2018年专题10(几何)最值问题(含详细答案)

专题10 几何最值问题【十二个基本问题】

1．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）

A．61cm B．11cm C．13cm D．17cm

2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________．

3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，则EF的最小值为（）

A．2 B．C．D．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，

则BM＋MN的最小值为（）

A．10 B．8 C．5 3 D．6

5．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处．

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）当AB＝4,BC＝4,CC＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．

（3）在（2）的条件下，求点B到最短路径的距离．

6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P、P分别在OA、OB上，求作点P、P,使△PPP的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求△PPP的周长．

7．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________．

第7题 第8题 第9题

8．如图，在等腰Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BC ＝4 2,点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ．

9．如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧(⌒)AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）

A ．12

B ．22

C ．32

D ．34

10．如图，已知抛物线y ＝－x ＋bx ＋c 与一直线相交于A (－1，0)，C (2，3)两点，与y 轴交

于点N ．其顶点为D ．

(1)抛物线及直线AC 的函数关系式；

(2)设点M (3，m )，求使MN ＋MD 的值最小时m 的值；

(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

(4)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

11．如图，抛物线l交x轴于点A(－3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，－3)．将抛物线l 沿y轴翻折得抛物线l．

(1)求l的解析式；

(2)在l的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A及C两点的距离差最大，并说出理由；

(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．

12．(2016﹒朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．

【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝PA，同时∠APB＋∠APD＝120°＋60°＝180°,∠ADP＋∠ADE ＝180°,即B、P、D、E四点共线，故PA＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE＝BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A＋P′B＋P′C＞PA＋PB＋PC,即点P到三个顶点距离之和最小．

13．问题提出

（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）．

问题探究

（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．

问题解决：

（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P 为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=42，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．

14．如图所示，已知抛物线y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y ＝－ 3x ＋b 与抛物线的另一个交点为D ．

(1)若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

(2)若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；

(3)在(1)的条件下，设点E 是线段AD 上的一点(不含端点)，连接BE ．一动点Q 从点B 出发，

沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒2 33

个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少

答案

1．平面展开－－－最短路径问题

解：如图所示：

∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm．∴PA＝4＋2＋4＋2＝12(cm),QA＝5cm,

∴PQ＝PA 2

＋AQ

2

＝13cm．故选：C．

2．解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶为E,

∵r＝20cm,h＝20 15cm

∴由勾股定理可得母线l＝r＋h＝80cm,

而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π＝错误!∴n＝90°

即△EAA′是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得：AA'＝A′E＋AE＝80 2cm．