空间解析几何和向量代数总结

第八章空间解析几何和

向量代数总结

向量的概念

向量的线性运算

空间直角坐标系（右手系）向量的坐标

坐标形式的向量的线性运算（8—1，19）

方向角与方向余弦（8—1，15）

向量的数量积、向量积、混合积

（8—2，1、3、6、10；

总习题八，1（3）、（4））

应用：判断向量正交、

平行（共线）、

计算平行四边形面

积、

一向量在另一向量的投影。

曲面

曲面的概念

(),,0F x y z =，

()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程

（P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）

旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程

(),00f x y z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面

为(,0f x =； (),00f x y z ⎧=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面

为()0

f y =；

(),00f y z x ⎧=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面

为(,0f y =； (),00f y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面

为()0f z =； (),00f x z y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为

(,0f x =；

(),00f x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面

为()

0f z =。 空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩

参数方程（P33，例3）

()()()x t y t z t αβγ=⎧⎪=⎨⎪=⎩

空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4）

平面及其方程

建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5）

点的平面的距离（8—5，9）

（两个平行平面的距离）直线及其方程

建立直线方程：点向式、一般式、参数式 （8—6，1，3，4，

7） 直线与直线的夹角（锐角）（8—6，5）

直线与平面的夹角（锐角）（8—6，9）

8—1，19

解：()3,5,8m =r ，()412,20,32m =r ，

()2,4,7n =--r ，()36,12,28n =--r ，

()

5,1,4p =-r ，()5,1,4p -=--r ， ()

4313,7,8a m n p =+-=r r r r ¶()Pr cos ,13i j a a a i

x a x a ====r r r r r r r

()·()

Pr cos ,7j j a j a a j j y a j yj j a ⋅=⋅⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭

r r r r r r r r r r r r 8—1，15

解：

()121,M M =-u u u u u u r ，

122

M M =u u u u u u r ，

1

cos 2α=-

，cos 2β=-，1

cos 2γ=，

2

3απ=，3

4βπ=，3

π

γ=。 总习题八

1（3）解：

()

2,1,2a =r ， ()

42,1,102c b a λλλλ

=-=----r r r (

)()()()

242121022790

a c a

b a λλλλλ⋅=⋅-=-+--+-=-=r r r r r 3λ=。

1（4）解：由已知条件

0a b c ++=r r r ，3,4,5a b c ===r r r ，

知这三个向量构成一直角三角形。

12a b ⨯=r r ，a b ⨯r r 方向与这三角形所

在的平面垂直，右手定则，指向上方；

12c a ⨯=r r ，c a

⨯r r 方向与这三角形所

在的平面垂直，右手定则，指向上方；

12b c ⨯=r r ，b c ⨯r r 方向与这三角形所在的平面垂直，右手定则，指向上方；

所以

a b b c c a

⨯=⨯=⨯r r r r r r ， 336a b b c c a

a b

⨯+⨯+⨯=⨯=r r r r r r r r

注：如果已知0a b c ++=r r r ，a b c

==r r r ，

这是一个等边三角形。