复变函数的导数
复变函数的导数
复变函数的导数定义：复变函数是通过一块二维的空间的某个点的坐标，映射为该点的唯一的实数值，而复变函数的导数则是用来描述函数变化的快慢程度的量度。
要了解复变函数的导数，首先要理解复变函数本身。
复变函数是一种将实数和复数之间的单射映射即每一点映射只有一个实数或复数，而每一个实数或复数只被映射到一个点的映射函数，通过它可以将实数和复数，即实部和虚部之间变化联系起来，也就是用函数的方式描述复数和实数之间的变化。
复变函数的导数表示函数中任意一点变化率的大小，它可以帮助我们确定函数中任意一点的斜率。
它是一个定义在实空间上任意部分位置处的一阶导数，可以用来表示曲线变化率的大小，反映了曲线变化的快慢程度。
具体来说，复变函数的某一点的导数指的是这个点上曲线的斜率，也就是这个点的斜率的大小，或者是在这个点曲线发生变化的速度大小。
求复变函数的导数有两种方法，一种是按复数的方式，另一种是按实数的方式。
按实数来求导，首先需要把函数用实变量表示，然后用常规的微积分方法来计算复变函数的导数。
按复数的方式来求导，就是用极坐标来表示复变量，然后用光滑曲线的性质，用公式计算复变函数的导数，其公式为：复变函数的导数即：f′(z)=fz(z)cosθ+fθ(z)sinθ其中，z=x+iy其中，fz表示对z的实部求导的结果，fθ表示对z的虚部求导的结果，θ表示z的极角。
下面我们看看复变函数的导数在求解实际问题中的实际应用。
在微分方程中，复变函数的导数可以用来求解复变数方程，因为它描述了复变量中点的变化率，而微分方程则可以描述复变量的变化状态，所以在求解复变函数的微分方程的时候，复变函数的导数就显得尤为重要。
在几何函数中，复变函数的导数也有一定的作用，可以用来求解几何函数图形的斜率，斜率表明该图形在某一点的曲率，从而可以更直观地描述几何函数图形，帮助我们更清楚地判断几何函数图形的变化状态。
此外，复变函数的导数还可以被用来判断极值点。
极值点是复变函数变化的拐点，复变函数的导数可以用来判断这些拐点，从而可以更加精确的确定极值点的位置。
复变函数的导数
函数解析与可导、连续、极限的关系由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域可导（在一点）解析→可导→连续→极限存在反之均不一定成立。
7我们还可以定义其他三角函数如下：(2)根据定义有：()1212122cosh z z z z z z +--+1212z z z z eee e e e --=+=+121212121212z z z z z z z z z z z z e ee e e e e ee e e e------=+++--()1212124cosh cosh z z z z z z e e e e--=-+121211122122124cosh cosh z z z z z z z z z z z z z z e e e ee e e e ee ee ------=--+-++()124cosh cosh 4s z z =+()1212inh sinh 2cosh z z z z -+18()121212cosh cosh cosh sinh sinh z z z z z z ⇒+=+The End The End19作业(2)P385, 7, 8, 17, 18, 57817182020。
复变函数求导公式
复变函数求导公式
复变函数求导公式是指求复变函数的导数的公式，它是一种重要的数学工具，可以用来求解复变函数的导数。
复变函数求导公式的基本原理是：如果一个函数是复变函数，那么它的导数可以用复变函数求导公式来求得。
复变函数求导公式的具体表达式为：
$$\frac{d}{dz}f(z)=\frac{\partial f(z)}{\partial z}+i\frac{\partial f(z)}{\partial \bar{z}}$$
其中，$z$是复变量，$\bar{z}$是$z$的共轭复数，$f(z)$是复变函数，$\frac{\partial
f(z)}{\partial z}$和$\frac{\partial f(z)}{\partial \bar{z}}$分别表示$f(z)$关于$z$和
$\bar{z}$的偏导数。
复变函数求导公式的应用非常广泛，它可以用来求解复变函数的导数，从而解决复变函数的微分方程。
此外，复变函数求导公式还可以用来求解复变函数的极限，从而解决复变函数的极限问题。
复变函数求导公式是一种重要的数学工具，它可以用来求解复变函数的导数，从而解决复变函数的微分方程和极限问题。
它的应用非常广泛，可以为复变函数的研究提供重要的理论支持。
复变函数求导公式
复变函数求导公式复变函数指的是定义域和值域都是复数的函数。
求导是找出函数的导数或微商的过程。
对于复变函数，我们也可以进行求导运算，但与实变函数不同的是，这里需要将导数定义用复数形式表示出来。
复变函数的求导公式可以通过复数微分法来得到。
在这篇文章中，我们将介绍复变函数的求导公式，并给出一些具体的例子来帮助读者理解。
首先，我们先来回顾一下实变函数的求导公式。
对于实变函数f(x)，我们有以下求导法则：1. 常数求导法则：如果c是一个常数，那么d/dx(c) = 0，即常数函数的导数为0。
2. 幂函数求导法则：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
即幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1次方。
3. 指数函数求导法则：d/dx(e^x) = e^x。
即指数函数的导数等于自身。
4. 对数函数求导法则：d/dx(ln，x，) = 1/x。
即自然对数函数的导数等于1除以自变量。
5. 三角函数求导法则：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) = -sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
即三角函数的导数等于其对应的导函数。
现在我们来看复变函数的求导公式。
设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是一个复变函数，其中u(x, y)和v(x, y)都是实变函数，而z = x + iy是复变量。
求导的时候，我们要注意以下两种情况：情况一：如果f(z)在一些复数z0处连续且可微分，那么它在z0处的导数f'(z0)可以用u和v的偏导数表示：f'(z0)=∂u/∂x，z0+i∂v/∂x，z0=∂v/∂y，z0-i∂u/∂y，z0情况二：如果f(z)在一些区域内连续且处处可导，那么它在该区域内的导数f'(z)满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x下面我们通过一些例子来说明复变函数的求导公式：例一：设f(z)=z^2+2z+1，求f'(z)。
复变函数的导数
求导公式： (1) (C) 0 , (2) (zn ) nz n1 .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) 3z , 求 f (0) 和 f (i) . 1 z
例 4 设 f (z) (z2 2z 4)2 , 求 f (i) .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
w
如果极限
lim z0 z
存在。 则称 f (z) 在点 z0 处可导。
此极限值称为 f (z) 在点 z0 处的导数。
记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f (z0 ) 或 w zz0或
dw . 即
dz zz0
f
(
z0
)
lim
z0
w z
lim z0
f (z0
z) z
f (z0)
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
（三）解析函数的运算性质
（1） 若函数 f (z) 与 g(z) 在 z0 处解析, 则
f (z) g(z) ,
f (z) g(z) ,
f (z) g(z)
(g(z) 0) 在 z0 处解析。
（2） 若函数 w f (h) 在 区域G内解析, 而 h (z)
在 区域D内解析, 且 (D) G , 则复合函数 w f [(z)]
在 区域D内解析, 且 d f [(z)] d f (h) d (z) .
dz
dh dz
（3） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。
任意分式有理函数
P(z) Q(z)
在不含分母为0的点的区域内解析。
（四）解析函数的判定
1. 函数可导性的判别
复变函数怎么求导
复变函数怎么求导复变函数是指定义域和值域都是复数的函数。
对于复变函数来说，求导是指对其进行复数域内的导数运算。
求导的方法可以分为两种：分别是实部与虚部的求导和复合函数法则。
1.实部与虚部的求导：对于复变函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u(x, y) 和 v(x, y) 分别是 f(z) 的实部和虚部。
可以将 f(z) 拆分为两个变数的函数，分别是 u(x, y) 和 v(x, y)。
对 u(x, y) 和 v(x, y) 分别求导，并满足 Cauchy-Riemann 方程∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x求导的步骤如下：(1) 将复变函数 f(z) 分解为实部和虚部：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)。
(2)对实部u(x,y)和虚部v(x,y)分别求导，得到对x和y的偏导数：∂u/∂x、∂u/∂y、∂v/∂x和∂v/∂y。
(3) 根据 Cauchy-Riemann 方程，验证偏导数是否满足关系：∂u/∂x = ∂v/∂y 、∂u/∂y = - ∂v/∂x。
(4)如果关系成立，则复变函数f(z)可导；如果关系不成立，则复变函数f(z)不可导。
例子：求复变函数f(z)=z^2的导数。
解：将复变函数 f(z) = z^2 分解为实部和虚部：f(z) = u(x, y) +iv(x, y) = (x^2 - y^2) + i(2xy)。
对实部u(x,y)和虚部v(x,y)分别求导，得到对x和y的偏导数：∂u/∂x=2x，∂u/∂y=-2y，∂v/∂x=2y，∂v/∂y=2x。
根据 Cauchy-Riemann 方程，验证偏导数是否满足关系：2x=2y，2y=-2x。
由此可知，偏导数满足关系。
所以复变函数f(z)=z^2是可导的。
2.复合函数法则：复合函数法则是将复变函数看作是两个实变量的复合函数进行求导。
对于复变函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u(x, y) 和 v(x, y) 分别是 f(z) 的实部和虚部，z = x + iy。
复变函数的导数
复变函数的导数
什么是复变函数？
复变函数是一种表示实现复数曲线的数学函数，复变函数将实数空间变换为复空间，这既
包括由实数 x 和实数 y 构成的笛卡尔坐标系，也包括由复数构成的复平面。
复数可以
表示为z=x+iy。
贝尔金斯定理称，每一个复变函数都能用它的实部函数和虚部函数来确定，复变函数的实部函数和虚部函数的导数就组成了复变函数的导数。
那么，什么是复变函数的导数？
复变函数的导数是指复变函数的实部函数以及虚部函数的导数的和，它可以用三个符号表示，即f″z= f′x+if′y。
如何计算复变函数的导数？
计算复变函数的导数，需要先解决实部函数和虚部函数导数的问题，并将它们相加。
1. 首先，计算实部函数的导数，也就是计算x的一阶导数。
一般情况下，可以用f′x= limΔx→0(f(x+Δx)-f(x)/Δx)来求解x的一阶导数；
2. 再计算虚部函数的导数，也就是计算y的一阶导数，可用同样的方法来求解，即
f′y= limΔy→0(f(y+Δy)-f(y)/Δy)；
3. 最后，将两个导数相加，得到一个复变函数的导数：f″z= f′x+if′y。
以上就是复变函数的导数的概念及求解方法，仿佛将复数的曲线画出来，它们也可以用复
变函数的导数来表示，这种表示将复数曲线的形状和特性清晰展示出来。
这代表我们可以
利用复变函数的导数来描述复数的曲线的许多性质，比如求复数曲线的局部最大值、最小值，以及曲线的单调性等。
从以上介绍，我们可以看出复变函数的导数扮演着重要的角色，可用来描述复数曲线的特
性和性质，深刻地影响着我们进行复数分析和复变函数研究的工作。
复变函数怎么求导
复变函数怎么求导复变函数是指一个变量自变量和一个变量的函数。
求复变函数的导数需要使用复变函数的Cauchy-Riemann条件。
复变函数的导数定义如下：设有函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是$x,y$的实函数，若存在复数$L$，使得对于给定的复数$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，有$$\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)-L\Deltaz}{\Delta z}=0$$则称$L$为复变函数$f(z)$在点$z$处的导数，记为$f'(z)$。
在实数函数的情况下，导数可以通过计算函数的偏导数来求得。
在复变函数的情况下，由于复数存在实部和虚部，计算导数需要满足一定的条件。
接下来，我们将通过推导Cauchy-Riemann条件，来求复变函数的导数。
首先，假设$f(z)$在一个区域内有定义，则$f(z)$可以写为$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$。
我们来计算$f(z)$在点$z$处的增量：$$\Delta f(z)=f(z+\Delta z)-f(z)=\{u(x+\Delta x, y+\Delta y)+iv(x+\Delta x, y+\Delta y)\}-\{u(x, y)+iv(x, y)\}$$将上式展开，并忽略高阶无穷小的项，得到：$$\Delta f(z)=\left[\left(\frac{\partial u}{\partialx}\Delta x-\frac{\partial v}{\partial y}\Deltay\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltay+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\right)\right]$$我们知道，根据导数的定义，有：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta f(z)}{\Delta z}$$将$\Delta f(z)$代入上式，得到：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to0}\frac{\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x-\frac{\partial v}{\partial y}\Deltay\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltay+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\right)\right]}{\Delta z}$$根据复数的定义，$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，因此，我们可以将分子中的$\Delta x$和$\Delta y$替换成$\Delta z$：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to0}\frac{\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\Delta z-i\frac{\partial v}{\partial y}\Deltaz\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltaz+i\frac{\partial v}{\partial x}\Delta z\right)\right]}{\Delta z}$$整理上式，得到：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\left\{\frac{\partialu}{\partial x}-i\frac{\partial v}{\partialx}+\left[\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partialv}{\partial y}\right]\right\}$$根据导数的定义，我们知道$\lim_{\Delta z \to 0}\Delta z=0$，因此我们可以将分母中的$\Delta z$约去，得到：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partialv}{\partial x}+\left[\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right]$$根据复变函数的导数定义，我们知道$f'(z)$是一个复数，因此可以将其改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partialv}{\partial x}+\left[\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right]=\frac{\partialu}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partialx}+\left[\frac{\partial u}{\partial y}-i\frac{\partialv}{\partial y}\right]$$根据复数的加法规则，我们知道复数可以写为实部和虚部的和，因此上式可以改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$根据复数的乘法规则，我们知道$i^2=-1$，因此上式可以改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$最后，我们得到了复变函数的导数公式：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partialv}{\partial x}+i\left(\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)$$为了求出$f'(z)$的具体值$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$可以看出，Cauchy-Riemann条件是保证复变函数$f(z)$可导的充分必要条件。
7.复变函数的导数
(7)
1 f ( z ) , ( w )
其中 w f ( z ) 与 z ( w )
是两个互为反函数的单值函数, 且 ( w ) 0.
复变函数的导数
(1) 导数的定义 定义1 设 w f ( z ) 是定义在区域D上的
复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限
f ( z ) f ( z0 ) lim z z0 z z0
存在，则称 f ( z ) 在 z z0 点可导, 并把这个极
限值称为 f ( z ) 在 z z0 点的导数，记做 f ( z0 ).
注意 z z0 ( z 0) 的方式是任意的.
若 f ( z ) 在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z ) 在区域 D内可导. 此时，对D内任意一点z, 有
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . z 0 z
也可用
dw df ( z ) , dz dz
lim[ f ( z z ) f ( z )] 0. 故 z 0
这说明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处连续.
但是,
f ( z z ) f ( z ) z ( x x ) 2( y y )i x 2 yi x yi
(2) ( z n ) nz n1 , 其中n为正整数.
(3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) (5) , ( g( z ) 0). 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ), 其中 w g ( z ).
复变函数知识点归纳
复变函数知识点归纳
本文旨在归纳复变函数的相关知识点，以下是一些主要内容：
1. 复数与复平面
复数是由实部和虚部构成的数，常用形式为`z = a + bi`，其中`a`为实部，`b`为虚部。
复平面将复数表示为在平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。
2. 复变函数定义
复变函数是将复数映射到复数的函数。
常见的复变函数形式包括多项式函数、指数函数、三角函数、对数函数等。
3. 解析函数与共轭函数
解析函数是在某个区域上处处可导的函数。
共轭函数是将解析函数的虚部取相反数得到的函数。
4. 复变函数的导数
复变函数的导数由实部和虚部的偏导数组成。
对于解析函数，其导数存在且连续。
5. 复变函数的积分
复变函数的积分可通过路径积分的方式计算，即沿着路径对函数进行积分。
路径可以是直线、曲线或任意闭合曲线。
以上是关于复变函数的基本知识点的简要归纳。
复变函数在数学、物理、工程等领域都扮演着重要的角色，深入理解这些知识点能够帮助我们更好地应用和解决实际问题。
需要深入研究和探索的读者可查阅相关教材和资料。
第二章解析函数
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
例2.1.4
讨论函数 w f ( z ) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足. 根据 有
f ( z) | Im z 2 | 2 | xy | u( x, y) iv ( x, y)
u ( x, y ) 2 | xy |
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证w= z 在z平面上处处连续，但 处处不可导
可导必连续。
例 2.1.1 用导数的定义证明公式： n nz n1 （n 为正整数） (z )
【证明】设 f ( z) z ，故
n
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) z n(n 1) n 2 n 1 z[nz z z (z )n 1 ] 2 f ( z z ) f ( z ) lim nz n 1 z 0 z
二、复变函数导数存在的充要条件
可导条件
分析
f ( z) f ( z) lim f ' ( z0 ) lim x x0 x x0 z z y y y y
0 0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
f ( z ) u iv u v lim i x x0 x x0 z x x x y y lim
多项式)，除去使Q(z)=0的点外处处解析。
复变函数的导数和微分
解：（1）因为u x，v 0，且
u x
1,
u y
0
v x
0
v y
0
所以C R方程在整个复平面不成立，所以 w Re z在整个复平面内处处不可导.
(2)、w | z |2 x2 y2，所以u x2 y2，v 0,且
u x
2x,
u y
2y,
v x
0,
v y
0
只有在点(0, 0)处C R方程成立. 易知，f (z)在 z 0可导，且f '(0) lim z 2 0 lim z z lim z 0.
h0
h
于是，可得f (z) f u i v (h沿实轴趋于0), x x x
及f (z) lim f (z it) f (z) i f v i u .
t0
it
y y y
定理：复变函数w f (z)在点z E可导的必要条件是
f i f 。这等价于，u v ，u v .
x y
z z
可导的充分条件
引理：若在R 2中一点(x,y)的某邻域内函数
的偏导数 和 都存在，且 和 都在
x y
x y
点(x,y)连续，则函数必在点(x,y)可微.
定理：设在R 2中一点(x,y)的某邻域内函数 u和v的一阶偏导数都存在，且都在点(x,y) 连续.若这些一阶偏导数还满足C-R条件， 则复变函数f u iv必在点z x iy可导.
y)
v(
x,
y)
xy x2 y2
0
x2 y2 0 x2 y2 0
令f (z) u(x, y) iv(x, y)，则在点z 0满足
C R方程：
u x
v y
0
1-3复变函数的导数(1)
$1.3 复数函数的导数授课要点：导数的定义，柯西—黎曼条件1、 复变函数的导数：0'()lim z df w f z dz z∆→∆==∆ 如果极限存在，且与0z ∆→的方式无关，则称()f z 在z 点可导。
'()f z 或df dz 称为函数在z 点的导数.从形式上看，复变函数的导数与实变函数的导数一样，实变函数中的一些关于求导的公式也可用于复变函数之中，比如121212122111212222()()''(1()dw dw d w w dz dz dz dw dw d w w w w dz dz dz w w w w w d dz w w dw dz dz dw dF dF dw F w dz dw dz ⎧+=+⎪⎪⎪=+⎪⎪-⎪=⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⋅⎪⎩ 1sin cos cos sin ln 1n n z z dz nz dz d e e dz d z z dz d z z dz d z dz z -⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎪⎩复变函数导数存在的条件是一个很严格的条件，因为 0limz w z∆→∆∆ 的值存在必须是在z ∆以任意方式趋于零的条件下成立，首先考虑两种特殊情况：（1） 沿平行于x 轴方向，这意味着z x ∆=∆；从而： 0lim (,)(,)(,)(,)lim 0x w u x x y iv x x y u x y iv x y z z x∆→∆+∆++∆--=∆→∆∆ 0(,)(,)(,)(,)lim[]x u x x y u x y v x x y v x y i x x∆→+∆-+∆-=+∆∆ u v i x x∂∂=+∂∂ (1) 同样的道理，若考虑沿平行于y 轴的方向，有z i y ∆=∆，则：00(,)(,)(,)(,)lim lim z y w u x y y iv x y y u x y iv x y z i y ∆→∆→∆+∆++∆--=∆∆0(,)(,)(,)(,)lim[x u x y y u x y v x y y v x y i i y i y∆→+∆-+∆-=+∆∆ u v i y y∂∂=-+∂∂ (2) 函数的导数只能有一个，故由（1），（2）可得：u v x y v ux y ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩这就是柯西—黎曼方程，或柯西—黎曼条件（Cauthy—Riemann ）。
大学物理-复变函数的导数与解析性
又
得微分公式
(微分与导数的关系)
二、柯西——黎曼条件 (C–R 条件)
要解决的问题：给定一函数 w = f (z) = u(x , y) + i v(x, y)，
如何判断 f (z) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件：
f (z) 在点 z 可导的必要条件是
存在，且
满足 C – R 条件：
证明：由函数导数的定义，z 以任何方式趋于零时,极限
z0 z
故 f (z) 在 z = 0 点不可导。
四、复变函数导数的几何意义 设 w = f (z) 在 z0 可导，即有
复变函数的几何意义：当 z 在 Z 平面沿曲线 L 变动时，w 在 W 平面沿曲线 L' 变动。z, w, f ' (z0) 的表示式：
ห้องสมุดไป่ตู้
由导数的定义式可得：
导数的几何意义： 1. 导数的模 f ' (z0) 表示通过点 z0 的无穷小线段 z，映射 为 W 平面的 w 时，长度的放大系数。 2.导数的辐角 arg f ' (z0) 表示曲线 L 上点 z0 的切线与曲线 L' 上的点 w0 的切线的夹角，即从 Z 平面到 W 平面映射 前后切线的转动角。
同理 f 'y 存在且等于 B，故
(全微分与偏导数及自变量 微分间的关系)
对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，
偏导数存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微
性之间密切联系。以下定理说明了这种联系：
定理：若 f 'x (x ,y) 及 f 'y (x ,y) 在点 (x ,y) 及某一邻域内存在， 且在该点它们都连续，则函数 u = f (x,y) 在该点可微。
复变函数的导数与积分
复变函数的导数与积分复变函数是数学领域中重要的研究对象之一。
在复变函数中，我们可以定义导数和积分。
本文将探讨复变函数的导数和积分以及它们的性质和应用。
首先是复变函数的导数。
与实数函数的导数类似，复变函数的导数也表示函数在某一点的变化率。
设f(z)是定义在复平面上某个开集D上的复变函数，如果存在复数w，使得当z趋近于z0时，有f(z) - f(z0) = w(z - z0) + o(z - z0)其中o(z - z0)是当z趋近于z0时比(z - z0)更高阶的无穷小量，则称f(z)在z0处可导，并记作f'(z0) = w。
如果f(z)在D上的每一点都可导，那么f(z)在D上可导，这样的函数称为全纯函数。
全纯函数具有一些性质，如可导函数的导函数也是可导函数，并且导数连续。
如果f(z)和g(z)是复变函数，那么它们的和、差、积、商（除以非零函数）仍然是可导函数。
此外，复变函数导数的Cauchy-Riemann方程给出了全纯函数和它的共轭函数之间的关系。
接下来是复变函数的积分。
与实数函数的积分类似，复变函数的积分也表示函数在某一区域上的累积效应。
设f(z)是定义在闭曲线C上的连续函数，那么函数f(z)沿闭曲线C的积分定义为∮C f(z)dz = ∫C f(z)dz其中dz表示积分路径上的无穷小位移，积分路径可以是简单闭合曲线、多重曲线或者无穷远曲线。
复变函数的积分还可以表示为对多变量实数函数的积分。
根据Cauchy-Goursat定理，如果f(z)是区域D内的全纯函数，那么对于任何闭合曲线C，沿C对f(z)的积分都为零。
这个定理给出了计算某些复变函数积分的方法。
复变函数的导数和积分在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学领域，它们被用于解析数论、复杂动力系统等领域的研究。
在物理学中，它们被用于解决电磁学、流体力学等领域的问题。
比如，复变函数的导数和积分被用来计算电磁场的势函数和场线，从而解决各种电磁场问题。
复变函数第2章解析函数
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0
解析函数
充分条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x x0 y y0
lim
f ( z) u iv v u lim i y y 0 z iy y y
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
柯西—黎曼条件的应用
(d)
g ( z) 0
f g ( z )
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
kx
的趋向得到不同的值，故原函数在z0=0 处不可导。 本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，仍然可 能不可导．那么C-R条件还需加上什么条件才能保 证函数可导呢？因此需要讨论可导的充分必要条件 .
定理
设函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f (z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)与 v(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足CauchyRiemann(柯西—黎曼)方程
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , r r v 1 du r r d
三、解析函数的概念
1、定义 若函数w=f (z)在点z0的及其邻域内处处可导，则称函 数w=f (z)在点z0处解析。 若函数w=f (z)在区域D内处处可导，则称函数w=f (z) 在区域D内解析，或称f (z)是区域D内的解析函数。 若w=f (z)在点z0不解析，则称点z0为w=f (z)的奇 点。
复变函数的导数
复变函数的导数在学习数学过程中，求导数是一个重要的课题。
复变函数的导数更是数学研究者深入探索的一个领域。
复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数。
首先，我们来了解一下什么是复变函数。
复变函数是一类具有特殊特性的函数，其中的变量可以是复数，且它的值也可以是复数。
复变函数的性质使其在许多应用方面变得非常有用，例如，复变函数可用于研究物理形态的变化，可用于解决天体的轨道变化问题，以及可以用来解释解析几何中的复形等。
接下来，我们来认识一下复变函数的导数。
复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数。
复变函数的导数指的是在某一复数点处函数值的变化幅度，导数的符号表示为dF/dz”，其中F为复变函数，z为变量，z点为F在该点处的导数。
要求复变函数的导数，可使用复变函数的定义，通过求偏导数的方式进行求解。
复变函数的定义一般为 F(z)=f(z)，其中z为复变量，f(z)为单变量函数，假定形如f(z)=bz+c，其中b、c为常数，则导数为dF/dz=b。
在复变函数中，还存在着一类特殊的复变函数，即复数函数。
复数函数除了可以用复变函数形式表示外，还可以用复分式的形式表示，其形式为F(z)=A/B，其中A、B为复多项式，A、B的共同的纯量因子除外。
要求复数函数的导数，直接用其定义来求偏导数，即可求出F(z)在z点处的导数，导数的表达式为dF/dz=(AB’-BA’)/(BB’)。
复变函数的导数在复数分析函数和复数分析函数的研究中发挥着重要的作用，它可以帮助我们理解复变函数形式及其特性，以及复数函数在复数空间中变化的特征，为了能够更好地研究复变函数，必须充分理解复变函数的导数的概念和表达式。
综上所述，复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数，它可以帮助我们理解复变函数以及复数函数变化的特征，从而为我们更好地利用复变函数提供有效的帮助。
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即
f ′( z0 ) = lim
∆w f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = lim ∆ z →0 ∆ z ∆ z →0 ∆z
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
内每一点都可导， 如果函数 w = f (z ) 在区域 D 内每一点都可导，则称
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) = 3z , 求 f ′( 0 ) 和 f ′( i ) . 1− z
例4
设 f ( z ) = ( z 2 − 2 z + 4) 2 , 求 f ′( − i ) .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) = 3z , 求 f ′( 0 ) 和 f ′( i ) . 1− z
第八模块 复变函数
第三节 复变函数的导数与解析性
一、复变函数的导数 二、复变函数的解析性
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
内有定义， 当变量 设函 w = f (z )在包含 z 0 的某区域 D 内有定义， z 在点 z 0 处取得增量时，相应地，函数 f (z ) 取得增量 数 处取得增量时，相应地，
∆w = f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ∆w lim 处可导。 存在。 如果极限 ∆z →0 ∆ z 存在。 则称 f (z ) 在点 z 0 处可导。
此极限值称为 f (z ) 在点 z 0 处的导数。 处的导数。 记作 f ′( z0 ) 或 w ′ z = z0 或
dw dz .
w = f (z ) 在 D 内可导。 内可导。
处的导数记为： 函数 w = f (z ) 在 D 内任意点 z 处的导数记为：
∆w f ( z + ∆z ) − f ( z ) z f ′(z ) 或 w ′ 或 dw , 即 f ′( z ) = lim = lim ∆ z →0 ∆ z ∆ z →0 ∆z dz
( 2 ) ( z n )′ = nz n −1 .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) = 3z , 求 f ′( 0 ) 和 f ′( i ) . 1− z
例4
设 f ( z ) = ( z 2 − 2 z + 4) 2 , 求 f ′( − i ) .
一、复变函数的导数
( 2) [ f ( z ) ⋅ g ( z )]′ = f ′( z ) ⋅ g ( z ) + f ( z ) ⋅ g ′( z ) ;
( 3) [ f (z) f ′( z ) ⋅ g ( z ) − f ( z ) ⋅ g ′( z ) ]′ = g(z) g 2 (z) ( g ( z ) ≠ 0) ;
（二）函数解析性与可导性的关系
函数在区域D内解析 函数在区域 内解析
⇔ 函数在区域 内可导。 函数在区域D内可导 内可导。
处可导。 函数 f (z ) 在 z0 处解析 ⇒ 函数 f (z ) 在 z0 处可导。
处可导, 处不一定解析。 函数 f (z ) 在 z0 处可导 则 f (z ) 在 z0 处不一定解析。
例1 例2
2 的导数。 求函数 f ( z ) = z 的导数。
证明 w = z
在复平面内处处连续，但它在复平面 在复平面内处处连续，
内处处不可导。 内处处不可导。
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
求导法则： 求导法则：(1) [ f ( z ) + g ( z )]′ = f ′( z ) + g ′( z ) ;
（四）解析函数的判定 1. 函数可导性的判别
区域D内有定义 内有定义, 设 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 在 区域 内有定义 z = x + i y 内任意一点， 处可导的充要条件是： 是D内任意一点，则 f ( z ) 在点 z 处可导的充要条件是： 内任意一点
例4
设 f ( z ) = ( z 2 − 2 z + 4) 2 , 求 f ′( − i ) .
二、复变函数的解析性
（一）解析函数的概念
处可导， 如果函数 f (z ) 不仅在 z0 处可导，而且在 z0 的某邻域 内的每一点都可导， 解析。 内的每一点都可导， 则称 f (z ) 在 z0 处解析。称 z0 为 f (z ) 的解析点。 则称 f (z ) 如果函数 f (z ) 在区域 内的每一点 处都解析， 在区域D内的每一点 处都解析， 解析区域。 内解析。 在区域D内解析。 区域 称为 f (z ) 的解析区域。 区域 内解析 区域D称为 处不解析， 如果函数 f (z ) 在 z0 处不解析， 但在 z0 的任意邻域内总 存在解析点， 奇点。 存在解析点， 则称 z0 为 f (z ) 的奇点。
(4) { f [ϕ ( z )]}′ = f ′( w ) ⋅ ϕ ′( z ) 其中 w = ϕ ( z ) ;
(5) f ′( z ) = 1 其中 w = f ( z ) 和 z = ϕ ( w )是 ′( w ) ϕ
两个互为反函数的单值函数， 两个互为反函数的单值函数，且ϕ ′( w ) ≠ 0 . 求导公式： 求导公式： (1) (C )′ = 0 ,
(1) u ( x , y ) 、 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微 ;
∂u ∂v ∂u ∂v = , =− . ∂x ∂y ∂y ∂x ∂u ∂v ∂v ∂u ′( z ) = +i = −i . 且 f ( z ) 的导数为 : f ∂x ∂x ∂y ∂y ( 2 ) 满足柯西 − 黎曼条件 :
d f [ϕ ( z )] d f ( h ) d ϕ ( z ) = ⋅ . dz dh dz
（3） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。 ） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。
P (z) 在不含分母为0的点的区域内解析 的点的区域内解析。 任意分式有理函数 Q ( z ) 在不含分母为 的点的区域内解析。
（三）解析函数的运算性质
处解析,) 在 z0 处解析 则 ）
f ( z) ± g( z) , f ( z) ⋅ g( z) , f ( z) ( g ( z ) ≠ 0) 在 z0 处解析。 处解析。 g( z)
区域G内解析 内解析, （2） 若函数 w = f (h) 在 区域 内解析 而 h = ϕ (z ) ） 在 区域 内解析 且ϕ ( D ) ⊆ G , 则复合函数 w = f [ϕ ( z )] 区域D内解析 内解析, 区域D内解析 内解析, 在 区域 内解析 且
2. 函数解析性的判别
区域D内解析的充要条件是 内解析的充要条件是: 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 在 区域 内解析的充要条件是 u ( x , y ) 、 v ( x , y ) 在 D 内处可微 , 且满足柯西 − 黎曼条件 。
二、复变函数的解析性
例 5 判断下列函数是否解析
x (1) f ( z ) = z , (2) f ( z ) = e (cos y + i sin y ) , (3) f ( z ) = z Re( z ) .
2 2 例 6 讨论函数 f ( z ) = x + i y 的可导性和解析性 。
例7
设 f ( z ) = u( x, y ) + i v ( x, y )在区域D内解析,
且 f ′( z ) = 0 ( z ∈ D), 则 f ( z ) = C (常数 )。