第7章平面图

图论及其应用
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9.2 对偶图
由G* 的定义易知： (G* ) = (G) (G* ) = (G)

定理9.4
设G为平图，则
d ( f ) 2
f F

证明：左式
G f V (G )
* *
d
*
( f * ) 2 (G * ) 2 (G) #
图论及其应用
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9.2 对偶图——习题

平图G的面（face） G将平面划分出来的连通区域的闭包。 外部面（exterior face） G中唯一的无界面。

定理9.3. 对平面图G 的任一顶点，都存在G的一个平 面嵌入，使它在该嵌入的外部面。
证明： 先将G嵌入于球面上，并将球面的北极放在包含该顶点 的G的一个面中，再利用球极平面射影。 # 记号 F(G) = 平图G的面的集合。 (G) = 平图G的面数。 b(f) = 面f的周界。 当G连通时，b(f)可当作一闭途径，其中G在b(f)中的每一割边在 该途径中都恰被走过两次。 当G为2-连通时，b(f) 为一圈。
图论及其应用 1
9.1平图和平面图——定理9.1

定理9.1

K5为非平面图。

证明：反证，假设G为K5的一个平图。令G 的五个顶点为v1，… ，v5。注意 到圈C = v1v2v3v1 为平面上的一条Jordan 曲线，且v4必在int C 或ext C 中。 若v4 int C：则边v4v1， v4v2，与v4v3将int C划分成三个区域int C1， int C2，和int C3。这时v5 一定在上述三个区域及区域 ext C之一。若v5 ext C，则因v4 int C，边v4v5 必与C交于某一点，这与G为平面图的假设 相矛盾。 其它情形类似地也导致矛盾。 #




9.2.1 . (a)证明：图G是平面图 G的每个块都是平面图。 (b)试证：极小非平面图是简单块。 9.2.2. 若一平图和它的对偶图同构，则称该平图为自对偶的。 (a) 若G为自对偶的，则 = 2 - 2 。 (b) 对每个 n 4 ，找出n顶点的自对偶平图 。 9.2.3. (a) 证明：B是平图G的键 { e* E(G* ) | e B } 是G* 的圈。 (b) 证明：C是平图G的圈 { e* E(G* ) | e C } 是G* 的键。 (c) 试证：Euler平图的对偶图是偶图。 9.2.4. 设G是平图，证明： (a) (G* )* G G是连通图。 (b) (G** ) = (G) 。

定理9.1’

K3,3为非平面图。
证明：类似，略。

平面嵌入的慨念可推广到其它平面上。称图G可嵌入于曲面S上
G可画在S上，使它的边仅在端点处才可能相交叉。

例。K5和K3,3都可嵌入于环面上； K3,3可嵌入于Mobius带上；每个图都可 “嵌入”于三维空间R3中。 图论及其应用 2
9.1平图和平面图——定理9.2

在平图G中 称
e2
f2
e3
v3 面f与它的周界上的边和顶点相关联。 G的一边e分隔（seperate）与它相关联的面。 面f的度（degree） dG(f) = 与面f 相关联的边数（割边记为2）

例如，d(f1) = 9。易见： e为G的割边 e只与G的一个面相关联 e恰分隔G的一个面 e为G的非割边 e恰与G的两个面相关联 e恰分隔G的两个面
图论及其应用
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9.2 对偶图

平图G的对偶图（dual graph）G*是这样的一个图： 它们之间有如下的一一对应关系 e4 图G e3 G的面f G*的顶点f* ； e1 e2 G的边e G*的边e* 。 f1 e5 f f2 e8 4 f 3 且 e 7 e6 G*的顶点f1* 与f2* 被边e* 连接 f5 G的面f1与f2 被边e分隔。

定理9.2

G可嵌入于平面上
#
G可嵌入于球面上。
证明：利用球极平面射影，略。
北极
Байду номын сангаас
南极
图论及其应用
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9.1平图和平面图——习题

9.1.1 证明：不存在5区域地图，其中每对区域都相邻。 9.1.2 证明： K5 – e及K3,3 – e为平面图，其中e为 其任一边。
图论及其应用
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9.2 对偶图
9.1平图和平面图

G可画在平面上，使它的边只在端点处才可能相交叉。 （该几何实现称为G的一个 平面嵌入（planar embedding） 或 平图（plane graph）） G为平面图（planar graph） 例：K5，K3,3 以及它们的剖分都是非平面图。它们中任一个 去掉任一边后都是平面图。 注意：平面图和平图间的区别。后者是前者的一个几何实现（具体画 法）。
图 G* e1 f1*
**
e3 e8 f
* 5
e4 e5 f3* e6 f4*
e2 e7 f2*
例如，上例平图G的对偶图G* 如右图所示。
由上述知，当G 非空时，G* 一定是连通平面图。且有 e是G的环 e* 是G* 的割边。 e是G的割边 e* 是G* 的环。
图论及其应用 8
9.2 对偶图




图论及其应用
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9.2 对偶图

例： b(f1) = v1e1v2e5v4e8v6e9v6e8v4e4v1e6v7e7v7e6v1 。 v1 b(f5) = v1e1v2e2v3e3v4e4v1 。 f5 e6 v 7 e1 f3 e7 e e4 9 f 4 v2 f1 e v6 e v
5 8 4



下文中为方便计，我们把平图G的几何对偶G* 当作G的对 偶图。 这时，若G连通，则有（习题9.2.4(a)）G**=(G* )*G。 （当G不连通时，上式不成立）。 注意 “平图G H G* H* ”不一定成立。 例如，右边二平图是同构的，但它们的对偶图并不同构。因 此，对偶图的概念只对平图有意义，不能推广到平面图上。
例如，左上所示平图G的对偶图G* = (V* , E*) 为

V*={f1*，……，f5*} ， E*={e1*= f1*f5*,e2*=f5*f5*,e3*=f2*f5*,……,e8*=f2*f3*} 。
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9.2 对偶图

平图G的对偶图G*是一平面图： 事实上存在G* 的一个平面嵌入 （称为几何对偶）如下：在G的 每个面f中放置顶点f*，对应于G 的每一边e，画一条边e* 使它穿 过e恰好一次（且不穿过G的其它 边）。

称 图G可嵌入（embededable）于平面中
Jordan 曲线定理：平面中任一Jordan 曲线J（连续不自交
的闭曲线），将余下的平面划分成二不相交开集：J的内部 （interior）和 J的外部（exterior），分别记为 int J和ext J。 （它们的闭包分别记为Int J 和 Ext J）。连接int J中一点到ext J 中一点的任一条曲线一定与J交于某一点。