小学六年级奥数图形问题精讲ABC
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六年级奥数专题：图形的计算2014 春季数学优化六年级小考专题三．图形的计算【知识要点】图形的计算，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例。
几何图形的计算公式不仅要记牢，而且要理解其推导过程，最好在理解的基础上记忆。
这样不仅记得牢，而且运用起来也更灵活自如。
对于较复杂的组合图形，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，通过等积变形、割补转化、旋转平移、添加辅助线等方法推导求解。
【经典例题】例1.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3cm，CD＝7cm，A＝C＝90，D＝45。
求四边形ABCD的面A 积。
B CD 2例 2.如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，S △ABE ＝30cm ，EC＝2AE。
求梯形 ABCD 的面积。
A D E C B 例 3.如图所示，正方形ABCD 的边长为 10 厘米，正方形 EFGC 的边长为 12 厘米。
求阴影部分的面积。
E F A D B G C 例 4.如图所示，三角形ABC 是等腰直角三角形，AB＝BC＝10cm。
D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径。
求阴影部分的面积 B A 10cm D C 例 5.如图所示，已知△ABC 是直角三角形，空白部分甲的面积比空白部分乙的面积大57平方厘米，BC 长A 20 厘米。
求 AB 的长度。
乙甲 C B 20cm 例 6.如图所示，圆的周长是 16.4 厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等。
求图中阴影部分的周长。
O A B D C例 7.将一个正方体的棱长缩短一半后，所得的新的正方体的表面积比原来正方体的表面积减少162 平方厘米。
求原来正方体的体积是多少立方厘米？例 8.有一个长方体的长、宽、高分别是整厘米数，它的相邻三个面的面积分别是96 平方厘米、40 平方厘米、60 平方厘米。
这个正方体的体积是多少立方厘米？例 9.有一块长方形的铁皮，长 32 厘米。
在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4 厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子。
【K12学习】六年级奥数几何综合讲座
六年级奥数几何综合讲座几何综合几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BcG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9，在△BGc中，有BG=Gc=Bc=1，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5，在△EDH中，DH=EH=5，所以cD=GH-Gc-DH=19-1-5=13．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42．．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，在正六边形ABcDEF中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×=24．而通过下图，我们知道，正六边形ABcDEF可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48．6．如图12-6所示，在三角形ABc 中，Dc=3BD，DE=EA．若三角形ABc的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】△ABc、△ADc同高，所以底的比等于面积比，那么有而E为AD中点，所以连接FD，△DFE、△FAE面积相等，设则．的面积也为x，而解得.所以，阴影部分面积为．如图12-7，P是三角形ABc内一点，DE平行于AB，FG平行于Bc，HI平行于cA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGcH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．那么三角形ABc的面积是多少?【分析与解】有平行四边形AIPD与平行四边形PGcH的面积比为IP与PH的比，即为12：15=4：5．同理有FP:PG=20:15=4:3，DP:PE=12:20=3:5．如图12-7，连接Pc、HD，有△PHc的面积为△DPH与△PHc同底PH，同高，所以面积相等，即，而△DPH与△EPH 的高相等，所以底的比即为面积的比，有，所以如图12-7所示，连接FH、BP，如图12-7所示，连接FD、AP，有．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的，②号正方形的边长是长方形宽的．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】有①号正方形的边长为长方形长的，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的.而②号正方形的边长为宽的，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的.所以在长方形中有：长=宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12，宽为8，则①号正方形的边长为5，又是整数，所以为整数，有长方形的面积为96,不大于100．所以只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为：9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，c，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：c：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用表示E部分横向的长度，竖表示E 部分竖向的长度，其他下标意义类似．有：=5：4，：=l：2．而+=+，所以有：：：=5：4：1：2．而++=+对应为5+1=6，那么对应为3．而A面积：B面积：c面积=1：2：3，所以==．有+竖对应为6，所以=对应为3．那么长方形的竖边为6+对应为9，长方形横边为+6+对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．0．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是绿色的面积是lo．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．1．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，c，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为，球经过的路线为：→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→．因此，该球最后落入E袋．．长方形ABcD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击Bc边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击Bc边的点，每次由c向B移动2．因为次撞击Bc边的点距c点1，次撞击AB边的点距A 点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击Bc边997次．3．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】有Ao=oB，所以△AoB为等腰三角形，Ao=oc，所以△Aoc为等腰三角形.∠ABo=∠1=15°，∠AoB=180°-∠1-∠ABo=150°.∠Aco=∠2=15°,∠Aoc=180°-∠2-∠Aco=150°.所以∠Boc=360°-∠AoB-∠Aoc=60°，所以扇形Boc的面积为．．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?【分析与解】过P做AD平行线，交AB于o点，P为半圆周的中点，所以0为AB中点．有.阴影部分面积为几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题．如图30-2，已知四边形ABcD和cEFG都是正方形，且正方形ABcD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【分析与解】方法一：因为cEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形cEFG的边长为x，有：又阴影部分的面积为:方法二：连接Fc，有Fc平行与DB，则四边形BcFD为梯形．有△DFB、△DBc共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBc的面积．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．如图30-4，∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800-,而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800,∠D=∠8+∠9-1800,∠c=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为×1800=12600．所以∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=9000．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为,这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．类情况：以为特征的有7组：第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：．．,如图30-8，ABcD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB,Bc的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，连接Ec，并在某些点处标上字母，因为AE平行于Dc，所以四边形AEcD为梯形，有AE:Dc=1:2，所以,,且有,所以,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD=1:2，同理FH：HD=1:2．有,而有EG:GD=,所以同理可得,,又=24-12=12所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48．0．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FcG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为.所以原题中阴影部分面积为．．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B．大半圆的面积为小圆的面积而小圆的面积为，则，原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为如图30-14，将长方形ABcD绕顶点c顺时针旋转90度，若AB=4，Bc=3，Ac=5，求AD边扫过部分的面积．【分析与解】如下图所示，如下图所示，端点A扫过的轨迹为，端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为,而直角三角形、AcD面积相等．所以即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练： 第六讲 几何图形的计数趣谈
第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图 6－1 中各条线段上线段的总条数.图 6－1(a)中只有两个点 A、B、只有一条线段.图6－1(b)中有A、B、C 三个点，这三个点将线段 AC 分割成AB、BC 两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段 AC，所以图 6－1(b)中有三条线段算式为 2＋1＝3.图6－1(c)中有A、B、C、D 四个点，这四个点将线段 AD 分割成AB、BC、CD 三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段 AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段 AD，所以图 6－1(c)中共有 6 条线段，算式为 3 ＋2＋1＝6.图6－1(d)中在有A、B、C、D、E 五个点，这五个点将线段 AE 分割成AB、BC、CD、DE 四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段 AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段 AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段 AE.所以图6－1(d)中共有 10 条线段.算式为4＋3＋2＋1＝10.图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F 六个点，这六个点将线段分割成 AB、BC、CD、DE、EF 五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段 AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段 AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段 AF.所以图6－1（e）中共有15 条线段.算式为5＋4＋3＋2＋1＝15.将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有 n 个点（包括两个端点），那么这 n 个点将线段分割成 n－1 条小线段，这 n－1 条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有 n－2 条.另外，这n－1 条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有 n－3 条.依此类推，可得：任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有 n－4 条.任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有n－5 条.……任意相邻 n－2 条小线段连起来组成的新线段，共有（n－（n－2）＝）2 条.最后相邻的 n－1 条小线段连起来组成 1（＝n－（n－1））条新线段.此时，线段的总条数为（n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1这样便得到如何数类似图 6－1 中线段总条数的公式：当一条线段上共 n 个点（包括两个端点）时，这条线段上线段总条数为： 1＋2＋…＋（n－1）①即线段总条数为从 1 开始的（n－1）个连续自然数的和.把图6－1 稍加变化，可得图6－2.图6－2 各图中的三角形有下面两个特点：一是所有三角形有一个共公的顶点，二是所有三角形的底边都在同一条直线上.图6－2(a)、(b)、(c)中三角形的个数与底边的个数一样多.即图 6－2(a) 中三角形的个数有 6 个（6＝1＋2＋3），图6－2(b)中三角形的个数有 10 个（1＋2＋3＋4＝10）.图 6－2(c)中三角形的个数有 15 个（1＋2＋3＋4＋5＝15）.这说明公式①还可以用来数类似于图 6－2 中三角形的总个数.另外公式①还可以用来数如图 6－3 中锐角的总个数，即从锐角AOB 的顶点O，在其内部引 n－1 条射线，此时图中锐角的总个数也是：1＋2＋…＋（n－1）＋n2．数长方形的公式先看图6－4 中有多少个长方形（图中ABCD 是一个长方形，长方形内每条竖线都平行于BC，每一条横线都平行于 AB）.这个问题与数线段有十分密切的关系.由公式知道：AB 边上共有（1＋2＋3 ＋4＋5＝）15 条线段；AD 边上共有（1＋2＋3＝）6 条线段.把 AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形（包括正方形），所以图 6－4 中长方形的总数为（1＋2＋3＋4＋5）×（1＋2＋3）一般情况下，如果有类似于图 6－4 的任一长方形，一边上有 n＋1 个点，其相邻一边上有m＋1 个点（m、n 是自然数）；相邻两点间的距离可以相等，也可以不相等.过这些点分别做对边的平行线，与另一边相交，这些平行线将原长方形分割成许多长方形，此时图中长方形的总数为：（1＋2＋…＋n）×（1＋2＋…m）②利用公式②还可以计算图 6－5(a)、(b)中平行四边形和梯形的总数.3．数正方形的公式分别数出图 6－6 中各图内的所有正方形的个数（图中每个小格都是正方形）.为方便起见，我们假定每个小方格的边长为 1 个长度单位.图6－6（a）中大正方形边长为 2 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（2×2）＝4 个，边长为2 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形总数为1×1＋2×2＝5（个）图6－6（b）中大正方形边长为 3 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为2 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为3 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＝14（个）图6－6（c）中大正方形边长为 4 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（4×4＝）16 个，边长为2 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为3 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 4 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30（个）图6－6（d）中大正方形边长为 5 个长度单位.其中边长为 1 个长度单位的正方形有（5×5＝）25 个，边长为 2 个长度单位的正方形有（4×4＝）16 个，边长为3 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为4 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 5 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＝55（个）一般而言，如果类似图 6－6 中大正方形边长为n 个长度单位，那么其中边长为1 个长度单位的正方形有（n×n＝）n2 个，边长为2 个长度单位的正方形有（n－1）×（n－1＝）即（n－1）2 个，…，边长为 n－2 个长度单位的正方形有（3 ×3＝）9 个，边长为n－1 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为n 个长度单位的正方形有1 个.所以，如果类似图 6－6 的大正方形各边上都有 n 个彼此相等的小格，那么图中正方形的总数为12＋22＋32＋…＋n2 ③二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用例1 图 6－7 中共有多少个三角形？分析与解：将图 6－7 旋转一下，应添上字母得图 6－8.在图6－8 中，线段AB 将整个图形分为上、下两部分，利用前面的分式①，马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）.仔细观察便可发现，除了上面那 56 个三角形外，还有下列三角形，它们是三角形ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD，共七个.这一来，图中三角形的总个数为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋7＝63（个）注意：在计数时，千万不要把三角形 ACD 等给遗漏了，这是数图形中一个很重要的问题或原则，简称为“不漏”.例2 图6－9 中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？分析与解：为方便起见，我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分.先看正中间部分.中间部分是每边有六个相等小格的正方形，按前面提到公式③计算，共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＝）91 个正方形.再看上下部分.因为图形上、下部分是对称的，所以可只看上部分，上部分除了两个小正方形外，还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形，一共有 3 个正方形，上下部分合起来应添（（2＋1）×2＝）6 个正方形.最后再看左、右部分，因为图形左右也是对称的，所以可只看左边那部分.左边那部分除了 6 个小正方形外，还有4 个由四个小正方形拼成的较大的正方形，2个由九个小正方形拼成的较大的正方形，1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形.左、右部分合起来应再添（（6＋4＋2＋1）×2＝）26 个正方形.把上述三部分正方形的个数加起来，就得到了问题的答案.图 6－9 中共有正方形.91＋6＋26＝123（个）例3 图6－10 中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？分析与解：为方便起见，把图 6－10 各顶点和交点标上字母，得图 6－11.把图6－11 先分成内外两层.按前面提到的公式②，长方形 ABCD 与A1B1C1D1 中各有（（1＋2＋3＋4）×（1＋2＋3）＝）60 个长方形.再看上面，夹在长方形 ABCD 与A1B1C1D1 之间的长方形 GG1H1H、H1I1IH、GG1I1I 不包含在上面那些长方形中，另外还有长方形 GN1M1H、HM1L1I、GN1L1I 也不包含在上面已提到的那些长方形中，同样下面也有长方形N1NMM1、MM1L1L、NN1L1L、NG1H1M、M1H1I1L、NG1I1L 也不包含上面已提到的那些长方形中，所以应在内外两层（60×2＝）120 个长方形外，再添加刚才提到的（6×2＝）12 个长方形.再看左边，和刚才讨论上面情况一样，应加上长方形 EFF1E1、EFJ1R1.同样右边也应添上长方形 JKK1J1、KE1F1L.所以应在刚才所提及的长方形外，再添加刚才提到的（2×2＝）4 个长方形.另外中间的长方形 PQQ1P1、QQ1R1R1、PRR1P1，在计算长方形 ABCD 与A1B1C1D 中的个数时，这三个长方形都计算了一次，因此重复了，故在计算总数时，应减去这重复的三个长方形.把上面三种情况所得出的长方形个数相加，然后减去重复的那 3 个长方形，便是题目的结果.故图 6－10 中长方形的总数为60×2＋6×2＋2×2－3＝133（个）做此题时，有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形，所以在数图形个数时，不但要避免遗漏也要避免重复，这也是数图形中一个很重要的问题或原则，简称“不重”.为了避免犯这两个错误，以后在数简单图形个数时，一定要记住“不重不漏”的原则.习题六1．图6－12 的各图中各有多少条线段？2．图 6－13 的各图中各有多少个三角形？3．图 6－14 的各图中各有多少个锐角？4．数一数图 6－15 中有多少个三角形？5．图6－16 的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）6．图6－17 的各图中有多少个正方形（图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形）？7．数一数图6－18 中有多少个平行四边形（图中最外边的四边形是平行四边形，另外横线段彼此平行，斜线段也彼此平行）？8．数一数图6－19 中有多少个梯形（图中最外层的四边形是梯形，另外的所有横线段彼此平行，斜线段彼此都不平行）？9．数一数图6－20中有多少个长方形（图中最外层的四边形是长方形，另外，所有横线段彼此平行所有竖线段彼此平行）？10．在线段 AB 上添一点C，便得到AB、BC、AB 三条线段；在线段AB 上添两点C 和D，便可得到 AC、CD、DB、AD、CB、AB 六条线段.问要在线段 AB 上添几个点，才能得到 36 条线段？。
2018最新六年级奥数.杂题.逻辑推理(ABC级).学生版
知识框架逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。
对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。
本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。
一、列表推理法逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.二、假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立．解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设三、体育比赛中的数学对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。
有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。
四、计算中的逻辑推理能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题.例题精讲逻辑推理一、列表推理法【例1】刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？【巩固】王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴张贝从未上过天；⑵跳伞运动员已得过两块金牌；⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？余老师薇芯：69039270【例2】张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？【巩固】甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员．已知：⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人；⑵辽宁人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人．求这三人各自的籍贯和职业．【例3】甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察．已知：⑴教师不知道甲的职业；⑵医生曾给乙治过病；⑶律师是丙的法律顾问（经常见面）；⑷丁不是律师；⑸乙和丙从未见过面．那么甲、乙、丙、丁的职业依次是：．【巩固】甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴丙比大队长的成绩好．⑵甲和中队长的成绩不相同．⑶中队长比乙的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？【例4】六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：3班第一名，2班第二名，1班第三名，4班第四名．小华猜想比赛的结果是：2班第一名，4班第二名，3班第三名，1班第四名．结果只有小华猜到的4班为第二名是正确的．那么这次竞赛的名次是班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。
六年级上册秋季奥数培优讲义——6-03-组合图形(二)3-讲义-学生
第3讲组合图形求面积（二）【学习目标】1、复习圆的面积计算；2、熟练掌握组合图形的面积计算。
【知识梳理】1、容斥法：利用容斥原理求解图形面积；2、分组法：把要求的图形平均分组，然后进行计算；3、拆分法：把不规则图形拆分成几个规则的可以直接计算的图形；4、差不变：两个图形同时加上或者减去同一部分，差不变。
【典例精析】【例1】如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，A为扇形AEF的圆心且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。
【趁热打铁-1】如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的面积小16平方厘米，求BC的长。
(π取3.14)【例2】如图所示，圆的周长为12.56cm,A,C两点把圆周分成相等的两段弧，阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等。
求平行四边形ABCD 的面积。
【趁热打铁-2】如图所示，圆的半径OA=OB=5cm,AC=CD=8cm,AC 垂直于CD,BC=6cm 。
求IV III II I S S S S -++。
【例3】如图所示，两圆的半径都是2厘米，且图中两个阴影部分的面积相等，长方形21O ABO 的面积是_____平方厘米。
【趁热打铁-3】如图，两个半径相等的圈A 和圆B 相交三角形DBC 是等腰直角三角形，面积是100平方厘米，四边形ABCD 是平行四边形。
图中阴影部分的面积是_______平方厘米。
【例4】如图、两个小圆和三个小半圆的半径都是1. 求阴影那分的面积。
(π取3) 【趁热打铁-4】如图每个小圆的面积都是7平方厘米，则阴影部分的面积是。
【例5】如图,三个圆的半径都是2cm,则阴影部分的面积____cm2 。
【趁热打铁-5】下图中大圆的直径是10厘米，四个小圆完全相同，阴影部分的面积是。
【例6】如图，长方形的宽正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积。
（单位：厘米）【趁热打铁-6】图中正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
苏教版六年级下册奥数几何图形专题
9.42-8＝1.42cm2
答：两个阴影部分的面积相差1.42平方厘米。
练一练
【例题12】（48中）如图，一个三角形的三个顶点分别为三个 半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是多少？
阴影面积=半圆面积 3.14×3²÷2＝14.13cm2
答：两个阴影部分的面积相差14.13平方厘米。
逢3必过
练一练
【例题11】如图A与B是两个圆（只有四分之一）的圆心。那么，
两个阴影部分的面积相差多少平方厘米？（单位：厘米）
1
差不变模型 ②-①=（②+③）-（①+③） 2
3.14×4²÷4＝12.56cm2
③
2A 2 B
3.14×2²÷4＝3.14cm2
2×4＝8cm2
12.56-3.14＝9.42cm2
小学数学 六年级
欢 迎 同 学 们
几何综合
优 翼
1、公式法：基本图形的面积求解公式 2、概念法：根据基本图形的基本概念进行判断并求解 3、加减法： 相加求整，相减求部分。 4、分割法：将整体分割成若干个规则的多边形 5、割补法：将一部分割补到图形中的另一个地方组成较规则 的图形进行求解。
6、等量代换法：如果图中有和所求部分面积相等的图形，可 以通过先求该图形的面积间接求出所要求部分的面积。 7、重组法：将所求部分打乱重新组合。 8、倍比法：通过边长之间的倍数关系求解面积之间的倍数关 系。 9、差不变法：A-B=(A+C)-(B+C) 10、整体法：在求解过程中没必要一定求出某一个具体的量， 只需要知道某一个计算过程的整体也是可以求出面积的。
倍比法 S△BCD=1cm2
S△DBE=1×（2+1）=3cm2
六年级奥数图形问题
B
C
例 4．三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=4:3，且三角形 ABC 的面积的面积是 74，求三角形 GHI 的面积？
A
F I H G
E
B
D
C
思维训练 2.在三角形中，BD:DC=4:9,CE:EA=4:3,求 AF:FB？
A
F O
E
B
D
C
例 5.（1）在三角形 ABC 中，DE,FG,BC,互相平行，AD=DF=FB，则三角形 ADE 与四 边形 DEGF 与四边形 FGCB 的面积之比是多少？
A
F B C E
D
思维训练 1.AC 的长是 AD 的五分之四， 且三角形 AED 的面积是三角形 ABC 面积的 一半，AE 是 AB 的几分之几？
A
E C
D B
例 3．长方形 ABCD 的面积是 36，E 是 AD 的三等分点，AE=2ED，则三角形 OEM 的 面积是多少？
A E D
M O
N
图形问题
知识与方法归纳
1， 等积模型： （1） 同高三角形面积的比等于底的比； （2） 平行线之间同底的三角形面积相等； 2， 鸟头定理： （1） 有一个公共角的面积之比； 3， 梯形中的蝴蝶定理： （1） 面积与底边存在比值关系； 4， 燕尾定理： （1） 等积模型的推广形式； 5， 相似模型： （1） 金字塔模型； （2） 沙漏模型； 6， 圆的组合： （1） 圆的面积，周长及扇形的面积；
1 1 1 1 11 1 3 4
（3）1 − (
1010101 2
) × (303030) × (550555) × (777700) 2020202
202020 2
6年级奥数几何综合问题(中)例题解析
【内容概述】本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换，下面我们就这些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．反之，如果知道上面某种情况的成立，则那两条直线平行．3．两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．【例题】题1．如下图，六边形ABCDEF中，AB＝ED，AF＝CD，BC＝EF，且有AB平行ED，AF平行CD，BC平行EF，对角线FD垂直与BD．已知FD＝24厘米，BD＝18厘米，试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？「分析与解」如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，DEF平移使得ED与AB 重合．这样就组成一个长方形，显然有面积为24×18＝432平方厘米，即ABCDEF 的面积为432平方厘米．题2．四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40．又已知∠ABD+∠BDC ＝90°，求四边形ABCD的面积．「分析与解」如下图，以BD的垂直平分线为对称轴，做△ABD关于l的对称图形△A′BD．连接A′C．因为∠ABD+∠BDC＝90°，而∠ABD＝∠A′DB＝90°，所以有∠A′DB+∠BDC＝90°．那么△A′CD为直角三角形，由勾股定理知A′C2＝AB2+CD2＝2500，所以A′C＝50．而在△A′BC中，有A′B＝AD＝48，有482+142＝2500，即A′B2+BC2＝A′C2，即△A′BC为直角三角形．有S △A ′CD +S △A ′BC ＝30×40×+14×48×＝936．而S 四边形ABCD ＝S △A ′CD +S △A ′BC ＝936．评注：Ⅰ．本题以∠ABD+∠BDC ＝90°为突破口，通过对称变换构造出与原图形相关的直角三角形．这样面积就很好解决．Ⅱ．对于这道题我们还可以将△BCD 作l 的对称图形，如下：题3．如下图所示，梯形ABCD 中，AB 平行与CD ，又BD ＝3，AC ＝4，AB+CD ＝5，试求梯形ABCD 的面积．「分析与解」如下图，将AB 沿AC 平移至CE ，连接BE ．在三角形BDE 中，有BD ＝3，BE ＝4，DE ＝5，有BD 2+BE 2＝DE 2，所以三角形BDE 为直角三角形．有S梯形ABCD ＝S△BDE＝×3×4＝6．题4．如图，在三角形ABD中，当AB和CD的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程．「分析与解」因为AB＝CD，于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐，如右图．在右图中有∠BCA＝110°，所以∠ACD＝70°于是∠ACC′＝∠ACD＋∠DCC′＝∠ACD＋∠ACB＝70°＋40°＝110°；于是∠ACC′＝110°＝∠CC′D；又因为C′A′只是CA移动的变化，所以C′A′＝CA；则AB′C′A′是一等腰梯形．于是，∠ADC′＝180°－110°＝70°；又∠CDC′＝30°，所以∠ADC＝70°－30°＝40°．题5．如下图所示，有六边ABCDEF，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB＝BC＝CD；AF＝DE；∠ECF＝60°；已知FEC的面积为6，求六边形ABCDEF的面积为多少？「分析与解」如下图，因为BC＝CE，所以我们可以将△CDE绕C点转到E′点，使E′B平行CD．连接E′、F；E′、B，设E′F、AB交于Q点．有△E′BC≌△EDC．而在△E′BQ、△FAQ中，∠E′BQ＝∠FAQ＝120°，∠E′QB＝∠AQF(对顶角相等)，E′B＝AF＝ED，所以有△E′BQ≌△FAQ．所以△E′FC即为六边形ABCDEF除△CEF所剩下的部分的等积图形；而在△E′FC、△EFC中，E′C＝EC，FC＝FC，∠E′CF＝∠ECF，所以△E′FC≌△EFC．所以S六边形ABCDEF ＝2×S△CEF；于是，S六边形ABCDEF＝6×2＝12．题6．如下图，△ABC为边长为1的等边三角形，△BCD是等腰三角形，BD＝CD，顶角∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，求△AMN的周长．「分析与解」如下图，延长AC至P，使CP＝MB，连接DP．则有∠MBD＝60°＋＝∠PCD；CP＝BM；BD＝CD，所以有△MBD≌△PCD．于是∠MDB＝∠PDC；又因为∠MDB＋∠NDC＝60°，所以∠PDC＋∠NDC＝∠NDP＝60°；MD＝PD．在△MND、△PND中，∠NDM＝∠NDP，ND＝ND，MD＝PD，于是△MND≌△PND．有MN＝PN．因为MN＝NP＝NC+CP，而AM＝AB－MB＝AB－CP，所以AM＋AN＋MN＝(AB－CP)+AN+(NC+CP)＝AB+AN+NC＝2．即△AMN的周长为2．题7．如下图，三角形ADC，是AC边与AD边长度相等的等腰三角形．求出下图中？的角度．「分析与解」作△ADB关于AB的对称图形，为△AD′B，在BC上选择E点使EA=CA;△BD′A≌△BCA，∠BD′A＝∠BDA，注意到∠BED′似直角，D′EA似为等边三角形．如果解决，则，显然就有∠BDA＝∠BD′A＝？，答案显然为105°．注意到∠AEC＝30°，则∠EAC＝120°，于是∠D′AE＝60°，又因为D′A＝DA＝AC＝AE，所以三角形D′AE为等边三角形．∠D′EC＝∠D′EA＋∠AEC＝60°＋30°＝90°；于是∠D′EB＝180°－90°＝90°．又知道∠BEA＝90°＋60°＝150°；所以∠BAE＝180°－150°－15°＝15°；所以BEA为等腰三角形；于是BE＝EA＝ED′；BED′为等腰直角三角形．综合以上分析知∠BDA＝105°．题8．下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图．点C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的B、K弧线分为8等份的点．求阴影部分面积之和．「分析与解」如下图，做出辅助线△KMA与△ANG形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△KMA≌△ANG，S△KMA ＝S△ANG，而△KMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，GNMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．扇形KGA的圆心角为×3＝54°，所以扇形面积为×202×π＝60π平方厘米．那么KGEB的面积为60π×2＝120π平方厘米．如右图，做出另一组辅助线．△JQA与△ARH形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△JQA≌△ARH，S△JQA ＝S△ARH，而△PQA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，JHPQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．扇形JHA的圆心角为＝18°，所以扇形面积为×202×π＝20π平方厘米．那么JHDC的面积为10π×2＝40π平方厘米．所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB －SJHDC＝120π－40π＝80π≈80×3.14＝251.2平方厘米．题9．如下图，三角形ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，三角形ADE为正三角形，点D在BC边上．并且有BD：DC＝2：3．三角形ABC的面积为50平方厘米，试求三角形ADE的面积？「分析与解」以点A为中心，使三角形ABC旋转120°，240°使其与原图形形成一个正三角形，并使QC：PQ＝RP：BR＝2：3．在正三角形PBC的内部连接成一个正六边形图，再连接正六角形的顶点得到正三角形DQR．有S△PBC ＝S△ABC×3＝150，S△DCQ＝S△PBC××＝36，S△DQR＝S△PBC－3S△DCQ＝42，S△ADE ＝S正六边形DQR＝S△DQR＝14平方厘米．。
六年级奥数图形问题讲解
圆和组合图形(1)一、填空题1. 算出圆内正方形的面积为 .6 厘米2. 右图是一个直角等腰三角形 , 直角边长 2 厘米, 图中阴影局部面积是平方厘米 .23. 一个扇形圆心角120 , 以扇形的半径为边长画一个正方形 , 这个正方形的面积是 120 平方厘米. 这个扇形面积是 .4. 以以下图 , 以 B、C 为圆心的两个半圆的直径都是 2 厘米, 那么阴影局部的周长是厘米.( 保存两位小数 )EA B C D5. 三角形 ABC 是直角三角形 , 阴影局部①的面积比阴影局部②的面积小 28 平方厘米 . AB长 40 厘米, BC 长厘米.C②①B A6. 如右图, 阴影局部的面积为 2 平方厘米, 等腰直角三角形的面积为 .7. 扇形的面积是 31.4 平方厘米 , 它所在圆的面积是 157 平方厘米, 这个扇形的圆心角是度.8. 图中扇形的半径 OA= OB=6 厘米. AOB 45 , AC 垂直 OB 于 C, 那么图中阴影局部的面积是平方厘米. ( 3. 14 )A645O C B9. 右图中正方形周长是 20 厘米. 图形的总面积是平方厘米.10. 在右图中( 单位: 厘米), 两个阴影局部面积的和是平方厘米 .151220二、解答题11. ABC 是等腰直角三角形 . D 是半圆周的中点 , BC 是半圆的直径 , :AB= BC=10, 那么阴影局部的面积是多少 ?(圆周率 3.14 )10BADC12. 如图, 半圆 S1 的面积是 14.13 平方厘米 , 圆S2 的面积是 19.625 平方厘米. 那么长方形 ( 阴影局部的面积 ) 是多少平方厘米 ?S2S113. 如图, 圆心是 O, 半径 r=9 厘米, 1 2 15 , 那么阴影局部的面积是多少平方厘米 ?( 3.14 )A1 2BC14. 右图中 4 个圆的圆心是正方形的 4 个极点, 它们的公共点是该正方形的中心 . 若是每个圆的半径都是 1 厘米, 那么阴影局部的总面积是多少平方厘米 ?———————————————答 案——————————————————————1. 18 平方厘米.由图示可知 , 正方形两条对角线的长都是 6 厘米, 正方形由两个面积相等的 1三角形构成 . 三角形底为 6厘米, 高为 3厘米, 故正方形面积为 6 3 2 18( 平2方厘米).2. 1.14 平方厘米.由图示可知 , 图中阴影局部面积为两个圆心角为 45 的扇形面积减去直角三45 12 ( 平方厘米). 角形的面积 . 即3.142 2 2 2 1. 14360 2平方厘米.由条件可知圆的半径的平方为 120 平方厘米. 故扇形面积为 1203.14 120 125.6 ( 平方厘米).360 4. 3.09 厘米.边结 BE 、CE, 那么 BE=CE=BC= 1( 厘米), 故三角形 BCE 为等边三角形 . 于是⌒ ⌒60EBC BCE 60 . BE=CE= 3.14 2 1.045 ( 厘米). 于是阴影局部周长360为1. 045 2 1 3.09 ( 厘米).5. 32.8 厘米.从图中可以看出阴影局部①加上空白局部的面积是半圆的面积 , 阴影局部② 加上空白局部的面积是三角形 ABC 的面积. 又①的面积比②的面积小 28 平方厘米, 故半圆面积比三角形 ABC 的面积小 28 平方厘米.240 1半圆面积为 3.14 628( 平方厘米), 三角形 ABC 的面积为2 2 628+28=656( 平方厘米). BC 的长为 656 2 40 32.8( 厘米). 6.9 37 平方厘米. 13将等腰直角三角形补成一个正方形 , 设正方形边长为 x 厘米, 那么圆的半径为 x 2 厘米. 图中阴影局部面积是正方形与圆的面积之差的 1 8 , 于是有212 xx 3.14 8 2, 解得232002x . 故等腰直角三角形的面积为133200 13 1293713( 平方厘米 ).7. 72 .扇形面积是圆面积的131.4 157 , 故扇形圆心角为360 的515即72 .8. 5.13.三角形 ACO 是一个等腰直角三角形 , 将 AO 看作底边, AO 边上的高为1AO 2 6 2 3( 厘米), 故三角形 ACO 的面积为 6 3 9( 平方厘米). 而扇2452 ( 平方厘米), 进而阴影局部面积为形面积为 3.14 6 14. 1336014.13- 9=5.13( 平方厘米 ).9. 142.75.由正方形周长是 20 厘米, 可得正方形边长也就是圆的半径为 20 4 5( 厘米). 图形总面积为两个34圆面积加上正方形的面积 , 即32 ( 平方厘米).2410. 90平方厘米.图中阴影局部的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜边为直径的半圆的面积即2 12 2 3. 14 12(16 22)1212 1512(20 22)1290( 平方厘米).11. 如图作出辅助线 , 那么阴影局部的面积为三角形A10B EAED 的面积减去正方形 BEDO 的面积再加上圆面积的14. O D三角形 AED 的面积是1(10 10 2) (10 2) ; 正方形面2C积是 2(10 2) , 圆面积的14是14(10 22) , 故阴影局部面积为 :(10 10 2) (10 2)12 (1012 3.14 (10 2)42)237. 5 25 19.625 32. 125〔平方厘米〕 .12. 由半圆 S1 的面积是 14.13 平方厘米得半径的平方为14.13 2 3.14 9( 平方厘米 ), 故半径为 3 厘米, 直径为 6 厘米.又因圆 S2 的面积为平方厘米, 因此 S2 半径的平方为19.625 3.14 6.25( 平方厘米), 于是它的半径为 2.5 厘米, 直径为 5 厘米.阴影局部面积为(6 5) 5 5( 平方厘米).13. 因OA=OB , 故三角形 OAB 为等腰三角形 , 即OBA 1 15 , AOB 180 15 2 150 , 同理AOC 150 , 于是BOC 360 150 2 60 .60 2 扇形面积为360 (平方厘米).14. 正方形可以切割成两个底为 2, 高为 1 的三角形, 其面积为1 2 2 1 2 2 ( 平方厘米).正方形内空白局部面积为 4 个14圆即一个圆的面积与正方形面积之差 , 即12 ( 平方厘米), 全部空白局部面积为2( 2) 平方厘米.2 2故阴影局部面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差 , 即为12 ( 平方厘米 ).4 2 2( 2) 8十二、圆和组合图形〔2〕一、填空题1. 如图, 阴影局部的面积是 .2 1 22. 大圆的半径比小圆的半径长 6厘米, 且大圆半径是小圆半径的 4倍. 大圆的面积比小圆的面积大平方厘米 .3. 在一个半径是4.5 厘米的圆中挖去两个直径都是 2 厘米的圆. 剩下的图形的面积是平方厘米.( 取 3.14, 结果精确到 1 平方厘米 )4. 右图中三角形是等腰直角三角形 , 阴影局部的面积是 ( 平方厘米).5. 如图所求 , 圆的周长是 16.4 厘米, 圆的面积与长方形的面积正好相等 . 图中阴影局部的周长是厘米. ( 3.14 )6. 如图, 1 15 的圆的周长为 62.8 厘米, 平行四边形的面积为 100 平方厘米. 阴影局部的面积是 .7. 有八个半径为 1 厘米的小圆 , 用它们的圆周的一局部连成一个花瓣图形( 如图). 图中黑点是这些圆的圆心 . 若是圆周率 3.1416 , 那么花瓣图形的面积是平方厘米 .8. : ABCD是正方形, ED=DA=AF=2 厘米, 阴影局部的面积是 .C BGE D A F9. 图中, 扇形BAC的面积是半圆 ADB 的面积的11 倍, 那么, CAB 是度. 3CDA BO10. 右图中的正方形的边长是 2 厘米, 以圆弧为分界线的甲、乙两局部的面积差( 大减小) 是平方厘米.( 取 3.14)甲乙2二、解答题11. 如图: 阴影局部的面积是多少 ?四分之一大圆的半径为 r.( 计算时圆周率取22 )712. 右图中大正方形边长是 6 厘米, 中间小正方形边长是 4 厘米. 求阴影局部的面积 .13. 有三个面积都是 S的圆放在桌上 , 桌面被圆覆盖的面积是 2S+2, 并且重合的两块是等面积的 , 直线 a 过两个圆心 A、B, 若是直线 a 下方被圆覆盖的面积是9, 求圆面积 S的值.A B aC14. 以以下图, 一块半径为 2 厘米的圆板 , 从平面上 1 的地址沿线段 AB、BC、CD 滚到 2 的地址, 若是 AB、BC、CD的长都是 20 厘米, 那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米 ?12BD120AC———————————————答案——————————————————————1. 6.两个扇形面积相等 , 故阴影局部面积等于一个长为 3, 宽为 2 的长方形面积 , 为 6 个平方单位 .2. 188.4.小圆的半径为 6 (4 1) 2( 厘米), 大圆的半径为 2 4 8( 厘米). 大圆的面积比小圆的面积大(82 22( 平方厘米).3. 57.2 ( 平方厘米) ≈57( 平方厘米).24. 10.26.从圆中可以看出 , 阴影局部的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差 , 即3.14 (612 2 ( 平方厘米 ).25. 20.5.设圆的半径为 r, 那么圆面积即长方形面积为 2r , 故长方形的长为 DC r .1 5 ⌒阴影局部周长 DC BC BA AD r r ( r r) 2 r 2 r4 45 4 16.4 20.5 ( 厘米).6.548 ( 平方厘米 ).6如图, 连结 OA、AC, 过 A 点作 CD 的垂线交 CD 于B AE. 三角形 ACD 的面积为100 2 50( 平方厘米).又圆半径为 6.28 ( 3.14 2) 10 ( 厘米), 因为 1 15 , C E O1 D又 OA=OD , 故AOC 15 2 30 , 扇形 AOC 的面积为30 23. 14 10 2616( 平方厘米). 三角形 AOC的面积为 50 2 25( 平方厘米).360方形面积为1 126 25 1 ( 平方厘米), 进而阴影局部的面积为6 61 550 1 48 ( 平6 6方厘米). 7. 19.1416.花瓣图形的结构是正方形的面积 , 加上四个 3 4圆面积后, 再割去四个半圆的面积. 圆的半径为 1 厘米, 正方形边长为 4 厘米. 故花瓣图形的面积是43 12 ( 平方厘米 ).2 24 2C B8. 2.43 平方厘米.如图, 将①移到②得 : 阴影局部面积等于梯形 CEFB 的 ① ②G面积减去三角形 CED 、三角形 CDA 、扇形 AFG 的面积, 即 1 1 (2 2 3) 2 2 2 2 2 21 452 ( 平方厘22 360米 ).E DAF9. 60.设扇形 ABC 圆心角的度数是 x, 半圆的半径 OA=r , 有x 360 (2r 2 ) 1 13 12r 2, 解得 x= 60. 10. 0.14.2( 平方厘米), 甲局部面积为扇形面积为1 421 12 ( 平方厘米), 乙局部面积为 3.14 2 0.43 3.14 2 2 2 ( 平方 2 4厘米), 甲乙两局部面积差为 0.57 0.43 0.14 ( 平方厘米). 11. 如图, 小正方形的边长为 r 2, 那么①的面积为 :②1 4 22 7r 22 r r r 2 2 2 7,① ③221 22 r r 12②的面积为 r , ①和②的面积和为2 7 2 7 41 4 2271 22 2 2r r 2 r . 即阴影局部面积为4 7272r .12. 将阴影局部旋转后 , 可以看出所求阴影局部面积为大正方形面积的一半减2 ( 平方厘米).2去小正形的一半 , 即阴影局部面积等于 6 2 4 2 1013. 设一个阴影局部的面积为 x, 那么有: 3S 2x 2S 2, 于是S 2x 2 (1)3 4S 18又2S x 9 , 于是有 x 2, 解得 S=6.2 312 14. 圆板的正面滚过的局部如右图阴影局部所求 ,它的面积为 :1 2 1 22 (20 2) 4 4 2 6 ( 20 4)AB D4 (20 2) 4141 23 C2 ( 平方厘米 ).2 22 3面积计算〔三〕专题简析：对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有必然的困难，这时，可以经过把其中 的局部图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。
小学六年级数学奥数含答案及解题思路
小学六年级数学奥数含答案及解题思路数学奥数一直被认为是考验学生数学综合能力的一种高水平考试。
对于小学六年级的学生来说，参加数学奥数的挑战可以帮助他们加深对数学的理解和应用能力。
本文将介绍一些小学六年级数学奥数的题目，并给出相应的答案和解题思路。
题目一：计算问题已知：9.6 + 5.3 = 14.9， 74.2 - 32.1 = 42.1求解：74.2 + 9.6 - 32.1 + 5.3 = ?答案：56.9解题思路：首先，利用小学阶段已学过的数学运算法则，按照先加后减的原则，先计算74.2 + 9.6 = 83.8，再减去32.1，得到答案56.9。
题目二：图形问题给定一个矩形ABCD，AB = 6cm，BC = 8cm。
在边AB上取一点E，使得AE = 2cm。
连接DE交BC于点F，连接AF，并且延长交矩形BC 延长线于点G。
求解角AFG的大小。
答案：90°解题思路：在矩形BCDG中，对角线交叉点上的角度一般为90°。
因此，角AFG的大小为90°。
题目三：逻辑问题根据下面的数字序列，找出规律，填入问号处。
2, 4, 8, 16, ? , 64答案：32解题思路：观察数字序列可以发现每个数都是前一个数的2倍。
因此，缺失的数字应该是16的2倍，即32。
题目四：计算器问题将计算器上的数字1234随机按下，得到一个四位整数。
求解这个四位整数最大可以是多少？答案：4321解题思路：由于计算器上的数字不能重复使用，所以最大的数应该是将数位上的数字从大到小排列，即4321。
题目五：几何题已知三角形ABC，其中∠B = 60°，BC = 5cm。
在边BC上取一点D，使得BD = 3cm。
连接AD并延长至交BC的延长线上的点E。
求解AE的长度。
答案：8cm解题思路：根据三角形相似定理，可以得出AB/BC = AE/EC。
已知AB = BC = 5cm，代入得5/5 = AE/(3+2)。
六年级图形问题综合(奥数)含答案
平面图形计算（一）经典图形：1. 任意三角形ABC 中，CD=31AC ，EC=43BC ，则三角形CDE 的面积占总面积的31⨯43=41（为什么？）2. 任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和等于左右两个三角形面积之和。
（为什么？）3. 任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。
（1）腰上的两个三角形面积相等；（2）上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积。
（为什么？）4. 正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方÷2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方÷2，或者等于斜边的平方÷4.（为什么？）例题： 例1． 如右图，三角形ABC 的面积是10，BE=2AB ，CD=3BC ，求三角形BDE 的面积。
例2． 如图，已知三角形ABC 的面积是1，延长AB 至D ，使BD=AB ，延长BC 至E ，使CE=2BC ，延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。
例3． 如图，三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AE=ED ，EF=2BF ，求AEF 的面积。
例4． 如图，ABCD 是个长方形，DEFG 是个平行四边形，E 点在BC 边上，FG 过A 点，已知，三角形AKF 与三角形ADG 面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。
求三角形BEK 的面积。
FK BEC DGA例5． 如图，三角形ABC 的AB 和AC 两条边分别被分成5等分。
三角形ABC 面积是500，求图中阴影部分的面积？例6． 如图，设正方形ABCD 的面积为120，E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，FC=3GC ，则阴影部分的面积是多少？ABC DFEG例7． 在如图所示的三角形AGH 中，三角形ABC ，BCD ，CDE ，DEF,EFG ，FGH 的面积分别是1，2，3，4，5，6平方厘米，那么三角形EFH 的面积是多少平方厘米？ABCD EFG H例8． 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，EF 平行于AC ，如果三角形AED 的面积为12平方厘米，，求三角形DCF 的面积。
小学六年级奥数几何的初步知识精解
小学六年级奥数几何的初步知识精解1、长方形(1)特征对边相等，4个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
(2)计算公式 c=2(a+b) s=ab2、正方形(1)特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。
有4条对称轴。
(2)计算公式：c=4a ;s=a??3、三角形(1)特征：由三条线段围成的图形。
内角和是180度。
三角形具有稳定性。
三角形有三条高。
(2)计算公式：s=ah/2(3)分类*按角分：锐角三角形：三个角都是锐角。
直角三角形：有一个角是直角。
等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
钝角三角形：有一个角是钝角。
*按边分：不等边三角形：三条边长度不相等。
等腰三角形：有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。
等边三角形：三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。
4、平行四边形(1)特征：两组对边分别平行的四边形。
相对的边平行且相等。
对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。
平行四边形容易变形。
(2)计算公式 s=ah5、梯形(1)特征：只有一组对边平行的四边形。
中位线等于上下底和的一半。
等腰梯形有一条对称轴。
(2)公式s=(a+b)h/2=mh6、圆(1)圆的认识平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。
一般用字母o表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用d表示。
同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
圆的大小由半径决定。
圆有无数条对称轴。
(2)圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径);把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上;把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
(3) 圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。
用字母∏表示。
(4) 圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。
六年级图形问题综合(奥数)含答案解析-精选.pdf
3. 任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。 （1）腰上的两个三角形面积相等； （ 2）上下两个三角形 面积之积等于左右两个三角形面积之积。 （为什么？）
4. 正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方 2，或者等于斜边的平方 4.（为什么？）
2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方
例题： 例 1． 如 右图，三角形 ABC 的面积是 10，BE=2AB ， CD=3BC ，求三角形 BDE 的面积。
6. 下图正方形 ABCD 边长是 10 厘米 , 长方形 EFGH 的长为 8 厘米 , 宽为 5 厘米 . 阴影部分甲与阴影部分乙
的面积差是 ______平方厘米 .
7. 如图所示 , 一个矩形被分成 A 、 B 、C 、 D 四个矩形 . 现知 A 的面积是 2cm2, B 的面积是 4cm2, C 的面积
H
F
D
B
ACE
G
例 8． 如 图，在平行四边形 ABCD中，AC为对角线， EF平行于 AC，如果三角形 AED的面积为 12 平方厘米，，
求三角形 DCF的面积。
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D
C
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F
A
E
B
练习：
1. 已知正方形 ABCD 的边长是 5cm，又 EF=FG ， FD=DG ，求三角形 ECG 的面积。
B
A
8 平方厘米，三角形 COD
O
C
D
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图形与面积 ( 一 ) 一、填空题
1. 如下图 , 把三角形 ABC 的一条边 AB 延长 1 倍到 D , 把它的另一边 AC 延长 2 倍到 E , 得到一个较大 的三角形 ADE , 三角形 ADE 的面积是三角形 ABC 面积的 ______倍 .
(完整版)六年级奥数图形问题精选
圆和组合图形(1)一、填空题1.算出圆内正方形的面积为 .2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米.120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 .4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28长 厘米.6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度.8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.45二、解答题11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π)12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米?13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?———————————————答 案——————————————————————1. 18平方厘米.由图示可知,正方形两条对角线的长都是6厘米,正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形底为6厘米,高为3厘米,故正方形面积为1822136=⨯⨯⨯(平方厘米).2. 1.14平方厘米.由图示可知,图中阴影部分面积为两个圆心角为45的扇形面积减去直角三角形的面积.即14.12122236045214.32=⨯⨯-⨯⨯⨯(平方厘米).3. 125.6平方厘米.由已知条件可知圆的半径的平方为120平方厘米.故扇形面积为6.12536012012014.3=⨯⨯(平方厘米).4. 3.09厘米.边结BE 、CE ,则BE=CE=BC=1(厘米),故三角形BCE 为等边三角形.于是60=∠=∠BCE EBC .BE=CE=045.136060214.3=⨯⨯(厘米).于是阴影部分周长为09.312045.1=+⨯(厘米).5. 32.8厘米.从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC 的面积.又已知①的面积比②的面积小28平方厘米,故半圆面积比三角形ABC 的面积小28平方厘米.半圆面积为6282124014.32=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯(平方厘米),三角形ABC 的面积为628+28=656(平方厘米).BC 的长为8.32402656=÷⨯(厘米).6. 13937平方厘米.将等腰直角三角形补成一个正方形,设正方形边长为x 厘米,则圆的半径为2x 厘米.图中阴影部分面积是正方形与圆的面积之差的81,于是有282114.322⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-x x ,解得1332002=x .故等腰直角三角形的面积为1393721133200=⨯(平方厘米). ⌒⌒7. 72.扇形面积是圆面积的511574.31=÷,故扇形圆心角为360的51即72.8. 5.13.三角形ACO 是一个等腰直角三角形,将AO 看作底边,AO 边上的高为3262=÷=÷AO (厘米),故三角形ACO 的面积为93621=⨯⨯(平方厘米).而扇形面积为13.1436045614.32=⨯⨯(平方厘米),从而阴影部分面积为14.13-9=5.13(平方厘米).9. 142.75.由正方形周长是20厘米,可得正方形边长也就是圆的半径为5420=÷(厘米).图形总面积为两个43圆面积加上正方形的面积,即75.1425243514.322=+⨯⨯⨯(平方厘米).10. 90平方厘米.图中阴影部分的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜边为直径的半圆的面积即()902114.3)220(2115122114.3)216(2114.3212222=⨯⨯÷-⨯⨯+⨯⨯÷+⨯⨯÷(平方厘米).11. 如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED 的面积减去正方形BEDO 三角形AED 的面积是21)210()21010(⨯÷⨯÷+;积是2)210(÷,圆面积的41是2)210(14.341÷⨯⨯,故阴影部分面积为:22)210(14.341)210(21)210()21010(÷⨯⨯+÷-⨯÷⨯÷+125.32625.19255.37=+-=（平方厘米）.12. 由已知半圆S 1的面积是14.13平方厘米得半径的平方为914.3213.14=÷⨯(平方厘米),故半径为3厘米,直径为6厘米. 又因圆S 2的面积为19.625平方厘米,所以S 2半径的平方为25.614.3625.19=÷(平方厘米),于是它的半径为2.5厘米,直径为5厘米. 阴影部分面积为55)56(=⨯-(平方厘米).13. 因OA=OB ,故三角形OAB 为等腰三角形,即 150215180,151=⨯-=∠=∠=∠AOB OBA , 同理150=∠AOC ,于是602150360=⨯-=∠BOC . 扇形面积为:39.42914.3360602=⨯⨯(平方厘米).14. 正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为221221=⨯⨯⨯(平方厘米).正方形内空白部分面积为4个41圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即2212-=-⨯ππ(平方厘米),所有空白部分面积为)2(2-π平方厘米. 故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为 8)2(22412=-⨯-⨯⨯ππ(平方厘米).十二、圆和组合图形（2）一、填空题1.如图,阴影部分的面积是 .2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大 平方厘米.3.在一个半径是4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是 平方厘米.(π取3.14,结果精确到1平方厘米)4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平方厘米).5.如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是 厘米.)14.3(=π6.如图,151=∠的圆的周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是 .2 1 27.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416.3=π,那么花瓣图形的面积是 平方厘米.8.已知:ABC D 是正方形, ED =DA =AF =2厘米,阴影部分的面积是 .9.图中,扇形BAC 的面积是半圆ADB 的面积的311倍,那么,CAB ∠是 度.10.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是 平方厘米.(π取3.14)二、解1.如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r .(计算时圆周率取722)12.已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积.13.有三个面积都是S 的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2S +2,并且重合的两块是等面积的,直线a 过两个圆心A 、B , 如果直线a 下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S 的值.14.如图所示,1的位置沿线段AB 、BC 、CD 滚到2的位置,如果AB 、BC 、C D 的长都是20厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米?———————————————答 案——————————————————————1. 6.两个扇形面积相等,故阴影部分面积等于一个长为3,宽为2的长方形面积,为6个平方单位.2. 188.4.小圆的半径为2)14(6=-÷(厘米),大圆的半径为842=⨯(厘米).大圆的面积比小圆的面积大4.18814.3)28(22=⨯-(平方厘米).3. 57.305.57214.3)22(14.35.422=⨯⨯÷-⨯(平方厘米)≈57(平方厘米).4. 10.26.从圆中可以看出,阴影部分的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差,即26.10621)26(14.322=⨯-÷⨯(平方厘米).5. 20.5.设圆的半径为r ,则圆面积即长方形面积为2r π,故长方形的长为r DC π=.阴影部分周长r r r r r r AD BA BC DC ππππ245241)(⨯=⨯+-++=+++=5.204.1645=⨯=(厘米).6. 6548(平方厘米).如图,连结OA 、AC ,过A 点作CD 的垂线交CD 于E .三角形ACD 的面积为502100=÷(平方厘米).又圆半径为10)214.3(28.6=⨯÷(厘米),因为151=∠又OA=OD ,故30215=⨯=∠AOC ,扇形AOC 的面积为61261014.3360302=⨯⨯(平方厘米).三角形AOC 的面积为25250=÷(平方厘米).方形面积为611256126=-(平方厘米),从而阴影部分的面积为654861150=-(平方厘米).7. 19.1416.⌒花瓣图形的结构是正方形的面积,加上四个43圆面积后,再割去四个半圆的面积.圆的半径为1厘米,正方形边长为4厘米.故花瓣图形的面积是1416.1916421144314222=+=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+πππ(平方厘米).8. 2.43平方厘米.如图,将①移到②得:阴影部分面积等于梯形CEFB 的 面积减去三角形CED 、三角形CDA 、扇形AFG 的面积,即43.236045214.32122122212)322(22=⨯⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯+(平方厘米).9. 60.设扇形ABC 圆心角的度数是x ,半圆的半径OA=r ,有2221311)2(360r r x⨯⨯⨯=⨯⨯ππ,解得x=60.10. 0.14.扇形面积为14.341214.32=⨯⨯(平方厘米),甲部分面积为43.0214.32122=÷-⨯(平方厘米),乙部分面积为57.04122214.3=⨯⨯-÷(平方厘米),甲乙两部分面积差为14.043.057.0=-(平方厘米11. 如图,小正方形的边长为2r,则①的面积为:72227224122r rr r =⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯, ②的面积为222417272221r r r =-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯,2227224172241r r r =⨯⨯-⨯⨯.即阴影部分面积为272r .12. 将阴影部分旋转后,可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的一半减去小正形的一半,即阴影部分面积等于10242622=÷-÷(平方厘米).13. 设一个阴影部分的面积为x ,则有:2223+=-S x S ,于是22+=x S (1)又9232=-x S ,于是有23184+-=Sx ,解得S=6.D14. 圆板的正面滚过的部分如右图阴影部分所求,它的面积为: )420(4614)220(22122-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯ππ 07.228323204221)24(414)220(4222≈+=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-+⨯πππ(平方厘米).面积计算（三）专题简析：对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。
六年级奥数几何图形汇总
几何部分题型大汇总1.-饨万秫醸懿分狐何长方臥护三个帼驰鼬擁詡分的郦2.⑦如右图”在长方形A BCD中「丹是正方形f已知二1%如「GC二九m ’则长方形卫弘刀的周长垦多厘米？知右图,在氏方^ADCD^ t山・G丿是工方腿，已知AA・10cf GC^7nn t则反方形丄此册周士磔附？3•如下图,两个相同的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积是多少？4.四个相同的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x、y表示长方形的长和宽，贝y小丄宽为长方形的长为第4题图5.三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米，已知长方形ABCD勺长和宽分别为6、4厘米,DF长多少厘米？6•如图中三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC= 4，BE=2，EA=4，那么甲部分的面积是乙部分面积的几倍？7.如图,正方形ABCD的面积为3平方厘米,M是AD边上的中点,求阴影部分面积？8.有红黄蓝三块大小一样的正方形纸片,放在一个底面为正方形的盒，它们之间互相叠合.已知露在外面的部分中，红色面积是20. 黄色面积是14,绿色面积为10,求正方形盒底的面积。
9•如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米•三角形ABO的面积为12平方厘米，则梯形ABCD的面积为多少？10.已知如图大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是3厘米，求阴影部分的面积？11.如图，三角形ABC的面积为1, BD : DC=2 : 1 , E是AC的中点, AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为多少？B DC12.如图，一块长方形的布料ABCD，被剪成大小相等的甲、乙、丙、丁四块，其中甲块布料的长与宽的比为a：b=3 : 2，那么丁块布料的长与宽的比是_______ • 13.如图一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计）.求油桶的容积？14.直角三角形ABC的三条边分别是5cm, 3cm和4cm，将它的直角边AC 对折到斜边AB上，使AC与AD重合，如下图，则图中阴影部分（未重叠部分）的面积是多少平方厘米？15.如图，已知直角三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分面积.16.半径20厘米圆的外面和里面各有一个正方形，外面正方形的面积是多少，里面正方形的面积是多少？第16题第18题八炯罡由两衽罚腕来斯边卅别対耿和僱栄.硼謡盼匸角恤C）的酿是平方鳏・18.蛆大斯聊觸聽分是-个正？＜嫌方蹦瞅是si19. 如下图,三角形ABC是等腰直角三角形，一直角边长为4厘米,求阴影部分的面积？20. 已知下图平行四边形的面积是36平方厘米,求图中阴影部分面积要求写出计算过。
六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-几何图形问题十二大专题汇编含详解
六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-几何图形问题-等积变形（位移、割补）【知识点归纳】等积变形的主要方法是：1．三角形内等底等高的三角形2．平行线内等底等高的三角形3．公共部分的传递性4．极值原理（变与不变）【经典题型】例1：求如图的体积．（π取3.14）分析：此题上面是斜面，可以把一个和它完全一样的图形拼成一个高是20+15=35厘米，底面直径是4厘米的圆柱体，所以此图的体积是圆柱体积的12；利用圆柱体的体积公式计算出体积即可．解：3.14×（4÷2）2×（15+20）×，=3.14×4×35×，=219.8；答：体积是219.8；故答案为：219.8．点评：此题主要根据圆柱体的体积公式解决问题，解题的关键是把两个完全一样的图形拼成一个圆柱体，此图的体积是圆柱体积的．例2：如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路．求小路的占地面积？分析：无论这曲折小路如何再曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以把竖的往左拼，横的往上拼，如下图则小路面积不难算出，竖的部分14×2，横的部分20×2，计算重叠2×2，则小路面积为（20+14）×2-2×2=64（平方米）．解：小路面积为：（20+14）×2-2×2=64（平方米），答：小路的占地面积64平方米．点评：利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直，就变成规则的图形包括三部分竖的长方形，横的长方形和重叠的小正方形，进而解答．一．选择题1．如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是84.78cm2，圆的周长是（）cm．A．18.84 B．75.36 C．37.682．以下是四位同学运用转化的策略将左边的图形转化成右边的图形解决问题，其中做对的有（）位．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题3．有一种饮料瓶的容积是50立方厘米，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．瓶内现有饮料立方厘米．4．如图，外侧大正方形的边长是10厘米，图中阴影部分的面积是27.5平方厘米，那么圆内的大正方形面积是小正方形面积的倍．5．将一底面半径为2分米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，截开拼成一个和它等底等高的长方体后，表面积增加16平方分米，圆柱的体积是．6．在如图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为．7．如图，E，F，G，H是边长为2的正方形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积等于．8．如图，三个大小相同的正方形重叠地放在一个大的正方形ABCD内，已知能看见的部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是64平方厘米、38平方厘米、34平方厘米．那么正方形ABCD的边长是厘米．9．下图是一个正方体木块．M是AB的中点，N是AD的中点．用一把锋利的锯，过M、N、G三个点将木块锯成两块，使截面是平的，这个截面是边形．10．如图所示，一种饮料瓶，容积是200ml，瓶身是圆柱形．将该瓶正放时饮料高20cm，倒放时余部分高5cm，瓶内的饮料是ml．三．操作题11．把下列图形改成平行四边形四．解答题12．如图，正方形ABCD的边长为10厘米，E，F，G，H分别为正方形四边上的中点，求阴影部分的面积是多少平方厘米．13．看图求阴影部分的面积．（1）求出图（1）中阴影部分的面积．（2）分析上面各图形之间的关系，看一看、想一想、找一找图（4）中阴影部分的面积是．14．如图所示的多边形是由一个三角形和三个长方形组成的．已知三个长方形的面积分别是12平方厘米、4平方厘米和6平方厘米．三角形面积是多少平方厘米？15．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？16．给一个直角楼梯铺地毯，如图所示（图中阴影处不铺），至少需要多少平方米的地毯？（单位：米）17．求小路的占地面积．如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路．18．一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高1.2米．把这堆沙装在长2米、宽1.5米的沙坑里，可以装多高？19．如图所示，用一张斜边长为17厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为29厘米的黄色直角三角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形．红、黄两张三角形纸片面积之和是多少？20．雨哗哗地不停地下着．如果在雨地放一个如图1那样的长方体的容器（单位：厘米），雨水将它灌满要用1小时．雨水灌满图2容器各需多长时间？21．把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？22．求如图的体积．（π取3.14）23．求如图的体积．（π取3.14）24．给一个直角楼梯铺地毯，如图（图中阴影处不铺）情根据图中的数据，算一算，至少需要多少平方米地毯？（单位：米）25．用20个大小相同的小正方可以组成一个十字图形．把这个十字图形分割为4个部分，是的它们的形状和大小都一样（分割线须沿着图内的虚线），方法有很多，如图例所示，请你再画出与范例不同的两种分割方法．26．如图，O是半圆的圆心，AC＝BC，CD＝DB，AB＝12厘米，求阴影部分的面积．27．如图，直角梯形ABCD中，AB＝12，BC＝8，CD＝9，且三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD 的面积相等，求三角形DEF的面积．六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-几何图形问题-等积变形（位移、割补）参考答案一．选择题1．解：84.78÷÷5.14＝113.04÷3.14＝36（cm2）；6×6＝36（cm2），8.14×6×2＝37.68（cm）．答：圆的周长是37.68cm．答案：C．2．解：（1）如图，，因为阴影部分A的面积等于空白部分B的面积，所以涂色部分的面积可以转化为圆的面积，所以涂色部分的面积占整个图形面积的，所以（1）正确．（2）如图，，因为△ABC的面积可以转化为△CDE的面积，△AFG的面积可以转化为△EFH的面积，所以涂色部分的面积可以转化为10个小方格的面积，所以涂色部分的面积占整个图形面积的，即，所以（2）不正确．（3）如图，，因为阴影部分A的面积等于空白部分B的面积，所以涂色部分的面积转化为一个正方形的面积，所以涂色部分的面积占整个图形面积的，所以（3）正确．（4）因为该图形的周长转化为直径是7cm的半圆的周长和直径是4cm的圆的周长的和，而不是转化为直径是4cm的半圆的周长和一条7cm的直径的长度之和，所以（4）不正确．综上，可得做对的有2位：（1）（3）．答案：B．二．填空题3．解：50×[20÷（20+5）]＝50×＝40（立方厘米）答案：40立方厘米．4．解：由分析可知：总阴影部分的面积＝大正方形的面积四分之一+圆内小正方形的面积四分之一＝27.5（平方厘米），大正方形的面积四分之一：10×10×＝25（平方厘米），所以圆内小正方形的面积四分之一：27.5﹣25＝2.8（平方厘米），则圆内小正方形的面积＝2.5×8＝10（平方厘米），圆内大正方形的面积：（10÷2）×（10÷2）÷7×4＝5×6×2＝50（平方厘米），圆内的大正方形面积是小正方形面积的：50÷10＝5（倍）；答案：7．5．解：3.14×2＝4.28（分米），16÷2÷2＝7（分米），6.28×2×3＝50.24（立方分米）；答：圆柱的体积是50.24立方分米．答案：50.24立方分米．6．解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”，则长﹣宽＝30﹣22＝8；宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长＝22﹣8×4＝6．所以中间小正方形面积＝6×4＝36．答：中间这个小正方形（阴影部分）的面积为36．答案：36．7．解：根据题干分析可得：2×2×＝2，答：阴影部分的面积是5．答案：2．8．解：如上图图所示：设出其中两条边分别为a，b：则将图Ⅱ所在的小正方形向左移动到最左边，图Ⅱ减少的面积等于图Ⅲ增加的面积，图Ⅱ面积+图Ⅲ面积＝38+34＝72（平方厘米），因为大正方形ABCD的边长＝小正方形的边长+a＝小正方形的边长+b，所以a＝b，所以将图Ⅱ所在的小正方形向左移动到最左边后，图Ⅱ的面积等于图Ⅲ的面积，即8a＝8b＝72÷7＝36（平方厘米），则a＝b＝36÷8＝4.2（厘米），则大正方形ABCD的边长为：8+4.8＝12.5（厘米）．答：正方形ABCD的边长是12.5厘米．答案：12.4．9．解：如图过M、N、G三个点将木块锯成两块、左、右、前、后五个面相交，所以得到的截面是五边形；答案：五边形．10．解：200×[20÷（20+5）]＝200×＝160（ml）．答：瓶内的饮料是160ml．答案：160．三．操作题11．解：根据题干分析可得：四．解答题12．解：将原图割补为下图：．；答：阴影部分的面积是20平方厘米．13．解：（1）正方形边长：2×2＝2（cm）；阴影部分的面积：4×4﹣8.14×22，＝16﹣12.56，＝8.44（cm2）；（2）把第一幅图横竖分割成4等份，可组拼成后3个图形，所以第四幅图中阴影部分的面积仍是3.44cm2；答案：7.44cm2．14．解：如图，设三角形面积为x平方厘米，则2x：12＝6：84×2x＝12×78x＝728x÷6＝72÷8x＝9答：三角形面积是8平方厘米．15．解：如图，，阴影部分A的面积等于空白部分B的面积，阴影部分C的面积等于空白部分D的面积，所以阴影部分的面积和等于正方形面积的一半，4×4÷7＝8（平方厘米）答：图中阴影部分的面积为8平方厘米．16．解：（2.5+5.2）×2＝3.7×2＝11.5（平方米），答：至少需要11.4平方米的地毯．17．解：小路面积为：（20+14）×2﹣2×4＝64（平方米），答：小路的占地面积64平方米．18．解：3.6×2.2×÷（2×1.6），＝1.44÷3，＝8.48（米）；答：可以装0.48米高．19．解：根据题干分析可得：29×17÷2＝246.5（平方厘米），答：这两个直角三角形的面积和是246.5平方厘米．答案：246.5平方厘米．20．解：图①所示的容积中，容积：接水面积＝（30×20×10）：（30×20）＝6000：600＝10：1；图②所示的容器中，容积：接水面积＝（20×10×10+10×10×10）：（10×10）＝3000：100＝30：1；图③所示的容器中，容积：接水面积＝（20×10×10+10×10×10）：（20×10）＝3000：200＝15：2；答：雨水灌满图2的容器需3小时、雨水灌满图4的容器需1.5小时．21．解：20÷2＝10（平方厘米），4×2.14÷2＝6.28（厘米），10×8.28＝62.8（立方厘米）；答：这个长方体的体积是62.8立方厘米．22．解：3.14×（4÷2）2×（15+20）×，＝3.14×4×35×，＝219.8；答：体积是219.3；答案：219.8．23．解：3.14×（4÷2）2×（8+12）÷7＝3.14×4×20÷5＝125.6（立方厘米）；答：它的体积是125.6立方厘米．24．解：（2.5+8）×2＝5.8×2＝11（平方米），答：至少需要11平方米地毯．25．解：根据题干分析可将这个图形分割如下：26．解：S阴＝S扇形COB＝×2.14×，＝2.14×9，＝28.26（平方厘米）；答：阴影部分的面积是28.26平方厘米．27．解：（1）根据题干可得，梯形ABCD的面积为：（9+12）×8÷6，＝21×8÷2，＝84，所以三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD的面积分别为：84÷5＝28，（2）在直角梯形BECD中，BE＝28×2×2÷6﹣9＝14﹣9＝4，（3）在直角三角形FCD中，FC＝28×2÷9＝，所以BF＝8﹣＝，所以直角三角形BEF的面积为：2×＝，故三角形DEF的面积为：28﹣＝，答：三角形DEF的面积为．六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-几何图形问题-立体图形的表面积和体积【知识点归纳】立体图形表面积公式：1．圆柱体：表面积：2πR2+2πRh 体积：πR2h （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）2．圆锥体：体积：πR2h （r为圆锥体低圆半径，h为其高）3．长方体：表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×24．球：表面积=4πR2．一．选择题1．3个棱长都是10厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是()平方厘米．A．1800B．700C．900D．8002．彤彤用18个棱长1cm的正方体摆出如图所示模型，若从模型的三个不同的位置上拿走2个正方体后，可分别得到图（A）、（B）、（C）．在图（A）、（B）、（C）中表面积比图甲小的是( )A．B．C．3．如图是一个长3米、宽与高都是2米的长方体.将它挖掉一个棱长1米的小正方体，它的表面积()A．比原来大B．比原来小C．不变D．无法确定4．甲图和乙图占空间的大小关系是甲()乙．A．>B．<C．=D．无法比较5．如图图形的体积是()厘米3．A．100B．267C．240)cm．6．如图是由31cm的小正方体搭成的，它的体积是(3A．10B．9C．67．如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积()A．比原来大B．比原来小C．不变8．将棱长为1厘米的小正方体按如图方式摆方在地上，露在外面的面积是()平方厘米．A．18B．21C．24D．27二．填空题9．如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是．10．有5个棱长为40厘米的正方体放在墙角处．有个面露在外面．露在外面的面积共有平方厘米？11．将4个棱长都是1cm的正方体堆在墙角，体积是3cm．cm，露在外面的面积是212．如果如图中每个小正方体的棱长都是1厘米，这个物体的体积是立方厘米，表面积是平方厘米。
六年级奥数图形问题(2)
ED C B A 六年(Nian)级奥数图形问题(2)一(Yi)、填空题1.算出圆内(Nei)正方形的面积为 .2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴(Yin)影部分面积是 平方(Fang)厘米.3.一(Yi)个扇形圆心角,以扇形的半径为边长画(Hua)一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 .4.如图所示(Shi),以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. B 长40厘米, BC 长 厘米.6厘米2C ② ① A B6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米(Mi),等腰直角三角形的面积为 .7.扇形的面(Mian)积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度(Du).8.图(Tu)中扇形的半径OA =OB =6厘(Li)米., AC 垂(Chui)直OB 于(Yu)C ,那(Na)么图中阴影部分的面积是 平方厘米.9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.二、解答题6 CB AO 4512 15 2011. ABC 是等腰直角三(San)角形. D 是半圆周的中(Zhong)点, BC 是半圆(Yuan)的直径,已知:AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆(Yuan)周率)12.如图,半(Ban)圆S 1的面积(Ji)是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴(Yin)影部分的面积)是多少平方厘米?13.如图,已知圆心(Xin)是O ,半径r =9厘米,,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?———————————————答(Da) 案———S 2S 1 CB A0 1 2 A10 DC B——————————————————— 1. 18平(Ping)方厘米.由图示可知,正方形两条对角(Jiao)线的长都是6厘米,正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形底为6厘米,高为3厘米,故正方形面积为(平(Ping)方厘米).2. 1.14平方(Fang)厘米.由图示可知,图中阴影部分面积(Ji)为两个圆心角为的扇形面积减去直角三(San)角形的面积.即(平方厘(Li)米).3. 125.6平方厘米.由已知条件可知圆的半径的平方为120平方厘米.故扇形面积为(平方厘米).4. 3.09厘米.边结BE 、CE ,则BE=CE=BC=1(厘米),故三角形BCE 为等边三角形.于是.BE=CE=(厘米).于是阴影部分周长为(厘米).5. 32.8厘米.从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC 的面积.又已知①的面积比②的面积小28平方厘米,故半圆面积比三角形ABC 的面积小28平方厘米. 半圆面积为(平方厘米),三角形ABC 的面积为628+28=656(平方厘米).BC 的长为(厘米).6.平方厘米.将等腰直角三角形补成一个正方形,设正方形边长为x 厘米,则圆的半径为厘米.图中阴影部分面积是正方形与圆的面积之差的,于是有,解得.故等腰直角三角形的面积为(平方厘米).7..⌒⌒A10DCB OE 扇形(Xing)面积是圆面积的,故扇(Shan)形圆心角为的(De)即(Ji)72.8. 5.13.三角(Jiao)形ACO 是一个等腰直角(Jiao)三角形,将AO 看(Kan)作底边,AO 边上(Shang)的高为(厘米),故三角形ACO 的面积为(平方厘米).而扇形面积为(平方厘米),从而阴影部分面积为14.13-9=5.13(平方厘米).9. 142.75.由正方形周长是20厘米,可得正方形边长也就是圆的半径为(厘米).图形总面积为两个圆面积加上正方形的面积,即(平方厘米).10. 90平方厘米.图中阴影部分的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜边为直径的半圆的面积即(平方厘米).11. 如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED 的面积减去正方形BEDO 的面积再加上圆面积的.三角形AED 的面积是;正方形面积是,圆面积的41是,故阴影部分面积为:（平方厘米）.12. 由已知半圆S 1的面积是14.13平方厘米得半径的平方为(平方厘米),故半径为3厘米,直径为6厘米.又(You)因圆S 2的面积(Ji)为19.625平(Ping)方厘米(Mi),所以S 2半(Ban)径的平方为(平方厘米),于(Yu)是它的半径为2.5厘米,直(Zhi)径为5厘(Li)米. 阴影部分面积为(平方厘米).13. 因OA=OB ,故三角形OAB 为等腰三角形,即 , 同理,于是.扇形面积为:(平方厘米).14. 正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为(平方厘米).正方形内空白部分面积为4个41圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即 (平方厘米),所有空白部分面积为平方厘米. 故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为(平方厘米).十二、圆和组合图形（2）一、填空题1.如图,阴影部分的面积是 .2 1 22.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍(Bei).大圆的面积比小圆的面积大 平方厘(Li)米.3.在一个半径是(Shi)4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是 平方厘(Li)米.(取3.14,结果精确到(Dao)1平方厘米)4.右图中三角(Jiao)形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平(Ping)方厘米).5.如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等(Deng).图中阴影部分的周长是 厘米.)14.3(=π6.如图,的圆的周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是 .7.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率,那么花瓣图形的面积是 平方厘米.8.已(Yi)知:ABC D 是正(Zheng)方形, ED =DA =AF =2厘米,阴(Yin)影部分的面积是 .9.图中(Zhong),扇形BAC 的面积是(Shi)半圆ADB 的(De)面积的倍(Bei),那么,是(Shi) 度.10.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是 平方厘米.( 取3.14)二、解答题11.如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r .(计算时圆周率取)12.已知右图中大正方(Fang)形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积.E D C B A A GF O DC A B 2 甲乙13.有三个面(Mian)积都是S 的圆放在桌上,桌面被圆覆盖(Gai)的面积是2S +2,并且重合的两块是等(Deng)面积的,直线a 过两(Liang)个圆心A 、B , 如果直(Zhi)线a 下方(Fang)被圆覆盖的面积是9,求圆面积S 的(De)值.14.如图所示,一块半径为2厘米的圆板,从平面上1的位置沿线段AB 、BC 、CD 滚到2的位置,如果AB 、BC 、C D 的长都是20厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米?———————————————答 案——————————————————————1. 6.两个扇形面积相等,故阴影部分面积等于一个长为3,宽为2的长方形面积,为6个平方单位.2. 188.4.小圆的半径为(厘米),大圆的半径为(厘米).大圆的面积比小圆的面积大(平方厘米).3. 57. (平方厘(Li)米)≈57(平(Ping)方厘米).4. 10.26.120 ABCD 1 2AB Ca1O C BA EDEDCB A AG F ①②从圆中可以看出,阴影部分的面积是两个半圆的面积与三角形(Xing)面积之差,即(平(Ping)方厘米).5. 20.5.设(She)圆的半径为r ,则圆面(Mian)积即长方形面积为,故长方形(Xing)的长为.阴(Yin)影部分周长(厘米).6.(平方厘米).如图,连结OA 、AC ,过A 点作CD 的垂线交CD 于E .三角形ACD 的面积为(平方厘米).又圆半径为(厘米),因为151=∠, 又OA=OD ,故,扇形AOC 的面积为(平方厘米).三角形AOC 的面积为(平方厘米).方形面积为(平方厘米),从而阴影部分的面积为(平方厘米).7. 19.1416.花瓣图形的结构是正方形的面积,加上四个43圆面积后,再割去四个半圆的面积.圆的半径为1厘米,正方形边长为4厘米.故花瓣图形的面积是(平方厘米).8. 2.43平方厘米.如图,将①移到②得:阴影部分面积等于梯形CEFB 的 面积减去三角形CED 、三角形CDA 、扇形AFG 的面积,即(平方厘米).9. 60.设扇形ABC 圆心角的度数是x ,半圆的半径OA=r ,有,解(Jie)得x=60.⌒10. 0.14.扇(Shan)形面积为(平方厘米(Mi)),甲部分面积为(平方厘米),乙部(Bu)分面积为(平方厘米),甲(Jia)乙两部分面积差为(平方厘(Li)米11. 如图,小(Xiao)正方形的边长为,则(Ze)①的面积为: ,②的面积为,①和②的面积和为.即阴影部分面积为.12. 将阴影部分旋转后,可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的一半减去小正形的一半,即阴影部分面积等于(平方厘米).13. 设一个阴影部分的面积为x ,则有:,于是(1)又,于是有,解得S=6.14. 圆板的正面滚过的部分如右图阴影部分所求, 它的面积为:(平方厘米).面积计算（三）专(Zhuan)题简析：对于一些比较(Jiao)复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。
六年级奥数(组合图形的面积)ABC
阴影部分面积专题练习
（单位：厘米）
、
1、
2、下图中长方形的长是6厘米，宽是5厘米，求阴影部分的面积。
3、如图长方形的面积是45平方厘米，宽是5厘米，求阴影
部分的面积。
4、如图，两个大小不等的正方形拼成一个图形，已知小正方
形的边长是4厘米，阴影部分的面积是30平方厘米，求空白部分
的面积是多少？
5、将直角三角形ABC向右平移6厘米，再向下平移1.5厘米，得到一个图形如图，已知三角形的底边BC长16厘米，求阴影部分的面积。
长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO的面积为______．
解答:根据容斥关系：四边形EFGO的面积=三角形AFC+三角形DBF-白色部分的面积,三角形AFC+三角形DBF=长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70=50所以四边形EFGO的面积=60-50=10
如图，已知边长为5的额正方形ABCD和边长为的正方形CEFG共顶点C，正方形CEFG绕点C旋转60°，连接BE、DG，则ΔBCE的面积与ΔCDG的面积比是_____.
几何图形面积答案：
将ΔCDG绕点C逆时针旋转900，得到ΔCBH,这样点E、C、H在同一直线上，且CE=CG=CH，所以ΔBCE的面积=ΔBCH的面积=ΔCDG的面积，所求面积比为1：1。
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六年级奥数图形问题精讲
不规则图形的面积及周长计算问题：
1．如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB= 8，AD=15四边形BFGO 的面积为________．
2.如图，计算这个格点多边形的面积.
3.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图)。
图中黑点是这些圆的圆心。
如果圆周率为3.1416,那么花瓣图形的面积是平方厘米。
4.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是平方厘米.
5.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是平方厘米。
6.如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。
已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）
图形面积问题方法总结：
1.相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，
然后相加求出整个图形的面积.
2.相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
3.直接求法: 这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右
上图，欲求阴影部分的面积，直接求三角形的面积。
4.重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
5. 辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.
六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿
中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.
九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。
例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.。