2多元函数积分学.docx

2.多元函数积分学

K考试内容》（数学一）

二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

K考试要求》（数学一）

1 •理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3•理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4.掌握计算两类曲线积分的方法。

5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。

6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。

7.了解散度与旋度的概念，并会计算。

8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

K考试要求』（数学二）

1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

K考试要求》（数学三）

1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。

K考试要求》（数学四）

同数学三

2.多元函数积分学

K知识点概述H 2. 1二重积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区

域；&型简单区域）一般变换法

几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量

2. 2三重积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域

投影法（先定积分后二重积分）

截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法

儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力

2. 3曲线积分

第一类曲线积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：参数化法

儿何应用：弧长

物理应用：质量、质心、转动惯量、引力

第二类曲线积分

基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法

曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）；

全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克

斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系

2. 4曲而积分

第一类曲面积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：投影法(向xoy 平面投影；向yoz 平面投影；向zox 平面投影)

儿何应用：曲面面积 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力

第二类曲面积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：有向投影法(各向投影；单向投影)；化成第一类曲面积分；

高斯公式；斯托克斯公式

物理应用：通量

第一类曲面积分与第二类曲面积分的联系

K 典型例题一二重积分H

例1 (91103)设D 是XOY 平面上以(1,1),(-1,1),(-1,-1)为顶点的三角形区域，®是D 在第 一象限部分，则 jjp (xy + cosxsin y)dxdy =()

K 注》二重积分的对称性

例2计算力dy,其中D 是由直线兀=-2,y = 0,y = 2以及曲线兀= -(2y- y 2所围成

的平而区域

K 注》平面区域的重心(质心)

变式1计算Jjp(x+刃加/y,其中: 2以+》2 < y +1

例3计算血(手+評如)，，其中D ：X 2 + y 2 0)

注1极坐标法是计算二重积分的重要方法

变式 1 计算 JJ^ln(x 2

+ y 2 yixdy ,其中 D: x 2 + y 2 < 1 变式2计算吕-和如其中D ：名+着「

注2二重积分的轮换对称性

变式3计算H (斗+其)必〃y ,其中D:x 2 + y 20) H D a 2 b 2

(B) 2血 xydxdy (A)

cosxsin ydxdy (C) (xy + cos x sin y)dxdy (D) 0

x » 0, y 2 0上的正值连续函数

例 4 (94103)计算 JJ D + xf(x 2 + y 2

)]dxdy ,其中 D 由直线 y = x,y = -\,x = \ 围成，f 为连续函数 变式 1 (01306)计算 J.y ［l +兀+〉)］dxdy ,其中 D 由直线 y = x.y =-l,x = 1^成 例 5(02107)计算 JJ 创曲{兀2,护}必労,其中 p = {(X5y )：o

变式 1 计算^D x 2dxdy ,其中 D: x 4 + y 4 < 1 变式 2 (95305)计算 jj /?2 min{x,y}e-^2^y 2

)dxdy ,其中 M 为整个 xoy 平面 例6计算Z = J ■:必产号％‘

注将二重积分化成二次积分计算时，确定积分次序是关键

变式1计算心恥J 謬字

变式2计算I = ff^sin y 2dxdy ,其中D 由y = x, y =五及Y 轴围成

变式3计算/二J 診rj ； 了——dy , f\x)在［0, a ］连续

u J(d-x)(x- y)

例7设/(兀)在［0,1］上连续，证明J ：闵：/(兀)/()曲=*［仃(兀)〃兀］2

例 8 求在 D:x 2 + y 2 < y 9x>0上连续的 /(x,刃，使 /(x,y) = Jl-x 2

一)2 一却需/仏*)dud\ 例9 (97306)求/(/),使得/⑴在［0,2)上连续，且满足方程 f ⑴=e 伽2 + 几2+严 <4,2 f(yx 2 + y 2)dxdy

例］0 (00406)设 f(x,y)=

求 /(x, y)dxdy ,其中 D:x 2 + y 2 > 2x 0, 他

变式 1 (05111)计算二重积分仏巩1 + %2 + y2］Jxdy ，其中 D :x 2 + y 2 < 72,x> 0, y > 0,

［1 +兀2 +y2］表示不超过1 +兀2 + y2的最大整数

变式4 (05204)计算血

aj/(兀)+bj/(y) z/xdy ,其中 为常数，/(x)为£>:%2 + ^2 <4,