全国优质课-椭圆的几何性质

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全国高中数学青年教师展评课椭圆的简单几何性质教学设计

诚西郊市崇武区沿街学校2.2.2椭圆的简单几何性质设计一．教学内容解析：椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了根底。

研究曲线的性质，可以从整体上把握曲线的形状，大小和位置。

利用方程研究椭圆的简单几何性质之前，先引导学生想一想我们应该关注椭圆哪些方面性质。

研究椭圆的详细性质之前，先让学生观察图形直观得到性质，而后利用方程去研究。

根据曲线的条件求出曲线的方程，假设说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的几何性质那么可以说是解析几何的一个手段。

方程研究曲线性质，即代数方法解决几何问题，将复杂的几何关系的研究转化为对曲线方程特点的分析，代数方法可以程序化地进展运算，代数法研究曲线的性质有较强的规律性，这是当年Descartes 创立解析几何的直接目的。

二．教学目的设置： (一)知识与技能：1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；2.在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其互相关系；3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响； (二)过程与方法：1.通过画图并观察得到椭圆的一些性质，培养学生观察分析意识；2.方程研究椭圆性质，让学生感受到解析几何的目的——代数法研究几何问题；3.让学生注意“顶点〞“椭圆中心〞的概念，体会到特殊与一般的区别；4.通过设置填表和例2〔2〕，让学生体会类比法和分类讨论的重要性。

(三)情感态度与价值观：讨论打破难点，培养学生意识；通过对椭圆对称性及离心率对椭圆形状影响的研究，让学生感受到数学美；方程研究曲线的性质，可以程序化运算，感悟数学家创立解析几何的目的；结合之前的学习，学生发现曲线与方程的互相结合，体会出事物的辩证统一，互相转化的唯物主义。

三．学生学情分析：本班学生数学根底参差不齐，学习程度开展不平衡；学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的才能；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比较抽象，直接引入比较突兀，给学生明确的问题，结适宜当的点拨与演示，是非常必要的。

椭圆的几何性质(解析版)

第52讲椭圆的几何性质一、课程标准1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围3、掌握直线与椭圆的位置关系二、基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．三、自主热身、归纳总结1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 相交、相切、相离都有可能【答案】A【解析】直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .第2题图2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____．【答案】5－12【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝ca ＝5－12.3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．【答案】：x 225＋y 275＝1【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立方程⎩⎨⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1. 4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D ．2【答案】B【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF 1F 2的周长为________．【答案】4518【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.四、例题选讲考点一椭圆的离心率的值例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，第(1)题图上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____．【答案】（1） 5－12 （2）13【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b，得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－12. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴m2（a －c ）＝m a ＋c，解得a ＝3c ，∴e ＝13.变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13 D.14【答案】 D变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( ) A.33B.53C.104D.175 【答案】D【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB .设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝a －d3.在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝a5，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2，化简得17a 2＝25c 2，c a ＝175. 即椭圆C 的离心率为175.故选D.变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.变式4、(2017苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。

椭圆的几何性质(教案

椭圆的几何性质教学章节：第一章椭圆的定义与基本性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质；2. 掌握椭圆的标准方程及其参数；3. 能够运用椭圆的性质解决实际问题。

教学内容：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2. 椭圆的基本性质：a. 椭圆的两个焦点距离为定值，称为椭圆的焦距；b. 椭圆的半长轴长度为定值，称为椭圆的半长轴；c. 椭圆的半短轴长度为定值，称为椭圆的半短轴；d. 椭圆的面积为定值，等于πab；e. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

教学步骤：1. 引入椭圆的概念，引导学生思考椭圆的特点和性质；2. 给出椭圆的定义，解释椭圆的焦距、半长轴、半短轴等基本概念；3. 通过实例和图形，展示椭圆的性质，引导学生理解和记忆；4. 练习椭圆的标准方程及其参数，巩固学生对椭圆的理解；5. 运用椭圆的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生对椭圆定义和性质的理解程度；3. 学生对椭圆标准方程及其参数的掌握情况；4. 学生运用椭圆性质解决实际问题的能力。

教学资源：1. 教学PPT或黑板；2. 椭圆的图形和实例；3. 练习题和实际问题。

教学建议：1. 通过实例和图形，让学生直观地理解椭圆的性质；2. 鼓励学生提问和参与讨论，提高学生的思考和表达能力；3. 注重练习题的讲解和反馈，帮助学生巩固知识；4. 结合实际问题，引导学生运用椭圆的性质解决问题。

椭圆的几何性质（续）教学章节：第六章椭圆的离心率教学目标：1. 理解椭圆离心率的定义及其几何意义；2. 学会计算椭圆的离心率；3. 能够运用椭圆的离心率解决实际问题。

教学内容：1. 椭圆的离心率定义：椭圆的离心率是焦距与半长轴之比，用e表示；2. 椭圆的离心率几何意义：离心率e反映了椭圆的扁率，e越接近1，椭圆越扁；3. 计算椭圆的离心率公式：e = c/a，其中c是焦距，a是半长轴。

2《椭圆的几何性质》精品课件公开课一等奖课件

• 过程与方法目标 • （1）复习与引入过程 • 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念； ④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
c e a
a2=b2+c2
同前
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是：
焦距是：
10 。短轴长是：
。
6
3 离心率等于： 5
8
。
。
焦点坐标是： (3, 0) 外切矩形的面积等于：
2 2 x y 轴上，所以，椭圆的标准方程为 1 9 4 c 3 ． e 2a 20 ，（2）由已知， a 5
c 6 ，∴ b2 102 62 64 ∴ a 10 ，
2 2
，
2 2 y x x y ． 1 1 或所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前同前

椭圆的几何性质ppt课件

的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是，，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：

椭圆的几何性质优秀课件公开课

切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一，如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长相等。这个定理在解决与椭圆切线有关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推导出椭圆的其他几何性质。
这是椭圆定义的基础，也是椭圆最基本的几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系

椭圆的简单几何性质(教案)

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。

2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。

3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。

2. 椭圆几何参数的计算方法。

教学难点：1. 椭圆性质的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。

二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。

b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。

c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。

3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。

三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。

2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。

四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。

2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。

五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。

通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。

六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。

椭圆的简单几何性质(教案)

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。

2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。

2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。

3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。

三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。

2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。

四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。

2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。

3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。

五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。

2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。

3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。

教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。

六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。

2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。

七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。

《椭圆的几何性质》--优质获奖精品课件 (12)

又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 x1，x2 是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝842kk22＋－1k. ∵P 为弦 AB 的中点， ∴2＝x1＋2 x2＝442kk22＋－1k，解得 k＝－12. ∴所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
方法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P 为弦 AB 的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又∵A，B 在椭圆上，∴x21＋4y12＝16，x22＋4y22＝16. 两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴yx11－－yx22＝－4yx11＋＋yx22＝－12，即 kAB＝－12. ∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)，即 x＋2y－4＝0.
2．直线 x＋2y＝m 与椭圆x42＋y2＝1 只有一个交点，则 m 的
值为( )
A．2 2
B．± 2
C．±2 2
D．±2
解析：由xx＋ 2＋24yy＝2＝m4，，消去 y 并整理得 2x2－2mx＋m2－4＝0. 由 Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得 m2＝8. ∴m＝±2 2.
答案： C
根据弦长公式得
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2
＝
1＋
32 3
＝156.
答案：
16 5
－4 5 22－4－85
4．若直线 y＝kx＋1 与焦点在 x 轴上的椭圆x52＋ym2＝1 总有公
共点，求 m 的取值范围． y＝kx＋1，
解析：由x52＋ym2＝1，
消去 y，整理得
(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，

椭圆的简单几何性质(系列课)

椭圆的简单几何性质（系列课）浙江省象山中学蒋亮一、教案描述：椭圆的简单几何性质包括椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、椭圆的第二定义等等，教材中单独地把它分成几块拿出来讨论，显得极不自然。

特别是椭圆的第二定义，教材通过一个例子给出，思路不蹈常规，这一切都是教材的简洁性决定的。

我在教学设计中，创设了问题情境，把这些内容有机地串联起来，整个过程如同一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的展开，增强创新意识的培养。

过程如下：（一）、以问题为中心，注重过程教学。

首先，设计如下情境，提出反常规的问题。

师：上几节课，我们导出了椭圆的标准方程，整个过程严谨周密，现摘录如下：设M ()y x ,是椭圆上任意一点，焦点F 1和F 2的坐标分别是()0,c -，()0,c （图1）。

由椭圆的定义可得： ()())1(22222a y c x y c x =+-+++ 将这个方程移项，两边平方得 ())2(222y c x a cx a +-=- 两边再平方，整理得)3()0(12222>>=+b a by a x 问题1：为什么将（3）式作为椭圆的标准方程？对于这一问题学生首先会感到奇怪，似乎（3）式作为标准方程那是顺理成章的，进而会展开热烈的讨论，教师总结一下大致有以下几点理由：1、（3）式简捷，具有对称的美感。

2、（3）式为我们提供了求椭圆轨迹的标准方程，方便用待定系数法求解轨迹的方程。

3、根据解析几何用曲线的方程研究曲线的几何性质这一特点，（3）式方便研究椭圆的几何性质。

针对上述理由3，教师可以组织学生就如何利用（3）式从整体上把握椭圆的曲线的形状，展开讨论。

这样便自然引出：范围、对称性、顶点、离心率等课文要求的内容。

若要进一步研究椭圆的曲线，自然需要列表、描点、连线等常用手段，于是课文中的例1便自然出来了。

上述讨论需要一个课时左右。

（二）以探究为热点，培养创新意识。

由于有了第一节课的基础，本节课教师的问题设计显然容易且自然多了。

3椭圆的几何性质公开课一等奖课件

7
二. 教法分析
备课不只是对知识和教学内容的准备，也包括对学生、学情的分析和（三）具体措施掌握。二者的和谐统一是提高教学效果的基本要求。合理教学方法的确立，就是基于对学生认知基础和认知规律的考虑。根据以上的分析，本节课宜采用讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。
6
二. 教法分析
（二）教学方法
建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。元认知理论指出，学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、情、意、行”的和谐统一。结合本节课的具体内容，参考学习和信息加工模型、广义知识学习阶段和分类模型，确立教学法。
在
x y 2 1(a b 0) 2 a b
y
2
2
之中，把---换成---，方程不变，说明：椭圆关于---轴对称；椭圆关于---轴对称；椭圆关于---点对称； o
x
故，坐标轴是椭圆的对称轴，中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心原点是椭圆的对称中心
14
三、椭0) 2 a b
从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。
学生已经学习了椭圆的知识和概念，掌握了椭圆的一些常见的知识和求法。同时，学生已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。
y B1(0,b) o B2(0,-b) A2 x
2

椭圆的简单几何性质优质课课件

上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组

x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
△ 0 方程组有两解
两个交点相交
△=0
方程组有一解
一个交点相切
△ 0 方程组无解
无交点
相离
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
x1

x2

83 5
,
x1
x2

8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型三：中点弦问题
例6 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
解得k1=25，k2 =-25 由图可知k 25.
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
直线m为：4x 5y 25 0

椭圆的几何性质教案

椭圆的几何性质教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引导学生观察生活中的椭圆形状实例，如地球、柠檬等。

引导学生通过实际操作，用两个固定点（焦点）和一条连接这两个点的线段（半长轴）来定义椭圆。

强调椭圆的两个焦点在横轴上，且两个焦点的距离等于椭圆的长轴长度。

1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程。

引导学生通过实际操作，用两个焦点和两个顶点来确定椭圆的方程。

强调椭圆的标准方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。

第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴长度。

强调椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，其长度等于椭圆的半长轴的两倍。

2.2 椭圆的短轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的短轴长度。

强调椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，其长度等于椭圆的半短轴的两倍。

2.3 椭圆的焦距引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的焦距长度。

强调椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，其长度等于椭圆的长轴长度减去短轴长度。

第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式引导学生推导椭圆的面积公式。

强调椭圆的面积公式为\( A = \pi ab \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。

3.2 椭圆的面积计算引导学生通过实际操作，计算给定椭圆的长轴和短轴长度，计算其面积。

强调椭圆的面积是椭圆内部所有点构成的区域的大小。

第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义引导学生通过实际操作，观察椭圆的离心率与长轴、短轴的关系。

强调椭圆的离心率是焦距与长轴之间的比值，其公式为\( e = \frac{c}{a} \)，其中\( c \) 是焦距的长度，\( a \) 是半长轴的长度。

4.2 椭圆的离心率性质引导学生通过实际操作，观察和记录不同椭圆的离心率性质。

椭圆几何性质优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件

开始新课
第2页
一、椭圆范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
说明：椭圆位于矩形之
中。
o
x
第3页
二、椭圆对称性
在
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
之中，把---换成---，方程不
y
变，说明：
椭圆关于---轴对称；椭圆关于---轴对称；
o
x
椭圆关于---点对称；
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
（ a ,0 ）,(0, b)
( c,0)
（ b ,0 ）,(0, a)
(0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c
a
第13页
小结：基本元素
{1}基本量：a、b、c、e、p（共五个量）
故，坐标轴是椭圆对称轴，中心：椭圆对称中心叫
原点是椭圆对称中心
做椭圆中心
第4页
三、椭圆顶点
在 x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
中，令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴交点？
*顶点：椭圆与它对称轴四个交点，叫做椭圆顶点。
y B1(0,b)
o
x
1）e 越靠近 1，c 就越靠近 a，从而 b就越小（？），椭圆就越扁（？）
2）e 越靠近 0，c 就越靠近 0，从而 b就越大（？），椭圆就越圆（？）

全国高中数学优质课椭圆的几何性质课件7

y2
2
b
=1
07:56:09
21
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
07:56:09
22
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
07:56:09
23
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
07:56:09
24
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
x
B1(0,-b)
60
长轴：线段A1A2；长轴长 |A1A2|=2a.
12
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
07:56:09
13
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
07:56:09
14
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
07:56:09
15
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
07:56:09
16
y
· · F1
07:56:09
42
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2

全国优质课-椭圆的几何性质

2. 2.2椭圆的几何性质【教学内容解析】1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何对象之间的关系和其本身的几何性质，即2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义上感受解析几何的基本思想一一从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体.在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点.【教学目标设置】1.能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；能解释椭圆标准方程中a,b,c的几何意义；2.在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型；3.在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵.4.树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】（1）学生己有的认知基础本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，己经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中己经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些己有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.（3）教学难点与突破策略基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是：1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁；2.椭圆离心率的发现与探究，突破“定性”到“定量”的转化；突破难点的相应策略如下：1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经脸；2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立2与椭圆圆扁程度的对应aIf r关系，再利用2与'的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示，a a丰富学生的直观感悟与经历；3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】L精心设置问题系列自然驱动从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识.2,充分开展学生活动自主探究站在学生的角度，从学生己有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识，掌握研究方法.3,适时提炼思想方法自觉升华在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用.【教学过程分析】引言：美国数学教育家莫里斯•克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法，即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一.前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出了椭圆的标准方程（是什么？）.【学生活动】回忆、思考、口答.【设计意图】通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容.一、情境引入，明确方向问题1除了利用定义，你能根据椭圆方程三十汇=1画出它的简图吗？25 16【学生活动】学生在坐标纸上尝试画出椭圆，展台展示学生的作品，引导学生欣赏, 点评，交流.【设计意图】中学数学教育的首要任务是培养数学直观.通过画图辨图，与学生已有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研究椭圆几何性质的主要内容；通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的角度去考虑，从而明确研究的主要方法.二、问题驱动合作探究问题2 一般地，以椭圆£+E=ig>b>o）为例，你准备研究它的哪些性质？如何a' b-研究？【学生活动】学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说明理由探究h我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代数”方法，其实质是：己知± + £ = l（a〉b>0）,求％），的取值范围.a- b~探究2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？方法提炼：图形对称的本质是点的对称：对于曲线上任意一点P（x,y），轴> P'（-x,y）也在曲线上二>图形关于y轴对称.探究3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭圆上会有哪些关键点？方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲线与对称轴的交点，而不是曲线与坐标轴的交点.类比迁移二次函数图像的顶点.自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识.范围和对称性的探究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程；顶点概念的建立，则是先直观、后类比、再建模，体现了研究问题的方法论思想.例1:椭圆异£=1的长轴长为，短轴长为,顶点坐标是【学生活动】准确计算，熟练回答.【设计意图】由方程得性质，体现了本节课重要知识点和研究方法的基本应用，以及练习的反馈和诊断功能.探究4请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆才, L【学生活动】列表描点，结合性质，精画椭圆.【设计意图】再画椭圆，让学生体脸利用性质画图的必要性和有效性，另一方面也是离心率概念形成的自然过渡.问题3观察所画椭圆上+ 21 = 1和上+*=1,它们在形状上有什么显著不同？ 25 16 25 9 问题3.1这两个椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的？问题3.2你能说出两个比当+与=1更“扁”的椭圆吗？25 9问题3.3是不是方程中的。

2022年《椭圆的简单几何性质》教学优秀教案1

椭圆的简单几何性质教学目标：1通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;2能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;3培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备教学重点:椭圆的几何性质通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解教学方法：讲授法课型：新授课教学工具：多媒体设备一、复习：1椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距2椭圆的标准方程二、讲授新课：〔一〕通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质]椭圆的标准方程为：1范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中，的范围就知道了]问题1 方程中、的取值范围是什么由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标,都适合不等式≤1, ≤1即2≤a2, 2≤b2所以||≤a，||≤b即－a≤≤a, －b≤≤b这说明椭圆位于直线＝±a, ＝±b所围成的矩形里。

2对称性复习关于轴，轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点〔,〕关于轴对称的点的坐标为,－；点〔,〕关于轴对称的点的坐标为－, ；点〔,〕关于原点对称的点的坐标为－,－；问题2 在椭圆的标准方程中①以－代②以－代③同时以－代、以－代,你有什么发现（1）在曲线的方程里，如果以－代方程不变，那么当点P,在曲线上时，它关于的轴对称点P’,－也在曲线上，所以曲线关于轴对称。

（2）如果以－代方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于轴对称。

]（3）如果同时以－代、以－代，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关于原点对称。

]归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？椭圆关于轴，轴和原点都是对称的。

这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]椭圆的对称中心是什么？[原点]椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

全国优质课-椭圆的几何性质

全国高中数学 青年教师展评课 椭圆的简单几何性质教学设计

椭圆的几何性质(解析版)

椭圆的几何性质(教案

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