解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳

1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）

变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R

===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）

sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C

=== 2．正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边；

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.

3．余弦定理及其推论

2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222

222

222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab

+-=

+-=+-= 4．余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.

注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.

5．常用的三角形面积公式

（1）高底⨯⨯=

∆2

1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R

===∆为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）

（3）在ABC ∆中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin

cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C +=

解三角形有用的结论

1.在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A

2.在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，⇔2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2，

3.在△ABC 中,三角形三边关系：a+b>c; a-b

4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B ＝π3，A ＋C ＝2π3.

5．在斜△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .

6．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a co

7.在△ABC 中，B b a B B A B A B A cos 2cos sin 2sin 2sin sin ,2=⇒=⇒==则

8.C bc bc c b C bc bc c b C bc c b a cos 22)(cos 22)(cos 222222-+-=--+=-+=

二、题型示例

考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用

1．在ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝ ( )

A ．43

B ．2 3

C ． 3

D ．32

2．在ABC 中，222a b c =+，则A ∠等于( )

A ．60°

B ．45°

C ．120°

D ．150°

考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状

3．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

4．若△ABC 的三个内角满足7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则△ABC ( )

A ．一定是锐角三角形

B ．一定是直角三角形

C ．一定是钝角三角形

D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

5．在ABC ∆中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( )

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

考点三：利用正余弦定理求三角形的面积

6．在ABC ∆

中，AB =1AC =,30A ︒∠=，则ABC ∆面积为( )

A ．

2 B

．4 C

．2

D

．4

或2

7．已知ABC ∆的三边长3,5,6a b c ===，则ABC ∆的面积为( )

A ．

B

． C

D

．考点四：利用正余弦定理求角 8．在锐角中,角所对的边长分别为.若( )

A ．

B ．

C ．

D ． 9．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( )

A ．无解

B ．两解

C ．一解

D ．解的个数不确定

10．在,内角所对的边长分别为且,则 ( )

A ．

B ．

C ．

D ． 考点五：正余弦定理实际应用问题

11．如图：A ，B

是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与B

点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D 点需要多长时间？ 三、高考真题赏析

1．（2016年山东）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.

2．（2016年四川）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且

cos cos sin A B C a b c +=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；

（II ）若22265

b c a bc +-=

，求tan B .

ABC ∆,A B ,a

b 2sin ,a B A =则角等于12π6π4π3

πABC ∆,,A B C ,,.a b c 1sin cos sin cos ,2

a B C c B A

b +=a b >B ∠=6π3π23π56πtan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A

+=

+