高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征3.4.3直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修2_1
3.4.2 圆锥曲线的共同特征
知识回顾:
1.圆锥曲线的共同性质; 2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式); 3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法)
1(a
b
0)
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
圆锥曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上） (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆.
(2)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)
3、抛物线的定义：
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
探究与思考: 若PF/d≠1呢?
圆锥曲线的统一定义 指的是到定点F的距 离与到定直线l的距离 （F不在l上）的比e是 常数的点的轨迹叫做 圆锥曲线。
55
c 10 5
P到右准线的距离为 2a2 d 56 64 24
c
55
知椭圆 x2 a2
y2 b2
1 a b 0 的左右焦点为 F1，F2，离心率为
2 2
,以线段 F1
F2为直径的
面积为 ， (1)求椭圆的方程；(2) 设直线 l 过椭圆的右焦点 F2（l 不垂直坐标轴），
椭圆交于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M（m,0），试求 m 的取值范围.
(3)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.
例2.已知双曲线 x2 y 2 1上一点P到
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4.2 圆锥曲线的共同特征 3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学
2017-2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
4.2 圆锥曲线的共同特征3。
4.3 直线与圆锥曲线的交点1．掌握圆锥曲线的共同特征．（重点)2．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．（重点）3．掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．（难点)[基础·初探]教材整理1 圆锥曲线的共同特征阅读教材P87“抽象概括”与“练习"之间的部分，完成下列问题。
圆锥曲线共同特征e的值或范围椭圆圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e0＜e＜1抛物线e＝1双曲线e＞11．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.( )（2)曲线上的点M(x，y）到定点(5，0）的距离和它到定直线l：x＝错误!的比是常数错误!，则曲线是双曲线．（）（3）直线y＝x与抛物线y2＝x的交点是（0，0）与(1,1）．（）【解析】根据圆锥曲线的共同特征知(1)中的比不可能大于1。
(2）正确．(3）由错误!解得（0,0），（1,1）,故交点为(0,0），（1，1)．【答案】(1)×（2）√（3）√2．如果双曲线错误!－错误!＝1上一点P到右焦点的距离等于3,那么点P到右准线的距离是________．【解析】由题知a＝4，b＝3，c＝5，∴e＝错误!。
2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程44.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点学案北师大版选修2_1
4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点学习目标：1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点) 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点) 3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．(难点)1．圆锥曲线的共同特征将其变形为：（x －c ）2＋y2a 2c－x ＝c a.(1)你能解释这个式子的意义吗？(2)具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？[提示] (1)这个式子表示一个动点P (x ，y )到定点(c ，0)与到定直线x ＝a 2c的距离之比等于定值ca.(2)不一定．当a >c 时，是椭圆，当a ＝c 时是抛物线，当a <c 时，是双曲线． 思考：2.在圆锥曲线的统一定义中，定点F 和定直线l 是如何对应的？[提示] 在统一定义中，若圆锥曲线是椭圆或双曲线，如果定点是左焦点，则定直线是左准线；如果定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线有唯一一个焦点，对应唯一一条准线．也就是说，定点F 和定直线l 是“相对应”的．2．曲线的交点(1)设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，求曲线C 1与C 2的交点，即求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x ，y ）＝0g （x ，y ）＝0的实数解．(2)直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相切、相交和相离． ①相离时，直线与圆锥曲线没有公共点； ②相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；③相交时，直线与椭圆有两个公共点，而拋物线和双曲线则可能有一个或两个交点．1.判断正误(1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.( )(2)曲线上的点M (x ，y )到定点(5，0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的比是常数54，则曲线是双曲线．( ) (3)直线y ＝x 与抛物线y 2＝x 的交点是(0，0)与(1，1)． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．已知抛物线y 2＝8x 的弦AB 过它的焦点，直线AB 的斜率为2，则弦AB 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．12C [由y 2＝8x 得p ＝4，焦点(2，0)，则直线方程为y ＝2(x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －2），y 2＝8x ，有x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6.∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10.]3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [因为直线过定点(1，1)，而(1，1)点在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．] 4．如果双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离等于3，那么点P 到右准线的距离是________．125 [由题知a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴e ＝54.由双曲线的第二定义，设所求距离为d ，则3d ＝54. ∴d ＝125.]【例1】 (1)已知动点P (x ，y )满足5＝13（x －1）2＋（y －5）2，则动点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线(2)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A. 2B.22C.12D.24(3)椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么P 到右焦点的距离为________．(1)B (2)B (3)8 [(1)点P (x ，y )到直线3x －4y －1＝0的距离为d ＝|3x －4y －1|5；点P (x ，y )到A (1，5)的距离为|PA |＝（x －1）2＋（y －5）2，∴|PA |d＝3＞1，∴点P 的轨迹是双曲线．(2)结合题意，由椭圆第二定义知e ＝221＝22.(3)设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 到左准线的距离d ＝2.5，则P 到左焦点的距离|PF 1|＝e ·d ＝45×52＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－2＝8.]1．圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．2．利用圆锥曲线的共同特征可将其上一点到焦点的距离与相应准线的距离进行转化，进而实现求解．1．根据下列条件分别求椭圆的标准方程． (1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，455，且一条准线为直线x ＝5；(2)两准线间的距离为1855，焦距为2 5.[解] (1)因为椭圆的一条准线为直线x ＝5，所以椭圆的焦点在x 轴上．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋165b 2＝1，a2a 2－b2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝21，b 2＝8425.故所求椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1或x 221＋y 28425＝1.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2·a 2c ＝1855，2c ＝25，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a＝3，b ＝2，c ＝ 5.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.1．若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？ [提示] 正确．2．若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？ [提示] 不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点． 3．过(2，0)点能作几条直线和双曲线x 24－y 23＝1仅有一个交点？[提示] 3条．4．如何用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系？[提示] 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (或x )得一个关于变量x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0.①当a ≠0时，若Δ>0，则直线l 与曲线C 相交；若Δ＝0，则直线l 与曲线C 相切；若Δ<0，直线l 与曲线C 相离．②当a ＝0时，即得到一个一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点．此时，若C 为双曲线，则l 平行于双曲线的渐近线；若C 为抛物线，则l 平行于抛物线的对称轴．③当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．【例2】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[思路探究] 联立方程，消去y (或x )转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用判别式的符号求解本题．[解] 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②得 9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．1.(变条件)1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离．2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．【例3】过点P(－1，1)的直线与椭圆4＋2＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.[思路探究] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB 的斜率，从而可求直线AB 的方程，再联立方程求得A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式求|AB |.[解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得错误!两式相减得 (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22（y 1＋y 2）. 因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋[k （x 1－x 2）]2＝1＋k 2（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.1．解决中点弦问题主要有如下两种方法：(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)“点差法”：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和B ，一般先设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系公式．提醒： “点差法”不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.2．利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤：①联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程； ②设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2，③弦长|AB |1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．2．已知双曲线的一个焦点为F 1(－3，0)，且渐近线为y ＝±2x ，过点A (2，1)的直线l 与该双曲线交于P 1，P 2两点．(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(2)过点B (1，1)，能否作直线l ′，使l ′与已知双曲线交于Q 1，Q 2两点，且B 是线段Q 1Q 2的中点？请说明理由．[解] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵c ＝3，b a ＝2⇒c 2－a 2a 2＝2⇒3－a2a2＝2，∴a 2＝1，b 2＝2.故双曲线方程为x 2－y 22＝1.设P 1和P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P (x ，y )，则x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1.②①－②得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)， 当x 1≠x 2，y ≠0时，2x y ＝y 1－y 2x 1－x 2.③ 又∵P 1，P 2，P ，A 四点共线，∴y －1x －2＝y 1－y 2x 1－x 2. ④由③④得2x y ＝y －1x －2，即2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，故中点P 的轨迹方程为2x 2－y 2－4x ＋y ＝0.(2)假设存在直线l ′，同(1)可得l ′的斜率为2，l ′的方程为y ＝2x －1.∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，与假设矛盾，∴满足条件的直线l ′不存在.1．平面内到定点(0，－3)的距离与到定直线y ＝3的距离之比为12的动点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线A [由于点(0，－3)不在直线y ＝3上，且0<12<1，所以，由圆锥曲线的统一定义知：动点的轨迹是椭圆．]2．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12D ．1B [∵函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，∴它们有且仅有一个交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x ，得x ＝ax 2＋1，即ax 2－x ＋1＝0，∴Δ＝1－4a＝0，∴a ＝14.]3．直线y ＝x －1与双曲线x 2－y 22＝1相交于A ，B 两点，则弦长|AB |＝________．4 2 [联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 2－y 22＝1，消去y ，得x 2＋2x －3＝0.①由方程①解得x 1＝1，x 2＝－3，代入y ＝x －1.得y 1＝0，y 2＝－4，于是A ，B 两点坐标分别为(1，0)， (－3，－4)，则|AB |＝（1＋3）2＋（0＋4）2＝4 2.]4．点P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一弦，使此弦在P 点被平分，则此弦所在的直线方程为________．x ＋2y －3＝0 [法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 24＋y 22＝1.消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1， 又∵x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2＋1＝2，得k ＝－12. 故弦所在直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，且设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋(y 1－y 2)＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.]5．求过点P (0，1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[解] ①若直线的斜率不存在，则过点P (0，1)的直线方程为x ＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．②若直线的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12.即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.。
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2_4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点北师大版选修
将上式两边平方，化简得x22＋y2＝1.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 曲线上的点 M(x，y)到定点 F( 3，0)的距离和它到定直线 l：x＝233
的距离的比是常数 26，求曲线方程.
解
设
d
是点
M
到直线
l
的距离，根据题意，曲线上的点
M
满足：|MdF|＝
6 2.
由此得，
x－ 32＋y2
2
3
3－x
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(－ 3，0)，且渐近线为 y＝± 2x， 过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1、P2 两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
解析答案
(2)过点B(1,1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且 B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l′，同(1)可得l′的斜率为2，l′的方程为y＝2x－1.
解析答案
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1.直线 y＝x＋m 与椭圆x42＋y2＝1 有两个不同的交点，则 m 的范围是( D )
A.－5＜m＜5
B.m＜－ 5，或 m＞ 5
C.m＜ 5
D.－ 5＜m＜ 5
解析 将 y＝x＋m 代入x42＋y2＝1，
有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得m2＜5，
解析答案
(3)求过点 P12，12且被 P 点平分的弦所在直线的方程. 解 由①式，弦所在的直线的斜率 k＝－2xy00＝－12，故其方程为 y－12＝－12x－21， 即2x＋4y－3＝0. 反思与感悟 将圆锥曲线上的两点A、B的坐标代入圆锥曲线的方程，然 后将两式作差并进行变形，可得到弦AB的斜率与弦中点的坐标之间的关 系式.(这种方法一般称之为点差法)此关系式可用于解决如下问题： (1)以定点为中点的弦的方程；(2)平行弦中点的轨迹； (3)过定点的弦的中点的轨迹；(4)对称问题.
(教师用书)高中数学 3.4.(2+3)圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点课件 北师大版选修2-1
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点) 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置 关系．(重点) 3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问 题的方法．(难点)
圆锥曲线的共同特征
【问题导思】 1．在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个
2 2 x － c ＋ y 式子：a2－cx＝a x－c2＋y2，将其变形为： ＝ a2 －x c
2 3 即k＝± 3 时，方程(*)有两个相同的实
数解，即直线与双曲线有两重合的公共点；
2 4－3k ＜0， ③ 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即k＜－ 或k＞ 时，方程(*)无实 3 3
数解，即直线与双曲线无公共点． 2 3 2 3 综上所述，当－ 3 ＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜ 3 时，直线与双曲线有两个公共点； 2 3 当k＝± 1或k＝± 时，直线与双曲线有且只有一个公共 3 点； 2 3 2 3 当k＜－ 3 或k＞ 3 时，直线与双曲线没有公共点．
(2)当1－k2≠0，即k≠± 1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
2 4－3k ＞0， ① 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即－ ＜k＜ ，且k≠± 1时，方程 3 3
(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点；
4－3k2＝0， ② 2 1 － k ≠0，
4.2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲 (1)通过实例了解圆锥曲线的共同特征． (2)了解直线与圆锥曲线的三种位置关系． (3)会求直线与圆锥曲线的交点坐标．
2．过程与方法 在研究直线与圆锥曲线的关系的过程中，进一步体会解 析几何的基本思想． 3．情感、态度与价值观 通过圆锥曲线共同特征的探究，体会从特殊到一般的认 知规律．
3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点》课件(北师大版选修2-1)
共点，显然①、②均不适合，因为椭圆上的点(x,y)中 |x|≤5,|y|≤4. 而直线y=x,y=2x+1与椭圆均有二个交点.
答案：③④
x 2 y 2 (a>b>0)，点F为其右焦点，离心 4.(15分)已知椭圆 2 + 2 =1 a b 2 c ,点A在椭圆上，d为点A到定直线l:x= a 的距离. 率e= c a AF
直线l与双曲线C:
(1)无公共点； (2)有一个公共点； (3)有两个不同的公共点. 【解析】由 y=kx+1 3x2-y2=3消去y整理得 (3-k2)x2-2kx-4=0
①
当3-k2≠0时，Δ=（-2k）2+16(3-k2)=12(4-k2)
7.(2010·郑州高二检测)已知双曲线的中心在原点，右顶点
m 点的直线斜率为 2 ，则 的值为(
(A) 2
2
2 (B) 2 3 3
n
) (D)
3 2
(C)1
【解题提示】设出A、B坐标，代入方程作差即可.
【解析】
3.下列四条直线： ①l1:y=2；②l2:y=x+ 1 ；③l3:y=2x-1；④l4:y=x+1.与抛物线 y2=2x相交的是( (A)③ (B)④ )
一、选择题（每题5分，共15分） 1.(2010·嘉兴高二检测)若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，
x 2 y2 + 的交点个数为( =1 9 4
则过点P(m,n)的直线与椭圆
(A)至少1个 (B)2个
)
(C)1个
(D)0个
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.24.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点121数学
第十七页，共三十四页。
解析：设 A、B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，运用点差法得 (y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴kAB＝1， 直线 AB 方程为 y＝x. 由yy＝2＝x4，x，解得 A，B 的坐标分别为(0，0)，(4，4)． 又|AF|＝|OF|＝1，∴S△ABC＝12×1×4＝2.
①当 k＝0 时，得x＝12， y＝1.
即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点；
12/9/2021
第二十五页，共三十四页。
②当 k≠0 时，若直线与抛物线只有一个公共点， 则 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0. ∴k＝12， ∴直线方程为 y＝12x＋1. 综上所述，所求直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝12x＋1.
12/9/2021
第二十三页，共三十四页。
解：(1)联立yx＝2－kyx2－＝14，，消去 y，由于方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0
有两个不相等的正根．
Δ＝4k2＋20（1－k2）＞0，
∴ －1－2kk2＞0，
－ 25＜k＜ 25， 即 k＞1或－1＜k＜0，
1－－5k2＞0.
k＞1或k＜－1.
方程
相交
___2_____
Δ__>___0
相切 相离
___1____ ___0____
Δ___＝___0 Δ___<__0
12/9/2021
第四页，共三十四页。
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到定点与到定直线距离的比为常数的点的轨迹是圆
锥曲线( × )
(2)
对
于
双
曲
线2x52
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4.2 圆锥曲线的共同特征 3.4.3 直线与圆锥曲线的交点课
2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点课后演练提升北师大版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点课后演练提升北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第三章圆锥曲线与方程 3.4。
2 圆锥曲线的共同特征 3.4.3 直线与圆锥曲线的交点课后演练提升北师大版选修2—1一、选择题（每小题5分,共20分)1．过点P(1，1)作直线与拋物线y2＝2x只有一个公共点，这样的直线的条数是（）A．1 B．2C．3 D．4解析：由于点P（1,1)在拋物线y2＝2x内部，所以只有一条平行于x轴的直线与拋物线只有一个公共点．故选A.答案：A2．已知抛物线y2＝8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为2，则弦AB的长为( ) A．6 B．8C．10 D．12解析：由y2＝8x得p＝4，焦点（2，0）,则直线方程为y＝2（x－2），设A(x1，y1）,B （x2，y2)，由错误!有x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6。
∴|AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10。
答案: C3．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点（m，n)的直线与椭圆错误!＋错误!＝1的交点个数为( )A．至多一个B．2个C．1个D．0个解析: 由题意，错误!>2可得m2＋n2<4，所以(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，椭圆中，短半轴长为2,结合图形可得有两个交点，故选B.答案: B4．若椭圆错误!＋错误!＝1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为( )A．2 B．－2C.错误!D．－错误!解析：设弦端点A（x1，y1）、B(x2,y2），∴错误!⇒x错误!－x错误!＝－4(y错误!－y错误!)⇒k＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!.故选D.答案：D二、填空题（每小题5分，共10分）5．已知动点P的坐标（x，y)满足错误!＝错误!，则动点P的轨迹是________．解析: 原等式即点P到（1,1）的距离与到直线x＋y＋2＝0的距离之比为错误!，故点P 的轨迹为椭圆．答案：椭圆6．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．解析：由错误!得（1－k2）x2－4kx－10＝0，当错误!时,直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－错误!<k<－1。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4曲线与方程3.4.2圆锥
又∵|PF1|+|PF2|=2a,∴e(d1+d2)=2a,
即������������×18=2a,∴c=���9���2=5.
∴b2=a2-c2=45-25=20.
∴椭圆方程为������2
45
+
2������02=1.
反思椭圆的统一定义可以将椭圆上一点到焦点的距离与到相应
准线的距离进行相互转化,解题时要灵活把握这一转化.
题型一 题型二
解:如图所示,P 到 l1 的距离为 d1,P 到 l2 的距离为 d2,由椭圆的统
一定义知|PF1|=ed1,|PF2|=ed2.
又∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴e2������12+e2������22=(2c)2.∴������������22(62+122)=4c2. ∴a2=36+4144=45.
+
������
∶
������-
������2 ������
=3∶2,解得 e=
5.
答案:D
12345
3.已知椭圆
������2 5
+
���4���2=1的中心为A,右准线为l,那么以A为顶.y2=-20x
B.y2=20x
C.y2=-10x
D.y2=10x
解析:椭圆的右准线方程为x=5,从而 ������ =5,由题意知,抛物线开口向
则动点到直线x=8的距离为|x-8|, 到点 A 的距离为 (������-2)2 + ������2.
由已知条件,得|x-8|=2 (������-2)2 + ������2 ,
∴|������������|
2018年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征课件7北师大版选修
思考交流
例2：点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直
5 16 线l: x 的距离的比是常数 ， 5 4
（1）求曲线方程。
（2）指出与例1的相同处和不同处。 （3）仿照例1的结论，尝试猜想本例的结论， 并证明。
小组展示 提示:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
c a 线 l : x 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的轨迹. a c
探究新知
猜想：椭圆也是平面内到一个定点的距离与 到一条定直线l（F不在l上）的距离之比为常 数的点所形成的曲线。
探究新知
思考：椭圆标准方程的推导过程：
a cx a ( x c ) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
探究新知 结论：平面内到一个定点的距离与到一条定直线l（F 不在l上）的距离之比为(0,1)内的常数的点所形成的 曲线为椭圆。
温故知新
圆锥曲线？ 圆锥曲线方程共同特征？
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2 2
二元二次方程
y 2 px( p 0)
2
温故知新
回顾：抛物线的定义：
平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不
在l上）的距离之比等于1的动点P的轨迹是抛物线。 思考：当这个比值是一个不等于1的正数时，动点 P的轨迹又是什么曲线呢？
析:
2
( x c )2 y 2 a2 x c
c a
2 2
x y 2 1(a 0, b 0) 上式化为: 2 a b
思考交流 结论：平面内到一个定点的距离与到一条定直线l（F 不在l上）的距离之比为(1,+∞)内的常数的点所形成 的曲线为双曲线。
2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征课件3北师大版选修2_1
课后练习
1、椭圆 (x2)2(y2)2|3x4y8| 的离心率为 25
A、1/25 B、1/5 C、1/10 D、无法确定
2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,那么椭圆上点到原点距离的取值范围是
A、[8,10]
B、[4,5] C、[6,10]
D、[2,8]
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离〕
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考: 假设PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上〕 (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.
1(a0,b0)
l1 y
l2
M2 d2 P
.
F1
O
.
F2
x
M1 d1
P′
准线: x a 2 c
定义式:
PF1 PF2 d1 d2
e
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点121数学
n)的直线与椭圆x92＋y42＝1 的交点个数为
()
A．2
B．1
C．0
D．0 或 1
解析：由题意，得
4 m2＋n2
>2，所以 m2＋n2<4，则－2<m<2，
－2<n<2，所以点 P(m，n)在椭圆x92＋y42＝1 内，则过点 P(m，n)
的直线与椭圆x92＋y42＝1 有 2 个交点．故选 A. 答案：A
|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋[kx1－x2]2 ＝ 1＋k2 x1－x22 ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝
12/13/2021
1＋14·324＝
30点差 法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两 个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的 直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足 Δ>0. (2)直线 y＝kx＋b 与曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时， 弦长公式为|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|(k≠0)．
12/13/2021
即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点． 当 k≠0 时，由 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得 k＝12. 即直线 y＝12x＋1 与抛物线只有一个公共点． 综上所述，所求直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝12x＋1.
12/13/2021
考点三 中点弦、弦长问题 [典例] 过点 P(－1,1)的直线与椭圆x42＋y22＝1 交于 A，B 两 点，若线段 AB 的中点恰为点 P，求 AB 所在的直线方程及弦长 |AB|.
12/13/2021
[类题通法] 圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到 焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共 同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直 线的距离的转化，从而使运算得以简化．
2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程§44.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的
2
+3
则由弦长公式,得|MN|=
42 (32 - )
化简,得a2=3b2.②
2
2
2
2
联立①②,得a =6,b =2. 故椭圆 C 的方程为 6 + 2 =1.
=
2
4
2
+32
.
探究一
探究二
探究三
一题多解
当堂检测
反思感悟首先设直线与圆锥曲线的交点M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN
得 xM=±2√3,
由题意知点 M 在第一象限,∴M(2√3, √3).
反思感悟若点M表示圆锥曲线上一点,F是圆锥曲线的一个焦点,
1
1
则解决与 |MF|有关的问题,通常先将 |MF|转化为点M到同侧准
线的距离,再利用数形结合思想求解.
探究一
探究二
探究三
一题多解
当堂检测
2
变式训练 1 已知动点 P 的坐标(x,y)满足
又A,B两点在椭圆上,
∴12 +412 =16,22 +422 =16,
两式相减,得(12 − 22 )+4(12 − 22 )=0,
于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
-
+
1
1
4
1
1
∴1 -2 =-4(1 +2 )=-4×2=-2,即 kAB=-2.
当堂检测
弦长问题
【例 3】
2
已知椭圆 C: 2
+
2
2 =1(a>b>0),直线 l 1: − =1 被椭圆 C
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3．中心在原点的双曲线，若它的实半轴长为 2， 一条准线的方程为 x＝－12，则该双曲线的离心率 e＝________.
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
解析： 由于双曲线的中心在坐标原点， ∴x＝－ac2＝－12，即ac2＝12. 又实半轴长为 2，所以上式变为2ca＝12， ∴ac＝4，即 e＝4. 答案： 4
练课后演练提升
1．椭圆、双曲线的离心率的范围分别是什么？ 拋物线的离心率是多少？
[提示] 椭圆的离心率的范围为(0,1)，双曲线离 心率的范围为(1，＋∞)，拋物线的离心率为1.
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方后演练提升
2．拋物线的离心率其实就是曲线上的点到焦点的 距离与到准线的距离之比，那么，对于椭圆与双 曲线而言，它们的离心率是否也是曲线上的点到 焦点的距离与到准线的距离之比呢？请用具体的 椭圆与双曲线验证一下．
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
2．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系
为( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析： 因为直线过定点(1,1)，而(1,1)点在椭圆内 部，故直线与椭圆必相交． 答案： A
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
2．直线与圆锥曲线的交点 (1)曲线 C1：f(x，y)＝0 和 C2：g(x，y)＝0 的任意
fx，y＝0 一个交点的坐标，都满足方程组__g__x_，__y_＝__0___， 反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这 两条曲线某一个交点的坐标．
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
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数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
圆锥曲线的共同特征及应用 已知定点 F(－4,0)，定直线 x＝－245.某动点 P 到直线的距离为 d，则 P 点满足|PdF|＝54.求 P 点 的轨迹方程．
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
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[强化拓展] 直线 l 方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程 F(x， y)＝0. 由AFxx＋，Byy＋＝C0 ＝0 消元(如 y)后得 Ax2＋Bx＋C ＝0.
若 F(x，y)＝0 表示椭圆，则上述方程中 A≠0， 为此有：
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
1．已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离
的比值为0.8，则M点的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．无法确定
解析： 因为e＝0.8＜1，故轨迹为椭圆． 答案： B
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
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练课后演练提升
(1)若A＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲 线的渐近线平行(或重合)；当圆锥曲线是抛物线时， 直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．此时l与曲 线相交于一个交点． (2)若A≠0，设Δ＝B2－4AC ①Δ>0时，直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0时，直线与圆锥曲线相离．
得 y1＝0，y2＝－4，于是 A，B 两点坐标分别为(1,0)， (－3，－4)，则|AB|＝ 1＋32＋0＋42＝4 2.
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
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方法二：设方程①的两根为 x1，x2， 由根与系数的关系得 x1＋x2＝－2，x1x2＝－3， 则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16， (y1－y2)2＝[(x1－1)－(x2－1)]2＝(x1－x2)2＝16， 则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ 16＋16＝4 2.
_0_<_e_<_1___ _e_＝__1__ _e_>_1___
椭圆 抛物线 双曲线
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
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[强化拓展]
(1)三种圆锥曲线可以统一定义为平面内到定点F和 到定直线l(F不在直线l上)的距离比是一个常数e的点 的轨迹． 这个e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线 的焦点，定直线叫做圆锥曲线的准线． (2)根据离心率的范围区别曲线的类型．
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
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4．2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲线的交点
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
学课前预习学案
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
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讲课堂互动讲义
[提示] 椭圆与双曲线的离心率都等于曲线上的点 到焦点的距离与到相应准线的距离之比．
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
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练课后演练提升
1．圆锥曲线的共同特征
共同特征
e的值或范围 圆锥曲线
圆锥曲线上的点到 _一__个__定__点___的距离 与它到_一__个__定__直__线__ 的距离之比为定值e.
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
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4．直线 y＝x－1 与双曲线 x2－y22＝1 相交于 A、B
两点，求 A、B 两点间的距离． y＝x－1，
解析： 联立方程组x2－y22＝1，
消去 y，
得 x2＋2x－3＝0.①
方法一：由方程①解得 x1＝1，x2＝－3，代入 y＝x －1.
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
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练课后演练提升
(2)直线与圆锥曲线的位置关系有三种：_相__离____、 _相__交____和_相__切____．
①相离时，直线与圆锥曲线_没__有____公共点；
②相切时，直线与圆锥曲线有_一___个公共点； ③相交时，直线与椭圆有_两___个公共点，而与拋 物线和双曲线则可能有_一___个或_两___个交点．