数形式，其小数部 分无限不循环。
古希腊数学家阿基米德首次使用圆内接多边形的方法近似计 算出圆周率的值。
根号2的发现
根号2是一个无限不循环小数，表示2的平方根。
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次证明了根号2的存在性，并对其进 行了近似计算。
03 无理数的应用
在几何学中的应用
勾股定理
无理数在几何学中最为著名的应 用是勾股定理，它说明了直角三 角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方，其中斜边长度是一
无理数在未来的发展前景
01
推动数学与其他学科的进一步融合
随着科学技术的不断发展，无理数将在更多领域发挥重要作用，推动数
学与其他学科的进一步融合。
02
深化实数理论的研究
随着数学的发展，实数理论的研究将不断深入，无理数作为实数理论的
基础之一，其研究也将得到进一步深化。
03
促进数学教育的发展
无理数是数学教育中的重要内容之一，随着教育的不断改革和完善，无
02 无理数的产生
无法精确表示的数
无法用分数精确表示的数
例如，0.333...虽然可以无限接近于1/3，但无法精确等于1/3。
无法用有限小数或循环小数精确表示的数
例如，0.1010010001...是一个无限不循环小数，无法用有限小数或循环小数来 表示。
圆周率π的发现
认识无理数教案
认识无理数教案一、教学目标1.了解无理数的概念，能够区分有理数和无理数。
2.掌握无理数的基本性质，包括无理数的无限不循环小数表示、无理数的数轴表示等。
3.培养学生对无理数的理解、应用和推理能力。
二、教学重点无理数的概念和特点。
三、教学难点无理数的无限不循环小数表示。
四、教学准备教学课件、黑板、白板笔、教学用具。
五、教学过程Step 1 引入新知1.教师出示一组有理数（例如：2、3、4）和一组无理数（例如：√2、π），请学生观察并分析它们的特点。
2.引导学生发现有理数和无理数的不同之处。
3.出示定义：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的实数。
4.让学生举例区分有理数和无理数。
Step 2 理解无理数1.通过分数、小数和百分数的例子，帮助学生理解有理数的概念。
2.通过根号、π等例子，引导学生理解无理数的概念。
3.让学生总结无理数的特点。
Step 3 无理数的无限不循环小数表示1.举例介绍无理数的无限不循环小数表示。
2.通过几个简单的例子，帮助学生理解无理数的无限不循环小数表示方法。
3.让学生自己尝试将某些无理数表示为无限不循环小数。
4.让学生总结无理数的无限不循环小数表示的特点。
Step 4 无理数的数轴表示1.通过数轴上有理数和无理数的位置关系，帮助学生理解无理数在数轴上的表示方法。
2.通过绘制数轴上的有理数和无理数，让学生直观感受无理数的数轴表示方法。
3.让学生总结无理数的数轴表示的特点。
六、教学拓展1.引导学生了解无理数的一些应用领域，如几何、物理等。
2.组织学生进行讨论，深入探究无理数的其他性质和应用。
七、课堂小结1.复习本节课的重点内容和要点。
2.检查学生对无理数的理解情况，解答学生提出的问题。
八、课后作业1.查资料，了解无理数的发现历史和研究成果。
2.预习下节课的内容。
北师大版数学八年级上册1《认识无理数》教案5
北师大版数学八年级上册1《认识无理数》教案5一. 教材分析《认识无理数》是人教版八年级数学上册的一章，本章主要让学生了解无理数的概念、性质和应用。
无理数是实数的一个重要组成部分，与有理数相比，无理数具有无限不循环的小数特点。
本章内容在数学系统中占有重要地位，为学生深入学习三角函数、复数等数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了有理数、实数等基础知识，对数的运算和性质有一定的了解。
但学生对无理数的概念、性质和应用可能较为陌生，因此，在教学过程中，需要注重引导学生从已有知识出发，逐步理解和掌握无理数的相关概念。
三. 教学目标1.了解无理数的概念，掌握无理数的性质；2.能够对无理数进行简单的运算和估计；3.理解无理数在实际生活中的应用，提高数学素养。
四. 教学重难点1.无理数的概念及其与有理数的区别；2.无理数的性质，如无限不循环小数、不能表示为分数等；3.无理数在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.采用情境教学法，以生活实例引导学生认识无理数；2.采用探究教学法，让学生通过小组合作、讨论，探索无理数的性质；3.采用实践教学法，让学生通过实际操作，体会无理数在生活中的应用。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和巩固环节；2.准备无理数的性质和运算练习题，用于操练和家庭作业环节；3.准备PPT或黑板，用于呈现和板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量物体长度、计算圆的周长等，引导学生认识无理数。
让学生感受无理数在实际生活中的存在，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT或黑板，呈现无理数的概念和性质。
详细解释无理数的定义，阐述无理数与有理数的区别，展示无理数的性质，如无限不循环小数、不能表示为分数等。
3.操练（10分钟）让学生进行无理数的运算练习，如求无理数的和、差、积、商等。
通过实际操作，让学生加深对无理数的理解，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过小组合作、讨论，让学生探究无理数的性质。
认识无理数ppt课件
新课引入
小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程 师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm的正方形 木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下 的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是 多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？
探究学习
核心知识点一 无理数的认识 讨论一：a，b是否存在，它们是有理数吗？
(3)借助计算器进行探索，过程整理如下，你的结果呢?
边长a 1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.4142<a<1.4143
面积s 1<s<4 1.96<s<2.25 1.9881<s<2.0164 1.999396<s<2.002225 1.99996164<s<2.00024449
解：(1)在整数10和11之间 (2)x精确到十分位时，x在10.2与10.3之间，x精确到百分位时，x 在10.29与10.30之间
9．如图，在3×3的方格网(每个小方格的边长均为1) 中有一阴影正方形， (1)阴影正方形的面积是多少？ (2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
解：(1)S阴影正方形＝3×3－12 ×1×2×4＝5 (2)介于2和3之间
随堂练习
1．下列各数中，是有理数的是( B ) A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长 C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
2．下列各数：π，0，0.23·，22，0.303 003 000 3…(每个 3 后增加 1 个 0)
无理数的认识
2．x 2=8，则x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）3．a 2=2,b 2=5中的a ，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？其实它们它们都是无限不循环小数,即无理数.和我们原来学过的有理数有着本质的区别.你会区别它们吗?以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1),其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.在上面的有理数中，分数有__________，整数有____________.4．下列说法中正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．分数不是有理数C ．有理数都是有限小数D ．3.1415926是有理数5．下列语句正确的是（ ）A ．3.78788788878888是无理数B ．无理数分正无理数、零、负无理数C ．无限小数不能化成分数D ．无限不循环小数是无理数6．下列数中是无理数的是（ ）A.0.12∙∙32B.2π C.0 D.722 7．在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ） A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定8．面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）A.小数B.分数C.无理数D.不能确定9、下列六种说法正确的个数是 ( )(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4○1无限小数都是无理 ○2正数、负数统称有理数 ○3无理数的相反数还是无理数 ○4无理数与无理数的和一定还是无理数 ○5无理数与有理数的和一定是无理数 ○6 无理数与有理数的积一定仍是无理数 10．判断题:(1)有理数与无理数的差都是有理数( )(2)无限小数都是无理数( )(3)无理数都是无限小数( )(4)两个无理数的和不一定是无理数( )11．设面积为5π的圆的半径为a ，a 是有理数吗？说说你的理由.12．已知：数－43，－∙∙24.1，π，3.1416，32，0，42，n 2)1(-，－1.424224222…， （1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；13．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC=6，AD=5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？14.在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.15．请你估计一下，若702=x ，x 是多少？（精确到小数点后一位）注意.“无理数”认识的几种错误（1）“无理数就是没有理由的数.”这是一种望文生义的认识.实质上，无理数在现实世界中也是有意义的.如a 2=2中的a 表示 .（2）“无理数就是无限小数.”这显然是错误的.如∙3.0就不是无理数，=∙3.0 ,它是有理数.（3）“无理数的和、差、积、商仍是无理数.”其实并非如此.如π－π= ，π÷π= .。
无理数的认识
01
02
03
04
无限不循环： 无理数是无限 不循环的小数， 无法用分数表 示。
稠密性：无理 数在实数轴上 稠密分布，即 任意两个有理 数之间都存在 无理数。
连续性：无理 数在实数轴上 连续分布，即 任意两个无理 数之间都存在 其他无理数。
非代数性：无 理数不能通过 四则运算和开 方运算得到， 即无理数不是 代数数。
02
无理数在数学中广 泛应用，理解无理 数有助于学生解决 实际问题，提高数 学应用能力。
03
04
无理数是数学思维 的重要体现，理解 无理数有助于培养 学生的逻辑思维能 力和抽象思维能力。
无理数在数学教育 中具有重要意义， 理解无理数有助于 学生认识数学的严 谨性和科学性，提 高数学素养。
03
提高学生的数学素养和数 学应用能力
02
帮助学生理解数学的抽象 性和严谨性
04
激发学生对数学的兴趣和 探索精神
01
无理数是初中数学的重要内容
03
无理数的概念、性质和运算是中考数学的 必考知识点
02
中考数学试卷中，无理数相关的题目占比 较大
04
掌握无理数的相关知识，有助于提高中考 数学成绩
01
无理数是数学中的 基本概念，理解无 理数有助于学生掌 握数学的基本原理 和规律。
05
根号5：用于计算正五边形的边长等
0 2 自然对数的底e：用于计算指数函数、 对数函数等
根号3：用于计算直角三角形的斜边 长度等
04
0 6 根 号 7 ： 用于计算正七 边形的边长等
01
计算机科学中的数值计算：无理数在计算机科学中的数值 计算中发挥着重要作用，例如在数值分析、科学计算等领
《认识无理数》课件
这是一份关于无理数的PPT课件，将带你深入了解无理数的概念、定义、分类、 计算方法、数学中的应用等。
简介
无理数是数学中一个非常有趣的概念，这部分将介绍无理数的概念和背景， 并解释有理数和无理数之间的关系。
无理数的定义
无理数是数学术语，它有着特定的符号和数学定义。本部分将介绍无理数的 定义、特点和表现形式。
无理数的分类
无理数可以根据其性质和标准进行分类。我们将比较无理数和有理数之间的差异，并阐述它们分别在数学中的 应用。
无理数的计算
无理数的计算方法和规则是数学中的重要内容。我们将探讨无理数的基本计 算方法，并通过几个例题进行演示。
数学中的应用
无理数在数学中有广泛的应用。在这一部分，将展示无理数在数学中的应用， 并介了无理数的基本知识点，强调了无理数在数学中的 重要性和应用。
结束语
通过本次课程，希望你对无理数有了更深入的理解和认识。鼓励你在数学学习中勇于探索和发现更多的数学知 识。
2.1 认识无理数(第1课时)
探究新知
2.1 认识无理数
归纳总结
有理数包括：整数和分数. 如果一个数既不是整数也不是分数， 那么这个数不是有理数. 在a2=2中，a不是有理数.
探究新知
2.1 认识无理数
素养考点 1 非有理数的识别
例 如图，有一个由五个边长为1的小正方形组成的图形，我
们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正方形的面积是多
数学 八年级 上册
2.1 认识无理数(第1课时)
导入新知
2.1 认识无理数
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2， 算一算斜边长x的平方 ，x是整数(或分数)吗？
x 1
2
素养目标
2.1 认识无理数
2.能判断一个数是否为有理数.
1.通过拼图活动和勾股定理的应用感受无理 数产生的实际背景和引入的必要性．
非有理数的识别
课后作业
作业 内容
2.1 认识无理数
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
谢谢
方形，则大正方形的面积是___2___，它的边长_不__是__有
理数（填写“是”或“不是”）
课堂检测
2.1 认识无理数
能力提升题
请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形．(所作三 角形的各个顶点均在格点上) (1)使它的一边为有理数，另两边边长不是有理数； (2)使它的三边边长都是有理数．
课堂检测
探究新知
2.1 认识无理数
归纳总结
用生命换来的新数
像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数—无理数.
早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙 间的一切现象都能归结为整数或整数之比”.但是这个学派中的一个叫希 伯索斯的成员却发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之 比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯 被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的， 后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是a2=2中的a不是有理数.
《认识无理数》实数精品课件
《认识无理数》实数精品课件汇报人：日期:•引言•无理数定义与性质•无理数与实数关系目录•无理数运算与估算•无理数在实际生活中的应用•总结与展望01引言无理数的概念和表示方法在数学中具有重要地位，是数学基础的一部分。
无理数在现实生活中有着广泛的应用，例如测量、计算和科学研究中。
学生对于无理数的认识往往存在困惑和误解，需要有针对性的教学。
课程背景课程目标掌握无理数的表示方法和运算规则。
通过实例和应用，培养学生的数学思维和应用能力。
帮助学生理解无理数的概念和特点。
02无理数定义与性质无理数定义不能表示为两个整数的比值无限不循环小数是无理数不能表示为有限小数或无限循环小数不能用分数形式表示无理数性质非有理数性质不能表示为两个有理数的比值具有连续、光滑、没有明显的界线等特征在有理数域外无限延伸无法表示为整系数多项式开方根的数，如$\pi$和$\sqrt{2}$等。
代数无理数超越无理数几何无理数无法表示为有理系数多项式方程的解的数，如$e$和$\ln$等。
无法用有理数逼近的数，如无理线段长度、无理面积等。
03无理数分类020103无理数与实数关系实数分类可以表示为有限小数或无限循环小数的实数，例如2.5、3.14等。
代数数无法表示为有理数的实数，例如π(圆周率)、e(自然对数的底数)等。
超越数既不是正数也不是负数的实数，具有特殊的性质和意义。
零无限不循环小数，例如√2(根号2)、√3(根号3)等。
无理数无理数在实数中的地位无理数是实数的重要组成部分，它们在数学中有着广泛的应用。
无理数的出现是数学发展史上的一个里程碑，对于数学的发展和人类的认识都具有重要意义。
无理数在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用，对于推动人类科技进步具有不可替代的作用。
无理数与有理数的区别和联系有理数和无理数在性质和形态上有着根本的区别。
有理数是可数的，而无理数是不可数的，因此它们在数学中的处理方法和性质也有很大的不同。
有理数和无理数之间存在着紧密的联系，它们共同构成了实数的完整体系。
认识无理数课件
其他生活场景中无理数现象
在金融领域，无理数也经常出 现。例如，股票价格、汇率等 金融数据经常以小数形式表示 ，并且可能包含无限不循环的 小数部分，因此是无理数。
在音乐中，音高和音程可以用 频率来表示。这些频率值往往 是无理数，因为音乐的和谐性 要求精确的音高比例。
在物理学中，许多常数和公式 涉及到无理数。例如，圆周率π 是一个典型的无理数，它在计 算圆的周长、面积等时经常出 现。
03
忽视无理数的运算 规则
在进行无理数的运算时，需要注 意运算顺序和运算法则，避免出 现计算错误。
拓展延伸：无理数在数学领域更深层次应用
无理数与几何学
在几何学中，无理数常常出现在与 长度、面积和体积相关的计算中，
如勾股定理中的斜边长度等。
无理数与数学分析
在数学分析中，无理数的存在 对于极限、连续性和可微性等 概念的研究具有重要影响。
无理数与代数学
在代数学中，无理数是实数域的一 个重要组成部分，对于方程的求解 和函数的性质研究具有重要意义。
无理数与概率论
在概率论中，无理数可以作为 随机变量的取值，参与概率分
布和期望等统计量的计算。
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无理数的判别方法
通过开方、求根、三角函数等特殊运算产生的数 ，若无法化简为有理数形式，则可判定为无理数 。
易错难点剖析指导
01
误将无限循环小数 当作无理数
无限循环小数是有理数的一种形 式，可以表示为两个整数的比值， 因此不是无理数。
02
误将带根号的数当 作无理数
带根号的数不一定是无理数，例 如√4=2是有理数。需要判断开 方后是否能得到有理数。
在几何图形中，通过构造符合黄金分割比例的线段或图形，可以创造出
2.1(1)认识无理数
∴a≈3.6
【金典知识】
【金典精讲】
【金典精练】
1. 通过拼图活动，感受有理数又不够用了。 谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困 难需要别人帮你解决？
2. 感受数不够用了，会确定一个数是有理数或 不是有理数。
2.任何一个有理数都可以化成分数 p 形式（ p，
q q 为整数且互质），而无理数不能.
用16个边长为1的小正方形拼成 了如图的网格，任意连接两个格点， 就得到一条线段，
试分别画出一条长度是有理数的线 段和一条长度不是有理数的线段．
B C
A
G
E
D
F
提高：P22
2、请你在方格纸上按照如下要求设计直角 三角形：
11
古希腊的毕达哥拉斯学派认为， 所有的数量都可以用整数或整 数的比来表示
把两个边长为1的小正方形通过 剪、拼，设法得到一个大正方形。
1 1
1 1
11 11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11 22
1
1
2
2
11 11
a2 2
a
.
a2 2
小组讨论：
a
a可能是整数吗？
aaaa
a可能是分数吗？
a可能是整数吗?
,
a
,
越来越大，
32 9， 所以a不可能是整数
可能是以2为分母的分数吗?
,
a
3 3 9 ..... . 2 2 4,
结果都为分数，所以a不可能是以2 为分母的分数。
北师大版数学八年级上册1《认识无理数》教案7
北师大版数学八年级上册1《认识无理数》教案7一. 教材分析《认识无理数》是北师大版数学八年级上册第一单元的第一课时，本节课的内容包括了解无理数的定义、性质和应用。
无理数是实数的一个重要组成部分，它对于学生来说是一个新的概念，难度较大。
通过本节课的学习，学生能够理解无理数的概念，掌握无理数的性质，并能够运用无理数解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的相关知识，对于实数的概念有一定的了解。
但是，无理数作为一个新的概念，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，用生动形象的例子和实际问题引入无理数的概念，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。
三. 教学目标1.了解无理数的定义，能够正确地判断一个数是否为无理数。
2.掌握无理数的性质，能够运用无理数解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学素养，提高学生的数学思维水平。
四. 教学重难点1.无理数的定义和性质。
2.运用无理数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的例子和实际问题，引导学生了解无理数的定义和性质。
2.探究教学法：通过学生的自主探究和实践，让学生掌握无理数的性质和运用。
3.小组合作学习：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作与本节课内容相关的PPT课件，包括无理数的定义、性质和应用等方面的内容。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用无理数解决。
3.黑板、粉笔：用于板书和标注重要内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示一些生活中的实际问题，如测量金字塔的高度、计算运动员的跳远距离等，引导学生思考这些问题是如何解决的。
通过这些问题，引出无理数的概念。
2.呈现（15分钟）利用PPT课件呈现无理数的定义和性质，让学生初步了解无理数的概念。
同时，通过例题和练习题，让学生巩固无理数的定义和性质。
3.操练（15分钟）让学生分组进行讨论，每组选择一个实际问题，运用无理数进行解决。
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1 认识无理数
1．无理数
(1)无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数．
学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．
(2)有理数与无理数的区别
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无
限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31
这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750
. 有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．
【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227
，－5.23·，－π2
. 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．
解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227
，－5.23·； 无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－π2
. 2．无理数近似值的估算方法
要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．
【例2】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题．
(1)x 的整数部分是多少？
(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？
(3)x 是有理数吗？请简要说明理由．
解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，
6.76＜x 2＜
7.29；
当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；
当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316；
…
则有：
(1)x 的整数部分为2.
(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65.
(3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方
等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数． 释疑点 如何四舍五入
利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．
3．无理数的常见类型
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的
形式主要有三种：
(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．
看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．
(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． (3)开方开不尽的数(下一节学到)．
【例3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？
0，π2，－4,0.12··，－117
，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141 592 7.
分析：1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)为无限不循环小数，π2
为含π的数，两者都为无理数.0，－4为整数，是有理数；0.12··，－34
，3.141 592 7为分数或可化为分数，是有理数．
解：有理数为0，－4,0.12··，－117，3.141 592 7；无理数为π2
，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)．
辨误区 π与3.141 592 7的区别
3．141 592 7属于有限小数，不是π，要注意区分．
4．无理数的应用
无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征．估算无理数的近似值，应先确定被估算无理数的整数取值范围；再以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数开始逐步减0.1)，并求其平方确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求估算无理数的近似值．
注：误差小于0.1与精确到0.1是不同的两个概念．在处理有关问题时要看清要求，再着手处理．
【例4】 如图所示，要从离地面5 m 的电线杆上的B 处向地面C 处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C 到A 处的距离为3 m ，求钢丝绳BC 的长度(精确到十分位)．
分析：这是现实生活中的一个常见问题，解决这个问题首先要用到勾股定理，再利用“夹
逼法”估算BC 的长．
解：由勾股定理，得BC 2＝AB 2＋A C 2＝34.
当5＜BC ＜6时，25＜BC 2＜36；
当5.8＜BC ＜5.9时，33.64＜BC 2＜34.81；
当5.83＜BC ＜5.84时，33.988 9＜BC 2＜34.105 6；
…
故当精确到十分位时，BC 约为5.8 m.。