矩阵变换
线性代数中的矩阵变换
线性代数中的矩阵变换一、引言矩阵变换是线性代数中的一个核心概念，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。
矩阵变换通过对矩阵进行一系列的操作，实现向量空间中的向量变换，从而达到解决问题的目的。
本文将详细探讨线性代数中的矩阵变换，包括其基本概念、性质、应用以及与其他数学领域的联系。
二、矩阵变换的基本概念1. 矩阵变换的定义矩阵变换是指对矩阵进行一系列的操作，如行列变换、初等变换等，从而得到一个新的矩阵。
矩阵变换可以看作是对向量空间中的向量进行一种线性变换。
2. 矩阵变换的分类矩阵变换主要包括以下几种类型：（1）行列变换：通过对矩阵的行列进行交换、倍乘、倍加等操作，实现矩阵的简化。
行列变换在求解线性方程组、计算矩阵秩等方面具有重要作用。
（2）初等变换：初等变换包括初等行变换和初等列变换，它们是对矩阵进行一系列基本操作的组合。
初等变换在矩阵的标准化、求逆矩阵、解线性方程组等方面具有广泛应用。
（3）相似变换：相似变换是指将一个矩阵通过一个可逆矩阵相乘，得到一个与原矩阵相似的矩阵。
相似变换在研究矩阵的性质、求解线性方程组、计算特征值等方面具有重要意义。
（4）合同变换：合同变换是指将一个矩阵通过一个可逆矩阵的转置相乘，得到一个与原矩阵合同的矩阵。
合同变换在矩阵的等价性判断、求解二次型等方面具有重要作用。
三、矩阵变换的性质1. 等价性质：矩阵变换不改变矩阵的等价性。
如果两个矩阵可以通过有限次矩阵变换相互转化，则称这两个矩阵是等价的。
等价矩阵具有相同的秩和相同的行（列）向量组。
2. 可逆性质：可逆矩阵的变换是可逆的。
如果一个矩阵可以通过一系列矩阵变换得到另一个矩阵，那么这两个矩阵之间的变换是可逆的。
这意味着，如果存在一个从矩阵A到矩阵B的变换，那么也存在一个从矩阵B到矩阵A的变换。
3. 传递性质：矩阵变换具有传递性。
如果矩阵A可以通过变换得到矩阵B，矩阵B又可以通过变换得到矩阵C，那么矩阵A也可以通过变换直接得到矩阵C。
矩阵的基本变换
矩阵的基本变换矩阵是数学中一个重要的概念，它在许多领域，如线性代数、几何学和计算机图形学中都有广泛应用。
矩阵的基本变换是指通过一系列操作改变矩阵的形状、大小或内容。
了解矩阵的基本变换可以帮助我们更好地理解和应用矩阵。
矩阵的基本变换包括平移、旋转、缩放和剪切。
这些变换可以分别通过矩阵的乘法运算和向量的乘法运算来实现。
首先是平移变换。
平移变换是将矩阵在平面内沿指定方向移动一定距离。
平移变换可以通过一个平移向量来描述，该向量的分量表示在每个维度上的平移量。
对于二维平面上的矩阵来说，平移变换可以表示为：[1 0 tx][0 1 ty][0 0 1]其中tx和ty代表在x轴和y轴上的平移量。
通过将矩阵乘以这个平移矩阵，可以实现平移变换。
其次是旋转变换。
旋转变换是将矩阵绕指定点或原点旋转一定角度。
旋转变换可以通过一个旋转矩阵来描述，该矩阵通过正余弦函数来计算旋转后的坐标。
对于二维平面上的矩阵来说，旋转变换可以表示为：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][0 0 1]其中θ代表旋转角度。
通过将矩阵乘以这个旋转矩阵，可以实现旋转变换。
第三个是缩放变换。
缩放变换是通过乘以一个缩放矩阵来改变矩阵的大小。
缩放矩阵可以表示为：[sx 0 0][0 sy 0][0 0 1]其中sx和sy代表在x轴和y轴上的缩放因子。
通过将矩阵乘以这个缩放矩阵，可以实现缩放变换。
最后是剪切变换。
剪切变换是通过乘以一个剪切矩阵来改变矩阵的形状。
剪切矩阵可以表示为：[1 kx 0][ky 1 0][0 0 1]其中kx和ky代表在x轴和y轴上的剪切因子。
通过将矩阵乘以这个剪切矩阵，可以实现剪切变换。
这些基本变换可以相互组合和叠加，从而实现更复杂的变换效果。
例如，可以先进行旋转变换，然后再进行平移变换，或者先进行缩放变换，然后再进行剪切变换。
通过合理地选择和组合这些变换，可以实现各种形状和动画效果。
除了在数学中的应用，矩阵的基本变换在计算机图形学中也有广泛应用。
矩阵的变换和应用
矩阵的变换和应用矩阵是线性代数中重要的概念之一，它具有广泛的应用范围。
在数学、工程、科学等领域，矩阵用于描述和处理各种数据和问题。
本文将重点介绍矩阵的变换和应用，包括线性变换、旋转变换、缩放变换和平移变换等。
一、线性变换矩阵的线性变换是矩阵在向量空间中的应用之一。
线性变换是指将一个向量或一个向量组通过矩阵的相乘操作进行转换的过程。
在二维空间中，线性变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &b \\c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，矩阵的第一行表示了原始向量在x轴上的线性变换，第二行表示了原始向量在y轴上的线性变换。
通过对矩阵进行相乘运算，可以得到经过线性变换后的新向量坐标。
二、旋转变换旋转变换是矩阵在几何学中的重要应用之一。
通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量绕着原点进行旋转。
在二维空间中，旋转变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，θ表示旋转的角度。
通过对原始向量和旋转矩阵进行相乘运算，可以得到经过旋转变换后的新向量坐标。
三、缩放变换缩放变换是矩阵在图形学和几何学中的常见应用之一。
通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量在x轴和y轴上进行不同比例的缩放。
在二维空间中，缩放变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=s_x & 0 \\0 & s_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，s_x表示x轴的缩放比例，s_y表示y轴的缩放比例。
矩阵的变换与应用
矩阵的变换与应用矩阵是数学中一种重要的工具，具有广泛的应用。
它可以用来表示线性变换、解决线性方程组、描述图形的旋转、缩放和平移等操作。
在计算机图形学、物理学、经济学以及工程学等领域，矩阵的变换与应用发挥着重要的作用。
一、矩阵的基本定义与性质矩阵是由数所组成的矩形阵列，通常用方括号表示。
一个矩阵包含若干行和若干列，行和列的交点处的元素是矩阵的元素。
矩阵的大小由它的行数和列数确定。
例如，一个3行4列的矩阵可以表示为：[ a11 a12 a13 a14 ][ a21 a22 a23 a24 ][ a31 a32 a33 a34 ]矩阵的性质包括可加性、可乘性、转置等。
矩阵的加法满足交换律和结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB ≠ BA。
矩阵的转置是将矩阵的行和列对调得到的新矩阵。
二、矩阵的变换1. 线性变换矩阵可以表示线性变换，例如，平移、旋转和缩放。
对于二维坐标系上的点P(x, y)，通过矩阵变换可以得到新的坐标P'(x', y')。
比如平移变换可以表示为：[ 1 0 dx ][ 0 1 dy ]其中dx和dy表示平移的距离，在矩阵乘法的运算中，将原点移动到(dx, dy)处。
2. 矩阵乘法的几何意义矩阵乘法的几何意义是将一个向量通过矩阵的变换得到另一个向量。
考虑一个二维向量V(x, y)，通过矩阵乘法可以实现旋转、平移和缩放等操作。
若矩阵A表示旋转变换，矩阵B表示平移变换，矩阵C表示缩放变换，则最终的变换为V' = ABCV。
三、矩阵在不同领域的应用1. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵的变换与应用用于实现平移、旋转、缩放和投影等操作。
通过矩阵变换，可以实现图像的变形和移动，并将三维图像投影到二维屏幕上。
2. 物理学在物理学研究中，矩阵的变换与应用广泛应用于描述物体的运动、变形和相互作用等。
矩阵的变换可以描述刚体的运动，将物体的位移、速度和加速度通过矩阵运算进行计算。
矩阵变换规则
矩阵变换规则矩阵变换，是3D图形学中非常常见的一种技术。
它可以将一个3D图形进行旋转、缩放、平移等操作，从而使得我们可以调整图形的各种属性，达到想要的效果。
矩阵变换规则就是指在进行矩阵变换时的一些基本规则和方法，接下来我们将介绍这些规则和方法。
1. 矩阵变换的基本步骤矩阵变换的基本步骤通常包括以下几个方面：（1）设置变换矩阵在进行矩阵变换的时候，首先要确定一个变换矩阵。
变换矩阵通常采用4x4的矩阵格式，其中第一行到第三行表示变换前的X、Y、Z坐标，而第四行则表示偏移量、旋转度数等参数。
变换矩阵通常由程序自动生成。
（2）生成顶点列表变换的对象通常是一个顶点列表，这个顶点列表是由一系列点组成的。
（3）应用变换矩阵将变换矩阵应用到顶点列表中的每个点上，从而完成矩阵变换。
（4）绘制图形绘制经过矩阵变换后的图形。
2. 矩阵变换的基本类型矩阵变换的基本类型主要包括以下几种：（1）平移（Translation）平移指的是将一个物体沿着X、Y、Z轴方向移动一个指定的距离。
平移变换可以表示为以下矩阵形式：[1, 0, 0, Tx] [0, 1, 0, Ty] [0, 0, 1, Tz] [0, 0, 0, 1]其中Tx、Ty、Tz表示沿X、Y、Z轴方向的移动距离。
（2）缩放（Scaling）缩放指的是将一个物体在X、Y、Z轴方向上进行伸缩变换。
缩放变换可以表示为以下矩阵形式：[Sx, 0, 0, 0] [0, Sy, 0, 0] [0, 0, Sz, 0] [0, 0, 0, 1]其中Sx、Sy、Sz表示在X、Y、Z轴方向上的缩放因子。
（3）旋转（Rotation）旋转指的是将一个物体进行旋转变换。
旋转可以根据不同轴进行，分别为绕X轴旋转、绕Y轴旋转、绕Z轴旋转。
旋转变换可以表示为以下矩阵形式：绕X轴旋转：[1, 0, 0, 0] [0, cosθ, sinθ, 0] [0, -sinθ, cosθ, 0] [0, 0, 0, 1]绕Y轴旋转：[cosθ, 0, -sinθ, 0] [0, 1, 0, 0] [sinθ, 0, cosθ, 0] [0, 0, 0, 1]绕Z轴旋转：[cosθ, sinθ, 0, 0] [-sinθ, cosθ, 0, 0] [0, 0, 1, 0] [0, 0, 0, 1]其中θ表示旋转角度。
矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆
转置矩阵的行和列分别是原矩阵的列和行。
转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 det(A^T) = det(A)。
02 矩阵的乘法（初等变换）
矩阵乘法的定义与规则
定义
矩阵的乘法是将两个矩阵按一定的顺序相乘，得到一个新的矩阵。
规则
矩阵乘法需要满足特定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数。
初等列变换及其应用
定义
初等列变换是指对矩阵进行某些列操作，如交换两列、将某一列乘以非零常数或加到另一列等，使得矩阵变为另 一种形式。
应用
初等列变换在矩阵理论中也有着广泛的应用，如求矩阵的逆、求行列式等。
03 矩阵的逆
矩阵逆的定义与条件
定义
如果存在一个矩阵A的逆矩阵A^(-1)，使得 $AA^(-1) = A^(-1)A = I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆 矩阵。
计算方法
按照矩阵乘法的规则，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元 素相乘，然后按一定的顺序组合起来，得到新的矩阵。
初等行变换及其应用
定义
初等行变换是指对矩阵进行某些行操 作，如交换两行、将某一行乘以非零 常数或加到另一行等，使得矩阵变为 另一种形式。
应用
初等行变换在矩阵理论中有着广泛的 应用，如解线性方程组、求矩阵的秩、 判断矩阵是否可逆等。
THANKS
对于两个矩阵 A 和 B，(A+B)^T = A^T + B^T
对于实数 k，kA^T = (kA)^T
01
03 02
Байду номын сангаас
矩阵转置的性质
转置矩阵的元素满足：a_{ij} = a_{ji}，即矩阵的 对角线元素不变，非对角线元素互换。
矩阵的基本性质与变换
矩阵的基本性质与变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在各个工程领域和科学研究中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本性质及其在数学变换中的应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数字排成的矩形阵列，其中的数字称为元素。
矩阵由m行和n列组成，记作m×n的矩阵。
矩阵中的元素通常用小写字母表示，如a、b、c等。
以下是矩阵的一些基本性质：1. 矩阵的加法与减法对于两个相同维度的矩阵A和B，可以进行矩阵的加法和减法运算。
加法运算定义如下：A + B = C，其中C的每个元素等于A与B对应元素之和。
减法运算的定义与加法类似。
2. 矩阵的乘法矩阵乘法是一种矩阵之间的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积记作AB，得到的结果是一个m×p的矩阵C。
C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指交换矩阵的行与列，得到的新矩阵记作A^T。
即A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
4. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有方阵才存在逆矩阵。
二、矩阵的变换矩阵不仅可以进行基本的加法、减法和乘法运算，还可以用来进行各种数学变换，包括线性变换和仿射变换。
1. 线性变换线性变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，线性变换的计算公式为y=Ax。
矩阵A定义了向量x在变换过程中的缩放、旋转和剪切等操作。
2. 仿射变换仿射变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，仿射变换的计算公式为y=Ax+b，其中b是一个常向量。
仿射变换可以进行平移、旋转、缩放和错切等操作。
矩阵的变换
§1 矩阵的初等变换
定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
1．互换两行（记）；
2．以数乘以某一行（记）；
3．把某一行的倍加到另一行上（记）。
若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
定义若矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，则称与行等价，记；
若矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，则称与列等价，记；
若矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称与等价，记。
等价关系满足：
1．反身性：；
2．对称性：；
3．传递性：。
例用初等行变换解线性方程组：
解（称是该线性方程组的增广矩阵）
, （称为行阶梯形矩阵）
，（称为行最简形矩阵）
对应的线性方程组为
取，则
即
对矩阵，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式
，（称之为标准形）。
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。
它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。
1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。
2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。
3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。
二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。
1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。
消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。
2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。
三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。
计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。
矩阵的基本变换及其相关知识点
矩阵的基本变换及其相关知识点矩阵的基本变换及其相关知识点2023年，矩阵已成为数学、物理、计算机等领域中不可或缺的基础工具之一。
掌握矩阵的基本变换是矩阵应用的核心，本文将介绍矩阵的基本变换及其相关知识点。
一、矩阵的基本变换1. 矩阵的加法：矩阵加法即将两个相同大小的矩阵对应元素相加，得到一个相同大小的矩阵。
例如：注意：只有相同大小的矩阵才可相加。
2. 矩阵的减法：矩阵减法即将两个相同大小的矩阵对应元素相减，得到一个相同大小的矩阵。
例如：注意：只有相同大小的矩阵才可相减。
3. 矩阵的数乘：矩阵的数乘即将一个数与矩阵的每个元素相乘，得到一个相同大小的矩阵。
例如：4. 矩阵的乘法：矩阵乘法是矩阵应用的关键，即将一个矩阵的行乘以另一个矩阵的列，得到一个新的矩阵。
例如：注意：只有左矩阵的列数与右矩阵的行数相等时，才可进行矩阵乘法。
二、相关知识点1. 矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到的新矩阵，其中原矩阵的第i行第j列元素变为新矩阵的第j行第i列元素。
例如：2. 矩阵的逆：矩阵的逆是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
其中单位矩阵为对角线上元素均为1，其余元素均为0的矩阵。
例如：注意：只有行列式不为0的矩阵才有逆矩阵。
3. 矩阵的行列式：矩阵的行列式是矩阵特有的一种数值，用于判断矩阵是否可逆。
其中行列式的计算方法较为复杂，可通过高斯消元法等方式进行计算。
4. 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
第三专题 矩阵变换
第三专题 矩阵变换本专题讨论矩阵的消去变换，Givens 旋转变换，householder 镜像变换，这些变换在回归分析和多元分析中都有广泛的应用。
§1 消去变换消去变换是通过对矩阵施行一些初等变换来计算矩阵的逆矩阵、广义逆矩阵、求解线性方程组的一种很有效的算法。
特别在逐步回归和逐步判别的计算中，消去变换是完成变量筛选的一种非常巧妙的算法。
消去变换在国外的文献上常常称为Sweep(扫描)变换；也有人称为紧凑或原地求逆变换。
一、消去变换及其性质例1 求线性方程组b Ax =的解和1-A ，其中.043,201010102⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b A 解 因要求同时求解，求逆，我们采用高斯无回代消去法。
记)()0(I b A A =，第一步用初等变换化A 的第一列为()T001；第二步化A 的第二列为()T 010；第三步化A 的第三列为()T100。
这时)()(11)0(--=→=A b A x I I b A A 。
即求出线性方程组的解和A 的逆矩阵。
具体过程如下：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100020101040100013102)0(A， )2()1(102/12/33/2000104010002/12/32/101A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=， )(3/203/1110001040103/103/220011)3(-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A x I A。
第二步因)1(A 的第二列已是()T010，故此步没做变换，即)1()2(A A =。
最后得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--3/203/10103/103/2 ,14211A b A x .在例1中给出的同时求解求逆的高斯无回代消去变换也称为高斯-若当(Gauss-Jordan)消去变换；简称为G-J 消去变换。
用G-J 消去变换对线性方程组求解求逆的过程中，)()0(I b A A =为)12(+⨯n n 矩阵，经过n 次G-J 变换化)(1)()0(-=→A x I A A n .每一步变换后的)(k A 阵中，总有n 列单位向量构成单位阵n I .为了节省存储空间,改进的算法中不存储这n 列单位向量.记)()0(b A A =为)1(+⨯n n 矩阵.从)0(A 出发做变换,当第k 步用变换化)1(-k A 的第k 列为k e 时,同时把k e 化为Tk kkk nk k kkk k k k kkk kkk k k k kkk kk aa a a a a a a a g ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----+------)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(11.改进的算法中,在第k 次变换后的矩阵)(k A 中,第k 列存放k g ,而不是单位向量k e .这样设计的算法即节省了n n ⨯个存储单元,而且同样达到求解求逆的目的,这种改进的G-J 消去变换也称为紧凑或原地求逆变换.定义6.1 设0,)(≠=⨯ij m n ij a a A ,定义一个新的矩阵m n ij b ⨯=)(B ,其中j l i k a a a a b ij kj il kl kl ≠≠-=, ./ )1( i k a a b ij kj kj ≠-= ./ )2( j l a a b ij il il ≠= ./ )3(/1 )4(ij ij a b = 按这个规则A 变成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-**-**=ij j ij j a a a a B 11n ij ij ij I G A G A T -+=定义6.2 称)(A T ij 是对称矩阵A 施行以),(j i 为主元的消去变换，如果： ① 对A 作J G -消去变换，使其第j 列j a 变成i e ，即i j ij e a G =； ② 记i i ij g e G =，用i g 替代i ij A G 的第j 列i e . 由等价的定义，当A 为n 阶方阵时易得出n ij ij ij I G A G A T -+=消去变换ij T 的基本性质性质1 反身性：A A T T ij ij =；设),(),()2()1()2()1()1(ij ij ij ij a A T A a A T A ≡=≡=，由（6.3）式可直接验证：m),1,2,j n;,1,2,(i )2( ===ij ij a a性质2 可交换性：当l j k i ≠≠,时，A T T A T T ij kl kl ij =； 由（6.3）式可直接验证两边元素对应相等.性质3 若)(为对称阵A A A ='，记)(αβb A T B kk ≡=，则⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=≠-=k k b b kb b k k βαββααβββ, , , 对对称阵A 施行),(k k 消去变换后，得矩阵B .B 除第k 行k 列相差一个符号后，其余仍保持对称性，也称B 为绝对对称阵.性质4 行列置换与消去变换的次序变化关系：设A 为m n ⨯阵，ip P 为i 行和p 行交换的行置换阵，jq Q 为j 列和q 列交换的列置换阵，则①jq iq jq ij Q A T AQ T )()(=； ②)()(A T P A P T pj ip ip ij =； ③jq pq ip jq ip ij Q A T P AQ P T )()(=.证明 ①和②由（6.3）式及行列置换的定义可直接验证.下面利用①和②来证明③：jq pq ip jq pj ip jq ip ij jq ip ij Q A T P AQ T P AQ P T AQ P T )()]([)]([)(===性质5 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211 A A A A A ，11A 为r 阶可逆矩阵，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=------1211121122111211211111111 A A A A A A A A A A T T T r r .证明 记),,2,1(,)1()()0(r k A G A A A k k k ===-，利用J G -消去变换的定义知：⎪⎪⎭⎫⎝⎛====--*22*12)0(121)1()( 0 A A I AG G G G AG Ar r r r r r .记n r r r I G G G G J 121 -=.因k G 是由)1(-k A 的第k 列定义的J G -消去变换阵，即).,,,,,,(111n k k k k e e g e e G +-=对r k ,,2,1 =，k G 的第r 列以后各列均为单位向量，故有). ( 0112111阶方阵为r J I J J J r n r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 由消去变换的定义 6.2，知消去变换等价于先做J G -变换然后进行替换.故有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-*2221*1211121 A J A J A T T T T r r . 利用0 0*22*12222112112111)0()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-A A I A A A A I J J AJ Ar r n r r (6.4) 可得⎩⎨⎧=+=,0,2111211111A A J I A J r ,即⎪⎩⎪⎨⎧-==--.,111212111111A A J A J 把2111,J J 代入(6.4)式又得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+===--.,121112122221221*22121111211*12A A A A A A J A A A A J A 所以.A A A 121-1121221-112112-111-111121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-A A A A A A A T T T T r r [证毕] 6.2 消去变换的应用(一)计算可逆矩阵的逆设A 为n 阶可逆矩阵.当A 为正定阵时,因A 的各阶主子式非零,故对A 依次施行消去变换时主元均不为零.于是有:A T T T T A n n 1211 --=,其中),,2,1(n k T k =是施行以),(k k 为主元的消去变换.对于一般可逆阵A ,有0≠A ,对A 依次以对角元为主元做消去变换时,当遇到某个0)1(=-k kk a 时,一般先对矩阵作行列置换,使主元不为0,然后接着做消去变换,求出1-A .例6.2 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1 2 00 123 00A 的逆矩阵.解 因012≠=A ,A 为可逆矩阵.但011=a ,求1-A 时, 先进行行列置换后接着做消去变换,求出1-A .定理1（分块矩阵的正则逆） 设⎪⎭⎫⎝⎛=22211211A A A A A 可逆. 若011≠A , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----------11.221112111.2211.22121111112111.22121111111222112111A A A A A A A A A A A A A A A A AA （1） 若022≠A , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=----------1221212.112112212212.11211221221212.1112.111A A A A A A A A A A A A A A （2） 其中.,2112212112.111211121221.22A A A A A A A A A A ---=-=证明 若011≠A , 则有(分块矩阵的初等变换)⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---1.22111211122211211111210000A A I A A I A A A A I A A I （3） 此式证明了1.22A 的可逆性。
矩阵的三种初等变换
矩阵的三种初等变换
矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的初等变换也是线性代数中的基本操作。
初等变换是指对矩阵进行某些简单的操作，使得矩阵的性质发生变化，从而得到新的矩阵。
下面将介绍三种常见的矩阵初等变换，包括行变换、列变换和倍加变换。
一、行变换
行变换是指对矩阵的某一行进行简单变换，例如交换两行、某一行乘以一个数、将某一行加上另一行的某个倍数等操作。
行变换可以使得矩阵变成行最简形式，也可以用于求解线性方程组，例如高斯-约旦消元法就是通过行变换求解线性方程组的方法。
二、列变换
列变换是指对矩阵的某一列进行简单变换，例如交换两列、某一列乘以一个数、将某一列加上另一列的某个倍数等操作。
列变换可以用于求解矩阵的秩、解决线性方程组等问题。
三、倍加变换
倍加变换是指对矩阵某一行或某一列进行一定倍数的加减运算，例如将某一行乘以k之后加到另一行上。
倍加变换可以用于求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等问题。
总之，初等变换是矩阵计算中一个非常重要的操作，通过行变换、列变换和倍加变换可以得到一系列的新矩阵，这些新矩阵在线性
代数中具有很多实际应用。
同时，初等变换也是线性代数学习中的一个重要环节，掌握初等变换的方法及其应用，可以帮助我们更好地理解矩阵及其应用。
矩阵恒等变换
矩阵恒等变换
矩阵恒等变换是指将一个矩阵变为另一个与之等价的矩阵的变换，这种变换不改变矩阵的本质性质，而是在一定程度上改变了矩阵的形式。
矩阵恒等变换在矩阵论、线性代数以及相关领域中具有广泛的应用。
矩阵恒等变换的主要类型包括以下几种：
1. 单位矩阵变换：将一个矩阵变为单位矩阵。
单位矩阵是一个对角矩阵，其对角线元素为1，其余元素为0。
单位矩阵的性质包括：任意矩阵与单位矩阵相乘，结果仍为原矩阵；任意矩阵与单位矩阵相加，结果仍为原矩阵。
2. 反射矩阵变换：将一个矩阵变为与其对称的矩阵。
反射矩阵具有性质：反射矩阵的转置等于其逆矩阵。
反射矩阵在研究对称矩阵、线性变换等方面具有重要意义。
3. 对角矩阵变换：将一个矩阵变为对角矩阵。
对角矩阵是一种特殊形式的矩阵，其非对角线元素均为0。
对角矩阵在研究线性方程组、特征值等问题中具有重要作用。
4. 伸缩矩阵变换：将一个矩阵的每个元素乘以一个非零常数，从而得到一个新的矩阵。
伸缩矩阵的性质包括：伸缩矩阵的逆矩阵是原矩阵的逆矩阵乘以相应的非零常数的逆矩阵；伸缩矩阵与其转置矩阵相等。
5. 配方法变换：将一个矩阵变为一个具有特定形式的矩阵。
配方法是通过添加一个合适的矩阵，使得原矩阵与新矩阵具有相同的特征值。
配方法在求解线性方程组、研究二次方程求根公式等问题中具有重要意义。
通过这些矩阵恒等变换，我们可以简化矩阵的计算和分析过程，更方便地研究矩阵的性质和应用。
在实际问题中，矩阵恒等变换的应用范围非常广泛，例如在线性方程组求解、特征值计算、矩阵对角化以及密码学等领域都有涉及。
矩阵变换的概念
矩阵变换的概念矩阵变换是线性代数中的一个重要概念，用于描述一个向量空间中的向量经过一个矩阵的操作后所得到的新的向量。
矩阵变换可以简单地理解为一种坐标系统的变换，它能够将一个向量从一个坐标系变换到另一个坐标系中去。
在几何学中，矩阵变换也称为线性变换或仿射变换。
矩阵变换的基本思想是通过矩阵乘法来实现，即用一个矩阵将原向量表示为一个新的向量。
矩阵变换作为线性变换的一种表达方式，可以表达平移、旋转、缩放、错切等多种几何变换操作。
通过将向量与矩阵相乘，可以将原向量的坐标表示转换为新的坐标表示。
以二维平面上的向量变换为例，假设有一个二维向量x = (x1, x2)，我们可以将其表示为一个列向量x = x1x2而矩阵变换就是通过一个矩阵A，将原向量x变换为新的向量x' = (x1', x2')，可以表示为：x' = A * x其中，A为一个2x2的矩阵，x'为变换后的新坐标向量。
矩阵变换有以下几个基本性质：1. 线性性质：矩阵变换具有线性性质，即对于任意向量x和y，以及实数a和b，有：A * (a * x + b * y) = a * (A * x) + b * (A * y)这意味着矩阵变换在向量间的加法和标量乘法之间满足分配律和结合律。
2. 逆变换：对于一个可逆的矩阵变换，总存在一个逆变换矩阵B，使得：B * A = I其中，I为单位矩阵。
逆变换是变换的一个重要属性，它可以将变换后的向量再变换回原来的坐标表示。
3. 组合变换：多个矩阵变换可以通过矩阵乘法进行组合，即将多个变换矩阵相乘得到一个组合变换矩阵。
组合变换矩阵可以实现多个变换操作的连续进行，这样可以简化计算过程并提高效率。
在实际应用中，矩阵变换广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、机器学习等领域。
通过矩阵变换可以实现图形的旋转、平移、缩放操作，用于实现三维图像的变换、虚拟现实等。
在计算机视觉和图像处理中，矩阵变换可以用于图像的特征提取、边缘检测等操作。
矩阵变换 通俗易懂 -回复
矩阵变换通俗易懂-回复矩阵变换，通俗易懂在数学中，特别是在线性代数和几何学中，矩阵变换是一种非常重要的概念。
矩阵变换可以用来描述平面或空间中的对象，例如点、向量和图形的移动、旋转、缩放等操作。
它在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将以通俗易懂的方式介绍矩阵变换的基本概念和操作。
一、什么是矩阵变换？矩阵变换是指通过矩阵对向量或点进行变换操作。
在几何学中，点可以表示为二维或三维向量，而向量则可以表示某个方向和长度。
通过矩阵变换，我们可以将一个向量或点从一个位置移动到另一个位置，也可以改变其方向或长度。
二、矩阵变换的基本操作1. 平移变换平移变换是指将一个对象从一个位置平移到另一个位置，即通过向量的加法操作改变其位置。
在平面上，平移变换可以用一个二维向量表示，而在三维空间中则需要用一个三维向量表示。
平移变换的矩阵表示为：[x'] [1 0 tx] [x][y'] = [0 1 ty] * [y][1] [0 0 1 ] [1]其中`(x, y)`表示原始点的坐标，`(tx, ty)`表示平移的距离，`(x', y')`表示变换后的点坐标。
矩阵中的第三列是必要的，因为在矩阵乘法中，它确保了变换中的位移操作。
2. 缩放变换缩放变换是通过改变对象的尺寸来进行的。
在二维平面上，缩放变换可以沿x轴和y轴分别进行，也可以同时在两个方向上进行。
在三维空间中，还可以沿z轴进行缩放。
缩放变换的矩阵表示为：[x'] [sx 0 0] [x][y'] = [0 sy 0] * [y][1] [0 0 sz] [1]其中`(x, y)`表示原始点的坐标，`(sx, sy)`表示沿x轴和y轴的缩放比例，`(x', y')`表示变换后的点坐标。
如果沿z轴进行缩放，则在矩阵中添加第三行即可。
3. 旋转变换旋转变换是通过将对象绕某个点或轴旋转一定角度来进行的。
矩阵变换知识点
矩阵变换知识点矩阵变换是线性代数中一个重要的概念，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
矩阵变换可以用于描述几何变换、图像处理、机器学习等多个领域。
本文将逐步介绍矩阵变换的基本概念、常见的变换类型以及其应用。
步骤一：矩阵的基本概念在开始介绍矩阵变换之前，我们首先需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是一个二维数组，由若干行和若干列组成。
我们可以用矩阵来表示一组数据，比如二维坐标、颜色值等。
一个矩阵可以用方括号 [] 来表示，每个元素用逗号隔开，行与行之间用分号分隔。
步骤二：矩阵的乘法运算矩阵变换的核心操作是矩阵的乘法运算。
矩阵的乘法有一定的规则，首先要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等。
然后，将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应元素的乘法运算，并将结果相加得到新的矩阵元素。
步骤三：平移变换平移变换是矩阵变换中最简单的一种类型。
它可以将一个对象在平面上沿着 x 轴和 y 轴方向上进行移动。
平移变换可以用矩阵来表示，其中第一个元素表示 x 方向的平移量，第二个元素表示 y 方向的平移量。
通过矩阵乘法，我们可以将一个二维向量进行平移变换。
步骤四：缩放变换缩放变换可以改变对象的尺寸，使其变大或变小。
缩放变换可以用矩阵来表示，其中第一个元素表示 x 方向的缩放比例，第二个元素表示 y 方向的缩放比例。
通过矩阵乘法，我们可以将一个二维向量进行缩放变换。
步骤五：旋转变换旋转变换可以改变对象的方向或角度。
旋转变换可以用矩阵来表示，其中第一个元素表示绕原点旋转的角度（正值表示逆时针旋转），第二个元素表示绕其他点旋转的角度。
通过矩阵乘法，我们可以将一个二维向量进行旋转变换。
步骤六：应用举例矩阵变换在计算机图形学、图像处理以及机器学习等领域都有广泛的应用。
比如，在计算机图形学中，我们可以使用矩阵变换来实现图形的平移、缩放和旋转等操作。
在图像处理中，矩阵变换可以用于图像的仿射变换、几何校正以及图像的去噪等。
在机器学习中，矩阵变换被广泛应用于特征工程、降维和数据预处理等方面。
2.2 矩阵变换(PPT)
专题二 MATLAB矩阵处理2.2 矩阵变换☐对角阵☐三角阵☐矩阵的转置☐矩阵的旋转☐矩阵的翻转☐矩阵求逆1．对角阵☐对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。
☐数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。
☐单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。
(1) 提取矩阵的对角线元素☐diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
☐diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。
矩阵的对角线：与主对角线平行，往上为第1条、第2条、一直到第n条对角线，往下为第-1条、-2条、一直到-n条对角线。
主对角线为第0条对角线。
(2) 构造对角阵☐diag(V)：以向量 V为主对角线元素，产生对角矩阵。
☐diag(V,k)：以向量 V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。
例1 先建立5×5矩阵A ，然后将A 的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。
用一个对角阵左乘一个矩阵时，相当于用对角阵对角线的第1个元素乘以该矩阵的第一行，用对角阵对角线的第2个元素乘以该矩阵的第二行，…，依此类推。
>> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9] A =7 0 1 0 5 3 5 7 4 14 0 3 0 21 1 923 1 8 5 2 9>> D=diag(1:5);>> D*Aans =7 0 1 0 56 10 14 8 2 12 0 9 0 6 4 4 36 8 12 5 40 25 10 45要将A 的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，如何实现？要将A 的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，可以用一个对角阵右乘矩阵A 。
>> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9] A =7 0 1 0 5 3 5 7 4 1 4 0 3 0 2 1 1 9 2 3 1 8 5 2 9 >> D=diag(1:5); >> A*D ans =7 0 3 0 25 3 10 21 16 5 4 0 9 0 10 1 2 27 8 15 1 16 15 8 452．三角阵☐上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵。
矩阵的基本变换
矩阵的基本变换矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
矩阵的基本变换是指对矩阵进行一系列操作，如转置、加法、乘法等，从而改变矩阵的性质和结构。
本文将介绍矩阵的基本变换以及它们在实际问题中的应用。
1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到一个新的矩阵。
设A为m×n矩阵，其转置记作A^T。
即：A^T = [a_ij]^T = [a_ji]其中a_ij表示A中第i行第j列元素，a_ji表示A^T中第j行第i列元素。
例如，对于一个3×2的矩阵A：A = | a11 a12 | | a21 a22 | | a31 a32 |则其转置为：A^T = | a11 a21 a31 | | a12 a22 a32 |矩阵转置具有以下性质： - (A T)T = A - (kA)^T = k(A^T)，其中k为常数 - (A + B)^T = A^T + B^T - (AB)^T = B^T A^T矩阵转置在实际问题中有广泛的应用，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。
2. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指对两个相同大小的矩阵进行逐元素的加法和减法操作。
设A和B为m×n矩阵，其和记作A + B，差记作A - B。
即：A +B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij] A - B = [a_ij] - [b_ij] = [a_ij - b_ij]其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列元素，b_ij表示矩阵B中第i行第j列元素。
要求两个矩阵进行加法或减法操作，它们必须具有相同的维度。
例如，对于两个2×2的矩阵A和B：A = | a11 a12 | | a21 a22 |B = | b11 b12 | | b21 b22 |则它们的和为：A +B = | a11+b11 a12+b12 | | a21+b21 a22+b22 |差为：A -B = | a11-b11 a12-b12 | | a21-b21 a22-b22 |矩阵的加法和减法具有以下性质： - A + B = B + A - (A + B) + C = A + (B + C) - 存在零矩阵O，使得A + O = A - 存在矩阵-B，使得A + (-B) = O矩阵的加法和减法在线性方程组、向量空间等问题中有广泛的应用。
矩阵变换法则
矩阵变换法则矩阵变换法则，也叫矩阵转换规则，是一种矩阵术语，它指定在做线性变换时，应按怎样的顺序变换，以及应用什么样的变换。
1. 什么是矩阵变换法则：矩阵变换法则是一个简单但重要的矩阵术语，指定在做线性变换时，应按怎样的顺序来变换，以及应用什么样的变换。
矩阵变换法则关系到线性变换、函数与其变换的对应关系，以及矩阵乘法的运用。
2. 矩阵变换的基本原则：A. 矩阵变换的基本原则为：变换的顺序与右乘具有正比性，变换的顺序与左乘具有反比性；B. 矩阵变换遵循简单规则：先按照指定顺序右乘，然后按照相反顺序左乘；C. 这里有一个技巧可以帮助我们更好的理解：将A矩阵右乘乘以B矩阵，等于将B矩阵左乘乘以A矩阵，结果应该是一样的；D. 矩阵变换的运算可以看做是先变换后变换的结果，先左乘的变换结果会优先于右乘的变换结果。
3. 具体这些变换：A. 线性变换：线性变换可以将空间中的点拉伸、压缩、旋转、平移等线性操作，可以看作矩阵乘法运算。
B. 函数及其变换：函数和其变换，指定了函数及其变换在转换空间中的映射关系，即变换前的坐标到变换后的坐标的变换关系。
C. 矩阵乘法：可以将给定的矩阵乘法，快速地应用到多个维度的空间变换，从而获得最终结果快速而又准确。
4. 矩阵变换法则的运用：A. 机器学习：在机器学习任务中，比如神经网络训练、模型计算、特征抽取等，矩阵变换法则都有着重要作用。
B. 绘图：矩阵变换规则也可以用来进行复杂的绘图，使绘图更加精确，也可以进行复杂的计算运算。
C. 数学建模：数学建模的目的是对现实中某种系统的活动产生一个模型，矩阵变换法则在这方面也是非常有用的。
D. 图像处理：在图像处理领域，矩阵变换法则用于多种图像处理技术，它们经常用来表示形状变化，色调变换等。
矩阵变换的本质
矩阵变换的本质什么是矩阵变换？矩阵变换是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个向量空间中的点在变换后的位置。
通过矩阵变换，可以改变向量的位置、方向和大小，从而实现对图形、图像、数据等的处理和分析。
在二维空间中，我们可以用一个2x2矩阵来表示一个矩阵变换，该矩阵包含了对向量的旋转、缩放、错切和平移等操作。
在三维空间中，我们通常使用3x3或4x4的矩阵来表示矩阵变换，它们可以实现更复杂的变换，如投影、透视等。
矩阵变换的本质是通过线性变换和平移来改变向量的位置和方向。
线性变换是指保持直线性质的变换，它可以通过矩阵乘法来表示。
平移是指将向量沿着某个方向移动一定距离，它可以通过向量相加来表示。
矩阵变换的基本操作平移变换平移变换是将一个向量沿着某个方向移动一定距离。
在二维空间中，平移变换可以通过一个2x2矩阵来表示：[1 0 dx][0 1 dy]其中，dx和dy分别表示在x轴和y轴方向上的平移距离。
对于一个二维向量v(x, y)，它的平移变换可以表示为：v' = [x' y'] = [1 0 dx] * [x][y]其中，v’表示变换后的向量。
缩放变换缩放变换是指改变向量的大小。
在二维空间中，缩放变换可以通过一个2x2矩阵来表示：[sx 0][0 sy]其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴方向上的缩放比例。
对于一个二维向量v(x, y)，它的缩放变换可以表示为：v' = [x' y'] = [sx 0] * [x][y]旋转变换旋转变换是指改变向量的方向。
在二维空间中，旋转变换可以通过一个2x2矩阵来表示：[cosθ -sinθ][sinθ cosθ]其中，θ表示旋转角度。
对于一个二维向量v(x, y)，它的旋转变换可以表示为：v' = [x' y'] = [cosθ -sinθ] * [x][y]错切变换错切变换是指改变向量在坐标轴上的投影比例。
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例2 验证魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相等。
>> A=magic(5); >> D1=diag(A); >> sum(D1) ans =
65 >> B=flipud(A); >> D2=diag(B); >> sum(D2) ans =
65
对矩阵A实施上下翻转得到矩阵B，这样A的副 对角线就移到了B的主对角线
2.2 矩阵变换
对角阵 三角阵 矩阵的转置 矩阵的旋转 矩阵的翻转 矩阵求逆
专题二 MATLAB矩阵处理
1．对角阵
对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。 数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。 单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。
(1) 提取矩阵的对角线元素 diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。 diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。
A= 70105
35741
40302
11923
1
8
5
2
9
>> D=diag(1:5);
>> A*D
ans =
7 0 3 0 25
3 10 21 16 5
4 0 9 0 10
1 2 27 1 16 15
8 15 8 45
要将A的各列元素分别乘以 对角阵的对角线元素，可以 用一个对角阵右乘矩阵A。
2．三角阵
5阶魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相 等，都为65。
6．矩阵的求逆
对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得AB=BA=I (I为单位 矩阵)，则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。
inv(A)：求方阵A的逆矩阵。
例3 用求逆矩阵的方法解线性方程组。
x 2y 3z 5 x 4y 9z 2 x 8y 27z 6
上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵。 下三角阵：对角线以上的元素全为零的矩阵。
（1）上三角矩阵 triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。 triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。
>> triu(ones(4),-1)
ans =
1111
1
1
1
1
0111
0011
矩阵的转置：把源矩阵的第一行变成 目标矩阵的第一列，第二行变成第二
列，…，依此类推。 如果矩阵的元素是实数，那么转置和
共轭转置的结果是一样的。
4．矩阵的旋转
பைடு நூலகம்
rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转90º的k倍，当k为1时可省略。
>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A=
1
3
2
-3
>> D*A
ans =
7
0
1
0
5
阵对角线的第2个元素乘以该矩阵 的第二行，…，依此类推。
6 10 14 8 2
12
0
9
0
6
4 4 36 8 12
5 40 25 10 45
要将A的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，如何实现？
>> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9]
2
1
4
1
2
>> rot90(A)
ans =
2
1
2
3
2
1
1
-3
4
>> rot90(A,2)
ans =
2
1
4
1
2
-3
2
3
1
5．矩阵的翻转
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第 二列调换，…，依此类推。 fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转 flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。
矩阵的对角线：与主对角线平 行，往上为第1条、第2条、一 直到第n条对角线，往下为第1条、-2条、一直到-n条对角 线。主对角线为第0条对角线。
(2) 构造对角阵 diag(V)：以向量 V为主对角线元素，产生对角矩阵。 diag(V,k)：以向量 V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。
例1 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，
第五行乘以5。
>> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9]
A=
70105
35741 40302
用一个对角阵左乘一个矩阵时，
11923 18529
>> D=diag(1:5);
相当于用对角阵对角线的第1个元 素乘以该矩阵的第一行，用对角
在线性方程组Ax=b两边各左乘A-1，得x=A-1b。
>> A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; >> b=[5;-2;6]; >> x=inv(A)*b x=
23.0000 -14.5000
3.6667 >> x=A\b x=
23.0000 -14.5000
3.6667
ans = 1.0000 + 0.0000i
3.0000 + 0.0000i >> A'
ans = 1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i
3.0000 + 0.0000i 1.0000 - 2.0000i
3.0000 + 4.0000i 1.0000 - 2.0000i
3.0000 - 4.0000i 1.0000 + 2.0000i
(2) 下三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函 数完全相同。
3．矩阵的转置
转置运算符是小数点后面接单引号（.'）。 共轭转置，其运算符是单引号（'），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。
>> A=[1,3;3+4i,1-2i] A=
1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 4.0000i >> A.'