第5章 声波散射

b e
n 0 * n

j
n 1 2
Pn (cos )
1 (kr ) 2
l ,n 0
* b b l ne

j
l n 2
Pl (cos ) Pn (cos )
散射功率
Ws
代入Is解得
I ds
s s
2
bl 2 2 4 * WS I 0 bl bl I0 k 2l 1 k l 0 l 0 2l 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu率很高时 a
a2 a2 2 2 I s I 0 2 2 cot ( ) jl (ka sin ) 2 4r 4 r
Ws 2( a ) I 0
2
由声强公式可以看出，在高频时，可以反散射功率 分成两部分看待：第一表示有一半功率各向均匀的 散射;第二项表示另一半功率做很强的定向散射， 其在正对入射波方向声强为0，而在球的背后声强 达到最大。
m0
pi p0 e jkr cos e jt
m J 0 kr 2 j J m kr Cm cos m p0e jt m0
圆柱面上法向振速为
p0 m uin J 0 ka ' 2 j J m ka ' Cm cos m j 0 c m 1
5-2 刚性圆柱的散射 ○ 5-2-1 散射波场的声压和声场 ○ 5-2-2 细柱的散射
5-2-1 散射波场的声压和声场
入射波
pi ( x, t ) p0e
柱坐标中
j (t kx )
x r cos
pi p0e
j (t kx )
p0e
jkr cos
e
jt
第五章 声波的散射 ○ 声场中有障碍物存在时，会在障碍物上激起次声 波，它与原来的入射波和传播方向不同，统称为 散射波。 ○ 散射波是由于波在介质中传播时，碰到物体表面 和介质声学特性不连续而出现的一种物理现象。 ○ 在物体的附近由于散射和入射声波叠加，形成衍 射声场，因而称衍射声场，远场称为散射声场。
○ 5-1 平面波在球面上的散射 ○ 5-2 刚性圆柱的散射
5-1 平面波在球面上的散射 5-1-1 刚性不动球散射声场的声压 5-1-2 散射波强度和散射功率 5-1-3 刚性不动微小粒子对平面波的散射
散射声波
un u0n
入射声波
5-1-1 刚性不动球散射声场的声压
入射波
pi ( x, t ) p0e
圆柱激发起的一阶均匀声波场可以看成是柱面波， 并且与φ无关，由公式（3-10-8）
(2) p AH 0 (kr )e jt A[ J 0 (kr ) jN 0 (kr )]e jt
对于一般柱面波声场可以由高阶的柱面波叠加 而成，并且与φ有关，考虑到关于xoz对称，得
(2) ps am H m (kr )e jt cos m m 0
球坐标中
j (t kx )
x r cos
pi p0e
j (t kx )
p0e
jt
e
jkr cos
散射波声压满足波动方程，也满足球面上垂直 振速为零的边界条件
(uin usn )r a 0
(uin usn )r a pi ps r a 0 0 r j
p0 j (t kr ) (ka) 3 ps ps 0 ps1 e (1 cos ) kr 3 2
3
k 4a6 3 2 I0 Is (1 cos ) 2 9 2 r
Ws I s ds I s 2 r 2 sin d
s 0

6.5 k 4 a 6 I 0 7 ( a 2 I 0 )k 4 a 4 9 9
pi ps r a 0 0 r j
p0 P l cos 2l 1 j
l 0 l
d jl kr r a d kr
d (2) Bl P (cos ) h (kr ) l l r a d kr l 0
j ps j ps usr 0 r 0 c (kr ) p0 e 0 c kr
j (t kr )
b e
l 0 l

j
l 1 2
P l (cos ) （5-1-12）
垂直半径方向的振速
us ps 0 r j p0 e j (t kr ) ( j ) 0 c (kr ) 2
p0 m J 0 ka ' 2 j J m ka ' Cm cos m j 0 c m 1
2 a H m m ka 'cos m
m 1 m p0 J 0 ka ' 2 j J m ka ' Cm cos m m 1
A P P d
l l m
1

Al 2l 1 j jl kr
l
将系数Al代入声压表达式得
pi p0 e
jt
P cos 2l 1 j j kr
l l 0 l l

将散射波声压式和平面波入射声压代入边界条件

所以可求得
J 0 ka ' a0 p0 2 H0 ' ka am j
m
m0 m0
J m ka ' 2 p0 2 Hm ka '
令 am bm p0
bm j
Bl为常数，取决于边界条件。 为便于求解，将平面波分解为球函数的和
jt jkr cos

pi p0e
e
e jkr cos e jkr Al P l
l 0
cos
由勒让德函数的正交性，可以写出展开系数的表 示式
1 jkr P e d m 1 1 l 0
考虑到入射平面波沿x方向传播，因此声场对x轴 对称。它在球面上的散射也具有对x轴的对称性。 因此可见散射声场应有对x轴的对称形式。
散射波可以看成球面波，故其声压由公式（4-4-16） 得到
( 2) jt ps (t , r , ) Bl P (cos ) h ( kr ) e l l l 0
球平面波在柱坐标中的表达式，为上把平面波展 开为三角级数
e
jkr cos
Cm cos m ,
m0 2 jkr cos e d J 0 kr 0 jkr cos

1 C0 2 Cm 1
m0
m
2

e
0
cos md 2 j J m kr
1 1 2 * Is Re( ps ps ) ps 2 0 c 2 0 c
代入公式（5-1-11）
2 p0 a2 a2 2 2 I s (r , ) R( ) I 0 2 R( ) 2 2 0 c r r
式中
p I0 2 0c
2 0
为入射平面波的声波强度。
l 1 j 1 2 2 R( ) be Pl (cos ) 2 l (kr ) l 0
d j ( kr ) l Bl d( kr ) l bl ( j ) (2l 1) p0 d h (2) (kr ) l d( kr ) r a
1 R( ) kr
b e
l 0 l

j
l 1 2
P l (cos )
径向振速
m
J m ka ' m 2 Hm ' ka

1, m 0 m 2, m 1, 2...
于是散射声场中声压为
p p0e
jt m0 (2) b H m m (kr ) cos m
径向振速为
p0e jt p u dt 0 r j 0c 1
散射波的方向性图案与ka的变化
○ 由图可以看出，当低频散射时，球半径与波长相对较小时， 球前方散射比较均匀。当频率增高时，开始出现花瓣，并 且频率越高，花瓣越多，与此同时，在球后面的尾巴逐渐 拉长。球背面的散射声波将和入射声波产生复杂的干涉。
平面声波在球面上产生的声压分布
5-1-3 刚性不动微小粒子对平面波的散射 对于刚性微小粒子的散射可以看作是球在低频时 的散射情况，这时ka<<1。 由于ka<<1时，bl的数值随l的增大而减小，所以 对于低频散射情况，可只取零阶和一阶分量作为 近似解。其中零阶对应于小球的脉动，一阶对应 于小球沿声传播方向的振动。即散射声场等于零 阶球面波和一阶球面波的和。
b e
l 0 l

j
l 1 2
d [P l (cos )] d
5-1-2 散射波强度和散射功率 远场处的散射波强度
1 T I Re ps Re usr dt Re ps Re usr T 0
由公式（5-1-11）（5-1-12）可以看出当
r
ps usr 0c
○可见频率很低时，散射功率随ka的四次方成正比。 ○散射功率与入射声波强度成正比。
7 由 Ws ( a 2 I 0 )k 4 a 4 9
定义散射因子表示小粒子的散射本领
Ws 7 4 s 2 ka a I0 9
还可定义散射面积表示散射体的散射本领
Ws 7 7 4 6 4 2 s ka a k a I0 9 9
式中
bl
2
(2l 1)
2
j l ( ) 2 2 j ( ) n ( ) l l
2
ka
结论 1) 由于bl和bn*的数值和幅角决定于ka，所以散射波 强度随ka而变，散射功率除和入射波强度有关， 完全取决于ka ， ka愈小，散射功率愈小。 2) 散射波强度和入射声波的强度成正比，在远场 按球面波扩散。因此强度随距离的平方反比衰 减。 3) 散射波声场的强度空间分布不均匀。它的方向 特性由函数R表示。另外散射波方向特性与 ka 的大小有密切关系。不同ka值时， R2的图形如 下图所示。其值小时，散射弱。
djl ka d kr l Bl j 2l 1 dhl(2) (ka ) d kr
代入Bl到散射声压公式即得到刚性圆球的散射声 场声压
ps (r , , t ) d j ( kr ) l d( kr ) jt l p0 e ( j ) (2l 1) hl(2) (kr ) Pl (cos ) l 0 d h(2) (kr ) l d( kr ) r a
散射波为各阶球面波的叠加，因此具有轴对称的 方向性。
在远场 (kr 1)
ps (r , , t ) p0
e
j (t kr )
kr
b e
l 0 l

j
l 1 2
P l (cos )
e j (t kr ) p0 a R( ) r 其中
（5-1-11）
圆柱激发起的散射声波场在圆柱面上法向振速为
usn 1 j 0c m1
2 a H m m ka 'cos m

代入边界条件得
uin usn r a 0
1 j 0 c m 1
2 a H m m ka 'cos m