配方法与公式法
①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法
①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法因式分解法、直接开平方法、公式法和配方法都是解题方法，用于解决一元二次方程的题目。
下面将对这四种方法进行详细的解释。
因式分解法是一种将一元二次方程进行因式分解，从而得到方程的解的方法。
一般来说，对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，若a、b、c都是整数及其系数，且方程的解为有理数，那么可以用因式分解法来求解。
首先，将方程的左边进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式，然后根据乘法公式，可以得到ax^2 + (m + n)x + mn = 0，与原方程进行比较，可以得到 a = 1，b = m + n，c = mn的关系。
接下来，便可以根据这些关系，将方程进行求解。
直接开平方法是另一种求解一元二次方程的方法。
对于形如ax^2 +bx + c = 0的方程，可以通过将方程的左边进行完全平方的形式，即(a^2x^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。
接下来，可以将其化为(x + a)^2 = b的形式，然后对其两边进行开平方，可以得到方程的解。
公式法是解一元二次方程的一种常用方法。
对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过求解方程的根的公式来得到方程的解。
一般来说，方程的根的公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程的系数。
根据方程的根的公式，可以得到方程的两个根，从而求解方程。
配方法也是解一元二次方程的常用方法之一、对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过一系列变形，将方程转化为一个可以进行因式分解的形式，从而求解方程。
一般来说，配方法的步骤包括将方程的左边进行变形，得到(a^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0的形式，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。
一元二次方程配方法,公式法,因式分解法
锲而不舍，胆大心细让我们陪伴着你的成长！一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 例1下面哪些数是方程 2χ210χ • 12 =O 的根？—4、一 3、一 2、一 1、0、1、2、3、4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.复习a b 2 =a 2 2ab b 22 2 2(a - b) = a - 2ab b像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
2⑵ X 12X T5= 0根据公式完成下面的练习:解: 解：由已知，得： X 32=22方程两边同时除以3,得X直接开平方，得：X - 2即 X 3 = 2 , X 3 = - 2所以，方程的两根X 1 = -3 ∙・、2 , X 2 = -3 - I 2 2所以,2配方，得X49 36Q 2方程的两根×1=-- 6 6=2 , X 2(1) X 28X = 9让我们陪伴着你的成长!2(4) 3X 8x - 3 = 02(5)2X -9X 8=02⑹ X 2 -8X锲而不舍，胆大心细 让我们陪伴着你的成长！锲而不舍，胆大心细 练一练 一、选择题1•方程x x -1 =2的两根为（）.方程ax X -b ］亠∣b -X = 0的根是（若X 2 —4x + P =（x +q 2 ,那么p 、q 的值分别是（、填空题2 21 •如果X -81 =O ,那么X -81 =0的两个根分别是2. 已知方程5x +mx-6=0的一个根是X =3 ,贝U m 的值为 _______________________ .3. __________________________________________________ 方程（x+1 丫 + J2x （x+1）=θ ,那么方程的根 X i = ; X 2= ____________________________________________________ .24 •若8x -16 =0 ,则X 的值是 __________________ .5•如果方程2（x-3f =72,那么，这个一元二次方程的两根是 _________________________ .6.如果a 、b 为实数，满足∙√'3a+4+b 2 T2b+36 = 0 ,那么ab 的值是 ________________________ .三、综合提高题如果关于X 的一元二次方程 ax 2 bx ∙c = 0a=0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证:-1必是该方程的一个根.A . X 1 = 0, X 2 = 1B . X 1 =0,X 2C . X 1 = 1, X 2 = 2D . X 1 = -1, X 2 = 2A . x^b, X ? =aB . X 1 =b, X 2C . X 1 =a,X 2D . x 1 = a 2,x 2 =b 2已知X- -1是方程2axf a Cb b b ^0=().A . p=4,q=2B . p= 4,q ι-2C . P = -4, q = 2D . P = -4, q = -2A . 3B .- -3C . ± 3D .无实数根 26.用配方法解方程X2 一―X +1 =0正确的解法是（ ).3f 1Y8 1 2^2A .X — — I = -,X = 二— +BI 3丿 93 3x-1t-8 ,原方程无解 .3 9C .x1√5+ 2 - 3 -x2√5 - 2D . Ffr ι,χ^f,χ2xI= ______ ,x2= ________25 .方程3x ∙ 9 =0的根为().让我们陪伴着你的成长!一元二次方程公式法一元二次方程ax2∙ bx ∙ c = O a = O 的根由方程的系数 a 、b 、C 而定，因此：★ (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2 ∙ bx ∙ c = O a = O ,当b 2 - 4ac _ O 时，？将■ 2一 b 十b — 4aca 、b 、C 代入式子X就得到方程的根。
配方法与公式法解方程
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的 求根公式
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 2、求出 b 4ac 的值，
2
a、、 b c 的值。
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
13 x 2 2 26 x2 2
2
26 26 x1 2 x2 2 2 2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
3. x2-4x+3=0 4. x2-4x+5=0
例题讲解
例题2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2
2
练习2. 用配方法解下 列方程 1. 5x2+2x-5=0 2. 3y2-y-2=0 3. 3y2-2y-1=0 4. 2x2-x-1=0
2
x2 4、写出方程的解： x1、
思路引学：
2
b b2 4ac x 2a
例 1 解方程： x 7 x 18 0 解： 这里 a 1 b 7 c 18
b 4ac （ 7 ） 4 1 （ 18 ） 121
2 2
7 121 7 11 x 21 2
课后作业：
Ｐ５９
１、2题
用配方法以及公式法 解一元二次方程
用配方法 解一元二次方程
方程--配方法、公式法
一元二次方程解法---配方法和公式法【知识要点】1．一般的一元二次方程，可用配方法求解．其步骤是：①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式；②方程两边都加上22⎪⎭⎫ ⎝⎛p ，把方程化为44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+；③当042≥-q p 时，利用开平方法求解．2．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：()042422≥--±-=ac b aac b b x ．3．解一元二次方程，直接开平方法是一种特殊方法，配方法与求根公式法是一般方法，对于任何一元二次方程都可使用。
解题的关键是要根据方程系数的特点及方程的不同形式，选择适当的方法，使解法简捷．【典型例题】例1． 用配方法解下列方程：（1）0542=--x x （2）01322=-+x x（3）07232=-+x x （4）01842=+--x x类题练习：用配方法解下列方程：（1）01722=++x x （2）04522=--x x例2．用公式法解下列方程：（1）01522=+-x x （2）1842-=--x x（3）02322=--x x （4）()()()0112=-++-y y y y【经典练习】1．把方程0562=+-x x 化成()k m x =+2的形式，则m =_______，k =_________。
2．将方程01232=-+x x 配方成()_______2=+x ，从而求得此方程的根是 。
3．把下列各式配成完全平方式（1）()22_________21-=+-x x x （2）()22___________32+=++x x x （3）()22__________-=+-x x a b x （4）()22____25____-=+-x x x 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对5．用配方法解方程01322=++x x ，正确的解法是（ ）． A ．3223198312±-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， B ．98312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，原方程无实数根．C ．35295322±-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， D ．95322-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，原方程无实数根．6将二次三项式6422+-x x 进行配方，正确的结果是（ ）．A ．()4122--x B ．()4122+-x C ．()2222--x D ．()2222+-x7．通过配方，将下列各方程化成()2x m n +=的形式．（1）2261x x += （2）21815x x -= （3）26100x x -= （4）2322x x -=9．用配方法解下列方程：（1）012=--x x （2）02932=+-x x（3）02222=+-+a b ax x （4） x 2+4x -12=010．用公式法解下列方程：（1）1852-=-x x（3）3x 2+5(2x+1)=0 （4）x x x 22)1)(1(=-+（5）1432+=x x配方法和公式法作业1．用配方法解下列方程：（1）x x 542=-（3）()1126=+x x ． （4）030222=--x x（5）x 2+4x -12=0 （6）032=-+x x2．用公式法解下列方程.（1）12=+x x （2）y y 32132=+（3）081222=+-t t （4）1252+=y y（5）7922++x x =0。
第6讲 一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)
第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。
第二章一元二次方程-配方法、公式法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法和公式法这两个重点。对于难点部分，如配方法的转化思想和公式法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用图形或实物演示配方法的基本原理。
课堂上的实践活动和小组讨论非常活跃，学生们能够积极参与，提出自己的观点。我尝试作为一个引导者，提出一些开放性问题，让学生们思考一元二次方程在实际生活中的应用。从成果分享来看，学生们对于这个话题有很深的思考，这让我感到很欣慰。
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生可能过于依赖同伴，没有独立思考。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们在讨论中提出自己的见解，提高他们的自主学习能力。
c.能够运用配方法求解典型的一元二次方程。
（2）掌握一元二次方程求解公式的推导和应用：公式法是求解一元二次方程的通用方法，重点在于：
a.理解韦达定理的推导过程；
b.掌握一元二次方程求解公式的形式；
c.学会使用公式法求解一元二次方程，包括计算判别式、求解根号内部分等；
d.能够根据实际问题选择合适的求解方法。
具体内容包括：
配方法和公式法-课件
2．配方法 通过配成___完__全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫做 配方法．配方是为了___降__次___ ，把一个一元二次方程转化为 __两__个__一__元__一__次__方__程__来解． 注意：配方法的一般步骤： ①把常数项移到等号的右边； ②把二次项的系数化为 1； ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/5
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2)移项，得 2x2＋6x＝2. 二次项系数化为 1，得 x2＋3x＝1.
配方，得 x2＋3x＋322＝1＋322， 即x＋322＝143.
两边开平方，得 x＋32＝± 213，
即 x1＝－32－
213，x2＝－32＋
13 2.
(3)去括号整理，得 x2＋4x－1＝0. 移项，得 x2＋4x＝1，配方，得(x＋2)2＝5. 两边开平方，得 x＋2＝± 5， 即 x1＝－2－ 5，x2＝－2＋ 5.
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/52021/3/5Marc h 5, 2021
b2－4ac＝(－ 2)2－4×4×1＝－14<0，
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以原方程无实数根．
【跟踪训练】
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的方法一元二次方程是初中数学中的重要内容，解一元二次方程是数学学习的基础，也是数学建模和实际问题求解的基础。
下面我们将介绍几种解一元二次方程的方法。
首先，我们来介绍一元二次方程的标准形式，ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c分别是一元二次方程的系数，a≠0。
解一元二次方程的方法有，因式分解法、配方法、公式法和求根公式法。
1. 因式分解法。
当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法来解方程。
例如，对于方程x^2 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x 2)(x 3) = 0，从而得到方程的解x=2和x=3。
2. 配方法。
当一元二次方程不能直接因式分解时，我们可以利用配方法来解方程。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其配方为(x+3)^2=0，从而得到方程的解x=-3。
3. 公式法。
一元二次方程的一般解为x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)，这就是一元二次方程的求根公式。
我们可以利用这个公式来解一元二次方程。
例如，对于方程x^2 4x + 3 = 0，我们可以直接代入a=1，b=-4，c=3，然后利用求根公式来求得方程的解。
4. 求根公式法。
当一元二次方程的系数较为复杂时，我们可以利用求根公式法来解方程。
求根公式法是一种通过求根公式来求得一元二次方程的解的方法，适用于所有一元二次方程的解法。
例如，对于方程2x^2 5x + 3 = 0，我们可以直接代入a=2，b=-5，c=3，然后利用求根公式来求得方程的解。
综上所述，解一元二次方程的方法有很多种，我们可以根据具体的方程形式和系数情况来选择合适的方法来解方程。
通过掌握这些方法，我们可以更加灵活地解决实际问题中的一元二次方程，提高数学建模和实际问题求解的能力。
希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地掌握解一元二次方程的方法，提高数学学习的效率和水平。
二次函数的配方法和公式法
二次函数的配方法和公式法引言二次函数是数学中常见的一种函数类型，它具有形如y=ax2+bx+c的表达式，其中a、b和c是给定的常数。
解析二次函数可以通过配方法和公式法实现。
本文将分别介绍二次函数的配方法和公式法，并通过具体的例子说明其应用。
1. 二次函数的配方法1.1. 什么是配方法?配方法是一种将二次函数转化为一个可以容易解决的形式的技巧。
通过配方法，我们可以将二次函数转化为完全平方的形式。
1.2. 如何应用配方法?配方法的基本思想是通过构造一个完全平方的三项，将二次函数转化为完全平方的形式。
具体来说，我们可以通过以下步骤应用配方法：1.观察二次项的系数a是否等于1，如果不等于1，则可以通过提取a的公因子化简。
2.把二次项、线性项和常数项写成一个平方的形式。
3.利用完全平方公式将平方形式的三项化简。
4.化简后的表达式就是完全平方形式的二次函数，我们可以进一步进行求解。
1.3. 一个例子考虑二次函数y=x2+6x+9，我们将使用配方法将其化简为完全平方形式。
1.首先，观察二次项的系数a=1，已经满足了要求。
2.我们将线性项6x拆分成两个相同的部分，得到6x=3x+3x。
3.注意到3x+3x可以写成(2x+3)2。
4.所以，原二次函数可以转化为y=(2x+3)2的形式。
通过配方法，我们将原始二次函数化简为了完全平方的形式。
这使我们能够更容易地理解和求解。
2. 二次函数的公式法2.1. 什么是公式法?公式法是一种使用二次函数的一般解析公式来求解的方法。
对于给定的二次函数，我们可以使用公式法获得其真实的解。
2.2. 公式法的原理公式法是基于二次函数的根的性质。
对于二次函数y=ax2+bx+c，其根可以通过以下公式计算：$$ x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$其中，b2−4ac称为判别式，可以用来确定二次函数的根的性质。
2.3. 公式法的步骤应用公式法求解二次函数的一般步骤如下：1.根据给定的二次函数y=ax2+bx+c，确定a、b和c的值。
21.2配方法及公式法解一元二次方程
应为( A．
)．
2 a 2
2 B． 2a ， a 2
12．用配方法说明：无论 x 取何值，代数式 x2－4x＋5 的值总大于 0，再求出当 x 取何值时，代数式 x2－4x＋5 的值最小?最小值是多少?
2 2a D． 2 a 4 三、解答题(用配方法解一元二次方程)
C．
6．3x2－4x=2．
2
1 4
22 4m m
B． D．
2 4m m 2m 4m m
3.自选方法解一元二次方程： ⑴．x2＋4x＝－3．
⑵．5x2＋4x=1． 练习：1.用配方法解下列方程： (1)4x2＋8x＋1＝0； (2)3y2－3y－6＝0. 综合、运用、诊断 一、填空题 1 ． 将 方 程 x 2 x 3 3 2 3x 化 为 标 准 形 式 是 2.用配方法解方程 x 2
青松教辅
2
姓名________
1．x2＋4x－3=0．
家长签字________
例 2 用公式法解一元二次方程 2． 3x 2 x 2 3 0.
复习：一元二次方程(2x＋1) －(x－4)(2x－1)=3x 中的二 次项系数是 ______ ，一次项系数是 ______ ，常数项是 ______．
第 2 课时
学习要求
配方法与公式法解一元二次方程
掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一 元二次方程． 知识点 1 用配方法解一元二次方程 1．通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做 配方法． 2．配方法的一般步骤： (1)将二次项系数化为 1，并将含有未知数的项放在方程 的左边，常数项放在方程的右边； (2)配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 使 左 边 配 成 一 个 完 全 平 方 式 ， 写 成 mx n p
22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目 的；
2
一元二次方程配方的一般步骤： 化简：把方程化简为一般形式， 把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方：根据平方根意义,方程两边开平方 求解：解一元二次方程 定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程， 那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且 面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程
第2讲 配方法与公式法
第2讲 配方法和公式法2.2配方法解一元二次方程问题1. (2017年深圳中考)一个矩形的周长为56厘米，当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别是多少？完全平方公式：_____________________________________________________. 填空：（1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-32x+_____=（x-_____）2； （5）x ²+ax+_____=（x+______）2练习：若x ²+kx+9是完全平方式，则k=_____.例1.解下列关于x 的方程： （1）x 2-4x+4=9 ； （2）x 2-4x=4 ; (3)x 2+8x-9=9练习1：用配方法解下列方程（1）x ²+12x+25=0； （2）x ²+3x=1； （2）3x 2-6x+4=0；例2.用配方法解方程：0=3-8+32x x ； 练习2.解方程：2x ²+6=7x例3. 如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．求道路的宽度．【归纳】用配方法解一元二次方程的步骤：【课堂检测】1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2（3）x 2-px+_____=（x-______）2．3、解下列方程（1）x 2+10x+16=0 ；（2）01322=+-x x ;4、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m),另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？2.3用公式法解一元二次方程问题2：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用配方法求出它们的两根？解：移项，得： ，系数化为1，得配方，得： 即【总结】.对于一元二次方程)(0≠0=++2a c bx ax ，当0≥4-2ac b ，方程有实数根； .____________=x (求根公式)由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac.例4.用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 ； （2）5x+2=3x 2 ； （3）（x-2）（3x-5）=3.练习4、用公式法解下列方程．（1）4x 2-3x+1=0 ; （2）x(2x-4)=5-8x.【总结】对于一元二次方程)(0≠0=++2a c bx ax ，当0>4-2ac b 时，方程有_________实根；当0=4-2ac b 时，方程有_________实根； 当0<4-2ac b 时，方程______实根；例5、方程x 2-4x+5=0的根的情况是（ ）A.两个不相等的实数根B.两个相等的实数根C.一个实数根D.没有实数根练习5.不解方程，判断下列方程解的个数(1)2x ²+5=7x ； (2)(x-2)(3x-5)=1.例6.已知关于x 的方程0=3+2-2k x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是____.练习6.关于x 的一元二次方程0=1-+4-22m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是_____;【课堂检测】1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）A ．x=32- B ．x=32± C ．x=32-± D ．x=32±2．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．3. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）．A ．x 2＋3＝0B ．x 2＋2x ＝0C ．(x ＋1) 2＝0D ．(x ＋3)(x －1)＝04.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门.（1）当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m ²？（2）这个矩形猪舍的面积能够为100m ²，为什么？【课后作业】1．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-1122的根是（ ）A.x 1x 2B.x 1=6，x 2C.x 1x 2D.x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或24．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，则三角形的周长为____．5．如果x 2-4x+y 2，则（xy ）z 的值为____．6.定义运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a ★b =a 2-3a +b ，如：3★5=32-3×3+5．若x ★2=6，则实数x 的值是_______．7.已知关于x 的一元二次方程0=+2+2m x x 没有实数根，则m 的取值范围是_________8．用适当的方法解下列方程（1）x 2-8x+7=0; （2）2x 2-4x-1=0; （3）01322=+-x x。
一元二次方程公式法、配方法
一元二次方程公式法、配方法【主体知识归纳】4．直接开平方法 形如x 2＝a (a ≥0)的方程，因为x 是a 的平方根，所以x ＝±a ，即x 1＝a ，x 2＝－a ．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．5．配方法 将一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)化成(x ＋a b 2)2＝2244aac b -的形式后，当b 2－4ac ≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1； (2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．6．公式法 用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝aac b b 242-±-(b 2－4ac ≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【例题精讲】例1：用配方法解方程2x 2＋7x －4＝0．剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是： (1)将二次项系数化为1；(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x ＋a )2＝k 的形式，然后用开平方法求解．解：把方程的各项都除以2，得x 2＋27x －2＝0．移项，得x 2＋27x ＝2．配方，得x 2＋27x ＋(47)2＝2＋(47)2＝1681，即(x ＋47)2＝1681． 解这个方程，得x ＋47＝±1681，x ＋47＝±49．即x 1＝21，x 2＝－4．说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x 为何实数，代数式2x 2－4x ＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x 2－4x ＋3＝2x 2－4x ＋2＋1＝2(x －1)2＋1．例6：用公式法解下列方程：(1)2x 2＋7x ＝4；解：(1)方程可变形为2x 2＋7x －4＝0．∵a ＝2，b ＝7，c ＝－4，b 2－4ac ＝72－4×2×(－4)＝81＞0，∴x ＝49722)4(24772±-=⨯-⨯⨯-±-．∴x 1＝21，x 2＝－4．【同步达纲练习】 1．选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A ．x x422-＝0B ．322xx -＝0 C ．x 2＋2xy ＋1＝0D ．5x ＝3x －1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A ．21x 2＝1 B ．0.01x 2＋0．2x －0.1＝0C ．2 x 2－3x ＝0 D ．21x 2－x ＝21(x 2＋1) (3)方程3x 2－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A ．3，－4，－2B ．3，2，－4C ．3，－2，－4D ．2，－2，0(4)一元二次方程2x 2－(a ＋1)x ＝x (x －1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2(5)若方程(m 2－1)x 2＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m ≠1且m ≠－1D ．m ≠1或m ≠－1 (6)方程x (x ＋1)＝0的根为( )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0，1(7)方程3x 2－75＝0的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝－5C ．x ＝±5D ．无实数根(8)方程(x －5)2＝6的两个根是( ) A ．x 1＝x 2＝5＋6B ．x 1＝x 2＝－5＋6C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6(9)若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A ．1或5B ．7或－1C ．－1或－5D ．－7或1(10)关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2B ．－21 C ．－2 D ．21 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x ＋1＝9x 2； (2)(x ＋1)(x －3)＝2x －3； (3)(x ＋3)(x －3)＝2(x －3)2；(4)3y 2－2y ＝2y 2－3y ＋5．3．当m 满足什么条件时，方程(m ＋1)x 2－4mx ＋4m －2＝0是一元二次方程?当x ＝0时，求m 的值． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)x 2＝49； (2)x 2＝1．96； (3)3x 2－48＝0； (4)4x 2－1＝0； (5)(x －1)2＝144；(6)(6x －7)2－9＝0．5．用配方法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)x 2＋12x ＋15＝0(3)x 2－7x ＋2＝0；(4)9x 2＋6x －1＝0；(5)5x 2－2＝－x ；(6)3x 2－4x ＝2．6．用公式法解下列方程： (1)x 2－2x ＋1＝0； (2)x (x ＋8)＝16； (3)x 2－35x ＝2； (4)0．8x 2＋x ＝0．3；(5)4x 2－1＝0；(6)x 2＝7x ；(7)3x 2＋1＝23x ；(8)12x 2＋7x ＋1＝0．7．(1)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等?(2)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与x 2－19的值互为相反数?8．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0．9．已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．10．用配方法证明：(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2－7x －4的值恒小于零．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7) C (8)D (9)B (10)D2．(1)9x 2－4x －1＝0，9，－4，－1； (2)x 2－4x ＝0，1，－4，0； (3)x 2－12x ＋27＝0，1，－12，27； (4)(3－2)y 2＋(3－2)y －5＝0，3－2， 3－2，－5．3．m ≠－1，m ＝214．(1)x 1＝23，x 2＝－23； (2)x 1＝－1．4，x 2＝1．4； (3)x 1＝－4，x 2＝4； (4)x 1＝－21，x 2＝21； (5)x 1＝13，x 2＝－11； (6)x 1＝32，x 2＝35． 5．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－6－21，x 2＝－6＋21；(3)x 1＝2417-，x 2＝2417+； (4)x 1＝321+-，x 2＝321--；(5)x 1＝10411--，x 2＝10411+-；(6)x 1＝3102+，x 2＝3102-．6．(1)x 1＝x 2＝1；(2)x 1＝－4－42，x 2＝－4＋42；(3)x 1＝6975-，x 2＝6975+；(4)x 1＝41，x 2＝－23； (5)x 1＝21，x 2＝－21；(6)x 1＝0，x 2＝7；(7)x 1＝x 2＝33；(8)x 1＝－31，x 2＝－41．7．(1)x ＝－2或x ＝21；(2)x ＝－4或x ＝35．8．x 1＝2131+，x 2＝2131-． 9 把1代入ax 2＋bx ＋c 中，得ax 2＋bx ＋c ＝a ＋b ＋c ＝0∴1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．10 (1)∵3y 2－6y ＋11＝3y 2－6y ＋3＋8＝3(y －1)2＋8又(y －1)2≥0，∴3(y －1)2＋8＞0． 即3y 2－6y ＋11的值恒大于零． (2)∵－10x 2－7x －4＝－10(x 2＋107x ＋104) ＝－10［(x ＋207)2＋400111］＝－10(x ＋207)2－40111．又－10(x ＋207)2≤0，∴－10(x ＋207)2－40111＜0．即－10x 2－7x －4的值恒小于零．11 ∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4＞0 ∴该方程是一元二次方程。
因式分解的几种方法
因式分解的几种方法因式分解是数学中的重要概念，它在代数、数论、微积分等领域都有着重要的应用。
因式分解的方法多种多样，本文将介绍几种常见的方法，包括质因数分解、公式法、配方法、分组分解等。
通过对这些方法的了解，读者可以更好地掌握因式分解的技巧和应用。
一、质因数分解质因数分解是最基本的因式分解方法之一。
其基本思想是将一个数表示为若干个质数的乘积。
对于一个正整数n，存在唯一的一组质数p1, p2, ..., pk 使得n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak，其中p1, p2, ..., pk分别是质数，a1, a2, ..., ak为正整数。
这个过程就是质因数分解。
质因数分解的步骤一般如下：1. 找出n的最小素数因子p1（即p1是n的因子且p1是质数）；2. 将n整除以p1得商n1，若n1>1，则重复步骤1直至n1为1；3. 将所有的质因子与相应的指数相乘即得到n的质因数分解。
对于数字180，它的质因数分解为180 = 2^2 * 3^2 * 5。
二、公式法公式法是一种通过代数公式或相关定理进行因式分解的方法。
这些公式和定理通常是对特定形式的多项式或函数进行因式分解的有效工具。
二次平方差公式(x^2 - y^2 =(x+y)(x-y))、完全平方公式(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2)等都是进行因式分解时常用的公式。
一些高阶多项式的因式分解也可以通过相关的定理进行。
这种方法适用于特定形式的多项式，可以通过大量的练习和积累来掌握和运用。
三、配方法配方法是一种对多项式进行因式分解的常用方法。
其基本思想是通过对多项式进行重新组合，使其呈现出一个已知的因式分解形式。
对于二次三项式 ax^2 + bx + c，可以通过配方法展开成完全平方形式，然后进行因式分解为两个一次因式的乘积。
这种方法需要熟练的代数技巧和灵活的思维，适用于求解多项式的因式分解和积分。
四、分组分解分组分解是一种对多项式进行因式分解的常用方法，特别适用于四项式的因式分解。
22.2.2公式法2与配方法比较
4 5
由此可得
1 x1 , x2 3 3
1 x1 , x2 3. 3
4 5 x . 3 3
观察比较
公式法
相对于
配方法
可以避免配方过程而直接得出根
公式法是怎样生产的？
b c 解 : x x 0. a a b c 2 x x . a a
一般地，式子 b 4 ac 叫做方程
2
ax bx c 0
2
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
△＝
b
2
4ac
当△>0时，方程 ax bx c 0
2
(a≠0)
的实根可写为
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
2
方程有两个相等实数根 .
练习
不解方程，请判断下列方程根的情况:
(1) x 2 x 1 0
2
(2) 2 x 5x 3 0
2
(3) x x 1 0
2
例:已知关于x的方程
2
x ( m 1) x m 2 0
有两个相等的实数根，求m的值。
解：根据题意，得 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
b b
x x
b
2
4a c 4a c
1
2a
b
2
2
配方法与公式法课件
(2)解方程：x2－2x＋2＝0(根用 i 表示)．
解：∵x2－2x＋1＝－1，(x－1)2＝－1＝i2， ∴x－1＝± i，x＝1± i，∴x1＝1＋i，x2＝1－i.
【点悟】 配方法的一般步骤： (1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为 1； (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次 项的系数是 2 的倍数．
问题：(1)若 x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，求 xy 的值． (2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，满足 a2＋b2＝10a＋8b－41，且 c 是 △ABC 中最长的边，求 c 的取值范围．
解：(1)x2＋2y2－2xy＋4y＋4 ＝x2－2xy＋y2＋y2＋4y＋4 ＝(x－y)2＋(y＋2)2 ＝0， ∴x－y＝0，y＋2＝0， 解得 x＝－2，y＝－2， 1 ∴x ＝(－2) ＝4.
类型之二 用配方法解方程的运用 小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方 程 x2＝－1 时，突发奇想：x2＝－1 在实数范围内无解，如果存在一个数 i，使 i2＝－1，那么 x2＝i2，则 x＝± i，从而 x＝± i 是方程 x2＝－1 的两个根． (1)据此可知：i3＝i2· i＝－i，i4＝ 1 ，i42＝ －1 ；
归类探究
类型之一 配方法的运用 先阅读下面的内容，再解决问题． 若 m2＋2mn＋2n2－6n2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0， ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0， ∴m＋n＝0，n－3＝0， ∴m＝－3，n＝3.
y
－2
(2)∵a2＋b2＝10a＋8b－41， ∴a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0， 即(a－5)2＋(b－4)2＝0， ∴a－5＝0，b－4＝0， 解得 a＝5，b＝4. ∵c 是△ABC 中最长的边， ∴5≤c＜9.
用配方法和公式法解一元二次方程
用配方法和公式法解一元二次方程一.教学内容：1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解係数较简单的一元二次方程．2.理解用配方法推汇出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关係．3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字係数的一元二次方程．二. 知识要点：1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3.用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项係数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项係数一半的平方；（4）用直接开平方法求出方程的根．（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．例2. 用配方法解方程：（1）x2＋2x－5＝0；（2）4x2－12x－1＝0；（3）（x＋1）2－6（x＋1）2－45＝0．分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项係数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项係数化为1；方程（3）不要急于开启括号，可把（x＋1）2看成一个整体合併，可避免重複配方．（3）将方程整理得（x＋1）2－6（x＋1）2＝45，－5（x＋1）2＝45，（x＋1）2＝－9，由于x取任意实数时（x＋1）2≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．评析：配方法作为一种求解的方法，与其他方法比显得複杂些，为此，除非题目有特别指明用配方法解外，一般不用这种方法，但配方法是一种重要的数学方法，应用很广，应力争掌握好．例4. 不解方程判断下列方程根的情况．（1）4x2－11x＝2；（2）4x2－x＋5＝0；（3）y2＋14y＋49＝0；（4）x2＋（m＋2）x＋m＝0．分析：判断一元二次方程的根的情况应先把方程转化成一般形式，再计算b2－4ac的值．解：（1）原方程化为4x2－11x－2＝0，a＝4，b＝－11，c＝－2，b2－4ac＝（－11）2－4×4×（－2）＝153＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．（2）a＝4，b＝－1，c＝5，b2－4ac＝（－1）2－4×4×5＝－79＜0，所以原方程没有实数根．（3）a＝1，b＝14，c＝49，b2－4ac＝142－4×1×49＝0，原方程有两个相等的实数根．（4）a＝1，b＝m＋2，c＝m，b2－4ac＝（m＋2）2－4×1×m＝m2＋4m＋4－4m＝m2＋4，无论m取何值，m2＋4＞0，∴b2－4ac＞0，原方程有两个不相等的实数根．评析：（1）b2－4ac是对一元二次方程一般形式而言的，计算前必须把方程化成一般形式；（2）当讨论含有字母系数的方程根的情况时，通常把计算结果化成（通过配方）（m＋n）2＋p的形式，由平方数的非负性说明它的符号．例5. 先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值总大于0．再求出当x取何值时，代数式x2－5x＋7的值最小？最小值是多少？分析：準确配方，利用完全平方公式的非负性确定值的非负性及最小值．解：x2－5x＋7＝（x－）2＋＞0．当x＝时，代数式x2－5x＋7的值最小，最小值是．例6. 某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用竹栏围成，竹栏长为40m．（1）养鸭场的面积能达到150m2吗？能达到200m2吗？（2）能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．分析：根据题意列出方程，利用配方法或求根公式解方程，如果方程有解且符合实际意义，则满足要求，否则，不能满足要求．解：设与墙垂直的一边长为x m，则另一边长（40－2x）m．（1）当面积为150m2时，x（40－2x）＝150，整理得：x2－20x＋75＝0，即（x－10）2＝25．解得x1＝5，x2＝15．此时的设计方案为：与墙垂直的一边长为5m，另一边长为30m，或与墙垂直的边长为15m，另一边长为10m．而当面积为200m2时，x（40－2x）＝200，解得x1＝x2＝10．此时的设计方案为：与墙垂直的边长为10m，另一边长为20m．（2）当面积为250m2时，x（40－2x）＝250，此方程无解．所以养鸭场的面积不能达到250m2．【预习导学】（用因式分解法解一元二次方程）一. 预习前知1. 想一想，因式分解有几种方法？2. 分解因式：（1）25（7x－3）2－16；（2）5x（2x＋7）－3（2x＋7）；（3）x2－4x＋4；（4）（x－1）2＋2x（x－1）．二. 预习导学1. 根据“ab＝0，则a＝0或b＝0”解下列方程．（1）（x－1）（2x＋3）＝0；（2）x（x＋1）＝0；（3）（x－2）（x＋1）＝0．2. 用因式分解法解下列方程．（1）x2＋x＝0；（2）（3x－1）2－1＝0；（3）x2－2x＋1＝0．反思：（1）用因式分解法适合解什幺样的一元二次方程？（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什幺？【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 下列方程不能用开平方法求解的是（）a. x2－6x＋9＝0b. （x－5）2＝7c. 4x2＝1d. 2y2＋4y＋4＝03. 用配方法解方程x2＋3＝4x时，这个方程可化为（）a. （x－2）2＝7b. （x＋2）2＝1c. （x－2）2＝1d. （x＋2）2＝2 *4. 方程x2＋x－1＝0的根精确到的近似值是（）a. ，b. ，－c. －，d. －，－5. 一元二次方程x2－2x－3＝0的根是（）a. x1＝1，x2＝3b. x1＝－1，x2＝3c. x1＝－1，x2＝－3d. x1＝1，x2＝－3*6. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（）*7. 下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（）a. x2＋1＝0b. x2＋2x＋1＝0c. x2＋2x＋3＝0d. x2＋2x－3＝0**8. 若x2－2（k＋1）x＋k2＋5是一个完全平方式，则k等于（）a. －1b. 2c. 1d. －2二. 填空题1. 如果（x－2）2＝9，则x2. 方程（2y＋1）2－16＝0的根是3. 方程（x＋m）2＝n有解的条件是4. 填空：（1）x2＋10xx2；（2）m2－8mm2；（3）x2＋3xx2；（4）x2＋1；（5）x2－mxx2．*5. 把下列各式化为（x＋m）2＋n的形式：（1）x2－4x＋72）x2＋2x－36. 方程x2＋5x＋3＝0中，b2－4ac＝_______，由求根公式可得方程的根是x1＝_______，x2＝_______．7. 如果关于x的方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，那幺a三. 解答题1. 用直接开平方法解下列一元二次方程：（1）（x－1）2＝4；（2）4m2－4m＝－1；（3）3（4x－1）2＝48；（4）y2－2y－8＝0．2. 用配方法解方程：（1）x2－6x－7＝0；（2）x2－2x－1＝0；（3）2x2＋x＝0；（4）（x＋1）2＝x－1．3. 关于x的二次三项式x2＋2mx＋4－m2是一个完全平方式，求m的值．4. 如图，一个5m长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面3m，如果顶端下滑1m，那幺，梯子的底端也将滑动1m吗？请你用所学知识来解释．5. 若关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－7＝0有两个相等的实数根，求k 的值．6. 方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，试求另一个根及k的值．7. 用100m长的铁丝围成一个长方形，面积是600m2，长、宽分别是多少？能否再围成一个面积是800m2的长方形呢？。
4~2用配方法及公式法解一元二次方程式
§4~2用配方法及公式法解一元二次方程式(1)利用平方根的概念，解形如x 2=b ，b ≥0的方程式。
(2)將形如x 2+mx(m ≠0)的多項式，加上(2m )2 後，配成完全平方式(x+2m)2。
(3)利用配成完全平方的方法，將一元二次方程式變形為 (x ±a)2 =b ，b ≥0。
(4)利用配方法解一元二次方程式：將ax 2+bx+c =0(a ≠0)化為(x+p)2=q之形式，求得這個方程式的解，這種方法叫做配方法。
(5)利用配方法解一元二次方程式ax 2+bx+c=0的步驟：(公式推導) 1先將常數項移項到右邊，再將x 項的係數化為1⇒ ax 2+bx =-c ， x 2+abx =-a c 。
2兩邊同加(2x 的係數)2 ⇒ x 2+abx+(a 2b )2 =-a c +(a 2b )23左邊配成完全平方 ⇒ (x+a 2b )2=22a 4ac4b - 4兩邊開平方 ⇒ x+a 2b=±22a4ac 4b - 5移項 ⇒ x =-a2b ±a 2ac 4b 2-=a 2ac 4b b 2-±-例1.解下列各一元二次方程式：(1)x 2=7 (2)x 2=100 (3)x 2=12 (4)3x 2=54 解： 【答：(1) x=7±(2) x=10±(3) x=32±(4) x=±32】例2.解下列各一元二次方程式：(1)16x 2=25 (2)5x 2-6=0 (3)(x+2)2=3 (4)(2x -1)2=5 解： 【答：(1) x=45±(2) x=530±(3) x=-23±(4) x=251±】例3.用配方法解下列各一元二次方程式：(1)x 2-2x -1=0 (2)x 2-6x+1=0 (3)x 2+10x+3=0 解： 【答：(1) x=12±(2) x=322±(3) x=-522±】例4.用配方法解下列各一元二次方程式：(1)x 2-5x+6=0 (2)x 2-x -3=0 (3)x 2-7x=1 解： 【答：(1) x=2,3 (2) x=2131± (3) x=2537±】例5.用配方法解下列各一元二次方程式：(1) 2x 2+4x -1=0 (2)5x 2-10x+1=0 (3)3x 2+5x+2=0 (4)2x 2-5x -3=0 解： 【答：(1) x=262±-(2) x=5525±(3) x=-1,-32(4) x=-21,3】例6.將x 2-kx+1 = 0化為型如(x -2)2 = p ，則k -p =？ 解： 【答：1】例7.將3x 2-2x -2 = 0化為型如 (x + p)2 = a ，則p + a =？ 解： 【答：94】例8.若4x 2-(2n)x + 9為完全平方式，則n =？ 解： 【答：6或-6】例9.若(x -m)(x+2)+1為完全平方式，則m =？ 解： 【答：0或-4】例10.若5x 2+ 8x + m = 0可推得x +54=531±，則m =？解： 【答：-3】例11.若2x 2 +3x + m = 0可推得x +41743±=，則m =？解： 【答：-1】例12.已知方程式x 2-7x + a = 0有一根為1+2則a =？ 解： 【答：4+52】例13.若x 2-x -3 = 0，則(x 2-x+7)2 +2(x 2-x+7) +3 =？ 解： 【答：123】1.解下列各一元二次方程式：(1)x2=13 (2)x2=49 (3)x2=32 (4)5x2=100解：2.解下列各一元二次方程式：(1)9x2-4=0 (2)3x2-11=0 (3)(x-5)2=6 (4)(3x+2)2=10 解：3.用配方法解下列各一元二次方程式：(1)x2+2x-1=0 (2)x2+4x-1=0 (3)x2+8x+5=0解：4.用配方法解下列各一元二次方程式：(1)x2-5x-6=0 (2)x2+3x-1=0 (3)x2=11x-5解：5.用配方法解下列各一元二次方程式：(1)3x2-6x+1=0 (2)3x2+18x-3=0 (3)2x2-5x+2=0(4)3x2-8x+4=0解：6.將3x2-5x +2 = 0化為型如 3(x + p)2+q =0，則p + q =？解：7.將3x2 = (x-1)(x-3)化為型如(x + p)2 = a，則2a-p =？解：8.若3x2 + 5x + k為完全平方式，則k =？解：9.若(x-m)(x-1)+1為完全平方式，則m =？解：10.若3x 2-8x + m = 0可推得x -32834±=，則m =？解：11.設b 為整數，若2x 2 + bx +1= 0的一根為x =4175+-，則b =？ 解：12.若x 2-x -1=0，試求2x 2-4x -1之值。
因式分解三种方法
因式分解三种方法因式分解是指将一个多项式表达式写成若干个乘积的形式。
它是数学中的重要内容之一，广泛应用于各个领域。
在因式分解的过程中，有三种常见的方法可以使用，分别是公因式提取法、配方法和特殊因式公式法。
一、公因式提取法：公因式提取法的核心思想是找出表达式中的公因式，将其提取出来。
这方法适用于多项式中存在公因式的情况。
例子1：对于多项式2x+4xy，我们可以提取出公因式2x，得到2x(1+2y)。
例子2：对于多项式6x^2-9x^3，我们可以提取出公因式3x^2，得到3x^2(2-3x)。
公因子提取法的步骤如下：1.找到表达式中的最大公因子；2.将公因子提取出来；3.原表达式除以公因子，得到去除公因子的部分。
二、配方法：配方法适用于二次多项式或含有平方项的多项式。
它的核心思想是通过构造适当的两个二次项互补，然后将其相加或相减，从而得到可以进行因式分解的形式。
例子1：对于多项式x^2-6x+9，我们可以通过配方法将其分解为(x-3)^2配方法的步骤如下：1.将一次项系数求出来，设为a；2.将常数项求出来，设为c；3.计算二次项系数的一半，设为b；4.构造两个二次项（x+b）^2；5.将两个二次项相加或相减，得到可以因式分解的形式。
三、特殊因式公式法：特殊因式公式法适用于一些特殊的多项式，这些多项式按照一定的形式可以直接进行因式分解。
1.平方差公式：(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)。
例子：对于多项式x^2-4，可以直接写为(x-2)(x+2)。
2. 完全平方公式：(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2例子：对于多项式x^2+4x+4，可以直接写为(x+2)^23.差平方公式：a^2-b^2=(a-b)(a+b)。
例子：对于多项式x^2-4^2，可以直接写为(x-2)(x+2)。
4. 立方差公式：a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)。
例子：对于多项式x^3-8，可以直接写为(x-2)(x^2+2x+4)。
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第六课时：配方法与公式法
［知识要点］
1配方法：①移项②二次项系数化为1③方程两边同时加上一次项系数一半的平方④开方
2、公式法：当b2 4ao 0时，它的根是X12广b±炉^
3、由2可以推导：X1 X2b c
X[ ? X2 a a
［典型例题］
例1用配方法解下列方程：
1 2 5 5 门2
(1) X X 0(2)3X 6X 2 0
2 2 4
例2用公式法解下列方程：
(1) 3X25X 2 0
2
(2) 2X 3X 3 0
2
(3) X22X 1 2
例3设X i,X2是方程2x 4x 30的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式
的值
(1 ) (X1 2)(X2 2)；(2) X2
X i
X i
X2
（难点）
［经典练习］ 1、若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（）
A . 3
B . -3
C . ± 3
D .以上都不对 2、用配方法将二次三项式 a 2-4a+5变形，结果是（ ） A . (a-2) 2
+1
B . (a+2) 2-1
C . (a+2) 2+1
D . (a-2) 2-1
3、用配方法解方程 x 2+4x=10 的根为（） A . 2± B . -2土14 C . -2+、10
4、用公式法解方程 4y 2=12y+3，得到（） A . y=L 2 B . y=^6
2 C . y=
3 D . y=^J
2 a ( 1+x 2)+2bx-c 5、已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边长，且方程 △ ABC 为（） A .等腰三角形 B .等边三角形
6将一元二次方程X 2
-2X -4=0用配方法化成（x+a ） 2=b 的形式为 C .直角三角形 方程的根为 （1-x 2） =0的两根相等，则 D .任意三角形 ，所以 7、不解方程，判断方程：①x 2+3X +7=0;②X 2+4=0:③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 8、当 x= 1 时，代数式— 3 2 x - 2x 与 - x 1 亠」的值互为相反数. 4
9、用适当的方法解下列方程: （1） 3X 2-5X =2.
(2) X 2+8X =9
(3) x 2 5.2x 2 0
(4) 2x (x — 3) =x — 3
10、试证：不论k取何实数，关于x的方程(k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是元二次方程.
11用配方法求解下列问题
(1)求2X2-7X+2的最小值；
(2)求-3X2+5X+1的最大值。
12、已知方程(.5 1)x2 + ( - 5 5)x - 4 = 0的一个根是-1，设另一个根为a,求a3 - 2a2 -4a
的值•
［大展身手］
A的面是正方体的正面，如果正方体的左面1、如图，是一个正方体的展开图，标注了字母与
右面所标注代数式的值相等，求x的值.。