全国优质课-椭圆的几何性质

y2 x2 1. 椭圆 1的范围是_______________，顶点坐标为______________，
32
离心率为___________.
2. 已知椭圆的长轴长为 4 3 ，焦距为 4 2 ，则该椭圆的标准方程为___________.
3.
x2
椭圆
y2
1与
x2
y2
1哪一个更“扁”一些？
2
4. 能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的 关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点.
【教学目标设置】 1． 能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；
能Βιβλιοθήκη Baidu释椭圆标准方程中 a,b, c 的几何意义； 2． 在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用
知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初
步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数
和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研
究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.
（2）达成目标所需要的认知基础
“数”的关系．
五、总结提升 形成体系
结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课你有什么收获？
（1）知识：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；
（2）方法： 代数方法
解决
几何问题
曲线方程
研究
曲线性质
（3）思想：数形结合、特殊到一般、类比归纳等. （4）经验：研究圆锥曲线性质的一般方法经验. 六、目标检测 及时反馈
问题 3.2 你能说出两个比 x2 y2 1 更“扁”的椭圆吗？ 25 9
问题 3.3 是不是方程中的 a, b 都改变，椭圆的圆扁程度一定发生变化？
问题 3.4 你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的“圆”和“扁”？ 问题 3.5 利用基本量 a,b, c 之间的关系，还有其他类似的关系式来刻画吗？
1
代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型； 3． 在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的
丰富内涵. 4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣. 【学生学情分析】 （1）学生已有的认知基础
本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关
2.2.2 椭圆的几何性质
【教学内容解析】
1. 平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上
的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可
以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何
对象之间的关系和其本身的几何性质，即
几何问题
数”方法，其实质是：已知
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ，求
x,
y 的取值范围.
探究 2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？
方法提炼： 图形对称的本质是点的对称：
对于曲线上任意一点 P(x, y) y轴 P(x, y) 也在曲线上 图形关于 y 轴对称.
探究 3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭
概念的核心素养. 三、引导建构 完善认知 问题 4 请你写出焦点在 y 轴上的椭圆的几何性质，并完成下列表格.
标准方程
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
y
y 2 x 2 1(a b 0) a2 b2
y
图形
O
O
x
OO
x
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标
离心率
x2 y2
【学生活动】类比研究椭圆 a 2
25 16 【学生活动】学生在坐标纸上尝试画出椭圆，展台展示学生的作品，引导学生欣赏，
3
点评，交流.
【设计意图】中学数学教育的首要任务是培养数学直观.通过画图辨图，与学生已 有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研 究椭圆几何性质的主要内容；通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的 角度去考虑，从而明确研究的主要方法.
4
例 1：椭圆 x2 y2 1 的长轴长为_______， 短轴长为_________，顶点坐标是 25 9
__________， _________.
【学生活动】准确计算，熟练回答. 【设计意图】由方程得性质，体现了本节课重要知识点和研究方法的基本应用，以 及练习的反馈和诊断功能.
探究 4 请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆 x2 y2 1 . 25 9
圆上会有哪些关键点？
方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲线与对称轴的交点，而不
是曲线与坐标轴的交点.类比迁移二次函数图像的顶点.
y 二次函数 y (x 2)2 1
O·
x
【设计意图】根据上一环节的讨论，学生自己列出探究的问题（内容）目录，然后 自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识.范围和对称性的探 究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程；顶点概念的 建立，则是先直观、后类比、再建模，体现了研究问题的方法论思想.
（3）教学难点与突破策略 基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是： 1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁； 2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化；
突破难点的相应策略如下： 1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲
二、问题驱动 合作探究
问题
2
一般地，以椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 为例，你准备研究它的哪些性质？如何
研究？
【学生活动】学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说
明理由.
探究 1：我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？ 方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代
较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识. 2.充分开展学生活动 自主探究 站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自
我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识， 掌握研究方法.
3.适时提炼思想方法 自觉升华 在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或 迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交 流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用. 【教学过程分析】 引言：美国数学教育家莫里斯·克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法， 即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一. 前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出 了椭圆的标准方程（是什么？）. 【学生活动】回忆、思考、口答. 【设计意图】通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几 何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容. 一、情境引入，明确方向 问题 1 除了利用定义，你能根据椭圆方程 x2 y2 1 画出它的简图吗？
aa 相似.
5
（Ⅱ）一致性： c 1 (b )2 ；
a
a
（Ⅲ）选择性：与椭圆定义相对应；后面研究圆锥曲线统一定义的背景.
【设计意图】明确开放的问题，使学生体会到引入离心率的目的；由 b 到 c 符合学 aa
生的认知特点；教师利用几何画板动态演示，使学生对离心率刻画椭圆的圆扁程度
的理解更为形象直观.整个探究过程体现了实物直观、数学抽象、建立模型、形成
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4. 试判断曲线 x2 xy 2 y 2 2 的对称性.
7
课后作业： 1．阅读课本，完整体验利用椭圆方程研究几何性质的思想方法； 2．必做题：课本 P37 习题 2.2（2）1,2,4,5,8；
3．选做题：已知
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) ，求
x2 y2 的最大值，并解释该结论的
坐标法
代数问题
检 验 几何结论
几何解释
运 算 代数结论
2. 圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型， 其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领 域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.
3. 椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义 上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二 第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习 双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方 法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数 学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.
四、典例剖析，深化理解 例 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1） 经过点 P(3,0) ， Q(0, 2) ；
（2）长轴长为 4，离心率为 3 ； 2
【学生活动】学生口答（1），教师板演，强调书写的逻辑性和规范性；学生板演（2），
加深对椭圆几何性质的应用和理解.
【设计意图】由性质求方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系，“形”与
借助几何画板演示一系列动态变化的椭圆，提供直观支持.
【学生活动】直观观察，小组讨论，合作交流，形成结论：离心率的定义、范围、
大小对圆扁程度的影响.经历了形状变化（观察）、原因剖析（推理）、数学刻画（对
应）、建立模型（抽象）的思维活动过程.
并在探究过程中阐明以下事实： （Ⅰ）可行性：用比值 c 和 b 都可以刻画椭圆“圆扁”程度；离心率形同的椭圆均
要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟 是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽 象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力， 能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良 好的数学学习习惯.
几何意义.
8
b2
1(a b 0) 的方向、方法，自主归纳出了
焦点在 y 轴上的椭圆的几何性质，并体会到椭圆图形本身的性质与坐标系的选择无
关.
6
【设计意图】通过填表，一方面让学生有条理地梳理、巩固刚学过得椭圆的几何性 质，将离散的知识系统化，便于对比理解；另一方面，通过类比已有知识和方法，
归纳得出焦点在 y 轴上的椭圆的几何性质，发展了学生的思维能力.
线方程研究几何性质的直接经验； 2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立 b 与椭圆圆扁程度的对应 a
关系，再利用 b 与 c 的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示， aa
2
丰富学生的直观感悟与经历； 3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发.
【教学策略分析】 1.精心设置问题系列 自然驱动 从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比
【学生活动】列表描点，结合性质，精画椭圆. 【设计意图】再画椭圆，让学生体验利用性质画图的必要性和有效性，另一方面也 是离心率概念形成的自然过渡.
问题 3 观察所画椭圆 x2 y2 1 和 x2 y2 1 ，它们在形状上有什么显著不同？
25 16
25 9
问题 3.1 这两个椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的？