1999年数学建模大赛自动化车床管理的优化策略优秀论文

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* 综合策略 1~3 我们可以得到如下的 优 化 准 则 在间隔 n 一定的条件下 检测一个零件 当发现故障时 应先更新刀具 然后紧接着检测下面 一个零件 若该零件合格 则持续生产 否则将不得不调整使工序恢复正常 同时生产进入下一个周期 如果连续 m 轮 序恢复正常 由题目所给数据 得问题 1 中的 m 值为
T m = 0 时 工序都未出现故障 这时将停机且不检测零件 n0 T 259 m= 0= = 37 n0 7
本文作者
李明(97804) 高峰
97501
欧阳晦(97303) 本文获 1999 全赛北京赛区二等奖
目Hale Waihona Puke Baidu
录
摘
要
P1 P1 P1 P2 P2~P6 图 P6~P15 P16 附录 1~4 甲~己
问题重述 基本假设 符号假定 问题分析 模型建立及求解 灵敏度分析 附录 附录 A B
自动化车床管理的优化策略
我们用 mathematica 软件得到
E[ g 2 (T , Y )]
关于 T 的图像:
并且得到当
T = 174( 个) 时
E[ g 2 (T , Y )] 取得最小值 32.57 元
在完成 174 件零件后 , 即使没有出现其它机器故障 我们也维
即当我们利用所给策略生产零件时 修机器
显然, 用上述方法维修机器, 单个好零件上平摊的损失费用过高 , 很划不来. 我们可以这样来看待这个问 题:与其他机器故障不同的是, 刀具在刚投入使用后的一段时间内, 损坏的概率非常的小, 因而可以近似的认 为这时刀具不会出现故障 , 从而推迟了预防更换的时间. 而其他机器故障则不同, 在刚开始机器故障发生的 概率就相对来说比较大, 因而成本较高. 故对于其他故障维修, 不宜采用预防性策略. 因而我们考虑等间隔检查, 于是有 * 策略 3:等间隔检查策略
x : 刀具的使用寿命 X : 随机变量, 表示一把新刀的寿命. (即这把新刀在加工第 X 个零件后损坏. 这时我们把它看作是
连续的随机变量)
f X (x ) Y:
随机变量 X 的概率密度函数 随机变量, 表示其它故障发生时, 已加工的零件数 (同样我们也把它看作是连续的随机变量);
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f Y ( y)
其图像如下曲线所示 我们把条形图也画在上面 以作比较
因为其它故障在生产每一个零件时发生的概率均相同 的概率为 p
且相互独立
设生产一个零件产生这些故障 几何分布 .
则恰在生产第 n 个零件时发生 这些故障的概率为 p (1 − p) n −1 即
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所以, 我们假设随机变量 Y 服从指数分布
k e − ky KK y > 0 f Y ( y) = 0KKK 其它
三
符号假定
f t d k ai :
每生产一个不合格零件的损失费用
f = 200 元/件
包括刀具费
每次检查一个零件的费用 t = 10 元/ 件*次 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d = 3000 元/次 未发现故障时更换一把新刀具的费用 k = 1000 元/次 刀具故障记录中第 i 把刀的寿命;
所以
∫
∞
0
f Y ( y ) dy ∫ f X ( x)dx = 0.95
0
y
利用软件则可以解得 k = 0.0000857199 最终可以得到
− 0.0000857 y KK y > 0 f Y ( y ) = 0.0000857 e 0KKK 其它 f Y ( y ) 的图像如下:
工序出现故障的原因有两种 刀具损坏和其余故障 先来计算刀具寿命 X 的概率密度函数. 由 100 次刀具故障记录我们可以得出以下的分布图: 其中 横 坐 标表示零件的寿命, 纵 坐 标表示落在包括横坐标某个范围内的零件个数.
于是我们假定
刀具寿命 X 大致服从参数分别为
α, β 的 Γ 分布
亦即刀具寿命 X 的概率密度函数
我们再来求 由于
Z = Min{ X , Y } 的概率密度函数
FZ ( z ) = P{Z ≤ z} = P{Min{ X , Y } ≤ z} = 1 − P{Min{X , Y } > z} = 1 − P{X > z且Y > z} = 1 − P{X > z}P{Y > z} = 1 − ∫ f X ( x ) dx ∫ f Y ( y )dy
二
基本假设
1 通过检查零件是否合格来检测工序是否出现故障 2: 由刀具故障引起工序出现故障的时间与由其它故障引起工序出现故障的时间相互独立. 3 把对零件的一个检查间隔称为 一轮 , 把发现故障进行调节使恢复正常作为工序的一个 周期 4 工序一旦出现故障不能自动恢复正常 5 每次检查一个零件的费用为 10 元 6 检查零件时车床持续进行生产 忽略检查零件的时间 只有更新刀具和调节时 才停机 7: 由于生产的零件很多, 为了方便起见, 有时我们也把生产的零件个数看成是连续变量; 8 在生产工序正常的情况下误认为工序存在故障而停机检查 造成的损失费用为 1500 元/次 但若生产工序不正常 停机损失不计在这部分费用中
一 问题重述
在自动化车床连续加工某种零件的过程中 由于刀具损坏等原因工序会随机发生故障 而工 人可以通过检查零件来判断工序是否发生故障 由于生产不合格零件, 检查零件, 调节故障, 更换刀具, 及错误停机均会给工厂带来损失 因此需 要对如下的两种情况 分别给出一个最优的检查间隔 生产多少零件检查一次 和刀具更新策略 使损 失费用降到最低 假定工序故障时产出的零件均为不合格品 正常时产出的零件均为合格品 该工序正常时产出的零件有 为不合格品 而工序故障时产出的零件有 40%为合格品 为不合格品 考虑工序正常而误认为有故障停机而损失的费用 最后对第二种情况 提出改进方案使效益提高
工序正常而误认有故障停机产生的损失费用 更新刀具的周期
c 0 = 1500 元/次
T0
更新刀具的最佳周期 最优检查间隔
零件的检查间隔, n 0 检查零件的轮数
m0 ： 采取预防性更换刀具策略 强制换刀 刀具未损坏而换刀 时刀
具正常试用的轮数
即
T m0 = 0 n0
四
问题分析
T−X
个坏零件带来的损失费用:
f × (T − X )
和
更换刀具的费用:
k f × (T − X ) + k X
在这一周期内平均每生产一个好的零件就要分摊的损失费用则为: 而刀具寿命
X ≥T
时, 损失的费用为
更换刀具的费用:
k k T
在这一周期内平均每生产一个好的零件就要分摊的损失费用:
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于是 在一周期内平均每生产一个好的零件就要分摊的损失费用函数
随机变量 Y 的概率密度函数
f ( x, y) : 随机向量 ( X , Y ) 的联合分布密度函数; Z:
随机变量 , 表示工序发生故障时 已加工的零件数 即
X ,Y 中 得 最 小 值 ,
Z = Min{ X , Y } ; f Z ( z ) : 随机变量 Z 的概率密度函数. c0 T n m
生产坏零件带来的损失费用:
维修所需费用 d 最终得到在一个周期内平均每生产一个好的零件就要分摊的损失费用函数:
Z Z ([ ] + 1) × t + ( Z − [ ] × n ) × k + d n g 3 ( n, Z ) = n Z
而 g 3 ( n, Z ) 的数学期望
Z Z ([ ] + 1) × t + ( Z − [ ] × n) × k + d n E[ g 3 ( n, Z )] = ∫ n f Z ( z ) dz Z 0
z z ∞ ∞
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两边对 z 求导, 得
∞ ∞ f X ( z ) ∫ f Y ( y ) dy + f Y ( z ) ∫ f X ( x) dx K z > 0 f Z ( z) = z z 0KKK 其它
f Z ( z ) 的图像如下:
五
模形建立及求解 问题一:
我们针对问题 1 作如下附加假设 检查某个零件时 如果发现它为合格品 就认为它及它之前的零件均是在工序正常时产出的 反之 则工序已出现故障 因此我们通过检查一个零件就能判断工序是否出现故障 我们看到 , 机器发生故障完全是随机的, 即使在发现故障后马上维修, 也会带来一定的经济损失. 如果在 机器运行一段时期后, 就对尚属运行正常的机器做预防性维修, 则可能会减少一定的损失. 出于这方面的考虑, 我们有 * 策略 1: 刀具的预防性更换策略. 在这里我们仅考虑刀具的损坏 不考虑检测的问题 假设刀具的更换周期为 T 刀具寿命 X < T 时, 损失的费用为 生产
我们用 mathematica 软件得到
E[ g1 (T , X )] 关于 T 的图像:
并且得到当
T = 259(个) 时
E[ g1 (T , X )] 取得最小值 4.517 元
我们也
即当我们利用所给策略生产零件时 更新刀具
在完成 259 件零件后, 即使没有出现刀具损坏故障
如果我们对其它故障也做类似处理的话, 便得到 * 策略 2: 机器的预防性维修策略. 同理, 在这里我们仅考虑其他的故障. 我们也不考虑检测的问题.
所以
ˆ = 600 αβ = µ 2 ˆ2 = 3.9828 × 10 5 − 600 2 = 3.828 × 10 4 αβ = σ
从而进一步可以解得
α = 9.4044, β = 0.015674
最终得到
1.09 × 10 −22 e −0 .0157 x x 8 .41 K x > 0 f X (x ) = 0KKK 其它
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我们的策略是这样的:每生产 n 个零件检查一个零件, 假如零件是好的, 那么继续生产;假如零件是坏 的, 那么进行彻底的维修, 这一周期结束. 这时费用为随机变量 Z 的函数. 工序发生故障前, 检查的次数: 检查所需费用: 机器发生故障(包括刀具)后: 检查所需费用:
Z [ ] n Z [ ]× t n t Z (Z − [ ] × n ) × k n
其中 k 为待定参数. 考虑到刀具故障在所有故障中占 95% 我们认为在一次试验中刀具先发生故障的概率为 95%,亦即
P{X < Y } = 0.95
也就是
∫
∞
0
dy ∫ f ( x, y )dx = 0.95
0
y
由两种故障发生是相互独立的还可以得到
f ( x, y ) = f X ( x) f Y ( y)
f × (T − X ) + k KK X < T X g 1 (T , X ) = k KKK X ≥ T T
而 g1 (T , X ) 的数学期望
E[ g 1 (T , X )] = ∫
0
T
∞ f × (T − x) + k k f X ( x ) dx + ∫ f X ( x)dx x T T
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1 x α −1 e − x / β K x > 0 f X ( x ) = βα Γ(α) 0 KKK其他
然后我们来估计参数
α, β
用矩估计的方法, 设该随机变量的数学期望和方差的估计值 µ ˆ, σ ˆ2 , 则有
1 100 ˆ µ = ∑ a = 600 100 i =1 i 1 100 2 µ ˆ2 + σ ˆ2 = ai = 3.9828 ×10 5 ∑ 100 i =1
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这时在一个周期内平均每生产一个好的零件就要分摊的损失费用函数
f × (T − Y ) + d KKY < T Y g 2 (T , Y ) = d KKKY ≥ T T
而 g 2 (T , Y ) 的数学期望
E[ g 2 (T , Y )] = ∫
0
T
∞ f × (T − y) + d d f Y ( y ) dy + ∫ f Y ( y )dy y T T
∞
并且得到当
n 0 = 7 (个) 时
E[ g 3 ( n, Z )] 取得最小值 10.06 元
我们发现如果采取这样的 策略 在间隔 n 一定的条件下 检测一个零件发现故障时 先更新刀具 然后紧接着检测下面一个零 件 若该零件合格 则持续生产 这时仅需花费 1010 元 否则将调整工序使恢复正常 那么需要花费 4010 元 同时生产进入下一个周期 这实际上是用 95% 情况下的 1010 元及 5% 情况下的 4010 元 来代替直接调节的费用 3000 元 不 难看出费用明显降低 同上 我们可以得到 n 0 = 7 时最优 此时每个零件上平摊的损失费用为 5.65 元/件