N维空间几何体质心的计算方法.
0310207_候晶_寻找质心
质心的基本公式
质心的位失表达式:
rc =
பைடு நூலகம்
∑
i
m i ri m
其分量形式为:
xc =
∑
i
m i xi m
yc =
∑
i
mi yi m
m i zi m
zc =
∑
i
话题一:均匀直线的质心
对于长为l的均匀 直线起它的质心? 解:如图建立坐标系 设 m
m
0
l
x
λ=
l
则
1 l xc = ∫ xdm = m 0 1 i 1λ 2 l 1 ∫0 xλ dm = 2 m x 10 = 2 l m
制作人：物理系０６届一 班 候晶 学号：０６１０２０７
D
dm = ρ dv
λ=ρ
D x π 2 l
2 2
0
l
x
则
1 l 1 l 2 xc = ∫ xdm = ∫ x ρdv = l m 0 m 0 3
注意
规则均匀几何体的质心是它的几何 中心 轴(面)对称几何体的知心在它的对 称轴(面)．特别的中心对称几何体 的质心是它的对称中心，所以在处 理对称几何体的知心问题是选择对 称轴为坐标轴． 无论坐标系如何选择，几何体的质 心与几何体的其他质点的相对位置 不变．
话题二:三角形的质心
求高为l,底边长为 2D的三角形的质心 解:如图建立坐标系 m δ = 0 设 s
λ
= 2 x
l x
D
则
D m
δ
dm = δ ds
1 l 1 l 2 xc = ∫ xdm = ∫ xδ ds = l m 0 m 0 3
话题三:圆锥提的质心
求一均匀圆锥体的 质心 解:如图建立坐标系 设
质心坐标计算公式考研数学知乎
质心坐标计算公式考研数学知乎以质心坐标计算公式为题，我们来探讨一下质心坐标及其计算方法在数学中的应用。
质心坐标是一种表示几何图形中各点位置的方法，它在解决几何问题和计算几何图形的重心、面积等方面有着广泛的应用。
我们来了解一下什么是质心坐标。
质心坐标又称为重心坐标或质点坐标，是指在一个几何图形中，以各个顶点为基准点，以各边中点为单位向量，来表示一个点在这个几何图形中的位置。
具体来说，对于一个三角形ABC，假设P是这个三角形内的一个点，那么我们可以用向量AP、BP和CP来表示点P的质心坐标。
质心坐标计算公式如下：x = (x1 + x2 + x3)/3y = (y1 + y2 + y3)/3其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是三角形的三个顶点的坐标，(x, y)是点P的质心坐标。
质心坐标的计算公式简单明了，可以很方便地计算出一个点在几何图形中的位置。
而质心坐标的应用也非常广泛，例如在计算几何图形的重心时，我们可以通过质心坐标来计算。
重心是一个几何图形的质量中心，也是质心坐标的特殊情况。
对于一个三角形ABC，重心G的质心坐标可以通过将公式中的3改为1来计算得到。
也就是说，重心的质心坐标为：x = (x1 + x2 + x3)/3y = (y1 + y2 + y3)/3质心坐标还可以用于计算几何图形的面积。
对于一个三角形ABC，我们可以通过计算点P的质心坐标和三个顶点的坐标来求得三角形的面积。
具体的计算方法是，假设点P的质心坐标为(x, y)，则三角形ABC的面积S可以通过以下公式计算得到：S = (1/2) * [(x1y2 + x2y3 + x3y1) - (x2y1 + x3y2 + x1y3)]质心坐标还可以用于计算几何图形的形心矩。
形心矩是一种描述几何图形形状的参数，它可以用于计算图形的惯性矩、质量矩等。
对于一个几何图形，我们可以通过计算每个点的质心坐标和该点到坐标原点的距离的乘积来求得形心矩。
张宇18讲质心公式详细讲解
张宇18讲质心公式详细讲解张宇18讲中的“质心公式”是一种将物体的重心位置和质量结合到一起的解析算法。
它可以用来考察问题的重心位置和物体的质量，也可以用于求解称量器的平衡性问题。
首先，本文将介绍质心公式的基本概念，然后结合具体例子细致地介绍各种算法及其应用。
一、心公式基本概念质心公式是一种重心应用算法，可以用来计算物体的中心点，以及其作者提出的18种自身形状及质量的分析方法。
它以直观的形式表达了物体系统的重心及质量的关系，可以让使用者直接通过输入部分参数就可以求出重心的位置。
质心公式的基本公式是这样的：其中，x表示物体的重心位置，Mi表示物体的质量，n表示所考虑的物体的个数。
由质心公式可以得知，物体系统的重心位置受其质量的影响，其位置和各物体质量的乘积有密切的关系。
二、质心公式的应用质心公式可以用于计算许多物体的重心位置，以及它们的质量。
例如，可以用质心公式来计算物体重心的水平位置，垂直位置，或者深度位置。
1.平位置如果要计算物体系统的水平重心位置，则可以使用质心公式来求得：其中，x表示物体重心的水平位置，Mi表示物体的质量，n表示物体的个数。
2.直位置如果要计算物体系统的垂直重心位置，则可以使用质心公式来求得：其中，y表示物体重心的垂直位置，Mi表示物体的质量，n表示物体的个数。
3.度位置如果要计算物体系统的深度重心位置，则可以使用质心公式来求得：其中，z表示物体重心的深度位置，Mi表示物体的质量，n表示物体的个数。
此外，质心公式还可以用于求解称量器的平衡性问题。
称量器的原理是根据物体的重心位置与秤砣的长度之比进行计算，质心公式可以根据物体质量和重心位置，求出秤砣的最佳长度，从而使称量器能够精确地完成测量任务。
三、总结本文从基本概念入手，综合介绍了张宇18讲中的“质心公式”的基本概念、计算方法及其应用。
其中，最关键的一点是质心公式在计算物体重心位置时，物体质量和重心位置之间的关系。
通过本文的介绍，使用者可以直接通过输入参数就可以求出重心的位置，并把质心公式应用到称量器的平衡性问题中。
质心坐标计算公式考研数学
质心坐标计算公式考研数学首先，我们来了解一下质心的概念。
在几何学中，质心是一个几何体的重心，也就是几何体的质量集中的位置。
通常情况下，一个几何体的质心是通过几何体的坐标和质量进行计算的。
在考研数学中，通常会涉及到三维空间内的几何体，如平面、立体等。
对于一个由n个点组成的几何体来说，我们假设每个点的坐标为(xi, yi, zi)，而每个点的质量为mi。
那么该几何体的质心的坐标可以通过以下公式计算：质心的x坐标：X = (m1*x1 + m2*x2 + ... + mn*xn) / (m1 + m2 + ... + mn)质心的y坐标：Y = (m1*y1 + m2*y2 + ... + mn*yn) / (m1 + m2 + ... + mn)质心的z坐标：Z = (m1*z1 + m2*z2 + ... + mn*zn) / (m1 + m2 + ... + mn)以上公式中，每个点的坐标和质量都有权重，通过权重的加权平均来得到质心的坐标。
接下来，我们通过一个例子来进一步说明质心坐标的计算过程。
假设有一个三角形ABC，已知点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(3,4,5)，点C的坐标为(5,6,7)。
同时，已知点A的质量为2，点B的质量为3，点C的质量为5、我们需要计算三角形ABC的质心坐标。
根据上述公式，我们可以通过以下步骤进行计算：首先，计算三角形ABC的质心的x坐标：X=(2*1+3*3+5*5)/(2+3+5)=(2+9+25)/10=36/10=3.6然后，计算三角形ABC的质心的y坐标：Y=(2*2+3*4+5*6)/(2+3+5)=(4+12+30)/10=46/10=4.6最后，计算三角形ABC的质心的z坐标：Z=(2*3+3*5+5*7)/(2+3+5)=(6+15+35)/10=56/10=5.6因此，三角形ABC的质心坐标为(3.6,4.6,5.6)。
注意，以上的例子是针对三角形的情况，质心坐标的计算公式适用于任意几何体。
[讲解]质心、刚心、重心
![[讲解]质心、刚心、重心](https://img.taocdn.com/s3/m/8eaa2f9567ec102de3bd8993.png)
[讲解]质心、刚心、重心质心质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
在一个N维空间中的质量中心，坐标系计算公式为:X表示某一坐标轴mi 表示物质系统中，某i质点的质量xi 表示物质系统中，某i质点的坐标。
质点系质量分布的平均位置。
质量中心的简称。
它同作用于质点系上的力系无关。
设 n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。
若用r1 ，r2，…，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc 表示质心的矢径，则有rc,Image:质心1.jpgmiri,Image:质心1.jpgmi。
当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径rc,Image:质心2.jpgρrdτ,Image:质心2.jpgρdτ，式中ρ为体(或面、线)密度;dτ为相当于ρ的体(或面、线)元 ;积分在具有分布密度ρ的整个物质体(或面、线)上进行。
由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理:质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。
由这个定理可推知:?质点系的内力不能影响质心的运动。
?若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。
?若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。
质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。
质心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件;飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关;此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。
张宇18讲质心公式详细讲解
张宇18讲质心公式详细讲解张宇先生的质心公式，是其主导的一种国际上广为流传的计算机图像分析技术，目前它被用于无数的图像处理应用程序中，是计算机科学家和计算机图像处理工程师的神奇武器。
在这里，我们将详细介绍它的原理，希望能够提供一个更加可靠的基础，以便让大家更好地理解和应用它。
首先，张宇先生的质心公式是一种从图像中提取特征，并转换为数学表达式的方法。
在对图像进行特征提取时，它会将图像分割成一系列的图像块，然后利用这些图像块的质心分布或位置来进行特征提取。
质心公式基于空间平均值的原理，它将所有图像块的质心求和后，再除以图像块的总数。
这样计算出来的质心坐标就是图像特征的数学表达式。
张宇先生提出的质心公式可以完美地描述图像中的特征，而且还可以精确定位图像块的位置，使用者可以用较少的计算量就可以提取出来图像特征。
张宇先生提出的质心公式，还可以用于图像的可视化和剪影处理。
此外，张宇先生的质心公式在计算机视觉、计算机图像处理和图像鉴别等领域中也有着广泛的应用。
比如，在目标跟踪任务中，他们可以通过计算目标轨迹和物体质心的位置，来精确定位物体的位置；在计算机视觉系统中，他们可以用来提取图像特征，以检测物体的形状和结构；在图像识别任务中，他们可以用来获取图像质心的位置，以精确识别图像中的物体。
可以看出，张宇先生的质心公式在计算机图像处理领域的应用非常广泛，它能够有效地提取图像特征，消除图像中的噪点，以及精确定位图像特征等等。
在实际应用中，它可以显著提高图像处理系统的性能，是一个重要的图像分析技术。
总之，张宇先生的质心公式是一种功能强大的图像分析技术，它既可以用于图像特征提取，也可以用于计算机视觉、计算机图像处理和图像鉴别等多种应用场景中。
它极大地改变了传统的图像处理方法，是一种革命性的图像分析技术，值得我们去学习和探索。
张宇18讲质心公式详细讲解
张宇18讲质心公式详细讲解张宇，18世纪著名的物理学家、数学家、科学家，被誉为“爱因斯坦之父”，他在物理学、数学和天文学定义和发明了许多新概念和理论，如弹性理论、热物质理论、牛顿现象、电潮理论、沉积理论等。
其中，张宇又最有名的是他提出的“质心公式”，该公式被用于计算多物体的质心，又称为重心或重量线，被广泛用于许多技术领域，如结构工程、机械设计等，是许多工程计算中经常使用的公式。
张宇的质心公式是：质心等于总质量（m）除以总体积（V）。
心公式：C = m/V，其中C为质心，m为物体总质量，V为总体积。
张宇的质心公式非常简单，但在此基础上，我们可以得到一系列从简单到复杂的结果。
例如，当一个物体由多个零件组成时，我们可以把各零件的质量m，体积V和质心坐标（x，y，z）用公式表示出来：m1、V1、(x1,y1,z1),m2、V2、(x2,y2,z2) ... mn、Vn、(xn,yn,zn)，那么，物体的总质量和总体积便可简单地求出：m = m1+m2+...+mn, V = V1+V2+...+Vn。
用质心公式：C = m/V，我们得到物体的质心：C = (m1x1+m2x2+...+mnxn)/ (V1+V2+... +Vn); C =(m1y1+m2y2+...+mny2)/ (V1+V2+... +Vn); C =(m1z1+m2z2+...+mnz2)/ (V1+V2+... +Vn)。
由此可以得到物体的质心坐标，从而求出物体的质心。
张宇的质心公式不仅可以用于计算多物体的质心，它在多物体受力分析中也有广泛的应用。
举个例子，一个物体的质心受到不同的外力F1, F2, F3等作用时，物体的质心处于不同的位置，我们可以用张宇的质心公式求出在这些外力作用下，物体的质心受力大小和方向，从而推断出物体在这些外力作用下的受力情况。
以上就是张宇18讲质心公式的详细讲解，张宇的质心公式不仅被广泛用于计算多物体的质心，还能用于多物体受力分析，如结构工程、机械设计等，对工程计算有重要的意义。
质心公式的推导
质心公式的推导质心（centroid）是一个几何概念，指的是几何体的平均位置。
对于一个有限点集合的质心来说，可以使用质心公式进行计算。
质心公式根据几何体不同的维度有所不同。
以下是几个常见几何体的质心公式的推导。
1. 线段的质心：假设有一条线段AB，长度为L。
线段的质心C满足AC:CB=1:1。
假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则质心C的坐标为：Cx = (x1 + x2)/2Cy = (y1 + y2)/22. 三角形的质心：假设有一个三角形ABC，点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，点C的坐标为(x3, y3)。
三角形的质心G满足AG:GB = BG:GC = CG:GA = 2:1。
质心G的坐标为：Gx = (x1 + x2 + x3)/3Gy = (y1 + y2 + y3)/33. 四边形的质心：假设有一个四边形ABCD，点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，点C的坐标为(x3, y3)，点D的坐标为(x4, y4)。
四边形的质心P满足AP:PB = BP:PC = CP:PD = DA:AP = 1:1。
质心P的坐标为：Px = (x1 + x2 + x3 + x4)/4Py = (y1 + y2 + y3 + y4)/44. 圆的质心：对于一个圆，质心即为圆心本身。
通过这些推导，我们可以得到不同几何体的质心公式，用于计算质心的坐标。
质心公式可以帮助我们在几何学、物理学和工程学等领域中进行质心相关的计算和分析。
形心和质心的计算公式
形心和质心的计算公式形心和质心是两个在物理和几何中常用的概念。
形心（centroid）通常用于描述一个几何体（如平面图形或立体体积）的几何中心，它可以看作是几何体各个部分的平均位置。
质心（center of mass）是一个物体内各个质点的加权平均位置，根据质量分布确定。
下面是形心和质心的计算公式：1. 形心的计算公式：对于一个平面图形，形心的计算公式为：x = (x₁+ x₂+ x₃+ ... + xₙ) / ny = (y₁+ y₂+ y₃+ ... + yₙ) / n其中，(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ) 是图形上的各个点的坐标，n 是点的数量。
对于一个立体体积，形心的计算公式类似，只是在三维空间中进行计算：x = (x₁+ x₂+ x₃+ ... + xₙ) / ny = (y₁+ y₂+ y₃+ ... + yₙ) / nz = (z₁+ z₂+ z₃+ ... + zₙ) / n2. 质心的计算公式：对于一个物体，质心的计算公式为：x = (m₁x₁+ m₂x₂+ m₃x₃+ ... + mₙxₙ) / (m₁+ m₂+ m₃+ ... + mₙ)y = (m₁y₁+ m₂y₂+ m₃y₃+ ... + mₙyₙ) / (m₁+ m₂+ m₃+ ... + mₙ)z = (m₁z₁+ m₂z₂+ m₃z₃+ ... + mₙzₙ) / (m₁+ m₂+ m₃+ ... + mₙ)其中，(x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), ..., (xₙ, yₙ, zₙ) 是物体上各个质点的坐标，m₁, m₂, ..., mₙ是相应质点的质量。
请注意，以上的计算公式是对离散点的情况进行的。
对于连续分布的情况，需要使用积分来进行计算。
物理质心坐标计算公式
物理质心坐标计算公式在我们学习物理的奇妙世界里，质心坐标计算公式可是个相当重要的家伙。
这玩意儿看着好像有点复杂，但只要咱把它的门道搞清楚，其实也没那么难搞。
先来说说质心坐标计算公式到底是啥。
简单来讲，质心坐标的计算公式就是：对于由多个质点组成的系统，质心的坐标（x_c，y_c，z_c）可以通过各个质点的质量 m_i 和坐标（x_i，y_i，z_i）来计算，公式分别是：x_c = (∑m_i * x_i) / ∑m_i ，y_c = (∑m_i * y_i) / ∑m_i ，z_c =(∑m_i * z_i) / ∑m_i 。
听起来是不是有点晕？别着急，我给您举个例子。
有一次我带着学生们做一个物理实验，就是研究一个由几个不同质量小球组成的系统的质心。
我们在一块平整的木板上，放了三个小球，分别标记为 A、B、C。
小球 A 的质量是 20 克，坐标是（10 厘米，20厘米）；小球 B 的质量是 30 克，坐标是（30 厘米，15 厘米）；小球C 的质量是 50 克，坐标是（20 厘米，30 厘米）。
那咱们就来算算这个系统的质心坐标。
先算 x 方向的质心坐标 x_c ，根据公式，就是（20×10 + 30×30 + 50×20）÷（20 + 30 + 50），算出来x_c 约等于 21 厘米。
再算 y 方向的质心坐标 y_c ，（20×20 + 30×15 +50×30）÷（20 + 30 + 50），算出来 y_c 约等于 23.5 厘米。
通过这个小实验，同学们一下子就明白了质心坐标计算公式的实际应用，那叫一个恍然大悟的表情。
质心坐标计算公式在很多实际问题中都大有用处。
比如说，在研究物体的平衡和运动状态时，知道质心的位置就能更好地理解物体的行为。
想象一下，一辆汽车在行驶中，如果质心位置不合理，那转弯的时候可就容易出问题啦。
质心的求解办法
大学物理 力学 ——怎么求解质心位置清华大学电子工程系 无13班 蔡杨一．实验法原理：利用的是质心的性质。
对于一个质点系，质心可以代表这个质点系的受力情况。
当然这对于重力也就成立。
因此理论上，任意一个平面物体悬挂后，质心都应该位于悬线所在的直线上（这条直线也是重力对于物体的作用线） 二．定义法（1）对于多质点系统：∑∑=iii c m r m r可以写出三个分量式∑∑=i i i c m x m x ∑∑=i i i c m y m y ∑∑=ii i cm z m z （2）对于质量分布连续的物体：⎰⎰=dVr dV r ic ρρ)(可以写出三个分量式⎰⎰=dVx dV x icρρ)(⎰⎰=dV y dV y icρρ)(⎰⎰=dVz dV z icρρ)(三．对称法对于一个质量分布均匀的物体，其质心位于其几何中心。
因此，轴对称图形的质心位于其对称轴上（几何中心位于对称轴上）。
四．组合法对于由好几部分质量已知且质心位置已知的质点系组成的系统： 质量： ),质点系(,),3(),2(),1(321i m m m m i 质点系质点系质点系 位置:),(,),3(),2(),1(321i r r r r i 质点系质点系质点系质点系 整个系统的质心位置仍由下式决定：∑∑=iii c m r m r例如：一个质点m （位置为1r）和一个刚体M （其质心位置为2r）组成的系统的质心的位置为：Mm r M r m r c ++=21五．负质量法此方法用于求解：规则图形挖去一部分的图形求解质心的问题。
如：下图为一半径为R 的均匀圆盘，挖去一个半径为2R 的圆形部分。
试求其质心所在的位置。
解答：如图建立坐标。
有对称性，质心必定位于x 轴上。
假设该图形为一个半径为R ，面密度为σ的圆盘和一个半径为2R，面密度为（σ-）的圆盘的叠加。
则由方法四，不难得出：x R R R xR R R M M r M r M r c ˆ61])2()[()(ˆ2])2()[(0)(2222212211-=-+⋅-+⋅=++=πσπσπσπσ 此即其质心的位置。
张宇18讲质心公式详细讲解
张宇18讲质心公式详细讲解质心公式是中国古代数学大师张宇创立的一种精妙而简洁的计算工具，张宇将其比喻为“神奇的硬币”，可以用它完成复杂的算术题。
质心公式可以帮助学生快速解决高等数学几何中的各种问题，给广大学生带来福音。
张宇的质心公式被评定为“中国数学精华”，并被收录到教科书中。
首先，让我们来梳理一下张宇质心公式的精髓：质心公式有三个参数，分别是多边形中心点的横（X）坐标、纵（Y）坐标，以及多边形的边数。
每个参数的取值方式如下：1. X = (a1+a2+…+an) / n，其中ai是每一条边的终点的横坐标。
2. Y = (b1+b2+…+bn) / n，其中bi是每一条边的终点的纵坐标。
3. n多边形的边数。
通过上面的公式，可以求出多边形的中心点的坐标，也就是质心的位置。
接下来，让我们来看一些实例，来详细解释张宇质心公式的使用方法：例1：求三角形的质心假设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为：A(2,4)，B(6,2)，C(4,0)按照张宇质心公式，求三角形质心的坐标1.X坐标：X = (2+6+4) / 3 = 42.Y坐标：Y = (4+2+0) / 3 = 2因此，三角形ABC的质心的坐标就是：(4,2)例2：求五边形的质心假设五边形ABCDE的五个顶点的坐标分别为：A(5,5), B(5,10), C(12,14), D(20,10), E(15,5)按照张宇质心公式，求五边形质心的坐标1.X坐标：X = (5+5+12+20+15) / 5 = 11.42.Y坐标：Y = (5+10+14+10+5) / 5 = 9.2因此，五边形ABCDE的质心的坐标就是：(11.4,9.2)到此，我们就详细解释了张宇质心公式的使用方法，该公式可以方便地解决多边形中心点坐标的计算问题，因此它在中国数学史上占据着重要的地位。
另外，张宇质心公式的推广大大改善了数学课的教学环境，不仅改善了学生的学习体验，而且提高了学习效率。
三重积分质心公式
三重积分质心公式三重积分质心公式是求解一个立体空间的质心位置的方法。
在三维空间中，一个立体由具有一定密度的点构成，而质心是指这个立体的平衡点，即在该点上，整个立体对所有方向的力矩都为零。
质心的坐标可以用三重积分来计算。
首先，假设我们有一个具有密度函数ρ(x, y, z)的立体，我们要计算它的质心坐标(xc, yc, zc)。
根据力矩的定义，我们可以得到以下公式：Mx=∫∫∫xρ(x,y,z)dVMy=∫∫∫yρ(x,y,z)dVMz=∫∫∫zρ(x,y,z)dV其中，Mx，My和Mz分别代表相对于坐标轴x，y和z的力矩。
根据质心定义的公式，可以得到：xc = Mx / Myc = My / Mzc = Mz / M其中，M=∫∫∫ρ(x,y,z)dV是立体的总质量。
现在，我们需要计算这些力矩和总质量。
为了求解这些积分，我们将立体划分为许多小体积元。
每个小体积元的形状足够小，可以近似为一个平面上的微元。
设每个小体积元的体积为dV，那么力矩可以近似为：dMx = xdVρ(x, y, z)dMy = ydVρ(x, y, z)dMz = zdVρ(x, y, z)总质量可以近似为：dM=dVρ(x,y,z)现在，我们已经将求解问题转化为计算这些微元的和。
为此，我们将整个立体划分为许多小体积元，并在每个小体积元上进行积分。
具体而言，我们将立体分割为许多小立方体，每个小立方体的体积为δV。
我们将三维空间分割成nx * ny * nz个小立方体，其中(nx, ny, nz)是一个任意选取的正整数。
根据以上的近似，我们可以写出各力矩和总质量的和式：Mx = ∑∑∑ xdM = ∑∑∑ xδVρ(x, y, z)My = ∑∑∑ ydM = ∑∑∑ yδVρ(x, y, z)Mz = ∑∑∑ zdM = ∑∑∑ zδVρ(x, y, z)M=∑∑∑dM=∑∑∑δVρ(x,y,z)其中，i，j和k分别代表小立方体在x，y和z方向的位置。
质心的求解办法
大学物理力学 怎么求解质心位置清华大学电子工程系 无13班 蔡杨原理：利用的是质心的性质。
对于一个质点系，质心可以代表这个质 点系的受力情况。
当然这对于重力也就成立。
因此理论上，任意一个 平面物体悬挂后，质心都应该位于悬线所在的直线上 (这条直线也是 重力对于物体的作用线) 二. 定义法(1)对于多质点系统:(2)对于质量分布连续的物体:可以写出三个分量式mj im irni i X im im i ym im i 召mirX cy cZ c三. 对称法 对于一个质量分布均匀的物体，其质心位于其几何中心。
因此，轴对 称图形的质心位于其对称轴上（几何中心位于对称轴上）四. 组合法 对于由好几部分质量已知且质心位置已知的质点系组成的系统: 质量：叶（质点系1）,m 2（质点系2）,m 3（质点系3）,…，m （质点系i ）,… 位置：r 1（质点系1）, r 2（质点系2）, r 3（质点系3）,…,r i （质点系i ）,'整个系统的质心位置仍由下式决定:例如：一个质点m （位置为r 1）和一个刚体M （其质心位置为r ；）组可以写出三个分量式r cXcy cJ(PdV)r i J PdVf rdV)x iJ PdV J(PdV)y iJ PdV【（PdV ）乙J PdVrc艺mj i 送m i成的系统的质心的位置为:f '面密度为（。
的圆盘的叠加。
则由方法四，不难得出:M 1r 1 十 M 2r 2沪 cR ）2]2R 2珥兀 R ）+（〜）！（一）］6R?此即其质心的位置 *六.巴普斯定理五.负质量法-mr^ Mr 2 rc =m+ M此方法用于求解：规则图形挖去一部分的图形求 心的问题。
如：下图为一半径为R 的均匀圆盘，挖去 一个半径为2的圆形部分。
试求其 质心所在的位置。
解答：如图建立坐标。
有对称性，质心必定 于x 轴上。
假设该图形为一个半径为R ,面密度为b 的圆盘和一个半径为解质位这个定理在微积分的课上曾经有所涉及。
物理质心坐标计算公式表
物理质心坐标计算公式表质心是指物体的平衡点或重心。
在物理学中，计算质心的坐标可以根据物体的质量分布情况和形状进行推导。
下面是一些常见物体质心坐标计算的公式：1.杆的质心坐标：对于一根质量均匀的杆，质心位于杆的中点。
杆的质心坐标可以用以下公式计算：Xc=(X1+X2)/2其中，Xc是质心的x坐标，X1是杆的一个端点的x坐标，X2是杆的另一个端点的x坐标。
2.平面物体的质心坐标：对于平面物体，质心坐标的计算需要考虑物体在x和y方向上的质量分布情况。
一般使用积分来计算。
平面物体的质心坐标可以用以下公式计算：Xc = ∫(x * dm) / MYc = ∫(y * dm) / M其中，Xc和Yc分别是质心的x和y坐标，x和y是位置矢量函数，dm是微元质量，M是总质量。
3.环形物体的质心坐标：对于均匀质量分布的环形物体，质心位于环心，可以使用以下公式计算：Xc = R * cos(θ)Yc = R * sin(θ)其中，Xc和Yc分别是质心的x和y坐标，R是环的半径，θ是质心相对于x轴的角度。
4.刚体的质心坐标：对于刚体，质心的计算需要将整个刚体分割成无穷小的质量元，然后对每个质量元的质心进行积分求和。
刚体的质心坐标可以用以下公式计算：Xc = ∫(x * dm) / MYc = ∫(y * dm) / MZc = ∫(z * dm) / M其中，Xc、Yc和Zc分别是质心的x、y和z坐标，x、y和z是位置矢量函数，dm是微元质量，M是总质量。
以上是一些常见物体质心坐标计算的公式。
需要注意的是，每个公式需要根据具体问题中物体的形状和质量分布情况进行适当的调整和应用。
质心的计算是物理学中的一项基本内容，对于理解物体的平衡和运动具有重要意义。
初三物理质心位置计算方法
初三物理质心位置计算方法质心是物体所含各部分的质量综合的中心点。
在物理学中，计算物体的质心位置可以帮助我们更好地研究物体的运动和平衡。
初三物理学中，我们常常需要计算物体的质心位置。
本文将介绍几种常见的初三物理质心位置计算方法。
方法一：对称物体的质心位置计算对称物体是指形状相对称的物体，如矩形、圆形等。
对于对称物体来说，我们可以通过简单的几何方法来计算其质心位置。
以矩形为例，一个长为L、宽为W的矩形的质心位置位于其中心点。
也就是说，质心位置的横坐标为矩形中心点的横坐标，纵坐标为矩形中心点的纵坐标。
对于圆形来说，其质心位置即为圆心的位置。
这种计算方法适用于形状对称的物体，但对于复杂形状的物体，我们需要采用其他方法计算质心位置。
方法二：几何分割法当物体形状复杂时，我们可以通过几何分割法计算质心位置。
具体方法如下：1. 将复杂形状的物体分割成若干个简单的几何形状，如矩形、三角形等。
2. 分别计算每个简单几何形状的质心位置。
3. 根据每个简单几何形状的质心位置和质量来计算整个物体的质心位置。
质心位置的横坐标为各简单几何形状质心位置横坐标与质量的乘积之和除以总质量，纵坐标同理。
这种方法需要将复杂形状的物体分割成简单几何形状，然后计算每个简单几何形状的质心位置，最后合并计算得到整个物体的质心位置。
方法三：数学推导法对于一些特定的物体形状，我们可以通过数学推导的方法直接计算质心位置。
下面以平衡木为例进行介绍：平衡木是一个长条形的物体，在物体的一端有一个固定的支点，而另一端部分有质量均匀地分布。
我们可以通过数学推导来计算平衡木的质心位置。
假设平衡木的长度为L，质量为M，在距离支点x的位置有一个无穷小长度dx的质量为dm的小段。
根据平衡条件，平衡木处于平衡状态，即合力和合力矩为零。
根据合力矩为零的条件，我们可以推导出平衡木的质心位置位于其长度的2/3处。
也就是说，质心位置的横坐标为平衡木长度的2/3。
这种方法需要具备一定的数学基础和推导能力，适用于特定形状的物体。
n维空间求中心位置的公式
n维空间求中心位置的公式大家好，今天咱们要聊一聊一个数学小难题——怎么在n维空间里求一个点的“中心位置”。
要说这个问题呢，听起来有点儿复杂，但其实你一看就会明白。
咱们都知道，数学有时就像是你家门口那条长长的街道，你走着走着，不知不觉就会发现其实并不那么难走。
先说说啥叫“n维空间”。
其实n维空间没什么特别的，它就是一个在“维度”上不断延伸的空间。
你想啊，咱们日常生活中最常见的就是三维空间，对吧？你走路、开车、看风景，全是在三维空间里，长度、宽度、高度这三样东西就能把我们周围的世界给定了个位置了。
可问题来了，这三维空间再往上加，四维、五维、六维啥的，你就能想象那是啥样的吗？实际上你也不用真去想，因为咱们今天要讨论的就是“中心位置”，而不是那个多维度的空间。
说到“中心位置”，这个概念其实大家都能理解。
你想，咱们平时都知道一个地方最热闹的地方就是中心，比如大商场的广场，超市的促销台，哎，这些地方永远是最吸引人的，最多人聚集的地方。
可在n维空间里，怎么找到这个“中心”呢？别急，咱们一步步来。
简单来说，找到中心其实就是找一堆数据的“平均值”。
想想你去看电影时，买票的时候可能会问，“座位在哪儿？”要找最合适的地方，不就是找个最平衡的位置吗？你坐在中间，不多不少，左右都有点距离。
说白了，在数学里，n维空间的中心就是这些点的“平衡点”，它是各个点间最均衡的位置。
举个例子吧。
假设你在五个不同的位置上，每个位置都有一个坐标，这些坐标是你在空间里的“地址”。
要找这五个点的中心，只要把它们的坐标加起来，再除以点的总数，得出来的就是中心坐标。
如果你是在三维空间里，假设这几个坐标是（x1, y1, z1），（x2, y2, z2）……等，那么你分别把所有的x坐标、y坐标、z坐标加起来，然后分别除以5，得到的就分别是x、y、z轴的中心值，最终的中心就是这个平均值。
明白了吗？这个中心位置，就是这五个点的平均坐标。
简单吧？更复杂一点的情况就是如果你有很多个点，比如几十、几百个，甚至几千个。
张宇18讲质心公式详细讲解
张宇18讲质心公式详细讲解张宇的质心公式是一种计算工具，用于确定此物体的重心位置，它的秘密在于一个重心公式，称为“张宇18讲质心公式”。
它可以用来帮助设计者了解设计物体的重心位置，从而更好地掌握该物体的稳定性和重力性能。
张宇18讲质心公式强调，物体重心的位置取决于物体的大小、形状和重量，它可以通过以下公式来计算：X* =x/∑mY* =y/∑mZ* =z/∑m其中，X*、Y*和Z*分别表示物体重心的X向和Y向和Z向的位置，而∑x、∑y和∑z分别表示物体在X向、Y向和Z向的矢量总和，∑m表示物体的总重量。
比如，一个建筑物的重心位置可以用张宇18讲质心公式计算出来：假设建筑物由四个部分组成，重量分别为w1、w2、w3和w4，且X向位置分别为x1、x2、x3和x4，Y向位置分别为y1、y2、y3和y4，那么建筑物的重心位置可以用张宇18讲质心公式计算出来：X* = (w1*x1 + w2*x2 + w3*x3 + w4*x4) / (w1 + w2 + w3 + w4) Y* = (w1*y1 + w2*y2 + w3*y3 + w4*y4) / (w1 + w2 + w3 + w4) Z* = 0张宇的质心公式仅适用于物体的沿X、Y轴平移，它不适用于沿Z轴平移的物体，因此，在沿Z轴平移时，通常需要采用其他计算方法来确定物体的重心位置，比如简单的工程运动学仿真和质量质心计算法。
此外，张宇质心公式只适用于计算单个物体的重心，如果对一组物体求重心位置，则需要使用复合质心公式，复合质心公式是：X* =i=1n (xifi)/∑i=1n fiY* =i=1n (yifi)/∑i=1n fiZ* =i=1n (zifi)/∑i=1n fi其中，xifi、yifi和zifi分别表示其中一个物体在X向，Y向和Z向的矢量总和，fi表示该物体的重量，n表示一组物体的数量。
总之，质心公式是一种简单易用的工具，可以用来预测物体的重心位置，从而帮助设计者更好地掌握该物体的稳定性和重力性能。
N维空间几何体质心的计算方法.
N维空间⼏何体质⼼的计算⽅法.N维空间⼏何体质⼼的计算⽅法摘要:本⽂主要是求⼀个图形或物体的质⼼坐标的问题,通过微积分⽅⾯的知识来求解,从平⾯推⼴到空间,问题也由易到难。
⾸先提出质⼼或形⼼问题,然后给出重⼼的定义,再由具体的例⼦来求解相关问题。
关键字:质⼼重⼼坐标平⾯薄板⼆重积分三重积分⼀.质⼼或形⼼问题:这类问题的核⼼是静⼒矩的计算原理。
1.均匀线密度为M的曲线形体的静⼒矩与质⼼:静⼒矩的微元关系为,dMx yudl dMy xudl==.其中形如曲线L((,y f x a x b=≤≤的形状体对x轴与y轴的静⼒矩分别为(ba yf x S=,(by aM u f x=?设曲线ABL的质⼼坐标为( ,x y,则,,其中(baM u x d x u l==为ABL的质量,L为曲线弧长。
若在式yMxM=与式xMyM=两端同乘以2π,则可得到22(ba yxl f x Sππ==a xyl f x Sππ==,其中xS 与yS分别表⽰曲线ABL绕x轴与y轴旋转⽽成的旋转体的侧⾯积。
2.均匀密度平⾯薄板的静⼒矩与质⼼:设f(x为[],a b上的连续⾮负函数,考虑形如区域{}(,,0(D x y a x b y f x=≤≤≤≤的薄板质⼼,设M为其密度,利⽤微元法,⼩曲边梯形MNPQ的形⼼坐标为1 (,(,2y f y x y x x≤≤+?,当分割⽆限细化时,可当⼩曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点1(,(2x f x处的⼀个质点,将它对x轴与y轴分别取静⼒矩微元可有1dM u f x f x dx=,(ydM uxf x dx=.两个静⼒矩为2 1(2bx aM u f x dx=?,(bx aM u xf x dx=?.设质⼼坐标为(, x y,则有( y baM ux xf x dxM M==?,21(2y by f x dxM M==?.其中(baM u f x dx MA==为该均匀密度薄板的质量,A 为⾯积。
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3201
33
301
03
203(32
1
(3
292
z T
V dxdydz dx dy dz
x
dx dy x dx x x -==-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
现在求重心的坐标
338
99x
T x xdxdydz xdx dy dz -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 338
99x T y ydxdydz dx ydy dz -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 338
轴的力矩分别为:
(,xdm x x y dD ρ=与(,ydm y x y dD ρ=
把这些微质量的力矩加起来,即得薄板D关于y轴与x轴的力矩为:
(,(,D
D
D
xdm x x y dD x x y dxdy
ρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰与
(,(,D
D
D
ydm y x y dD y x y dxdy
ρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
R
x y y dx
x s
R R x R
R R πππ
-=
=
-=-⋅
=
≈⎰⎰,
22121(20
b a
y y dx y s -=
=⎰
.
四.利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心
设有非均匀平面薄板D ,其上每点的密度为(,x y ρρ=,设薄板D的重心坐标为
(,x y ,考虑D中微面积dD ,它的微质量为: (,dm x y dD ρ=,它关于y轴与x
M M
==
其
中(
b
a
M u x d x u l
==
⎰
为AB
L
的质量,L为曲线弧长。
若在式
y
M
x
M
=
与式
x
M
y
M
=
两端同乘以2π,则可得
到22(
b
a y
xl f x S
ππ
==
⎰
,
22(
b
a x
yl f x S
ππ
==
⎰
,其中x
S与y
S
分别表示曲线AB
L
绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。
2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心:
特别,若
2(0y x ≡,则得曲边梯形薄板重心坐标公式:
b a
b a xydx x ydx =⎰⎰
,
2
12b a
b a y dx y ydx =⎰⎰.
例:试求半径为R的半圆形均匀薄板的重心。
解:由于
2
2R s π=
,1y =
2y =故知重心G的坐标(,x y为:
2
(22
2(40.42332
b R a
1,,,n x a x x x x b ==== ,划分成宽为12,,,n x x x ∆∆∆的窄条,每个窄条的
质量等于它的面积和密度δ的乘积。如果每个窄条用以
i x ∆为底,高为21((i i f f ξξ-的
矩形来代替,其中
12i i
i x x ξ-+=
,则这窄条的质量将近似等于
[]21(((1,2,,
对任一轴的力矩,等于各分力对该轴力矩之和,取对y轴的力矩,得
1212((b b a a u y y dx x ux y y dx ⎡⎤-⋅=-⎣⎦
⎰⎰,取对x轴的力矩得
121212((2b b
a a y y u y y dx y u y y dx +⎡⎤-⋅=-⋅⎣⎦
⎰⎰,由此两式,即得确定薄板重心坐标的公式:
2010221992x T z zdxdydz dx dy zdz -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
参考文献：《微积分与解析几何》电子工业出版社，1.，1985年11月出版，作者：R ⋅ E ⋅约翰逊F ⋅ L ⋅基奥克斯特。2．《微分与积分学》吉林人民出版社，，1983年9月出版，作者：N ⋅ PISKUNOV 3.《数学分析》，山东科学技术出版社，1985年出版，作者：郭大钧陈玉妹袭卓明4．《高等数学解题手册》，天津科学技术出版社，1983年12月出版，作者：丹科波波夫科热夫尼科娃。
设f(x为
[],a b
上的连续非负函数,考虑形如区域
{}
(,,0(
D x y a x b y f x
=≤≤≤≤
的薄板质心,设M为其密度,利用微元法,小曲边梯形MNPQ的形心坐标为
1
(,(,
2
y f y x y x x
≤≤+∆
,当分割无限细化时,可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点
1
(,(
2
x f x
设均匀薄板是由曲线
1(y y x =,2(y y x =和直线x b =围成的平面图形,我们要求此
平面的重心(,G x y ,用u表示此薄板单位面积的重量,则微面积
s d的重量为12(u y y dx -,
其重心G的坐标为
12
(,
2y y x +,显然整个薄板的重量为12(b a u y y dx -⎰,由力学知,合力
N维空间几何体质心的计算方法
摘要:本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题,通过微积分方面的知识来求解,从平面推广到空间,问题也由易到难。首先提出质心或形心问题,然后给出重心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。
关键字:质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分
一.质心或形心问题:
这类问题的核心是静力矩的计算原理。
解:在这种情况下,
21((f x f x ==因此
0520
235
2
5
a c x a x
=
=
= ,
0c y =.
三.重心
1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点,在生产实际中,常常要确定物体的重心。例如:炼钢用钢水包的包轴位置,就与钢水包的重心有关,如果包轴
低于重心,用天平调动钢包时就会翻转,如果包轴高于重心过多,则倒出钢水时翻转困难。因此,我们总是将包轴安装于略高于重心的地方,这时显然需要确定重心的位置。本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置,显然,若于其重心处支持之,则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。
M x y z dxdydz ρ=⎰⎰⎰
立体重心的坐标公式为:
1T
x xdxdydz
V
=
⎰⎰⎰,
1T
y ydxdydz
V
=
⎰⎰⎰,
1T
z zdxdydz
V
=
⎰⎰⎰.
这里x ,y ,z是区域T的几何重心的坐标。
例:求平面0x =,0z =,1y =,3y =,23x z +=所围之棱柱的重心坐标。解:先求棱柱的体积
=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰故
(2
1b a
x y y dx
x D
-=
⎰,
(2
22112b a
y y dx y D -=
⎰
.
五.设一立体在空间占据区域T ,那么立体的体积为
T
V d x d y d z
=⎰⎰⎰
设(,,x y z ρρ=,(,,x y z T ∈是立体在点(,,x y z的密度,其中T是它所占据的空间区域,那么该立体的质量为(,,T
处的一个质点,将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有
1
((
2
x
dM u f x f x dx
=
,
(
y
dM uxf x dx
=
.两个静力矩为2
1
(
2
b
x a
M u f x dx
=⋅
⎰
,
(
b
x a
M u xf x dx
=⎰.设质心坐标为(,
x y,则有(
y b
a
M u
x xf x dx
M M
==⎰
,
2
1
(
2
y b
a
M u
y f x dx
M M
==⎰
.其中
(
b
a
M u f x dx MA
==
⎰
为该
均匀密度薄板的质量,A为面积。二.平面图形的重心:给定一个曲线
12(,(,,y f x y f x x a x b ====围成的图形,它是一个物质平面图形,我
们考虑均匀的面密度,即单位面积的质量为常数,它在图形的各部分都等于δ.将所给图形用直线
1
2
1
((((i
i
i
i
c i
i
i
f f x
x f f x
ξδξξδξξ-∆≈
-∆∑∑,
[][][]1221211
((((2((i i i i i i c i i i
f f f f x y f f x ξξδξξδξξ+-∆≈
-∆∑∑当
max 0
i x ∆→时
取
极
限
,
则
得
[][]2
1
2
1
((((b a
1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心:
静力矩的微元关系为
,
dMx yudl dMy xudl
==.
其中形如曲线L(
(,
y f x a x b
=≤≤的形状体对x轴与y轴的静力矩分别
为(
b
a y
f x S
=
⎰
,
(
b
y a
M u f x
=⎰
设曲线AB
L
的质心坐标为(
,x y,则,,
y x
M M
x y
i i i i m f f x i n δξξ∆=-∆= ,这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重