秋季初二竞赛班轴对称练习题
秋季初二竞赛班轴对称练
习题
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轴对称1练习题 2011-9-10
题1 （第一届“祖冲之杯”初中数学竞赛题） AC ⊥BD ，已知OA
如图，凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，且＞OC ，OB ＞OD.
求证：BC ＋AD ＞AB ＋CD.
[证明] 在线段OA 上取C 关于BD 对称点C ′，在线段OB 上取D 关于AC 的对称点D ′，连C ′D ′，AD ′，BC ′，则C ′D ′＝CD ，BC ′＝BC ，AD ′＝AD.
在△ABE 中，BE ＋AE ＞AB ①
在△D ′C ′E ′中， D ′E ＋C ′E ＞C ′D ′ ②
①＋②得：
BC ′＋AD ′＞AB ＋C ′D ′， ∴BC ＋AD ＞AB ＋CD.
题2 (1999年北京市初中竞赛试题)
如图所示, 正方形纸片ABCD 中, E 为BC 中点, 折叠正方形, 使点A 与点E 重合, 压平后得拆痕MN. 设梯形ADMN 的面积为S 1, 梯形BCMN 的面积为
S 2, 求
2
1
S S 的值. [解] 连结AE, 则折痕MN 垂直平分AE. 若连结EN, 则EN ＝AN.
设正方形边长为1, NB ＝x, 则EN ＝1－x, BE ＝2
1. 由勾股定理, 得(1－x)2＝x 2＋4
1.
解得x ＝83. 又AE ＝411+
＝2
5. 过N 作NF ⊥DC 于F, 在Rt △ABE 和Rt △NFM 中, AB ＝NF, ∠1＝∠2(都是∠MNA 的余角), ∴Rt ∠ABE ≌Rt △NFM. ∴NM ＝AE ＝2
5
. ∴MF ＝
2
1
145=-. ∴MC ＝21＋83, DM ＝81.∴21S S ＝
8
78385
81++
＝53.
题3 等腰三角形ABC 中，AB= AC,∠A=100o ，BE 是∠ABC 的平
分线，求证：AE+ BE=BC ．
[证法1] 由已知条件不难算出：∠1=∠2=20o ，∠5=60o ，∠7=40o
延长BE 到G ，使BG=BC ，连结CG ，不难得到∠G=80o ，∠8=40o,∠6=60o 。 在BC 上截取BF=BA ，连结EF ，易证△ABE ≌△FBE,从而∠3=∠5=60o ，EF=AE ．
在△EFC 与△EGC 中，∠4=180o-（∠5+∠3）=60o=∠6，CE=CE ，∠7=∠8，故△EFC ≌△EGC ，EF=EG ，从而EG=AE ． ∴AE+BE=EG+BE=BG=BC.
[证法2] 由已知条件可以算出：∠1=∠2=20o ，
∠5=60o,∠C=40o ， 在BC 上截取BG=BE ，连结EG ，计算后可知∠7 =∠BEG=80o ，∠4=∠7-∠C=40o ， 于是∠4=∠C ，EG=GC ．
又在BC 上截取BF=BA ，连结EF.显然△ABE ≌△FBE ，从而∠5=∠3，于是∠3=60o ，又AE=EF.
因∠6=∠3+∠1=60o +20o= 80o =∠7，故EF=EG ，从而AE= GC ． ∴ AE+BE=GC+BG=BC.
[证法3] 在BC 上截取BG=BE ，连结EG ．易求得∠4=40o ，∠7=80o ，从而
∠5=100o=∠A ．
过E 作EF ∥BC 交AB 干F ，显然△AEF 也是等腰三角形，从而AF=AE ，于是有FB=EC.又∠3=∠1=∠2，故有 EF=FB.又∠6=∠ABC= 40o=∠4，所以△AEF ≌△GEC ，故有AE=GC ． ∴ AE+BE=GC+BG= BC.
[证法4] 延长BE 到G ，使EG=EA.不难算出∠1=∠2=20o ，∠4=60o 。，从而∠G=∠5=300o ，
再过A 作AM ⊥BC ，M 为垂足，由等腰三角形性质知M 是BC 的中点．
连结GA ，过B 作BN ⊥GA ，垂足为N ，∠GBN=90o-∠G=60o ，∠3= ∠GBN-∠2=60o-20o=40o =∠ABC.又AB 是公共边，故有Rt △ABN ≌Rt △ABM ，从而BN=BM.但BN=21BG, BM=2
1
BC ，BG=BC,即BE+EG=BC ，也就是BE+AE=BC.
题4．（2001年广西“创新杯”初中数学竞赛试题）在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，当点M 的横坐标的值是多少时，MP ＋MQ 的值最小
解 作点Q 关于x 轴的对称点（2，－1）。 设直线PR 为y ＝kx ＋b ，则有
???+=-+=.21,55b k b k 解得??
?-==.
5,
2b k 所以直线PR 的解析式为y ＝2x －5。 令y ＝0，解出x ＝
2
5
即为所求。 下面证明点M 0（2
5
，0）使MP ＋MQ 取最小值。
设PR 与x 轴的交点为M 0（25
，0），在x 轴上任取一点M ，因为点Q 关于x 轴的对称点为
R ，易知x 轴垂直平分QR ，于是
M 0Q ＝M 0R ，MQ ＝MR ， 由三角形三边关系，知 MP ＋MR ≥PR ，
而PR ＝PM 0＋M 0R ＝M 0P ＋M 0Q ， 所以MP ＋MQ ≥M 0P ＋M 0Q 。
即M 0（2
5
，0）使MP ＋MQ 取最小值。
题5．如图，平行线a,b 是一条灌溉渠道的两岸，A ，B 是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，问此桥应该架在何处
15．①过A 点作a 的垂线，并在此垂线上截取AC 等于渠道的宽度；②作C 关于直线b 的对称点C‘，③连结BC‘，作BC‘的垂直平分线，与直线b 交于H ；④过H 作b 的垂线，与直线a 交于G 。 则GH 就是架桥的位置。
a b
B
C
C'
H
G
a b
A B