二次函数有关线段和差面积最值问题-doc

二次函数之最值问题

◆ 线段和或差（或三角形周长）最值问题:此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最

短距离,这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地，也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题．

◆ 最短距离和找法:以动点所在的直线为对称轴，作一个已知点的对称点，连结另一个已知点和对称点的

线段，与对称轴交于一点,这一点即为所求点.线段长即为最短距离和.

◆ 线段长最值问题：根据两点间距离公式12x x -把线段长用二次函数关系式表示出来求最值.

几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似，对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积ｙ与边长x 之间的二次函数关系,其顶点的纵坐

标即为面积最值．

例１、已知二次函数2y x bx c =++的图象过点()3,0A -和点()1,0B ，且与y 轴交于点C ，D 点在抛物线上且横坐标是2-．(1)求抛物线的解析式;(２)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA PD +的最小值．ﻫ ﻫ

ﻫ例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中,直线3

2y x =-

+分别交ｘ轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点Ａ顺时针旋转4５°得到射线AN.点D 为ＡＭ上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1)求线段A Ｃ的长； (２）求△BC Ｄ周长的最小值；

（3)当△BCD 的周长取得最小值,且52

BD =时,△BCD 的面积为＿＿__＿___.

ﻫ

ﻫﻫﻫﻫﻫ1、已知抛物线21y ax bx =++经过点()1,3A 和点()2,1B ．（１）求此抛物线解析式；

(２)点Ｃ、D 分别是ｘ轴和y 轴上的动点,求四边形ABCD 周长的最小值;ﻫ(3)过点Ｂ作x 轴的垂线,垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的2倍，试确定点F 的位置,使

得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．ﻫﻫﻫﻫ

2、如图，Rt △ABO 的两直角边O Ａ、O Ｂ分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为()3,0-、()0,4，抛物线2

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y x bx c =++经过B 点,且顶点在直线52x =上.ﻫ(1)求抛物线对应

的函数关系式;

（2）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N .设点Ｍ的横坐标为t ,M Ｎ的长度为ｌ．求ｌ与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标.ﻫﻫ ﻫ

3、已知:抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于

()()3,0,0,2A C --.（1)求这条抛物线的函数表达式;ﻫ(2)小.请求出点Ｐ的坐标；

（3)若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）,过点D 作DE ∥PC 交ｘ轴于点E,连结PD 、ＰE ．设ＣD 的长为ｍ，PDE △的面积为S ，求Ｓ与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在,请求出最大值;若不存在，请说明理由.

4、如图，已知抛物线y=ax2+b ｘ＋3与x 轴交于Ａ、B 两点，过点Ａ的直线l 与抛物线交于点C,其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是（4，3).(１）求抛物线的解析式;（2)在（１)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BＣD 的周长最小?若存在,求出点D 的坐标,若不存在,请说明理由；并求出周长的最小值;(３）若点E 是(1)中抛物线上的一个动点，且位于直线A Ｃ的下方,试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标

.

5、如图,△ABC 的三个顶点坐标分别为Ａ（-２,0)、B （６，0)、C(0，32-

）,抛物线y=ax2+bx+ｃ(a ≠０)经过Ａ、B 、C 三点。(１）求直线A Ｃ的解析式;(２)求抛物线的解析式;(３)若抛物线的顶点为D,在直线ＡC 上是否存一点P ，使得△BDP 的周长最小,若存在，求出P 点的坐标;若不存在，请说明理由。

6、如图，已知直线

112y x =

+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于Ａ、

E两点,与x轴交于B、C两点,且Ｂ点坐标为(1,0)。⑴求该抛物线的解析式;

⑵动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点Ｐ的坐标P。⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使

的值最大,求出点M的坐标。

||

AM MC