第6章_行列式、矩阵与线性方程组

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第6章 行列式、矩阵与线性方程组

本章教学要求：了解行列式、矩阵的基本概念，并会计算行列式、矩阵的计算题。 在一个函数、方程或不等式中，如果所出现的数学表达式是关于未知数或变量的一次式，那么这个函数、方程或不等式就称为线性函数、线性方程或线性不等式。在经济管理活动中，许多变量之间存在着或近似存在着线性关系，使得对这种关系的研究显得尤为重要，许多非线性关系也可转化为线性关系。线性代数是高等数学的又一个重要内容，与微积分有着同样的地位和同等的重要性．行列式、矩阵与线性方程组（即一次方程组）的理论是线性代数的一个基本内容，也是主要内容．线性代数在许多实际问题中有着直接的应用，并为数学的许多分支和其它学科所借鉴．行列式、矩阵与线性方程组在数据计算、信息处理、均衡生产、减少消耗、增加产出等方面有着广泛应用，是我们改善企业生产经管管理、提高经济效益很有用的工具。在这一章里，我们将介绍行列式和矩阵的一些基础知识，并讨论线性方程组的解法，以及行列式、矩阵与线性方程组的一些相关经济应用。

６．１ n 阶行列式及性质

行列式是在讨论线性方程组时建立起来的一个数学概念，是我们解线性方程组的一个有力工具．

6.1.1 二阶行列式

二元线性方程组的一般形式是

)(Ⅰ ⎩⎨⎧=+=+2

2221211

2

12111b x a x a b x a x a ②① 利用消元法求解：

1222a ②a ①⨯-⨯，得 122221112212211)(a b a b x a a a a -=-． 2111a ①a ②⨯-⨯，得 121211212212211)(b a b a x a a a a -=-．

当012212211≠-a a a a 时，方程组)(Ⅰ的解为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

--=--=1221221121

1112212

2122111222211a a a a a b a b x a a a a a b a b x ③． 在二元线性方程组)(Ⅰ的解的表达式③中，1x 、2x 的解的分母都是12212211a a a a -．为了便于记忆和讨论，引入一个新的记号

22

21

1211a a a a 来表示12212211a a a a -，即

22

21

1211a a a a ＝12212211a a a a - (6-1)

在

22

21

1211a a a a 中，11a 、12a 、21a 、22a 是方程组)(

Ⅰ中1x 、2x 的系数，它们按原来的位置

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排成一个正方形． 我们称

22

21

1211a a a a 为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，ij a （2,1=i ；2,1=j ）

称为二阶行列式第i 行第j 列的元素．(6-1)式的右端称为二阶行列式的展开式．

显然，二阶行列式有二行和二列，共4个元素，记为22个元素，二阶行列式的展开式有两项，记为2!项。

二阶行列式按如下方法展开（图6-1）：

21

11a a

22

12a a

图6-1 二阶行列式展开方法

实对角线（叫做主对角线）上两元素之积取正号，虚对角线上两元素之积取负号，然后相加就是行列式的展开式．这种展开行列式的方法称为对角线展开法．

由上可知，二阶行列式等于一个确定的数，这个数称为二阶行列式的值．求二阶行列式的值可用对角线展开法．

例6-1 计算下列二阶行列式的值：

⑴5

34

2-； ⑵

α

αααsin cos cos sin -．

解：⑴

534

2-22)4(352=-⨯-⨯=；

⑵

α

α

ααsin cos cos sin -1cos sin 22-=--=αα．

根据对角线展开法，我们再来解决前面给出的二元线性方程组求解的另一种方法。有：对应于1x 、2x 解的分母和分子的表达式,联系二阶行列式的展开形式,得到如下：

122221a b a b -=

222121a b a b ，

121211b a b a -=

2

21111b a b a ．

记：

22

21

1211a a a a D =

，22

2

1211a b a b D =

，2

211

112b a b a D =

，

由于行列式D 是由方程组)(

Ⅰ中未知数的系数按原来的顺序排列而成，故称D 为系数行列式．显然，行列式1D 、2D 是以1b 、2b 分别替换行列式D 中的第一列、第二列的元素所得

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到．因此，当0≠D 时，方程组)(Ⅰ的解可表示为：

D D x 11=

，D

D

x 22= (6-2) 例6-2 解方程组

⎩

⎨

⎧=-+=++0134022y x y x ． 解：方程组化为一般形式：

⎩

⎨

⎧=+-=+1342

2y x y x ． 因为 023

412≠==

D ，73

1

121-=-=

D ，101

4

222=-=

D ，

所以，根据(6-2)式，方程组的解为：

27

1-==

D D x ，52==D

D y ． 6.1.2 三阶行列式

三元线性方程组的一般形式为

)(Ⅱ ⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++33332311

3123232221211

313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ③②①

与二元线性方程组类似，用消元法可求出解的公式为

⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧---++---++=---++---++=---++---++=233211332112312213213213312312332211232113211231221213213121232211323

32113321123122132132133123123322112331133211312132131331231332112

23

321133211231221321321331231233221123

32133212322132321332312332211

a

a a a a a a a a a a a a a a a a a

b a a b a a a a b a a b a b a b a a x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a a b a b a a b a a a b a b a x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a b a a b a a a a b x ④ 其中分母0233211332112312213213213312312332211≠---++a a a a a a a a a a a a a a a a a a ．

④式比较繁杂，为了便于记忆与讨论，仿照二阶行列式，用记号33

32

31

232221

131211

a a a a a a a a a 来表

示233211332112312213213213312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++，即