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多元函数的微积分全篇

xy , x2 + y2 ≠ 0 . x2 + y2 f ( x, y) = 0 , x2 + y2 = 0 .
当点P(x，沿轴趋于点(0，时函数的极限为零时函数的极限为零，当点，y)沿 x 轴、y 轴趋于点，0)时函数的极限为零，当点P(x，沿直线沿直线y=k x 趋于点，0)时趋于点(0，时当点，y)沿直线
0 < pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ
的一切点P(x， ∈ 的一切点，y)∈D ，都有 |f (x，y)−A|<ε 成立，， − 成立，则称常数A为函数，当时的极限，则称常数为函数f (x，y)当x →x0，y →y0时的极限，为函数记为这里ρ=|P P0|．．我们把上述二元函数的极限叫做二重极限我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
解
∂z = 3 x 2 y 2 − 3 y 3 − y, ∂x
∂ 2z = 6 xy 2 , ∂x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂z = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; ∂y
∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1; ∂y∂x
∂ 2z = 6 x 2 − 9 y 2 − 1, ∂x∂y
∂ 2z = 2 x 3 − 18 xy; ∂y 2
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3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数：二阶偏导数：设函数z=f(x，y)在区域内具有偏导数设函数 = ，在区域D内具有偏导数在区域
∂f ∂f = f x ( x , y ), = f y ( x , y ). ∂x ∂y 那么在D 都是x，的函数．那么在内fx(x，y)、fy(x，y)都是，y 的函数．如果这两个函数，、，都是

实验2 多元函数积分学(基础实验)

项目三多元函数微积分实验2 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用Mathematica 计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.基本命令1. 计算重积分的命令lntegrate 和NIntegrate 例如,计算dydx xy x ⎰⎰102, 输入Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}]则输出 151又如,计算dydx xy )sin(10102⎰⎰的近似值, 输入NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}] 则输出 0.160839注: Integrate 命令先对后边的变量积分.计算三重积分时,命令Integrate 的使用格式与计算二重积分时类似. 由此可见, 利用 Mathematica 计算重积分, 关键是确定各个积分变量的积分限. 2. 柱坐标系中作三维图形的命令CylindricalPlot3D使用命令Cylindricalplot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 <<Graphics`ParametricPlot3D` 执行成功后便可继续下面的工作.使用命令Cylindricalplot3D 时,一定要把z 表示成r ,θ的函数. 例如,在直角坐标系中方程22y x z +=是一旋转抛物面, 在柱坐标系中它的方程为2r z =. 因此,输入 CylindricalPlot3D[r^2,{r,0,2},{t,0,2Pi}] 则在柱坐标系中作出了该旋转抛物面的图形.3. 球面坐标系中作三维图形命令SphericalPlot3D使用命令SphericalPlot3D, 首先要调出作图软件包. 输入 <<Graphics`ParametricPlot3D` 执行成功后便可继续下面的工作.命令SphericalPlot3D 的基本格式为SphericalPlot3D[r[],θϕ, {}],,{},,,2121θθθϕϕϕ其中r[],θϕ是曲面的球面坐标方程, 使用时一定要把球面坐标中的r 表示成ϕ、θ的函数. 例如,在球面坐标系中作出球面,22222=++z y x 输入Sphericalplot3D[2,{u,0,pi},|v,0,2,pi|,plotpoints->40]则在球面坐标系中作出了该球面的图形. 4. 向量的内积用“.”表示两个向量的内积. 例如,输入 vecl={al,bl,cl} vec2={a2,b2,c2}则定义了两个三维向量, 再输入 vec1. vec2 则得到它们的内积a1a2+b1b2+c1c2实验举例计算重积分例2.1 (教材例2.1) 计算,2dxdy xy D⎰⎰其中D 为由,,2y x y x ==+ 2=y 所围成的有界区域.先作出区域D 的草图, 易直接确定积分限,且应先对x 积分, 因此, 输入 Integrate[x*y^2,{y,1,2},{x,2-y,Sqrt[y]}] 则输出所求二重积分的计算结果.120193例2.2 (教材例2.2) 计算,)(22dxdy e Dy x⎰⎰+- 其中D 为.122≤+y x如果用直角坐标计算, 输入Clear[f,r];f[x,y]=Exp [-(x^2+y^2)];Integrate[f[x,y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]则输出为dx x 1Erf e 211x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π⎰--其中Erf 是误差函数. 显然积分遇到了困难.如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入Integrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出所求二重积分的计算结果eπ-π 如果输入NIntegrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2 Pi},{r,0,1}] 则输出积分的近似值1.98587例2.3 (教材例2.3) 计算dxdydz z y x)(22++⎰⎰⎰Ω, 其中Ω由曲面222y x z --=与22y=围成.xz+先作出区域Ω的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[2]*Sin[fi]*Cos[th],Sqrt[2]*Sin[fi]*Sin[th], Sqrt[2]*Cos[fi]},{fi,0,Pi/4},{th,0,2Pi}]g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z,0,1},{t,0,2Pi}]Show[g1,g2,ViewPoint->{1.3,-2.4,1.0}]则分别输出三个图形（图2.1(a), (b), (c)）.考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入 g[x_,y_,z_]=x^2+y^2+z;Integrate[g[x,y,z],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2], Sqrt[1-x^2]},{z,Sqrt[x^2+y^2],Sqrt[2-x^2-y^2]}] 执行后计算时间很长, 且未得到明确结果.现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Cos[s],y->r*Sin[s]})*r,{r,0,1},{s,0,2Pi},{z,r,Sqrt[2-r^2]}]则输出π⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-15281252 如果用球面坐标计算,输入Integrate[(g[x,y,z]/.{x->r*Sin[fi]*Cos[t],y->r*Sin[fi]*Sin[t],z->r*Cos[fi]})*r^2*Sin[fi],{s,0,2Pi},{fi,0,Pi/4},{r,0,Sqrt[2]}]则输出π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-321662551这与柱面坐标的结果相同.重积分的应用例2.4 求由曲面()y x y x f --=1,与()222,y x y x g --=所围成的空间区域Ω的体积.输入Clear[f,g];f[x_,y_]=1-x -y;g[x_,y_]=2-x^2-y^2;Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] Plot3D[g[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] Show[%,%%]一共输出三个图形, 最后一个图形是图2.1.首先观察到Ω的形状. 为了确定积分限, 要把两曲面的交线投影到Oxy 平面上输入 jx=Solve[f[x,y]==g[x,y],y] 得到输出 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→22445121,445121x x y x x y为了取出这两条曲线方程, 输入 y1=jx[[1,1,2]] y2=jx[[2,1,2]] 输出为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2445121x x⎪⎭⎫ ⎝⎛-++2445121x x再输入tu1=Plot[y1,{x,-2,3},PlotStyle->{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction->Identity];tu2=Plot[y2,{x,-2,3},DisplayFunction->Identity]; Show[tu1,tu2,AspectRatio->1, DisplayFunction-> $DisplayFunction]输出为图2.2, 由此可见,1y 是下半圆(虚线),2y 是上半圆,因此投影区域是一个圆.设21y y =的解为1x 与2x ,则21,x x 为x 的积分限. 输入 xvals=Solve[y1==y2,x]输出为 ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→6121,6121x x 为了取出21,x x , 输入x1=xvals[[1,1,2]]x2=xvals[[2,1,2]]输出为()6121- ()6121+ 这时可以作最后的计算了. 输入V olume=Integrate[g[x,y]-f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]//Simplify 输出结果为 89π例2.5 (教材例2.4) 求旋转抛物面224y x z --=在Oxy 平面上部的面积.S 先调用软件包, 输入<<Graphics`ParametricPlot3D` 再输入CylindricalPlot3D[4-r^2,{r,0,2},{t,0,2 Pi}] 则输出图2.3.利用计算曲面面积的公式⎰⎰++=xyD y z dxdy z z S 221, 输入Clear[z,z1];z=4-x^2-y^2;z=Sqrt[D[z,x]^2+D[z,y]^2+1]输出为22441y x ++, 因此,利用极坐标计算. 再输入z1=Simplify[z/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}]; Integrate[z1*r,{t,0,2 Pi},{r,0,2}]//Simplify则输出所求曲面的面积()π1717161+-例2.6 在Oxz 平面内有一个半径为2的圆, 它与z 轴在原点O 相切, 求它绕z 轴旋转一周所得旋转体体积.先作出这个旋转体的图形. 因为圆的方程是,422x z x =+它绕z 轴旋转所得的圆环面的方程为)(16)(222222y x z y x +=++,所以圆环面的球坐标方程是.sin 4φ=r 输入SphericalPlot3D[4 Sin[t],{t,0,Pi},{s,0,2 Pi},PlotPoints->30,ViewPoint->{4.0,0.54,2.0}]输出为图2.4.图2.4这是一个环面, 它的体积可以用三重积分计算(用球坐标). 输入 Integrate[r^2*Sin[t],{s,0,2 Pi},{t,0,Pi},{r,0,4 Sin[t]}] 得到这个旋转体的体积为216π计算曲线积分例2.7 (教材例2.5) 求⎰Lds z y x f ),,(, 其中(),10301,,2y x z y x f ++=积分路径为L :,3,,22t z t y t x ===.20≤≤y注意到,弧长微元dt z y x ds t t t 222++=, 将曲线积分化为定积分,输入 Clear[x,y,z];luj={t,t^2,3t^2}; D[luj,t]则输出z y x ,,对t 的导数 }6,2,1{t t再输入ds=Sqrt[D[luj,t].D[luj,t]];Integrate[(Sqrt[1+30 x^2+10y]/.{x->t, y->t^2,z->3t^2})*ds,{t,0,2}]则输出所求曲线积分的结果:326/3.例2.8 (教材例2.6) 求dr F L.⎰, 其中.20,sin cos 2)(,)2(356π≤≤+=++=t tj ti t r j xy x i xy F输入vecf={x*y^6,3x*(x*y^5+2)};vecr={2*Cos[t],Sin[t]};Integrate[(vecf.D[vecr,t])/.{x->2Cos[t],y->Sin[t]}, {t,0,2 Pi}]则输出所求积分的结果12π例2.9 求锥面0,222≥=+z z y x 与柱面x y x =+22的交线的长度.先画出锥面和柱面的交线的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v], Sin[u]*Sin[v], Sin[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2Pi},DisplayFunction->Identity]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,Cos[t]*Sin[t],z}, {t,0,2Pi},{z,0,1.2}, DisplayFunction->Identity]; Show[g1,g2,ViewPoint->{1,-1,2},DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为图2.5.输入直接作曲线的命令ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,Cos[t]*Sin[t],Cos[t]},{t,-Pi/2,Pi/2}, ViewPoint->{1,-1,2},Ticks->False]输出为图2.6.为了用线积分计算曲线的弧长, 必须把曲线用参数方程表示出来. 因为空间曲线的投影曲线的方程为x y x =+22, 它可以化成t x 2cos =,,sin cos t t y =再代入锥面方程222z y x =+, 得[]().2/,2/cos ππ=∈=t t z因为空间曲线的弧长的计算公式是()()()⎰'+'+'=21222t t dt t z t y t x s ,因此输入Clear[x,y,z]; x=Cos[t]^2; y=Cos[t]*Sin[t]; z=Cos[t]; qx={x,y,z};Integrate[Sqrt[D[qx,t]. D[qx,t]]//Simplify, {t,-Pi/2,Pi/2}]输出为 2Elliptice[-1]这是椭圆积分函数. 换算成近似值. 输入 %//N 输出为3.8202计算曲面积分例2.10 (教材例2.7) 计算曲面积分⎰⎰∑++dS zx yz xy )(, 其中∑为锥面22y x z +=被柱面x y x 222=+所截得的有限部分.注意到,面积微元dxdy z z dS y x 221++=, 投影曲线x y x 222=+的极坐标方程为,22,cos 2ππ≤≤-=t t r将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.输入Clear[f,g,r,t];f[x_,y_,z_]=x*y+y*z+z*x; g[x_,y_]=Sqrt[x^2+y^2];mj=Sqrt[1+D[g[x,y],x]^2+D[g[x,y],y]^2]//Simplify; Integrate[(f[x,y,g[x,y]]*mj/.{x->r*Cos[t],y->r* Sin[t]})*r,{t,-Pi/2,Pi/2},{r,0,2Cos[t]}]则输出所求曲面积分的计算结果15264例2.11 计算曲面积分,333dxdy z dzdx y dydz x ++⎰⎰∑其中∑为球面2222a x y x =++的外侧.可以利用两类曲面积分的关系, 化作对曲面面积的曲面积分⎰⎰∑nds A .. 这里{}{}a z y x n z y x A /,,,,,333==. 因为球坐标的体积元素,sin 2θϕϕd drd r dv =注意到在球面∑上a r =, 取1=dr 后得到面积元素的表示式:().20,0sin 2πθπϕθϕθ≤≤≤≤=d d a ds把对面积的曲面即直接化作对θϕ,的二重积分. 输入Clear[A,fa,ds]; A={x^3,y^3,z^3}; fa={x,y,z}/a; ds=a^2*Sin[u];Integrate[(A.fa/.{x->a*Sin[u]*Cos[v],y->a*Sin[u]*Sin[v], z->a*Cos[u]})*ds//Simplify,{u,0,Pi}, {v,0,2Pi}]输出为855122πa如果用高斯公式计算, 则化为三重积分()d v z y x ⎰⎰⎰Ω++2223, 其中Ω为2222a z y x ≤++.采用球坐标计算, 输入<<Calculus`VectorAnalysis` 执行后再输入SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]]; (*设定坐标系*) diva=Div[A]; (*求向量场的散度*)Integrate[(diva/.{x->r*Sin[u]*Cos[v],y->r*Sin [u]*Sin[v],z->r*Cos[u]})*r^2Sin[u],{v,0,2Pi}, {u,0,Pi},{r,0,a}]输出结果相同.实验习题 1. 计算⎰⎰-6/02/0.sin sin ππydydx x x y2. 计算下列积分的近似值: (1)();cos 022dydx y x ⎰⎰-ππ(2)().sin 1010dydx e xy ⎰⎰3. 计算下列积分 (1)();23012dydzdx z y e x x z xz x -⎰⎰⎰+- (2)⎰⎰1010.)arctan(dydx xy4. 交换积分次序并计算下列积分 (1)()d ydx y x x⎰⎰30922cos . (2) .20422dxdy e yx ⎰⎰5. 用极坐标计算下列积分: (1) ;10122dydx y x yx ⎰⎰+ (2) .13/3/22dxdy yx y y y ⎰⎰-+6. 用适当方法计算下列积分:(1)(),2/3222dv zy x z⎰⎰⎰Ω++ 其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成;(2),)(224dv z y x++⎰⎰⎰Ω其中Ω是.1222≤++z y x7. 求()ds z y x f L⎰,,的近似值. 其中(),51,,33y x z y x f ++=,路径L :3/,2t y t x ==,.20,≤≤=t t z8. 求⎰L dr F ., 其中().0,sin cos ,121322π≤≤+=+++=t tj ti t r j y i x F 9. 用柱面坐标作图命令作出xy z =被柱面122=+y x 所围部分的图形,并求出其面积.86 10. 求曲面积分,22zdxdy y x⎰⎰∑其中∑为球面2222a z y x =++的下半部分的下侧.11. 求曲面积分⎰⎰∑++zdS y x ,其中∑为球面2222a z y x=++上)0(a h z <<≥的部分.。

《数学分析》(2)复习多元函数积分解读

数学分析（2）——多元函数积分学
四、第一类曲面积分的计算计算方法：一投、二代、三变换
若曲面 : z z(x, y)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy;
Dxy
类似还有两个公式.
练习
数学分析（2）——多元函数积分学
1. 计算 ( x y z)dS
S
其中为上半球面z R2 x 2 y2 .
2. 计算 ( x2 y2 z)dS, 为立体 x2 y2 z 1的边界.
数学分析（2）——多元函数积分学
五、第二类曲线积分的计算格林公式
1.基本方法：由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量，将积分曲线代入被积表达式，定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.
《数学分析》（2）复习
★ 多元函数积分学 ★
（课本 ch19,ch20,ch21,ch22）
考试要求
数学分析（2）——多元函数积分学
1.二重积分的计算（直角坐标，极坐标），二次积分交换积分次序，三重积分的计算（直角坐标，柱面坐标，球面坐标），利用对称性计算重积分
2.第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算
2.利用格林公式
Q P
L
Pdx
Qdy
(
D
x
y
)dxdy
其中 L 是 D 的整个正向边界曲线.
技巧：不闭则补，出奇则挖
3.利用曲线积分与路径无关的条件
练习
数学分析（2）——多元函数积分学
1.已知 L 为圆周 x2y22y 上从原点 O 按逆时针方向到点 A(0,2) 的圆弧, 计算
I (ey sin x y)dx (1 ey cos x)dy. L

11第十一章多元函数积分学共12页文档

第十一章多元函数积分学一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法.3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量).4．了解曲线积分的概念和性质.5．会计算简单的曲线积分.重点二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.（二）内容提要1．二重积分设二元函数),(yxfz=是定义在有界闭区域D上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即⎰⎰Dyxfσd),(称为函数),(yxfz=在闭区域D上的二重积分，其中),(yxf称为被积函数，σd),(yxf称为被积表达式，D称为积分区域，σd称为面积元素，yx与称为积分变量.2．二重积分的几何意义在区域D上当0),(≥yxf时，⎰⎰Dyxfσd),(表示曲面),(yxfz=在区域D上所对应的曲顶柱体的体积.当),(y x f 在区域D 上有正有负时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3．二重积分的性质(1)可加性 []⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d ),(),(.(2)齐次性 ⎰⎰⎰⎰=DDk y x f k y x kf )( d ),(d ),(为常数σσ.(3)对积分区域的可加性设积分区域D 可分割成为1D 、2D 两部分，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12d ),(d ),(d ),(D D Dy x f y x f y x f σσσ.(4)(积分的比较性质) 若),(),(y x g y x f ≥，其中D y x ∈),(，则 σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰≥DDy x g y x f .(5)（积分的估值性质）设M y x f m ≤≤),(，其中D y x ∈),(，而M m ,为常数，则⎰⎰≤≤DM y x f m σσσd ),( ,其中σ表示区域D 的面积.(6)（积分中值定理）若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ，使得σηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰.4. 二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算直角坐标系下的面积元素y x •d d d =σ , ①若D:)()(21x y x ϕϕ≤≤,bx a ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=x y y x f x x b ad d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ϕϕ， ②若D:)()(21y x y ψψ≤≤,dy c ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=y x y x f y x d cd d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ψψ. ⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素θσd d d r r =，极坐标与直角坐标的关系⎩⎨⎧θ=θ=.sin ,cos r y r x 若D : )()(21θθr r r ≤≤,βθα≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=⎰⎰Dr r r r f θθθd d )sin ,cos (=θθθθθβαd d )sin ,cos ()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰r r r r r r f .5. 对坐标的曲线积分设L 是有向光滑曲线,j ),(i ),(),F(y x Q y x P y x +=是定义在L 上的向量函数,且),( , ),(y x Q y x P 在L 上连续,利用微元法,先写出弧微元j i l y x d d d +=,作乘积=w d L F d ⋅=y )y ,x (Q x )x ,x (P d d +,再无限累加,由这两步所得的表达式,即⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P L d d 称为函数)y ,x (F 在有向曲线L 上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L 称为积分路径. 如果),( , ),(y x Q y x P 中有一个为零，则这时曲线积分的形式为 ⎰⎰y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d 或,如果曲线L 是封闭曲线，L 上积分记为⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P L d d . 6.对坐标的曲线积分的性质① 设L 为有向曲线弧，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则 y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d d d +-=+⎰⎰-.② 如果21L L L +=，则有.y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L Ld d d d d d 21+++=+⎰⎰⎰7.格林公式设D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭区域,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上有一阶连续偏导数,则有格林公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+σd d d D L y P x Q y Q x P ,其中L 是区域D 的正向边界. 8.曲线积分与路径无关(1)定义设D 是一个单连通区域,将),(y x P 简称为),(,y x Q P 简称为Q ,如果对D 内任意指定的两点A ,B 以及D 内从A 点到B 点的任意两条不相同的曲线21 , L L ,若有y Q x P y Q x P L L d d d d 21+=+⎰⎰,则称曲线积分⎰+y Q x P L d d 在D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记为⎰+BA y Q x P d d .(2)曲线积分与路径无关的定理①在单连通区域D 内，曲线积分⎰+y Q x P L d d 与路径无关的充分必要条件是：对D 内任意一条闭曲线L ，均有 ⎰=+0d d y Q x P L .②设函数),(y x P 和),(y x Q 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+L x Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立.9. 曲线积分的计算方法⑴积分路径由参数方程给出设xOy 面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==,)t (y ,)t (x ψϕ且满足:① 当参数t 单调地由α变到β时,曲线上的点由起点A 运动到终点B;② )(t ϕ,)(t ψ在以α和β为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且()()0)()(22≠'+'t t ψϕ;③),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续.则曲线积分⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 存在,且y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d +⎰={}t )t ()]t (),t ([Q )t ()]t (),t ([P d ψψϕϕψϕβα'+'⎰.⑵ 积分路径由)(x f y =给出设xOy 面上的有向曲线弧L 的方程为 )(x f y =，这时可先将有向曲线弧L 的方程看作是以x 为参数的参数方程⎩⎨⎧==,)x (f y ,x x 然后再按（1）中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的起点，积分上限一定要对应积分路径的终点. 二、主要解题方法1．在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ，x y =和曲线1=xy 所围成.解画出区域D 的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A （21，2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x 积分，这时D 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,y x y,y 121 于是⎰⎰Dy x y xd d 2=x y x y y y d d 1221⎰⎰=y x y yy d ]3[11321⎰ =⎰-2142d )1(31y yy =3312111()333y y -+ =7249. 分析本题也可先对y 积分后对x 积分，但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分.其中1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21,121y xx 2D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,2,21y x x 由此得⎰⎰Dy x y x d d 2=⎰⎰1d d 2D y x y x +⎰⎰2d d 2D y x y x =y yx x xd d 212121⎰⎰+y yx x x d d 2221⎰⎰=⎰121212d ][ln x y x x+⎰2122d ][ln x y x x=⎰+1212d ]ln 2[ln x x x +⎰-212d ]ln 2[ln x x x=7249. 显然，先对y 积分后对x 积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算σ++⎰⎰d )1(Dy x ，其中D ：1≤+y x .解画出积分区域D 的图形，无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对y 积分后对x 积分，其中110,11,x D x y x -≤≤⎧⎨--≤≤+⎩201,11,x D x y x ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 因此σ++⎰⎰d )1(Dy x =σ++⎰⎰d )1(1D y x +σ++⎰⎰d )1(2D y x=σ++⎰⎰+---d )1(d 1101x x y x x +σ++⎰⎰--d )1(d 1110xx y x x =4σ+⎰d )1(21-x +4x x d )1(10⎰-=423+103=. 例3 已知 I =x y x f y y d ),(d 010⎰⎰+x y x f y yd ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.解积分区域21D D D +=，其中1D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,0,10y x y 2D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,20,21y x y画出积分区域D 的图形，改变为先对y 积分后对x 积分，此时 D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,2,102x y x x 因此I=xy x f y yd ),(d 010⎰⎰+2xx y x f y y d ),(d 2021⎰⎰-=y y x f x x xd ),(d 2210⎰⎰- .小结把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2．在极坐标系下二重积分的计算例4 计算⎰⎰σDxyd arctan，其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y =所围成的第一象限内的区域.解画出积分区域D 的图形，由于积分区域的边界曲线有圆周，所以选极坐标系积分. 此时 θ=xy arctan ，于是⎰⎰σDxyd arctan=⎰θ4π0d ⎰θ21d r r =⎰πθθ40d 212]2[r=234π022θ=6432π.例5 求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.解把所求立体投影到y x o 面，即圆柱ax y x =+22(0>a ）内部,容易看出所求立体的体积以D 为底，以上半球面222y x a z --=为顶的曲顶柱体的体积.由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好.此时D ⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤≤θ≤-,cos 0,2π2πa r 故 V =y x y x a Dd d 222⎰⎰--=⎰-θ2π2πd ⎰θ-cos 022d a rr r a=32⎰θθ-2π033d )cos 1(a =（3π94-）3a . 小结在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.3．对坐标的曲线积分的计算方法例 6 设 I =⎰--Ly y x x xy x d d )3(222 ，其中L 是沿上半圆周22y x +=1上的点A （1，0）到)0,1(-B 一段弧，如图.解一首先验证曲线积分是否与路径无关.223xy x P -=，y x Q 2-=，因为y P ∂∂=xy 2-=xQ∂∂ ，所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段AB 路径.θ得I =⎰--ABy y x x xy x d d )3(222 ，在线段AB 上0=y ，0d =y ，x 从1到1-，所以I =⎰-112d 3x x =113-x =2-.解二用参数方程代入法，设t 为参数t x cos = ，t y sin =，t 从0到π 得I =⎰---π0222d ]cos sin cos )sin )(sin cos cos 3[(t t t t t t t t=⎰--π02d ]4sin 41sin cos 3[t t t t =（t 3cos +161cos4t ）π0=2-.显然，法一比法二简单.例7 计算⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( ，其中L 为),0(a A ,)0,(a B 联成直线段.解显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式，加直线段BO ，OA 构成封闭曲线，所以⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =⎰++---OABO L xxy y x y y d )1cos e (d )sin (e⎰-+--BOx x y y x y y d )1cos e (d )sin e (⎰-+--Axxy y x y y 0d )1cos e (d )sin e (，其中 y y P x -=sin e ，1cos e -=y Q x ，y p ∂∂= 1cos e -y x ，xQ∂∂= y x cos e . 因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得⎰++-+-OA BO L x x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =y x y P x Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂-=y x Dd d ⎰⎰-=22a -. 又因为在BO 上0=y ，0=dy ，故⎰---BO x x y y x y y d )1cos e (d )sin e (=0. 在OA 上 0=x ，0d =x ，y 从0变到a ，于是⎰---Ax x y y x y y 0d )1cos e (d )sin e (=⎰-a y y 0d ]1[cos =a a -sin ，因此 ⎰---L xx y y x y y d )1c o s e (d )s i n e (=--22a （a a -sin ）. 小结计算对坐标的曲线积分⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(，（1）若在单连通域内 x Q ∂∂=yP ∂∂时，曲线积分与路径无关。

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第十一章多元函数的积分学1. 计算下列二重积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，．2 . 将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1) 由轴与所围成；(2) 由及所围成；(3) 由和围成；(4) ．3 .改变下列累次积分的次序：(1) ；(2) ；(3) ．4 .设在所积分的区域上连续，证明．5. 计算下列二重积分：(1) ( ), 是由围成的区域；(2) 是由和围成的区域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所围成；(6) 由所围成；(7) 是以和为顶点的三角形；(8) 由和所围成．6. 求下列二重积分：(1) ；(2) ；(3) ．7. 用极坐标变换将化为累次积分：(1) ：半圆；(2) ：半环；(3) ：圆；(4) ：正方形．8. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ：；(2) 是圆的内部；(3) 由双纽线围成；(4) 由阿基米德螺线和半射线围成；(5) 由对数螺线和半射线围成．9. 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1) 若；(2) ( ) ，若；(3) ，其中＝，若；(4) ，其中＝( ) ，若．10 .作适当的变量代换，求下列积分：(1) 是由围成的区域；(2) 由围成；(3) 由围成．11 、利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) ；(2) ；(3) 球面与圆柱面（）的公共部分；(4) ( ) ；(6) ；(6) ．第十一章调用外部程序组件概览在ABAP/4 中，有多种使事务模块化的选项可供选择。

这些选项包括所有可以调用程序外部代码组件的方法。

这些外部组件可以是功能模块、其它事务、对话模块或报表。

内容嵌入程序调用.................................................................................................................................. １外部程序和滚动区 ..................................................................................................................... １外部程序和LUW 处理 ............................................................................................................... １调用功能模块.................................................................................................................................. ２访问功能库.................................................................................................................................. ２进行调用 ..................................................................................................................................... ２使用功能模块接口 ..................................................................................................................... ２处理例外情况 ............................................................................................................................ ３调用其它事务.................................................................................................................................. ４转到事务 ..................................................................................................................................... ４调用事务 ..................................................................................................................................... ４调用与调用程序共享SAP LUW 的事务 ................................................................................... ４调用对话模块.................................................................................................................................. ４运行时执行对话模块.................................................................................................................. ４用事务作为对话模块.................................................................................................................. ４提交报表........................................................................................................................................... ５向报表传送数据......................................................................................................................... ６保存或打印报表......................................................................................................................... ７在程序间传送数据........................................................................................................................... ７用SPA/GPA 参数传送数据...................................................................................................... ７详细信息，参见：嵌入程序调用(页１)调用功能模块(页２)调用其它事务(页４)调用对话模块(页４)提交报表(页５)在程序间传送数据(页７)嵌入程序调用外部程序组件由系统进行维护，对所有程序都可用。

多元数量值函数积分学

1 0
y2
1 2
x
2
x x
y
y
dy
12 2 0
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为： 1 x=y
解 (1)首先画出积分区域D，作先对x 后对y 的二次积分.
例3.计算y2d,其中D是由yx与抛物线xy22围成.
D
y2 2 x y, D
1 y 2.
D
2y
dy
y2dx
1 y22
例5 求曲线
和 x2y2 a2
解在极坐面标积系.下
x2y2a2 ra,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )
ra 2cos2,
根据对称性有 D4D1
所围成的图形的
ra 2cos2
D1
ra
得交点
所求面积
4 dxdy
D1
4
6d
a
2cos2
rdr
0a
a2(
3 ).
A
(a
的曲边梯形，此截面面积为
x且平行yoz面的平
面截曲顶柱体所得
Ax y2xf x,ydy. y1x
截面面积为任取x [a,b]，过点
b b y2x
Axdx fx,ydydx, a a y1x
abyy12xxf x,ydydx.
f x, yd
D
f x, yd
D
应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体体积”的方法，得到这个体积的值，就是二重积分的值。因此，二重积分
,
)
3
6
由r a 2cos2 dxdy
r a
D
D
就是柱体的体积, 但此时二重积分
f x, yd 的值

多元函数积分word版

多元函数积分1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型（一）计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则（1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有⎰⎰=Ddxdy y x f 0),(；（2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有⎰⎰⎰⎰=D D dxdy y x f dxdy y x f 1),(2),(；其中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域.命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2.（1）;),(2),(),,(),(1⎰⎰⎰⎰==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若（2）.0),(),,(),(⎰⎰=-=--Dd y x f y x f y x f σ则若命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==DD D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(,0),,(),( ,),(2),(1类型（二）计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈∀=-Ω∈∀--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面（或zOx 平面）对称，f 关于x （或y ）为奇函数或偶函数有类似结论.命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称（即关于x 轴对称），而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或关于，当为偶函数，关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称（即关于z 轴对称），或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称，那么也有类似结论.命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或或关于，当均为偶函数，关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z 为奇函数，即.0),,(),,,(),,(=----=⎰⎰⎰Ωυd z y x f z y x f z y x f 则题型三计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性（即x 换成y,y 换成z,z 换成x ，其表达式不变），则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===υυυυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y x f )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分类型（一）计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数，关于是偶函数，关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线，即L 1是L 在y 轴右侧的部分；若曲线L 关于x 轴对称，则有上述类似结论. 命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续，若L 关于原点对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，LL ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数，关于若为奇函数，关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.类型（二）计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑1),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.注意不能把Σ向xOy 面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0. 题型二计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称，则⎰⎰=L Lds x y f ds y x f ),(),(. 题型三计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5 若曲线Γ方程中的三变量x,y,z 具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓ====ds z ds y ds x zds yds xds 222,. 1.3 利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L 关于y 轴对称，L 1是L 在y 轴右侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为偶函数；关于若为奇函数，关于若x y x P x y x P ),(),( ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(Q 1L L dy y x Q dy y x .),(),(为奇函数关于若为偶函数，关于若x y x Q x y x Q （2）L 关于x 轴对称，L 1为L 在x 轴上侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为奇函数；关于若为偶函数，关于若y y x P y y x P ),(),( ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dy y x Q dy y x Q .),(),(为偶函数关于若为奇函数，关于若y y x Q y y x Q （3）L 关于原点对称，L 1是L 在y 轴右侧或x 轴上侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+⎰⎰⎰,2,0),(),(1L L L Qdy Pdx dy y x Q dx y x P .),(),(),,(),(),(),,(为奇函数关于若为偶函数，关于若y x y x Q y x P y x y x Q y x P （4）L 关于y=x 对称，则.),(),(),(),(),(),(⎰⎰⎰+-=+=+-LL L dx x y Q dy x y P dx x y Q dy x y P dy y x Q dx y x P 即若L 关于y=x 对称，将x 与y 对调，则L 关于直线y=x 翻转，即L 化为L —.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2 设Σ关于yOz 面对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑,0,),,(2),,(1dydz z y x P dydz z y x P .),,(),,(为偶函数关于当为奇函数，关于当x z y x P x z y x P 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.这里对坐标y 和z 的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz 面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2. 交换积分次序及转换二次积分题型一交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D 的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D 在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.3. 计算二重积分题型一计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max 或min 及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为)(22y x f y x m n +或)/(x y f y x m n 的形状时，常作坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r ，θ）计算二重积分的公式：⎰⎰⎰⎰=')sin ,cos (),(D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ （其中rd θdr 是极坐标系下的面积元素）. 用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c 均为常数）.类型（一）计算圆域x 2+y 2≤a 上的二重积分.类型（二）计算圆域x 2+y 2≤2ax 上的二重积分.类型（三）计算圆域x 2+y 2≤-2ax 上的二重积分.类型（四）计算圆域x 2+y 2≤2ay 上的二重积分.类型（五）计算圆域x 2+y 2≤-2ay 上的二重积分.类型（六）计算圆域x 2+y 2≤2ax+2by+c 上的二重积分.4. 计算三重积分题型一计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。

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第10讲多元函数微积分.doc第10讲多元函数微分学⼀、复习要求多元函数微分学(1)了解多元函数的概念、⼆元函数的⼏何意义及⼆元函数的极值与连续概念(对计算不作要求)。

会求⼆元函数的定义域.(2)理解偏导数概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件.(3)掌握⼆元函数的⼀、⼆阶偏导数计算⽅法.(4)掌握复合函数⼀阶偏导数的求法.(5)会求⼆元函数的全微分.(6)?常握由⽅程F (x, y, z)⼆0所确定的隐函数z=z (x, y)的⼀阶偏导数的计算⽅法.(7)会求⼆元函数的⽆条件极值.⼆、复习内容(1)多元函数：多元函数的定义⼆元函数的定义域⼆元函数的⼏何意义⼆元函数极限与连续的概念(2)偏导数与全微分：偏导数全微分⼆阶偏导数(3)复合函数的偏导数(4)隐函数的偏导数(5)⼆元函数的⽆条件极值本讲共3次课，讨论的多元函数概念及其微积分学是⼀元函数及其微积分学的推⼴与发展，并对⼆元函数作主要研究.第⼀节多元函数的概念—、多元函数的概念1.⼆元函数的定义在很多⾃然现象以及实际问题⼬，经常会遇到多个变量Z间的依赖关系.例1圆柱体的体积依赖于其底半径r和⾼h,即⼙=,其中r,h为取值于集合{(r,h)|r > o,h > o}的实数对.例2 ⼀定质量的理想⽓体的压强P与体积V和绝对温度T Z间满⾜下列关系：p =其中k为常数，T, V为取值于集合^T,V]T>T o,V>o]的实数对.以上两个实例具有公共特征：问题中的⼀个变量取值依赖于另两个相互独⽴的变量，并被这两个变量的取值唯⼀确定.抛开上述两例中各变量的实际意义，仅保留其数量关系，抽象出如下定义：定义1设在xoy平⾯上有⼀个⾮空点集D,如果有⼀个对应法则使得对每⼀个点P(x,y)eD，都有⼀个实数z与之对应，则称对应法则/为定义在D上的⼆元函数，记作z = /(x,9).其中X,y称⾃变量，Z称因变量，习惯上称z是X,y的函数，D称为函数的定义域.函数z = f(x,y)在点(x o,y o)处的函数值为」n(x[l/)在点⼔@,_1)处的值.例3求函数/(x,9)2X-」化1) = 0解即求当x = 2f y = -i时的f(x,y)的值，/(2,⼀1)2 ? 2_2.⼆元函数的定义域整个xoy平⾯或xoy平⾯上由⼏条曲线围成的⼀部分称平⾯区域.围成平⾯区域的曲线称为区域边界.不包含边界的区域称为开区域，包含全部边界的区域称为闭区域.包含部分边界的区域称为半开半闭区域.不延伸到⽆穷远处的区域称为有界区域.延伸到⽆穷远的区域叫⽆界区域.平⾯点集< (x，”J (兀-+(『-⼉)2 <》}称为⼈(兀0，⽍0)的》邻域,⽽称不包含点P{)的邻域为点P. (x o,y o)的去⼼邻域.⼆元函数定义域的确定与⼀元函数相类似，就是找使函数有意义的⾃变量的范围；对于由实际问题得到的⼆元函数，其定义域要符合实际问题的具体意义?⼆元函数的定义域通常为平⽽区域.例4试确定下列函数的定义域，并画出其在平⾯中表⽰的区域./U y) = ln(x+y).解⑴要使函数有意义，则2 0,故函数的定义域为D = {(x,y]xHo},它是整个 xoy 平⾯去掉y 轴的⽆界开区域(如图7-1的阴影部分)⑵要使函数有意义，贝U R_x 2-y 2>o ,故函数的定义域为D = {(x,z/^x 2 4-J/2 <7?},它表⽰的是xoy 平⾯上的圆X 2+y 2 =R 所围成的有界闭区域(如图7?2的阴影部分).⑶应满⾜x + y 〉o,故函数的定义域为D = {(x,y)|x + 9>o},它表⽰的是直线y = -x 右侧的平⾯区域，为⽆界开区域(如图7?3的阴影部分).3. ⼆元函数的图形如果将⼆元函数z = /(x,y)看作是涉及三个变数￡ Z = /(X, >0的全部点的集合，通常是空间的⼀张曲⾯，称这⽽其定义域D 就是这曲⾯在妆巧平⾯上的投影.对于D 上⼻为⼄=/(x,y),于是空间直⾓坐标系⼬就确定了⼀点M (兀当P (x,y)在D 上变动时，对应点M (x, y, z)就在这张曲⽽上变动.如函数z = ax+by+c 的图像是⼀平⾯，它以为法向量，⽽在z轴上的截距为 c.z = yl\-x 2-y 2表⽰的是以原点为球⼼，半径为1的上半球⾯.(1) z = L ；X*⼆、⼆元函数的极限与连续多元函数的极限概念是⼀元函数极限概念的推⼴.定义2设⼆元函数/（x,y）在点⼈）（兀0，⼉）的某个去⼼邻域内有定义，若动点P（x,y）以任意⽅式趋于定点^（x0,y0）（礼“升⼈仇，％）））吋，函数值/（兀,V）总趋于⼀个确定的常数A ,则称A是函数/（x, y）在（3）趋于（so）时的极限，记作1 i M（兀,）0 = A.有定义可知⼆元函数极限的定义与⼀元函数极限的定义是类似的，因此⼆远函数的极限也有类似的四则运算法则.Q +!?2_ Jxy + 4例5 求lim—————.解因为分⼦分母的极限为零，故考虑变形，lim上逅卫=lim⼼孕芈适刃=lim「、=-丄锻⼩⽫xy\2 + ^xy + 4）沽⼩乜+历」⼃4需要注意的是，⼆元函数的极限与⼀元函数的极限在趋向路径要求上有较⼤的区别，对⼀元函数/（X）,⾃变量的路径只能在X 轴上；对于⼆元函数/（X, >?）,⾃变量户（兀,对—⼄⽐,⼉）在⾎⽍平⾯上却有⽆穷多条路径，只有当pgy）沿着任意路径⽆限趋近点⼄（观,％）时，函数/（x, y）的极限都存在且相等，函数/（x,y）的极限才存在.例6证明lim不存在.证明若点P（x, y）沿直线y =也趋向于点*（（）,（））时，贝iJ（? xy v kx1v k 7 lim -------- —- = lim—----- = lim =k⽛兀-+ y X->Q⼪-+ k x4x—>0 ] + ky-?O ⼃其结果随着R取不同的值⽽变化，故极限不存在.有了极限的概念，我们可以在这个基础上建⽴⼆元函数连续的概念.定义3 设函数/（A y）在点花（勺,旳）的某邻域内有定义，且1 i⽫（兀』）=/（兀0，⼉），则称函数/（x,y）在点坨（％%）连续.AT"函数/（兀丁）如果在某个区域Q 的每⼀点处均连续，则称/（%,y ）是Q 上的连续函数. ⼆元连续函数成⽴与⼀元连续函数相仿的性质.习题11?确定并画in 下列函数的定义域：（1） z = ln （x 2 -y-1）；（2） z = Jx+y + 丁2-x ；2. 设函数 f(x, y) = x 3 - 2xy 4-3y 2,求:第⼆节偏导数与全微分⼀、偏导数的概念当⼀个变量与多个变量之间存在相互依赖关系时，⼈们往往想了解这个变量相对于多个变量中的某⼀个变量的变化率，即多元函数相对于某⼀个⾃变量的变化率，由此我们引⼊⼆元函数的偏导数的概念.定义4设⼆元函数z = /（x,y ）在点（x 0,y 0）的某邻域内有定义，固定⾃变量y ,即取 y = y （），⽽x 从⼼变到x 0 + Ar 时，若极限恤竺=lim /&0+⼼』0)-/(勺‘⼉)MTO A X ⼼->0A X存在，则称此极限值为函数z = /（x,y ）在（观,⼉）处关于x 的偏导数，记作存在，贝IJ 称此极限值为函数z = /（x,y ）在⽐,y （））处关于y 的偏导数，记作(3) z = y[\—x~ + -1 ；(4) z = arcsin —.y⑴ /(-2,3);⑵f‘1 2° 9 _*3.求极限（若不存在，说明理由）： (1) lim ［⼀可；；⑵1曲凹 ;护—yf x （兀0，⼉），类似的，若极限lim — = lim Av-?O Ay-?O/（兀0，⽐+⼈『）⼀/（兀0，⼉） Ay 或务 dz I 杰 |(so) ?若⼆元函数z = /(兀,y)在区域D 内每⼀点(x,y)处都有对兀」的偏导数存在，则称函数在区域D 内可偏导，并且偏导数/；(x,y)与/；(兀⽍)在D 内仍是兀,y 的⼆元函数，称它们为函数z = /(x, y)在区域D 上的偏导函数，简称偏导数.函数z = /(兀,y)对x 的偏导数记作/；(九)?或乞，—.OX 0X函数z = /(x,y)对⼃的偏导数记作f (x,y)或z , % ,冬.dy dy求⼆元函数z = /(x,y)对某⼀个变量的偏导数时，就是将另⼀个变量看成常数，对变量求导数.故只需运⽤⼀元函数求导的基本运算法则、基本公式就可求得偏导数.例1求/(x, y) = %3 sin 2y 在1,—处的偏导数.< 4⼃解求函数对兀的偏导数时，把y 看作常量，于是v=—求函数对y 的⼀阶偏导数时，把x 看作常量，于是{ rr f y =2x cos2y x=I =0. < 4⼃兰4例2求⼆元函数z = x 2+3xy+y 2的偏导数. 解把y 暂时看作常量，于是z ；=2% + 3y, 把兀暂时看作常量，于是 Z 、. =3x + 2y.例 3 设 z = /,(y>O,y^l),求 %，冬.ox dy解害= yT2,孚=加?dxdy偏导数的概念可推⼴到三元及三元以上的函数.fy (兀0*0)，或 Zy (z°)，(?Wo)'dz I(go)3x 2 sin 2y x=\ 3,d (df}d 2f ^d 2z 勿l 労⼃莎2dy 2其⼬⼏"（⽆,y ）与称为⼆阶混合偏导数. 同样地，我们可以定义三阶及其以上的偏导数.⼆阶以及⼆阶以上的偏导数统称为⾼阶偏导数，⽽把前⾯定义的偏导数，叫做⼀阶偏导数.例5设z = x 3y 2 -3xy 3 -xy + 1,求⼆阶偏导数. 解因为—= 3x 2y 2 _3y? _y ,— = 2x^y-9xy 2 -x. dx dy所以⼆阶偏导数为i 、门 ,z 9 3、⼯ Qu 6U du 例4 设况=ln(x+ + z 3),求——,——,——? dx dy dz 解求对兀的⼀阶偏导数时，把”Z 暂时看作常量，于是du dx同理,可得du 2y du 3z 2dy x+ y 1 + z 3 dz x+y 2 +z 3⼆.⾼阶偏导数若z = f&y ）的偏导数字,字在点P （x, y ）对X 或 dx dy ⽍的偏导数也存在，则称z = /（x, y ）在点p （x,y ）的⼆阶偏导数，它们是讪⼏〃阳）"dx\dxdx 2 dx 1H XXdxdy dxdyS (dfC f- 5 Z = f yx (X, y) = z yAdxydy^ ⼃ dydx dydxfyy (E=Zd~Z 6/y_9y2_i；dx2dxdyd 2z例6设u = e elx coshy.求⼆阶偏导数.解—5斜”si 咖.o2发现例5,例6中有，⾦盘,这不是偶然现象，事实上，我们有以下定理: 定理1若函数z = /(x,y)的两个⼆阶混合偏导数￡：?)、//(x,y)在点P (x,y) 处连续，则有fxy U y) = fyx D这就是说，如果⼆阶混合偏导数满⾜连续的条件，则求混合偏导数就与次序⽆关. 此定理可以推⼴⾄更⾼阶混合偏导数的情形.三、全微分的概念当⼆元函数z = /(x,y)在两个⾃变量分别有增量Ax 、Ay 时，引起的函数增量茲=于(兀+⼼,⽍+ Ay)-/(x,y)称式⑴为函数z = /(x,y)在点P (x, y)处的全增量.类似于⼀元函数的微分，看⼆元函数的微分.实例：设有⼀个矩形⾦属⽚，其边长分别为兀』，由于受热，边长分别增加了⼼,试求⾦属⽚⾯积的改变量?如图7?5⽰，若矩形⾦属⽚的⾯积⽤S 表⽰，则受热前的⾦属⽚⾯积为:S = xy--ab^lx sin by ；=-ab^ sin by ；⼀ =-b 2e ax cosbyA>dxdydydx受热后的⾦属⽚⾯枳的改变量为图7?5 A5 =(⽆ + A%Xy + Av)_ ⼩=yAx + x\y + AxAyrtl 图AS 是rhyAx + xA^ （图中的阴影部分）和⼼⼼（图中的右上⾓的⼩矩形的⾯积）两部分组成，当⼼,很⼩时，就有与⼀元函数⼀样，我们称^Ar + xAy 为⾯积S 的全微分.定义5设函数z = /（⼪y ）在点P （兀y ）的某个邻域有定义，且其全增量可表成Az = /(x + Ax, y + Ay) - /(x, y)= A Ax + BAy则称z = f （x, y ）在点P （x. y ）处可微，并称A\x + BAy 为函数z = /（x, y ）在点P （忑y ）处的全微分，记作dz,即dz = A Ax + BAy ?其中A,B 与⼼、Ay 均⽆关，⽽⼻J&F +（⼼门是关于J&y +（△＞，『的⾼阶⽆穷⼩.iB Ax = J A ;Ay = Jy,则全微分可写成 dz = Adx + Bdy在⼀元函数中，可导与可微是等价的，对于多元函数来说，这个结论不成⽴.下⾯给出两个定理，说明⼆元函数可微与可导的关系.定理2若⼆元函数z = /（x,y ）在点（x,y ）可微，则函数z = /（x,y ）在点（兀,y ）处的⼀阶偏导数型与堂⼀定存在，且全微分为：dz = 0dr + ^dy （证略）.dx 勿 dx dy例7求函数z = x 2y 的全微分.解因为各=2与,各⼆兀2,dxdy 所以全微分为dz = 2xydx-\- x 2dy.例8计算z = Q 在点（1,2）处的全微分.z = /（兀,y ）在该点可微（证略）.所以全微分为 dz = 2e'dx+ e 2dy.类似的，可以定义⼆元以上函数的全微分.习题21. 求下列函数的偏导数: (\)z = x y-y x\ y(3) z = sin —；x2. 已知 f(x, y) = arctan 旦，求 f\ (- 3,0),//(1,2)兀+ y 3. 求下列函数的⼆阶偏导数：(l)z = X 4 4-y 4 -4x 2^2; a(3)z = ysinxy + x ;4. 求下列函数的全微分：(l)z =⽦” y “ m 为不为零的常数;第三节多元函数的求导法则⼀、⼆元复合函数的求导法则设函数 z = f(u, v), u =加⽆,y), v = 0(x, y),称函数 z = /［/兀,y),⼬(x, y)］是由z = f(u 9v), u =(p{x.y),v = y/{x.y)复合⽽成的⼆元复合函数，其中是中间变量，x.y 是⾃变量.对于⼆元复合函数的有求导法则如下：定理4设函数u =(p(x, y), v =y)在点P (x, y)处偏导数都存在，⽽函数z ⼆/(w, v)在对应点(况*)有连续的偏导数，则复合函数z = /［加兀,y),?(x,y)］在点P (x,y)的偏导数存在，且dz dz dudz dv dz dz du dz dv —= ---------------- 1 -------- , — = -------------------- 1 -------- .dx du dx dv dx dy du dydv dy解因为dzx=\ ⼫2x=\ ⼫2(2)z = y x ;(4) y = ln(x 2 +xy+j 2).⑵ z = e x+y sin(x + y).⑵ z = xln(x+ y)；此公式称为求复合函数偏导数的链式法则.（证明从略）市此可见，复合窗数求偏导数时，⾸先要搞清楚函数，中间变量和⾃变量之间的关系. 为了形象的理解它们之间的复合关系，可以画出复合关系图，然后利⽤公式逐项求偏导数.设 z = e lt sin v,u = xy\v = x+y^ — ,— dx dy解函数的复合关系如图7-6⽰，由多元复合函数求导公式可得:dz dz du dz dv H . u ——= ------ + -------- =e sin v ? y + e cosv dx du dx dv dx=e xy [y sin(x + y) + cos(x+ y)], dz dz du dz dv u . H—= ---------------- 1 --------- = e sin v ? x + e cosvdy du dy dv dy=e xy \x sin(x+y) + cos(x+ y)] ?实际上多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可能把所有的公式都写出来，⽽且也没有必要，只要把握住函数的复合结构，同样可以利⽤链式法则进⾏求导.例 2 iS z = iCv ,⽽ u = cos/, v = sinZ ,求⼀.dt解函数的复合关系如图7-7⽰，由于 w 都是/的⼀元函数，所以z 是/的⼀元函数.dz dz du dz dv ⼩ / ? \ 2—= ---------------- 1 --------- = 2w — sin /) + u ?costdt du dt dv dt=—2sin? rcosZ + cos 31.图7?6v y当然，该题还可转化为关于⾃变量/的⼀元函数直接求导:设函数z = f(x,u) =u3 1 oz Qz函数的复合关系如图7-8⽰，由多元复合函数求导公式可得:dz df df du2 n r-y o 9—=—+— ----------- =3JC +e =e〉+3⼚dx dx 8u dx返旦迴=￥=_严dy du 8y例4 设函数u = f(x, y, z) = e x'+J⼇ou du 求⼀，⼀dxdy图7=-2 sin2 / cos r + cos3 Z.图7解两数的复合关系如图7-9⽰，由多元复合隊|数求导公式对得:du _ 8f df 8z 8x dx dz dx=2xe x2+y2+z2 + 2z/"+异? 2xsin y =2壮 E 2"⼼ Q 兀 2 sin2y + i).du _8f df dz ------ z= -------- —j — ---- ------dy dy dz dy= 2)0%“ +2zf 2+yW .兀2 cosy =直⼧卉丹&⼘+⼗pH 〉，cosy).⼆.隐函数的求导法则⼀元函数微分学中，运⽤复合函数求导⽅法可求由⽅程F （x,y ） = 0所确定隐函数〉，=/⼔）的导数空.现在，同样可⽤多元复合函数求导⽅法来求由⽅程F （x,y,z ） = 0所 dx 确定隐函数z = /（x, y ）的偏导数.设函数z = /（x,y ）是由⽅程F （x,y,z ） = 0确定的，⽽F （⽆,y,z ） = 0具有连续的偏导数，且化'⼯0 ,对⽅程F （x,y,z ） = 0两边分别对x 和y 求偏导数，有Fl +C Z =0 Fy +理 3 =0 f/， F， F从⽽,Zy =,F ：巴dFSF或竺=_⽟竺=_型&⼀ 8F^dy~ OFdz dz这就是rtl ⽅程F （x, y, z ） = 0所确定的隐函数的偏导数公式.例5设z = /(x,y)是由⽅程x 2+y 2+z 2=4z 所确定的，求 dx dy 解令 F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - 4z,则图7x & _ 2y _ y 2- z" dy 2z -4 2- z通常情况下，隐函数求导也可直接从⽅程⼊⼿，⽽不必拘泥于公式.2 22G G例6由⽅程⼆+与+⼆=1确定的z 为兀⼃⼆元函数，求偏导数竺，竺,a~ b~ c~ dx dy Sr解⽅程两边对x 求偏导，据复合函数求导法，有2x 2z dz ⼋ a c 「dx即得密=-字?(1)dx a z⽅程两边对y 求偏导，据复合函数求导法，有据(1),对x 再求偏导，有习题3、rL 2 2 ⼼ I ? ］、6z 6z V )LZ = U v-uv^,具中 u = xcosy.v = xsin y ,求⼀,⼀? dx dyA 7 设z = ln(/+R),其中y = 求竺.dx第四节⼆元函数的极值⼀、⼆元函数的极值的概念在⼀元函数中，我们利⽤导数来求函数的极值，对于⼆元函数，同样也有极值问题，处证明隐函数2 sin(x + 2y - 3z)=x + 2_y — 3z ⼀定满⾜表达式------------------------------- 1—c 2x} dx 2z -4 即得斜b 2za^z__￡ (z — x — ( &⼃a 2z 2dzz + x —(⼼⼃ 2 o9 ? 4 76TC Z + C Xa 4z 21. 2.3.a设e z -xyz = 0,其中z 是的函数，求⼆ dx(2w ,n2J 砂 W，n24. dz 2x理⽅法与⼀元函数类似.定义6设函数z = /(x,y)在点^(x0,y0)的某邻域内有定义，对于该点附近任⼀异于点⼈(兀()，⼉)的点Pg y\⑴如果/(x,y)(2)如果/(x, y)>f(x09y0)^则在点⼛(兀()，⼉)处z =/(x,y)有极⼩值/(x0,y0). 极⼤值和极⼩值统称为极值，使函数取得极点的点称为极值点.⼥⼝，函数z = ^\-x2-y2,其图形是球⼼在原点，半径为1的上半球⽽，如图7-10 所⽰，在点(0,0)处的函数值都⽐邻近点的函数值⼤，故在点(0,0)处，函数有极⼤值为1. ⼜如，z = 2x2 + y2其图形是顶点在原点的椭圆抛物⾯，如图7-11⽰，因点(0,0)的任⼀邻域内除了点(0,0)外的所有点处的函数值都为正，所以在点(0,0)处，函数z = 2x2+y2有极⼩值0.从⼆元函数极值的定义可得：若函数z = /(x,y)在点^(x0,jv0)有极值，则只随x变化的⼀元函数/(x,y0)就在点％有极值，于是，由⼀元函数在极值点的必要条件，⼀定有9⼈(兀o，y°)=o,同理可知f y (x o,y o) = O.定理5(极值存在的必要条件)若函数/(x,y)在点￡(兀0，⼉)处⼀阶偏导数存在，且在该点函数有极值，则必有fx (^oO?o)=/v(Xo，)b) = o.与⼀元函数类似，凡是使(⽆o，)'o)= fy(尤0，⼉)⼆0成⽴的点就称为函数的驻点.由定理5可知，可微两数/(x, y)的极值点必定是驻点，但函数的驻点未必是极值点，例如函数z⼆q在点(0,0)处有偏导数//(0,0)= 0及//(0,0)= 0,故(0,0)是z⼆⼩的驻点，但/(0,0)= 0不是函数的极值点.如何判断函数的驻点是否为极值点？下⾯的定理冋答了这个问题.定理6 (极值存在的充分条件)若幣数z = /(x,y)在点￡(母),⼉)及其附近有连续⼆阶偏导数,且点￡(兀。

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多元函数积分学综述：多元函数积分学是对一元函数的不定积分与定积分相关知识的推广，主要涉及重积分和曲线、曲面积分的计算与应用.本章在考研数学数学一的考试中所占的比重非常大，一般来说，每次考试平均会出两道大题、一道小题，所占分值在24分左右.本章的主要知识点有：各种积分（二重积分、三重积分，对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分）的定义与性质，各种积分的基本计算方法，联系各种积分的公式（格林公式，高斯公式，斯托克斯公式），以及场论的一些初级的知识.考生复习的时候要注意：1.定积分是所有积分的基础，计算其它积分本质上也是在计算定积分，而所有积分定义本质上也都是和定积分一致的.2.具体地来说，计算二重积分等价于计算两次定积分，计算三重积分等价于计算三次定积分.对于重积分，考生主要要掌握各种坐标的定限方法和适用范围.3.而对弧长和对坐标的曲线积分的计算本质上也都是定积分的计算.其中，考试对对弧长的曲线积分要求较低，只需掌握计算公式即可.而对对坐标的曲线积分，除了要掌握计算公式，还需要理解它和对弧长的曲线积分之间的关系，更重要的还需要掌握格林公式以及由它所引申出的积分与路径无关的条件以及二元函数的全微分等知识点.这是本章的第一个重点.4.然后，对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分的计算本质上是二重积分的计算.其中考试对对面积的曲面积分要求较低，掌握计算公式即可.对坐标的曲面积分这一块考点较多：首先要掌握基本的计算公式和两类曲面积分之间的关系，然后还需要重点掌握高斯公式以及斯托克斯公式的应用.这是本章的另一个重点.本章常考的题型有：1.二重积分的计算，2.三重积分的计算；3.对弧长的曲线积分的计算；4.极对坐标的曲线积分的计算，5.格林公式的应用，6.对积分与路径无关的条件的考查，7.二元函数的全微分，8.对面积的曲面积分的计算，9.对坐标的曲面积分的计算，10.高斯公式的应用，11.斯托克斯公式的应用，12.综合应用，13.场论初步.常考题型一：二重积分的定义与性质常考题型一：二重积分的性质1.【2005—3 4分】设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（）()A 123I I I >>. ()B 321I I I >>. ()C 312I I I >>. ()D 213I I I >>.常考题型二：二重积分的计算1．交换积分次序2.【2004-1 4分】设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（）()A11()dx f xy dy -⎰⎰()B 22()dy f xy dx ⎰⎰()C 2sin 20(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰()D 2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰3.【2007-2 4分】设函数(,)f x y 连续，则二重积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（）()A 10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰()B 10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰()C 1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰()D 1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰4.【2009-1 4分】设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx-⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰5.【2004-1 4分】设()f x 为连续函数，⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于（）()A ()22f ()B ()2f ()C ()2f -()D 06.【2001-1 3分】交换二次积分的积分次序：()0112,ydy f x y dx --=⎰⎰.7.【2002—3 4分】交换积分次序：()()111422104,,yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰8.【2014—3 4分】二次积分2211()________.x y yedy e dx x-=⎰⎰ 【小结】：交换积分次序的一般步骤：根据现有的积分次序画出积分区域；选择另一种次序确定上下限、写出新的累次积分，如果有必要，可以分类讨论.2.直接利用直角坐标计算二重积分9．【1999-3】设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由20,,1y y x x ===所围成的区域，则(,)f x y 等于 ( )(A)xy (B)2xy (C)18xy +(D)1xy + 10.【2003-4】设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.11.【2005-1 9分】计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .12.【2008-1 11分】求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤13.【2011-1 11分】已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==，(,)Df x y dxdy a=⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰14.【1998—3 7分】计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==以及曲线x =.15.【2001—3 6分】求二重积分()22121x y Dy xe dxdy +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰的值，其中D 是由直线,1y x y ==-，1x =围成的平面区域.16.【2006—3 7分】计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.17.【2012—3 10分】计算二重积分x De xydxdy ⎰⎰，其中D为由曲线y =与y =所围区域。

高等数学-二元函数积分学

8
1､曲顶主体的体积
第六章多元函数积分学
上面的问题把所求量归结为和式的极限. 由于在物理、力学、几何和工程中技术中，许多的物理量和几何量都可以用这样的和式的极限来表示，所以有必要研究这种和式的极限的一般形式，我们从上述从表达式中抽象出下面的二重积分的定义.
9
2､二重积分的概念
第六章多元函数积分学
定义设 f (x, y) 是平面闭区域 D 上的有界函数，将 D 任意分割成 n 小块：
D1, D2, Dn ，记第 i 块的面积为 i (i 1, 2, .n) ，在第 i 块上任取一点 (xi , yi )
（见图 6-4），
y
图 6-4
n
作
i 1
f (xi , yi ) i ，取
max
1in
x2
y2
z2
1，
z0
即为区域 D 的边界曲线：上半球面所对应的方程为
x2 y2 1.
z 1 x2 y2 .
D
f (x, y) 0 时，对应的二重积分是负值，故曲顶柱体的体积V 2､二重积分的概念
第六章多元函数积分学
例 1 用二重积分表示上半球体 x2 y2 z2 1, z 0 的体积，并写出积分区域.
解首先上半球体 x2 y2 z2 1与 xOy 面的交线
课前导读
作为一元函数的定积分有许多应用，但仍有许多问题无法处理，比如，在定积分的应用中，我们计算了旋转体的体积、并作了已知截面求体积. 但对一般形状的物体，用定积分求其体积就显得困难.因此我们需要用二重积分来解决此类问题.
5
课前导读
在学习二重积分的时候，注意和定积分的相关概念之间的区别与联系. 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.

多元函数积分学

z
a
.
0
a
x
解：V1 1 x2d，
D
又 D： 0 x 1 0 y 1 x2
1
1 x2
V1
dx
0
0
1 x2 dy

1
(1

x2
)dx

2
a 0y
3
故：V

8V1

16 3
例
求抛物柱面z x ,平面 x y 和三个坐标平面所围体积。
f ( x, y)d f ( x, y)d
D1
D2
则
D1 :
0 x 1,
0 y
2x x2 .
1 x 2,
D2 :
0 y 2 x.
y
1
D1 D2
o
1
y

22
x x
设 D D1 D2 将 D 向 y 轴投影。
f ( x, y)dx
dy.

d
c
dy
2( y)
1( y)
f
( x,
y)dx
--- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分
X 型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用积分公式
D:
1
1 y2 x 2 y,
0 y 1.
于是，
原式 f ( x, y) d
D

1dy

多元函数的积分及应用.

=10 5 (1 e25 ) 314159

第二节多元函数的积分及应用
案例3 [平均利润]
设某公司销售两类商品，销售第一类商品 x 个单位和第二类商品 y 个单位的利润(单位:元)按下式确定:
P(x, y) (x 200 )2 ( y 100 )2 5000
e
试求该城市的总人口数 R。

第二节多元函数的积分及应用
解
先确定常数 a ，c。
由 r 0, 105 ；r 1, 105 。可得到 a 1, c 10 5 。
e
因此，该城市人口密度函数为
(x, y) 105 e(x2y2)
因该城市是半径为r 5 km的圆形区域，即
n
如果当 0 时，和式 f (i ,i ) i 的极限存在，则称函数 f (x, y) 在D上 i 1
是可积的，并称此极限为函数 f (x, y) 在区域D上的二重积分，记作
f x, yd
D
n
即
f
x,
yd
=
lim
0
i 1
(i ,i ) i
。
D

第二节多元函数的积分及应用
性质5
1d = d =
D
D
若在区域 D 上有 f (x, y) g(x, y) ，则
f (x, y)d g(x, y)d
D
D

第二节多元函数的积分及应用
三、案例
案例1 [薄片的质量]
设以原点为圆心，半径为a的平面薄圆板的密度函数为 (x, y) x2 y2 ，求
薄片的质量。
解该薄片在 xOy 面上的区域 D 在极坐标系下可表示为
D
:
0 0