为什么截口曲线是椭圆？
高中数学精品试题： 截口曲线问题
3.2 截口曲线问题一、飞机舷窗为什么是椭圆形？1954年，英国海外航空公司的客机在飞行途中，接连发生突然爆炸、解体的情况。
最后发现，导致这一场场灾难的罪魁祸首竟然是机舱上的矩形窗户。
原来，在飞机飞行过程中，机舱内需要加压，随着飞行高度的增加，机舱内外的压力差也会越来越大。
机舱内的压力会积压在矩形窗户四个锋利尖锐的角上，而窗户经受不住压力的反复冲撞，时间久了，便会破碎，进而引起飞机爆炸。
为了解决这一问题，飞机设计者把飞机上的窗户设计成椭圆形。
因为椭圆形的舷窗能使压力均匀分布在圆弧的每个点上，然后压力会顺利地穿过材料，保证飞机的飞行安全。
二、椭圆为什么是圆锥曲线之一？1.生活中的椭圆模型生活中，阳光照射球体形成的影子、倾斜水杯的水截面边缘等都给我们以“椭圆”的印象，那么我们数学中的“椭圆”到底是什么样子呢？或者说能不能从实物中抽象出数学模型呢？（1）阳光照射球体形成影子——单球模型（2）倾斜水杯的水截面边缘——圆柱模型两者都有椭圆，其实单球模型进行下列变换就能得到圆柱模型。
圆柱的Dandelin 圆柱的Dandelin 单球模型 双球模型通过圆柱的Dandelin 双球模型，我们就能得出椭圆上的点到两个定点的距离之和为常数。
从而给出椭圆的定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数2a （122F F a ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离12F F 叫做焦距。
2.圆锥的截线从圆柱上可以截得椭圆，那为什么我们称椭圆为圆锥曲线，而不是圆柱曲线呢？我们知道用一个平面去截圆锥，当平面垂直于圆锥面的轴时，截线是一个圆。
若将平面逐渐倾斜的过程中:1．当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
2．当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
3．当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。
为什么截口是椭圆 PPT
请使用准备的材料想办法“创造”出一个椭圆：
第一小组：一条绳子、两个图钉、一只笔； 第二小组：一个装了一定体积的水的密闭透 明的圆锥形玻璃容器； 第三小组：一个从卷纸内部取下来的圆柱形 纸筒、一把小刀； 第四小组：一个小球和一只手电筒。
2 知识与技能
截口曲线 为什么是椭圆
旦德林 （Germinal Pierre Dandelin ， 1794～1847）
PF1 PF2 PF1 PF2 F1F2
角度可以任意吗
阿波罗尼奥斯 （ Apollonius of PergaR
MN
AM AN
AF1 AF2
R tan
2
tan
sin
2
5 小结：
这堂课你有什么收获？
6 作业：
阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262 ～190年）是与欧几里得、阿基米德齐名的古希腊数学家 ，在他的著作《圆锥曲线论》几乎将圆锥曲线的性质网罗 殆尽.从而产生“圆锥曲线”一词，请查阅与此相关的数学 文化资料.
谢谢!
双球证明法
3 思维与表达
预备知识：
过球外任意一点做球的两条切线，则切线长相等
证明：过P做PA, PB与圆相切， 切点为A, B。 由PO PO,OA OB r, OA PA,OB PB， 可得:RtPAO RtPBO, 所以PA PB。 即过球外任意一点做球的两条切线，则切线长相等。
设A为截口曲线上任意一点， 过点A作圆锥的母线， 分别与两个球相切于点C, B， 设两球与截面的切点为E, F。 由预备知识可知，AE AC, AF AB， 于是AE AF AB AC BC（定值）。 即截口曲线上任意一点到两个定点的距离之和为定值。
探究与发现为什么截口曲线是椭圆
A （图四）
B
KMA × KMB =负常数
？可还是不明白椭圆为什么被叫做圆锥曲线?
一、复习旧知,创设背景：
我们知道椭圆是生活中常见的图形，是 圆锥曲线中重要的一种。下面我们做这样一 个游戏。 游戏规则：请同学们任选一组工具以最快的 速度得到一个椭圆形. 工具1：一根胡萝卜和一把小刀. 工具2：一个装有颜料水的圆柱形矿泉水瓶. 工具3：一只手电筒.
怎 样的位置关系? MP =MF1与MQ=MF2是否成立？为什么？
P
F1
M
F2
Q
点M在两球外， MP 和MF1与小球相切 MQ和MF2与大球相切
MP =MF1与MQ=MF2 成立
MF1+MF2=MP+MQ =PQ（定值）
四、归纳总结丹迪林（Dandelin）双球模型证明思路
（3）巩固理解空间中点线面的位置关系。
一、复习旧知,创设背景：
问题1: 我们知道椭圆是生活中常见的
图形，是圆锥曲线中重要的一种。那么通过 前面的学习，大家想一想生成椭圆的方法有 哪些？
（1）平面内到两个定点的距离等于定长（大于两 定点间的距离）的点的轨迹是椭圆(如图1)
M
F1
F2
(图1)
|MF1|+|MF2|=定长（大于F1F2）
为什么截口曲线是椭圆
教材版本：人教A版选修2-1 授课教师： 马 万 学 校：同心县回民中学
研究课题：为什么截口曲线是椭圆？
目标要求:
(1）了解椭圆的一些生成法。了解椭圆、双 曲线、抛物线与圆锥的关系，知道椭圆是平面截 圆锥得到的一种截口曲线。
(2) 了解丹迪林（Dandelin）双球证明“截 口曲线是椭圆”的证明思路。
探究二：如图两个球分别与圆锥的侧面相切且与截面分别切
人教版高中数学选修1-1《2.1椭圆探究与发现：为什么截口曲线是椭圆》
球的 切线
E
P
M
返回
数学人教A版选修1-1 第二章2.1探究与发现
为什么截口曲线是椭圆
情景体验 3
1 2
4
建立数学模型
建立数学模型
建立数学模型
M
P
N
球的切线
自主探究
用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱， 得到一条截口曲线.证明截口曲线是椭圆.
自主探究
M
P
N
应用
例1、如图AB是 平面的斜线段，A为斜足，若P点在平面内 运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹（） A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线
B A P
例2.一个半径为2的球放在桌面上，一束平行光线与桌 面成30，球在桌面上的投影是什么形状？离心率多少？A1 NhomakorabeaA2
A1
A2
A1 F1
∟ A2
小结
这节课你学到了什么？
小结
这节课你学到了什么？
小结
这节课你学到了什么？
如图是过锥体与椭圆长轴A1 A2的截面，球与长轴A1 A2的切点 是椭圆的焦点F，AA1 A1 A2 .设光线AA1与球相切于点E，AA2 与球相切于点D，且A1 F 等于内切圆的半径也即球的半径，即 A1 E A1F 2, AE AD 6 2 4 1 1 设FA2 x,由三角形面积公式得： （AA1 +A1 A2 +AA2） r AA1 A1 A2 2 2 1 1 (2 x 6 4 x) 2 6 (2 x) 2 2 x 6 A1 A2 8,即2a 8. a 4 c 2 1 A1 F a c 2, c 2, e a 4 2
探究与发现为什么截口曲线是椭圆
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
不
图形
同
点
F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2 P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
43
4
5.写出适合条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点 P到两焦点的距离之和等于10；
课堂小结
一一个概念 二二个方程 二二个方法
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
去根号的方法，判断焦点位置
M
[1]取一条细绳
F1
F2
[2]把它的两端固定在板上的两 点F1、F2
[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，
在板上慢慢移动看看画出的图
形?
注意：绳子的长度大于两固
定点之间的距离。
想一想
M
F1
F2
在刚才的画图过程中，什么是变的？什 么没有变？
绳子长度不变，固定点之间距离没有改变 （即|MF1|+|MF2|为常数），铅笔尖的位 置不断变化。
以设Fa12P、-(c2Fx，2x2所+y a在)2是y直2 椭= 线a圆2 为a上2 - xc任2 轴意，一线点段 F1F2
的垂直设平|分F1线F2为|=2yc，轴则建有立F直1(角-c坐，标0)、系F．2(c，0)Leabharlann yM P( x , y )
探究与发现为什么截口曲线是椭圆
P
的距离之和为常数。
由椭圆定义可知，截口曲线是椭圆。
N
小试牛刀
1.∠AOB= 30，AO绕着BO旋转一周，AO形成的曲面是什么图形？
小试牛刀
2.直线AB在平面α，点P在平面α内，若点P到AB的距离为1，则点P的 轨迹是什么图形?
B
A
3.若点P到AB的距离为1，则点P的轨迹是什么图形?
应用拓展
如图，用平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆
问题1：证明截口曲线是椭圆我们有何 方法？ 问题2：如何找到椭圆两个定点位置，如何 说明椭圆上的点到两个定点距离之和是定长 呢？
探究新知
1.双球与截面有两个切点 2.球可以与圆锥以及截面 同时相切 3.发现了一个新圆台，圆台的 母线长相等 4.过球外一点作球的切线，所 有切线长相等
切线长定理：PA=PB （平面几何）过圆外一点引圆的两条切线， 切线长相等。
（立体几何）过球外一点，引球的两条切 线，切线长相等。
M P
N
自主探究，举一反三
由切线长定理可知
PE PM, PN PF
M
PE PF PM PN
PE PF MN(定值）
截口曲线上任意一点P到两定点E、F
B
A.圆 C.一条直线
B.椭圆 D.两条平行直线
AP
ห้องสมุดไป่ตู้纳小结
用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是什么？
4.如图，斜线AB与平面α所成的角为 60 ，B为斜足，平面α上的动点
P满足∠PAB=30,则点P的轨迹是（ ）
A.直线
B. 抛物线
C.椭圆
D.双曲线的一支
应用拓展
5、如图，AB是平面 的斜线段， A为斜足，若点 P 在 平面 内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点 P
为什么截口曲线是椭圆
为什么截口曲线是椭圆
椭圆的定义：
与两个顶点F1，F2的连线的距离和为定值（常数）的点的轨迹叫做椭圆。
用一个平面斜截圆锥，得到的截口曲线是椭圆，那么为什么截口曲线是椭圆呢？
历史上，许多人从纯几何角度出发对这个问题进行过研究，其中Germinal Dandelin 的方法非常巧妙。
在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切：与截面分别相切于点E，F；与圆锥的侧面相切的无数的点组成圆o1,o2。
在截口曲线上任取一点A，过点A作圆锥的一条母线，必与圆o1,o2相交于点C，B。
由圆和球的几何性质：
1，圆o外一点p作圆的任意两条外切线，交点为A，B，则pA=pB。
2，球外一点p作球面的任意两条外切线，交点为A，B，则pA=pB。
可以知道：
AE=AC; AF=AB; AE+ AF =AC+AB=BC;
当圆锥一定，截面一定，两个球也一定，那么线段BC的距离一定，在圆台中。
这样截口曲线上任意一点A到两个定点E，F的距离和是常数，
由椭圆的定义知，截口曲线是椭圆。
为什么截口曲线是椭圆 PPT
动态模型探究
证明：由题意
OP=ON，
同理可得：
P
OQ=OM，
所以OM+ON
=OP+OQ=PQ
O
所以点O的轨
N
迹是椭圆
光线
如图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示，在 一束平行光线 照射下，球在 地面的影子的 形状是不是椭 圆？
动态模型探究
例1、（2008浙江）如图AB是 平面的斜线段，A为斜足，若P点在平面内
运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹（ ） A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线
B
AP
这节课你学到了什么？
相传古希腊人通过削尖的 圆木桩发现了一条像圆又不 是圆的曲线，把它命名为椭 圆。从立体几何的角度，也 就是“平面斜截圆柱所得的 交线”。
1
2
3
4
旦 德 林 （ 1794 年 4 月
12日 - 1847年2月15
日）。
如图所示，用 一个不平行于 圆锥底面的平 面去截圆锥， 截口曲线是椭 圆吗？
平面截圆柱生成截口曲线为椭圆的相关问题
课程教育研究 Course Education Ressearch 2015年3月 下旬刊 论坛·交流253· ·对，而学生在意志品质方面的表现是参差不齐的，因此，为了使每个学生都能应对习惯的改变所带来的身心的不适，必须进行适当的励志教育，教师要为学生讲述名言警句、成才的故事等等，以对学生产生激励让他们坚持良好的学习习惯。
3.激发兴趣，引导创新教师在课堂上安排丰富多彩的活动，营造宽松愉悦的学习氛围，能有效的激发学生的学习兴趣，可以使学生养成认真听讲的习惯。
在教学过程中，教师面对学生不成熟但富有个性化的见解与表达，也要从不同角度予以赞赏，从而引导学生形成积极思考、勇于探索、勇于创新的学习习惯[2]。
4.循序渐进，持之以恒良好学习习惯的养成需要一个循序渐进长期积累的过程。
人的能力是有限的，不能拔苗助长，要掌握好“度”的问题。
因此，教师要以足够的真心、耐心、责任心来帮助学生养成良好的学习习惯。
教师要根据学生的年龄特点，适当的降低目标门槛，慢慢的培养学生的良好习惯，逐步的提出切实可行的要求，让学生的良好学习习惯逐步的持续稳定的得到发展。
如在小学一年级，让学生养成上课认真听讲，课后按时完成作业等基本的学习习惯即可。
5.反复训练，严格要求习惯的形成必须经过反复的训练，通过长期的训练而形成条件反射，下意识的行为。
培养良好的学习习惯是一个细致入微的过程，教师对学生必须加强训练和监督，对学生的行为规范要长期的坚持，不放过任何细节，实现从习惯到自然的过程。
6.树立榜样，注重细节榜样示范对受教者起着促进与导向作用，是一种生动的德育方法，能有效的培养学生的良好学习习惯。
研究表明，人的有些行为是通过观察所得，榜样的形象生动，对学生具有一定的说服力和感染力。
教师要把优秀的学生作为榜样来进行宣传教育，充分发挥榜样的力量，让学生学习同龄人的良好学习习惯。
对于学生的良好行为，教师要及时的予以表扬，营造一种良好的班级氛围。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 为什么截口曲线是椭圆》7
为什么截口曲线是椭圆一、教学内容解析：圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它也是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。
而?为什么截口曲线是椭圆?虽是课后的探究与思考，但是在历年高考及各种习题中屡次出现考察立体几何与平面几何交汇的题型，其实质考察的就是对圆锥曲线的认识。
我们很多学生只是知道椭圆、双曲线、抛物线这一章节叫做圆锥曲线，却没有从真正意义上去了解为什么它们叫圆锥曲线。
今天这节课就是想通过一系列的探究与实物及动画演示，让学生真正明白圆锥曲线的意义，也为今后的立体几何与平面几何交汇的题型打下根底。
二、教学目标：1了解椭圆的截面定义，理解椭圆是圆锥曲线的一种。
的证明过程，通过猜测类比归纳解决平面与圆锥的截口曲线问题。
3 应用截口曲线的结论解决相关问题,强化对截口曲线结论的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性，提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申，精心设计，引导学生学习解题的方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法。
4借助多媒体及实物辅助教学，激发学生学习数学的兴趣。
在课堂教学气氛中，努力培养学生敢想、敢说、敢于探究发现创新的精神。
三、学生学情分析：对于高二的学生，对圆锥曲线的定义已有一定的理解，能解决一些根底的题型。
但是在立体几何与平面几何的交汇题型上相对还是比拟不熟悉，希望通过今天的探究学生能掌握一定的结论，恰当地使用结论，那么这种题型定可以以简驭繁。
四、教学策略分析：由于这局部知识较为抽象，难以理解，如果离开感性认识，学生很容易陷入困境，降低学习激情。
在教学中，我先通过生活现象引起学生兴趣，再通过复原数学家Dandein发现证明的现场，小组讨论，多媒体展示，实物显示等多种教学手段，有意识地引导学生探究发现。
Dandein双球证明应该证明的先是平面与圆锥的问题，但是在学生认知理解上，平面与圆柱的问题更简单一点，所以这节课先对平面与圆柱的问题进行探究发现，再让学生讨论探究发现平面与圆锥的截口曲线问题，做到了由浅入深。
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设计意图
有意引导学生从生活中 抽象出数学模型，并尝 试解决模型。
（3）辅助线的做法。
4、动画演示
M
P
N
活动设三：自主探究，举一反三
教学过程
1、研究用平面斜截圆柱，让学 生自主证明截口曲线为椭圆，并 展示成果。 2、探究如何计算椭圆的a,b，并 形成结论。
设计意图
引导学生举一反 三，类比证明。
M
P
情感分析
学 情 分 析
1、学生已经学 习了椭圆的第一 定义，对椭圆有 直观印象。在此 之前还学过立体 几何，对理解旦 德林双球模型问 题不大。
2、高中学生个性 活泼，思维活跃 ，完全具备空间 想象和逻辑推理 能力。
3、面对全新的 知识领域，学生 肯定会有强烈的
探求欲望。
知识目标
能力目标
情感目标
目 标 分 析
为什么截口曲线是椭圆？
舟山中学 冯瑜
条目
1 2 3 4 5 教材分析 学情分析 目标分析 教学过程 设计体会
一、教材的地位和作用
1、在已知椭圆第一定义的基础上介绍椭圆的截面定义，并用旦 德林双球法证明了这两个定义的统一性。
教 材 分 析
2、本阅读材料具有厚重的历史背景，旦德林双球法构造之巧妙， 充分展现了数学的魅力。
设计意图
1、通过让学生收集生活中椭 圆形象，学以致用，调动学 生学习热情。 2、适当介绍椭圆的起源，让 学生了解历史上人们是如何 认识椭圆的。
活动设二：建立数学模型
教学过程
1、提出问题：截口曲线为什么是椭圆？ 2、从游戏中抽象出圆锥模型 3、证明过程。
证明过程要点： （1）对两个切点进行猜想 （2）球的切线的概念。
1、顺应椭圆概念 产生的历史顺序 ，突出对椭圆定 义的历史认知。
2、初步尝试从 生活现象中抽 象数学模型， 解决模型的数 学研究方法。
并在学习旦德林 双球法后，培养 学生举一反三的 能力。
3、激发学生学习
数学的兴趣。发 现数学源于生活 ，触手可及。同 时通过学习大师 的巧妙之作，体 验数学之美妙。
教学方法
采用“发生教学法”，并借助多媒体辅 助
教 学 过 程
教学过程
情景体验-----数学建模-----应用拓展
活动一：情景体验 教学过程
做游戏： 四组道具： （1）一条绳子，两个图钉，一支笔 （2）一个圆锥形玻璃容器，和一杯有颜 色的液体。 （3）一只长萝卜，一把小刀 （4）一只手电筒和一只小球 请各组同学挑选一个道具，用手中的道 具给出椭圆，并作出解释。
• 上好一堂课需要“理论联系实际”。
N
活动四：应用拓展
教学过程
例1、如图， AB 是平面 的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面 内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点P 的轨迹（ ） B
设计意图
强调本节课结论 的应用，树立用 数学解决生活现 象的勇气
A.圆 C.一条直线
B.椭圆 D.两条平行直线
ALeabharlann P例2：一个半径为2的球放在桌面上，一束平行光线与 桌面成 30，球在桌面上的投影是什么形状？离心率多 少？
30
活动四：应用拓展
教学过程
拓展：一个半径为2的球放在桌面上，桌面上
AA 与球相 的一点 A1 的正上方有一个光源 A ， 1 切，AA 1 =6，问：球在桌面上的投影是什么 形状？则它的离心率等于________。
A
设计意图
B1 1 A1
B2
A2
设 计 体 会
• 上好一堂课需要“厚积薄发”。 • 上好一堂课需要“善借于物”。
二、教材的内容要点
1.了解椭圆的不同定义（截面定义），理解椭圆是圆锥上的一种曲线 2.感受旦德林双球法的巧妙构造。 3.体会数学源于生活，并服务于生活 。
重点：使学生正确理解截口曲线是椭圆。 难点：（1）旦德林双球证法中的辅助线添法。 （2）利用所得的结论解决与之有关的问题
三、重点与难点
认知分析
能力分析