反常积分审敛法判定
同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)
M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)
l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
反常积分审敛法-精品文档
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
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f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
55反常积分审敛法
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)
5.5 反常积分的审敛法
3 2
根据极限审敛法 , 该积分发散 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分 . 由定义 例如
1 令 x a , 则有 t b f ( x) d x lim
a
f ( x) d x a f ( x) d x lim 0 a
函数
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
5.5 反常积分的审敛法 四、内容小结
函数
1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 .
2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过 分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有 各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛 . 3. 函数的定义及性质 .
根据极限审敛法, 椭圆积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
三、 函数
1. 定义5.4 函数
( s )
s 1 x x e 0
d x ( s 0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 .令
I1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1) 讨论 I1 . 当s 1时, I1 是定积分 ; 1 1 1 s 1 x 当0 s 1时, x e 1 s x 1 s x e x 而1 s 1, 根据比较审敛法知 I1 收敛 .
函数
的敛散性 .
解
由比较审敛法可知原积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法 例2 判别反常积分
函数
1
1
dx x 1 x2
2
的敛散性 .
解
lim x
x
2
x 1 x
两种反常积分敛散性的判别方法
两种反常积分敛散性的判别方法反常积分是指在规定的区间上，被积函数无界，或者积分区间为无穷区间的情况下，计算积分时出现的问题。
判断反常积分的收敛性或发散性是数学分析中的一项重要内容。
下面将介绍两种常见的反常积分的收敛性判别方法。
一、比较判别法比较判别法是反常积分判别方法中最常用的一种方法。
主要思想是通过比较待求反常积分与已知收敛或发散的积分之间的大小关系来判断待求反常积分的收敛性或发散性。
1.比较判别法之比较审敛准则a.比较审敛准则：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一点x0附近有f(x)≤g(x)，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b.比较审敛准则的推广：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一区间上有f(x)≤g(x)，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
2.比较判别法之极限审敛准则a. 极限审敛准则：若在其中一点x0附近，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b. 极限审敛准则的推广：若在其中一区间上，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
比较判别法的优点是简单易用，但需要找到合适的比较函数，有时可能比较困难。
二、绝对收敛性判别法绝对收敛性判别法是反常积分收敛性判别方法中的另一种重要方法。
主要思想是通过研究被积函数的绝对值函数的收敛性来判断原函数的收敛性。
1. 绝对收敛性判别法之Dirichlet判别法a. Dirichlet判别法：若被积函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：i.f(x)在[a,b]上的每个有限区间上是单调函数；ii. f(x)在[a,b]上仅有有限个间断点则f(x)的反常积分在区间[a,b]上绝对收敛。
5.5 反常积分的审敛法 Γ函数
0
e− d = 1.
0
Γ( + 1) = Γ() = ( − 1)Γ( − 1)
= ⋯ = ! Γ(1) = !.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
定积分
第五章
(2) 当 → 0+ 时, Γ() → +∞.
证
Γ( + 1)
∵ Γ() =
, Γ(1) = 1
且可证明Γ()在 > 0连续,
+∞
+1
0≤()≤ , 于是 න d收敛;
（2）当 ≤1时, 可取 > 0, 使 − = > 0, ( = +∞时, ∀ > 0)
当充分大时, 由①式或②式都可得
+∞
() > , 于是 න d发散.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
+∞
因 e− sin ≤e− , 而 න
+∞
න
e− d 收敛, 根据比较审敛原理知
0
e− sin d 收敛, 故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛) .
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五章
定积分
二、无界函数的反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
不失一般性, 设 ∈ [, +∞)时, 0≤ ≤g ().
+∞
(1)若 න
g ()d收敛, 则对 > 有
න ()d ≤ න g ()d ≤ න
反常积分的审敛法
反常积分的审敛法反常积分是数学中的一个重要概念，它在计算学科中有着广泛的应用。
本文将介绍反常积分的审敛法，包括其定义、性质以及常用的审敛法。
一、反常积分的定义反常积分是对于某些函数在某个区间上积分不存在或者无穷大的情况下的一种积分方法。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的反常积分定义如下：∫[a, b] f(x)dx = lim┬(n→∞)〖∫[a, b] f(x)dx〗其中，lim表示极限，n表示一个趋向于无穷大的数列。
二、反常积分的性质1. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)，以及常数k，有如下性质：∫[a, b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] k·f(x)dx = k·∫[a, b] f(x)dx2. 区间可加性：对于函数f(x)，在区间[a, b]和[b, c]上的反常积分分别存在，则有：∫[a, c] f(x)dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx3. 非负性：对于函数f(x)，如果在区间[a, b]上f(x)≥0，则有：∫[a, b] f(x)dx ≥ 0反常积分的审敛法是判断反常积分是否收敛的一种方法。
常用的审敛法有以下几种：1. 比较审敛法：对于函数f(x)和g(x)，如果在某个区间[a, b]上f(x)≤g(x)，且∫[a, b] g(x)dx收敛，则有∫[a, b] f(x)dx也收敛；反之，如果∫[a, b] f(x)dx发散，则有∫[a, b] g(x)dx也发散。
2. 极限审敛法：对于函数f(x)，如果存在极限lim┬(x→a)(x-a)·f(x)=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中a为积分区间的一个端点，b为另一个端点。
3. 部分和审敛法：对于函数f(x)，如果存在数列{S_n}，使得lim┬(n→∞)S_n=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中S_n表示函数f(x)在区间[a, b]上的部分和。
反常积分判敛的方法
反常积分判敛的方法在数学中，积分是一种非常重要的概念，而对于一些特殊的积分，我们需要进行判敛来确定其是否收敛。
在处理反常积分时，有一些特殊的方法可以帮助我们进行判敛，本文将介绍一些常用的反常积分判敛方法。
一、无穷积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$的无穷积分，我们可以通过比较判别法来确定其是否收敛。
比较判别法主要包括以下几种情况： 1. 若存在常数$M>0$和$a$，使得对充分大的$x$有$|f(x)|\leqM\cdot g(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛。
2. 若存在常数$a$，使得对充分大的$x$有$0\leq f(x)\leqg(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也发散。
通过比较判别法，我们可以对无穷积分的收敛性进行初步的判断。
二、无界函数积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，如果被积函数在区间$(a,b)$上无界，我们可以通过以下方法进行判敛：1. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以将积分区间分割成多个小区间，分别处理每个小区间上的积分。
2. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以通过换元积分的方法将无界函数转化为有界函数，然后再进行积分计算。
通过以上方法，我们可以处理一些在有界区间上无界的函数积分，从而判断其收敛性。
三、奇异点附近积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，在奇异点附近积分时，我们可以通过留数定理来判断其收敛性。
留数定理是一种处理奇异点的有效方法，可以帮助我们求解一些复杂的积分。
在处理奇异点附近积分时，我们需要注意以下几点：1. 确定奇异点的类型，包括可去奇点、极点和本性奇点。
反常积分判敛法2011
f
xdx 发散时, a
gxdx 发散.
定理 2(比较判别法极限形式)
如果 f , g 在a,非负连续, 且 gx 0 ,
设
lim
x
f x gx
l
有 限 或
,那么
1
当l 0时 , f xdx 与 gxdx同敛散;
利用分部积分法可得：
x 1 x x,
又(1) 1,
故当x为正整数 n时, (n 1) n!
2. 函数定义域的扩充:
当 1 x 0时, x 1 0, ( x 1)有定义,
从而定义 ( x) ( x 1)
1 x 0
x
与无穷区间的审敛准则类似，有: (仅讨论 f , g 在[a,b)连续，b为奇点的积分）
定理4(比较判别法)
设 f , g 在[a, b)连续, lim f ( x) , lim g( x) ,
xb
xb
并且0 f x gx, x [a,b),
则
1
当
b
a
a
2
当l 0时 , 若 gxdx 收敛,则 f xdx
a
a
也收敛;
3
当l 时 , 若 gxdx 发散,则 f xdx
a
a
也发散.
常取p积分作为比较对象。
若取g( x)
1 xp
, 则 由 比 较 判 别 法 可 得 使用 起 来 比 较 方 便 的
a
g
x
dx
收敛
时,
b
a
f
x
dx
收
敛;
2
反常积分的审敛法实用知识
也发散．
a
a
证
设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
技术教学
2
由定理１知
f
(
x
)dx
收
敛．
a
如果 0 g( x) f ( x), 且
sin s
４．在 (s) ex xs1dx 中，作代换 x u2， 0
有 (s) 2 eu2 u2s1du. 0
技术教学
18
四、小结
广义积分审敛法
无穷限的广义积分审敛法
无界函数的广义积分审敛法
比较审敛法１ 极限审敛法１ 比较审敛法２ 极限审敛法２
绝对收敛
技术教学
19
练习题
一、判别下列广义积分的收敛性：
证 令 ( x) 1 ( f ( x) f ( x) ).
2
( x) 0，且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
也收敛.
但 f ( x) 2 ( x) f ( x) ,
a
b
b
b
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x)dx,
a
例４ 判别广义积分 arctan xdx 的收敛性.
1
x
解 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
技术教学
7
定理5 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
反常积分的比较判别法
反常积分的比较判别法
反常积分的比较判别法，即判断反常积分的敛散是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。
如下：
1、第一类无穷限
而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛。
2、第二类无界函数
而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大。
且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
反常积分的快速判断
首先如果积分限出现∞，便知道该积分是反常积分。
其次如果积分区间有限，则需判断积分在该区间是否存在瑕点。
第一要看基本函数（l n x，a r c t an x等，注意这些函数的瑕点）；第二要看分母，如果分母存在0点，通过求极限判断是否属于无穷间断点。
反常积分的敛散性判定方法
内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012级学号122094102指导教师魏运导师职称教授最终成绩75分目录摘要..............................................................。
(1)关键词………………………………………………。
.……。
….…………。
.1引言-—--—-———-———--——----—---————-------——-—--———-—-—-—--—---—--—-—-—-----————-—--————--—--—2一、预备知识......................................。
...。
. (2)1.无穷限反常积分…………………………。
.…….…。
…………….。
22.瑕积分........................。
..........。
(3)3。
反常积分的性质........................。
...........。
(3)二、反常积分的收敛判别法.....................................。
.. (4)1无穷积分的收敛判别 (4)（1)。
定义判别法......................。
......。
...................。
(4)（2）。
比较判别法.....................。
............................。
(4)（3）。
柯西判别法.....................。
.. (5)(4)阿贝尔判别法。
…………………..……。
…。
……………。
6（5)。
狄利克雷判别法.............................。
. (7)2瑕积分的收敛判别......................。
........................... ...。
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若 f ( x)dx 发散 , 则称 f ( x)d x条件收敛.
a
a
绝对收敛的无穷积分 f ( x)dx 必定收敛． a
2009年01月05日
南京航空航天大学 理学院 数学系
16
定理4 如果 f ( x) dx 收敛 f ( x)dx 也收敛．
3
5.1 无穷积分
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
b a
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx-a源自- a f (x)dx
lim
b
f ( x)dx
-
a- a
b
当极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在
时，称无穷积分发散.
例８. 判别瑕积分
的敛散性 .
解: 此处
x 0为瑕点
,因
lim
1
x4
ln
x
0
,故对充分小
x0
的x
,有
1
x 4 ln x
1 ,从而
1
ln x
x
x 4 ln x
3
x4
1
3
x4
据比较法2, 所给积分绝对收敛 .
2009年01月05日
南京航空航天大学 理学院 数学系
24
5.５ -函数与B-函数
第3章 一元函数积分学及其应用
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
2009年01月05日
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
第5节 反常（广义）积分
定积分
积分限有限 被积函数有界
例１ 判别无穷积分 dx 的收敛性.
1 3 x4 1
解
0
3
1 x4 1
3
1 x4
1 x4/3 ,
p 4 1, 3
根据定理１， 无穷积分 dx 收敛.
2009年01月05日
x 1 1 3 4
南京航空航天大学 理学院 数学系
10
例２
判别无穷积分的收敛性:
1 1 1 - x -1
Q e x , I 收敛. 1- x
1-
1
x e x 2009年01月05日
南京航空航天大学 理学院 数学系
25
设
I1
1 e- x x -1dx,
0
I2
e- x x -1dx,
1
(1) 当 1 时, I1 是定积分; 当 0 1 时,
推广
5.1 无穷积分 广义积分 5.2 瑕积分
2009年01月05日
南京航空航天大学 理学院 数学系
2
第5节 反常积分 5.1 无穷积分-无穷区间上积分 5.2 瑕积分-无界函数的积分 5.3 无穷区间上积分的审敛准则
5.4 无界函数积分的审敛准则
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例４
讨论无穷积分
2
1 xk ln x dx
(k 0)的收敛性.
解 当k 1时, 1 dx 发散；
2 x ln x
当k
1时,Q
1 xk ln x
1 (x x ln x
2)
2
xk
1 ln
x
dx
发散；
当k
1时,Q
1 xk ln x
/
1 xk
0
(x )
(1) e- x2 dx; 1
Q e-x2 e-x
( x 1)
e x
(2) 1
x3 dx.
ex
Q lim x
x3
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定理2 (比较判别法的极限形式)
设函数 f ( x)、g( x) 在任何区间[a, b]上可积，
（1） 1
sin x x2 dx,
1
cos x2
x
dx绝对收敛；
（2）
sin
x dx
条件收敛.
1x
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5.4 无界函数积分的审敛准则
瑕积分可转化为无穷积分. 例如
由定义
b f ( x)dx lim b f ( x)dx
2
xk
1 ln
x
dx
收敛.
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２．绝对收敛与条件收敛
定义 设无穷区间上的积分 f ( x)d x收敛 , a
若 f ( x)dx 收敛 , 则称 f ( x)d x绝对收敛；
a
a
也称 f ( x)在无穷区间[a,)上绝对可积；
f ( x)dx 发散，则
g( x)dx
也发散．
a
a
证明 设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
任何区间[a , b] (0 b - a)上可积，
如果 0 f ( x) g( x) (a x b), 那么
若
b
g( x)dx
收敛，则
b f ( x)dx也收敛；
a
a
若 b f ( x)dx发散，则
b
g( x)dx
也发散．
a
a
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由引理知
f
(
x
)dx
收敛．
a
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如果
f ( x)dx发散,则
g( x)dx
必定发散.
a
a
0 f ( x) g( x).
Q 如果
g( x)dx
收敛，由第一部分知
a
f ( x)dx 也收，这与假设矛盾． a
5
5.2 瑕积分
b f ( x)dx lim b f ( x)dx
a
00 a
b
b-
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
00 a
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
c-
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
发散.
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5.3 无穷区间上积分的审敛准则 １．非负被积函数的判别法
引理 设函数 f ( x) 在区间 [a,b] 上可积，
且
f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a, ) 上有界，则广义积分 f ( x)dx 收敛． a
设函数 f ( x)、g( x) 在任何区间[a , b] (0 b - a)上可积，且当a x b时，
f ( x)，g( x) 0 . 如果 lim f ( x) l， xa0 g( x)
则(1)当 0 l 时，两瑕积分有相同的收敛性；
(2)当
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sin2 1
例６ 判别瑕积分 1 x dx 的收敛性. 0x
解
sin2 1
Q x
1
,而
1 dx 收敛，
x
x
０x
sin2 1
根据比较判别法, 1 x dx 收敛， 0x
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定理6 (比较判别法的极限形式)
a
a
证 0 ( f ( x) f ( x) ) 2 f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
( f (x)
f ( x) )dx
也收敛.
a
故
f ( x)dx
[( f ( x)
f (x) ) -
f ( x) ]dx 收敛.
a
a
例５ 判别无穷积分的收敛性：
l0
时，若
b
a g( x)dx
收敛，则
b
f ( x)dx
a
收敛；
(3)当 l 时，若
b g( x)dx
发散，则
b
f ( x)dx
a
a
发散．
在定理６中若选择 法．
g(
x)
(x
1 - a)p
则有Cauchy判别
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定理7(Cauchy判别法) 设函数f ( x) 0，x [a , b]， 且在任意区间[a , b](0 b - a)上可积，如果
a
a
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例３ 判别无穷积分的收敛性：